fís. fís. exercÍcios de aula 1. (mackenzie-sp) a figura em escala mostra os vetores deslocamento...
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Fís. Semana 6
Leonardo Gomes(Arthur Vieira)
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06/03
08/03
13/03
15/03
Lançamento vertical e queda livre
13:30
Exercícios de lançamento vertical e queda livre
15:00
Lançamentos horizontal e oblíquo
13:30
Exercícios de lançamentos no vácuo
15:00
CRONOGRAMA
20/03
22/03
Cinemática vetorial
13:30
Movimento Circular Uniforme
15:00
27/03
29/03
Transmissão de movimento
13:30
Leis de Newton
15:00
Cinemática vetorial
20mar
01. Resumo
02. Exercícios de Aula
03. Exercícios de Casa
04. Questão Contexto
35Fí
s.
RESUMOOperações Vetoriais
Multiplicação de um escalar por um vetor
Supondo o vetor abaixo:
✓ Direção: Horizontal
✓ Sentido: Para direita
✓ Módulo ou intensidade: a = 1 unidade de medi-
da (u.m.)
[para simplificar vamos escrever o módulo do vetor
apenas como a.]
Calculando o módulo do vetor b tal que b=3a (o ve-
tor b é o resultado da multiplicação do número (es-
calar) 3 pelo vetor a).
Ex.:
Portanto, pode-se concluir que o resultado do mó-
dulo de b vale 3 unidades.
Obs.: É importante notar que quando se multiplica
um vetor por um número escalar, sua direção e sen-
tido não são alterados, porém caso o escalar seja ne-
gativo, a direção do vetor permanece a mesma, mas
seu sentido será invertido.
Adição de vetores ✓ Mesma direção e sentido
Neste caso é feita a soma algébrica dos vetores.
a = 1 u.m.
b = 2 u.m.
S = a + b = 3 u.m.
✓ Mesma direção e sentidos opostos
S = b – a = 1 u.m.
Obs.: Embora a conta seja uma conta de subtração
o desenho é o vetor soma. Isto acontece porque a
soma vetorial não representa uma soma escalar co-
mum.
✓ Direções perpendiculares
a = 3 u.m.
b = 4 u.m.
O vetor soma é dado pela junção dos vetores, sem-
pre colocando a ponta do primeiro vetor junto do fi-
nal do 2° vetor como na figura abaixo:
O vetor soma (S) será representado graficamente
como uma seta que liga o final do 1° vetor ao início
do 2° vetor.
Assim:
Isso é equivalente a fazer a regra do paralelogramo,
onde se traçam retas paralelas aos vetores.
Para calcular o valor do vetor S (seu módulo) é preci-
so usar o Teorema de Pitágoras:
S2 = a2 + b2
S2 = 9 + 16 = 25
S = 5 u.m.
36Fí
s.
✓ Direções quaisquer
Diferentemente do caso anterior, agora é útil usar a
Regra o Paralelogramo, uma vez que não é possível
aplicar Pitágoras.
Sendo assim, os vetores devem ser colocados de tal
forma que estejam unidos pela origem.
São traçadas retas paralelas aos vetores;
O vetor S será o vetor que tem como origem o en-
contro das origens dos demais vetores e como fim o
encontro das retas paralelas aos vetores.
Desta forma é possível calcular o módulo de S utili-
zando a fórmula a seguir:
S2=a2+b2+2. a.b.cos θ
Obs.: Decomposição Vetorial. Fazer a decomposi-
ção é projetar o vetor em suas componentes orto-
gonais (eixo x e y).
Usa-se o ângulo para escrever as componentes.
Subtração de vetoresA subtração de vetores pode ser entendida como a
soma de um vetor com seu sentido contrário.
a- b= a+(-b)
Agora, supondo um vetor D= a- b.
Unindo os vetores pela origem.
O desejado é o vetor D= a- b, este vetor pode-se ser
representado como sendo um vetor que vai do final
do vetor b ao final do vetor a.
37Fí
s.
EXERCÍCIOS DE AULA1. (Mackenzie-SP) A figura em escala mostra os vetores deslocamento de uma for-
miga, que, saindo do ponto A, chegou ao ponto B, após 3 minutos e 20 s.
O módulo do vetor velocidade média do movimento da formiga, nesse trajeto,
foi de:
a) 0,15 cm/s
b) 0,20 cm/s
c) 0,25 cm/s
d) 0,30 cm/s
e) 0,40 cm/s
2. Um ponto material executa um movimento circular uniforme com velocidade
igual a 10 m/s.
a) A variação da velocidade vetorial, entre as posições P1 e P2 indicadas no es-
quema, é um vetor cuja intensidade vale quantos metros por segundo?
b) Se a variação da velocidade do item anterior demorou 2 s, calcule a aceleração
vetorial média entre os pontos P1 e P2.
3. (Unicamp-SP) Os carros em uma cidade grande desenvolvem uma velocidade
média de 18 km/h, em horários de pico, enquanto a velocidade média do metrô
é de 36 km/h. O mapa abaixo representa os quarteirões de uma cidade e a linha
subterrânea do metrô.
38Fí
s.
4. Sobre uma superfície plana, um móvel descreve a trajetória de segmentos circu-
lares desenhada abaixo em 10 s.
Deter mine aproximadamente, em m/s, os mó dulos de suas velocidades entre os
pontos A e B:
a) escalar média;
b) vetorial média.
(ITA-SP) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar mé-
dia de 22,5 km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No retor-
no, ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no
percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega em A perfazendo todo
o percurso de ida e volta em 1,00 h, com velocidade escalar média de 24,0 km/h.
Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB.
5.
a) Qual a menor distância que um carro pode percorrer entre as duas estações?
b) Qual o tempo gasto pelo metrô (Tm) para ir de uma estação à outra, de acordo
com o mapa?
c) Qual a razão entre os tempos gastos pelo carro (Tc) e pelo metrô para ir de uma
estação à outra, Tc / Tm? Considere o menor trajeto para o carro.
39Fí
s.
a) v= 12,0km/h
b) v = 12,00 km/h
c) v = 20,0 km/h
d) v = 20, 00 km/h
e) v = 36, 0 km/h
(UERJ) Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado
mede 10 cm.
Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos
e representam os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de
açúcar, uma mosca e uma formiga.
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com veloci-
dades constantes, para alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para
atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as dimensões
dos animais.
A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formi-
ga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a:
a) 3,5
b) 5,0
c) 5,5
d) 7,0
6.
1.
EXERCÍCIOS PARA CASA(UFCE) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a
informação de que o endereço procurado estaria situado a 2 km ao norte. Após
chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar
4 km para o leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informa-
ção a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5 km ao sul daquele pon-
to. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o
módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é:
a) 11 km
b) 7 km
c) 5 km
d) 4 km
e) 3 km
40Fí
s.
3.
2. (PUCCamp-SP) No lançamento de um bumerangue, este afasta-se até a distân-
cia de 32 m e, após 8,0 s, volta onde está o dono que o atira. A velocidade vetorial
média nesse intervalo de tempo tem módulo:
a) 16 m/s
b) 8,0 m/s
c) 4,0 m/s
d) 2,0 m/s
e) zero
(Puc-rio) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectiva-
mente, 1 cm e 2 cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do
centro do relógio e aponta na direção dos números na extremidade do relógio,
determine o vetor resultante da soma dos dois vetores correspondentes aos pon-
teiros de hora e minuto quando o relógio marca 6 horas.
a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
4. (MACKENZIE–SP) Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o he-
xágono regular abaixo.
O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a:
a) 64u
b) 32u
c) 16u
d) 8u
e) zero
5. (UNICAMP) A figura abaixo representa um mapa da cidade de Vectoria o qual
indica a direção das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos
trafegam com a velocidade média de 18 km/h. Cada quadra desta cidade mede
200 m por 200 m (do centro da uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulância
localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em
B, sem andar na contramão.
41Fí
s.
6. (ITA-SP) A figura mostra uma pista de corrida A B C D E F, com seus trechos re-
tilíneos e circulares percorridos por um atleta desde o ponto A, de onde parte do
repouso, até a chegada em F, onde para. Os trechos BC, CD e DE são percorri-
dos com a mesma velocidade de módulo constante.
Considere as seguintes afirmações:
I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos AB, BC, DE, e EF.
II. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é o mesmo
nos trechos AB e EF.
III. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é para sudes-
te no trecho BC, e para sudoeste, no DE.
a) apenas a I.
b) apenas a I e II.
c) apenas a I e III.
d) apenas a II e III.
e) todas.
a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?
b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A e B?
7. (ITA-SP) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao
mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com ve-
locidade de 50 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando
g = 10 m/s2, determine a distância entre as bolas no instante em que a primeira
alcança sua máxima altura.
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s.
QUESTÃO CONTEXTO
No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com inten-
sidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360
km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste
de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S. Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos α ≈ 0,934, em que α é o
ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 ⋅ 32 ⋅ 93,4 ≈ 215 100, determine a ve-
locidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu até a cidade
de Sendai.
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s.
GABARITO
01.Exercícios para aula1. c
2. a) 10√2 m/s b) 5√2 m/s²
3. a) 700 m b) 50 s c) 2,8
4. a) 0,04π m/s b) 0,08 m/s
5. a
6. d
02.Exercícios para casa1. c
2. e
3. a
4. b
5. a) 3,0 min b) 10 km/h
6. d
7. (17.100)½ m