finekon 03 moderna i postmoderna

3.

MODERNA I POSTMODERNAPORTFOLIO TEORIJA

3.1. OSNOVI POJMOVI PORTFOLIO MENADŽMENTA

Portfolio je skup ili kombinacija različitih sredstava neke institucije ili fizičkog lica. Držanje portfolija je povezano sa strategijom strukturisanja ulaganja i limitiranja rizika koja se zove diverzifikacija i čiji je cilj smanjivanje ukupnog rizika.

Sredstva sadržana u portfoliju mogu biti:- akcije- obveznice- obveznice s varantom- fjučers ugovori- opcije- zlatni certifikati- nekretnine- proizvodna postrojenja- ostala sredstva koja imaju vrednost i za koja se očekuje da će je zadržati

Investicioni menadžment predstavlja menadžment različitim sredstvima radi postizanja investicionih koristi za inevstitore. Investitori mogu biti institucije (korporacije, osiguravajuća društva, penzini fondovi i sl.) ili privatni ulagači (koji najčešće investiraju preko zajedničkih fondova ili kolektivnih investicionih shema). Portfolio menadžment obuhvata donošenje odluke o sredstvima koja se uključuju u portfolio, u zavisnosti od ciljeva vlasnika i ekonomskih uslova i okolnosti, a odluke se odnose na vrstu i količinu sredstava i vreme njihove kupovine ili prodaje, uzimajući u obzir očekivani prinos i rizik sredstava.

Strategije formiranja portfolija mogu biti: portfolio s jednakim ponderima, portfolio s ponderima na osnovu kapitalizacije i portfolio ponderisan na osnovu cena.

Finansijski modeli korišćeni u menadžmentu portfoliom uključuju npr. sledeće:- maksimizacija stope prinosa uz prihvatljiv nivo rizika- linija alokacije kapitala- karakteristična linija hartija od vrednosti i model s jednim indeksom

- tržišna linija hartija od vrednosti i CAPM – model vrednovanja kapitala- Jensen-ova alfa- beta koeficijent ulaganja- Sharp-ov indeks- Treynor-ov indeks- APT – teorija arbitražnog vrednovanja- modeli rizika naniže- Sortino-ov indeks- asimetrija volatilnosti- VaR – rizikovana vrednost, itd.

Diverzifikacija je pojam koji ukazuje na formiranje portfolija od različitih sredstava (među koje spadaju i hartije od vrednosti), od kojih svaka sa sobom nosi određeni prinos (najšeće meren stopom prinosa, drugim rečima stopom promene ili stopom povraćaja) i određeni rizik (tradicionalna mera za rizik u portfolio menadžmentu je varijansa stope prinosa, a češće korišćena mera je devijacija stope prinosa koja se naziva još i: kolebljivost ili volatilnost stope prinosa). Cilj je menadžmenta portfolijom, dakle, da formira takav portfolio koji uz dati prihvatljivi nivo rizika ima najveću moguću stopu prinosa, ili da se uz utvrđenu poželjnu stopu prinosa iznađe takav portfolio koji sa sobom nosi najmanji mogući rizik.

Pretpostavlja se da investitori imaju averziju prema riziku, što znači da od dva sredstva sa jednakom stopom prinosa investitori preferiraju manje rizična ulaganja: s druge strane investitor će prihvatiti veći rizik jedino ako je praćen većom očekivanom stopom prinosa. S druge strane, ako investitor želi veći prinos, mora prihvatiti i veći rizik. Kompromis između prinosa i rizika se razlikuje od investitora do investitora, u zavisnosti od individualnih averzija prema riziku, pa će se i diverzifikacija portfolija realizovati na različite načine.

Portfolio može biti sačinjen od rizičnih sredstava ili od kombinacije rizičnih i tzv. nerizičnih sredstva. Nerizično sredstvo je takvo hipotetičko sredstvo koje obezbeđuje stalnu stopu prinosa, bez rizika, što znači da je njena varijansa (dakle i devijacija odnosno volatilnost) jednaka nuli, a pored toga ona nije korelisana ni sa rizičnim sredstvima (koeficijent korelacije prinosa nerizičnih i rizičnih sredstva jednaka je nuli). U teorijskim istraživanjima i praktičnim obračunima nerizično sredstvo se obično aproksimira kratkoročnim državnim hartijama od vrednosti.

3.2. PROSTA I KONTINUELNA STOPA PRINOSA SREDSTAVA

Pri praćenju dinamike rasta (ili pada) vrednosti finansijskih sredstava, umesto kretanja njihovih cena ili apsolutnih vrednosti promena njihovih cena, u finansijskim analizama se češće koristi stopa promene ili stopa prinosa, i to kontinuelna stopa prinosa.

Neka je data vrednost nekog sredstva u vremenskoj jedinici t=0: X0, i neka Xt označava vrednost sredstva u vremenskoj jedinici t zajedno sa prinosom ostvarenim u vremenu od 0 do t.

38

Prosta stopa prinosa je količnik priraštaja (prinosa) u narednoj jedinici vremena u odnosu na baznu vremensku jedinicu:

(1)

Kontinuelna stopa prinosa je prirodni logaritam količnika tekuće i prethodne vrednosti:

(2)

U slučaju „malih“ promena dve stope su približno jednake, međutim, prednost kontinuelne stope je u tome da se prostim sabiranjem stopa uzastopnih vremenskih jedinica dobija kontinuelna stopa za ukupan vremenski period.

PRIMER 3.1.U sledećoj tabeli dat je primer na kojem će biti prikazano izračunavanje prostih i kontinuelnih stopa prinosa. Vrednost sredstva je data u mesečnim podacima u toku jedne godine, s tim da je dat i podatak za poslednji mesec prethodne godine s oznakom t=0.

Tabela 1. Prosta i kontinuelna stopa prinosa

t Xt (%) (%)

0 27

1 28 0,03704 3,704% 0,03637 3,637%

2 30 0,07143 7,143% 0,06899 6,899%

3 29 -0,03333 -3,333% -0,03390 -3,390%

4 31 0,06897 6,897% 0,06669 6,669%

5 30 -0,03226 -3,226% -0,03279 -3,279%

6 31 0,03333 3,333% 0,03279 3,279%

7 32 0,03226 3,226% 0,03175 3,175%

8 33 0,03125 3,125% 0,03077 3,077%

9 32 -0,03030 -3,030% -0,03077 -3,077%

10 31 -0,03125 -3,125% -0,03175 -3,175%

11 33 0,06452 6,452% 0,06252 6,252%

12 35 0,06061 6,061% 0,05884 5,884%

suma 27,225% 25,951%

Ukupna godišnja stopa prinosa kod proste stope se mora računati posebno:

što nije jednako prostom zbiru mesečnih stopa, a prosečna mesečna prosta stopa je:

39

.

Kod kontinuelna stope ukupna godišnja stopa je jednaka zbiru mesečnih stopa:

dok se prosečna mesečna kontinuelna stopa može dobiti jednostavnim deljenjem:

Gornji primer je izveden za 12 mesečnih podataka u jednoj godini, a formula za kontinuelnu stopu se može uopštiti za bilo koji broj vremenskih jedinica:

(3)

3.3. VARIJANSA I DEVIJACIJA STOPE PRINOSA SREDSTAVA

U analizama performansi ulaganja posebno značajno mesto pripada riziku, koji se najčešće aproksimira varijansom ili devijacijom stope prinosa, odnosno nekom drugom veličinom. U ovom delu rada kao meru rizika uzećemo tzv. istorijsku volatilnost, koja je jednaka devijaciji kontinuelne stope prinosa u određenom prošlom vremenskom periodu. Nastavljajući prethodni primer, iz tabele preuzimamo podatke za vremenske jedinice t i kontinuelne stope Rt, dok ćemo prosečnu mesečnu

stopu Rm označiti sa simbolom , što označava prosek ili očekivanu vrednost stope prinosa. Odstupanje pojedinačnih stopa od proseka je:

od kojih je prosek zbira kvadrata jednaka varijansi, a koren varijanse je devijacija:

(4)

gde je T ukupan broj vremenskih jedinica.

PRIMER 3.2.U prethodnom primeru:

40

je vrednost varijanse

je vrednost devijacije (istorijske volatilnosti)

Tabela 2. Varijansa i devijacija stope prinosa1

t

0

1 0,03637 0,01474 0,00022

2 0,06899 0,04737 0,00224

3 -0,03390 -0,05553 0,00308

4 0,06669 0,04507 0,00203

5 -0,03279 -0,05442 0,00296

6 0,03279 0,01116 0,00012

7 0,03175 0,01012 0,00010

8 0,03077 0,00915 0,00008

9 -0,03077 -0,05240 0,00275

10 -0,03175 -0,05337 0,00285

11 0,06252 0,04089 0,00167

12 0,05884 0,03721 0,00138

sum 0,25951 0,00000 0,01950

E(Rt) 0,02163

Ovde je računata mesečna volatilnost, dok se za neke analize koristi volatilnost za neki drugi period. Za preračunavanje koristimo sledeće obrasce:

- sa dnevne na mesečnu volatilnost:

- sa dnevne na godišnju volatilnost:

- sa mesečne na godišnju volatilnost2:

PRIMER 3.3.U gornjem primeru bi godišnja volatilnost bila

1 Kao što je ranije napomenuto, finansijske serije odlikuje visoka frekvencija i veoma veliki broj podataka. U ovim primerima, radi jednostavnosti izlaganja koriste se samo kratke serije.2 Ovaj postupak se naziva i anualizacija volatilnosti

41

3.4. MODERNA PORTFOLIO TEORIJA - MPT

Moderna portfolio teorija se bavi diverzifikacijom portfolija racionalnog investitora radi njegove optimizacije, kao i određivanjem cena rizičnih sredstava. U MPT stopa prinosa nekog sredstva se modelira kao slučajna promenljiva, dok se stopa prinosa portfolija računa kao ponderisana stopa prinosa sadržanih sredstava, i zato je stopa prinosa portfolija takođe slučajna promenljiva koja ima svoju očekivanu vrednost i varijansu. U MPT kao mera rizika se uzima kolebljivost, tj standardna devijacija stope prinosa, bez obzira da li se radi o stopi koja je iznad ili ispod neke poželjne vrednosti ili o negativnoj stopi.

Pretpostavlja se da se preferencija investitora prema odnosu rizik/prinos može opisati kvadratnom funkcijom korisnosti, zbog čega su za ulagače bitna dva elementa: prinos i volatilnost, dok su nebitni asimetrija i spljoštenost njihovog rasporeda.

Po pretpostavkama MPT:- prinos portfolija je ponderisana kombinacija sadržanih sredstava i- volatilnost portfolija zavisi od volatilnosti i koeficijenata korelacije sadržanih sredstava, pa je

promena kolebljivosti nelinearna u slučaju promene strukture portfolija.

3.4.1. OČEKIVANA VREDNOST PORTFOLIJA

Neka je u početnoj vremenskoj jedinici vrednost i-tog sredstva, kao i-te komponente portfolija, data sa Xi, a vrednost portfolija sa Xp, pri čemu je broj sredstava u portfoliju n:

(5)

Ponder i-te komponente u portfoliju je:

(6)

Ako su poznate očekivane vrednosti stopa prinosa pojedinih sredstava E(Ri) prema obrascu (3), tada je očekivana vrednost stope prinosa portfolija ponderisani prosek očekivanih vrednosti stopa prinosa sadržanih sredstava:

(7)

3.4.2. VOLATILNOST PORTFOLIJA

Ako su poznate volatilnosti sadržanih sredstava prema obrascu (4), tada je varijansa portfolija data sa:

42

(8)

Kvadratni koren varijanse će biti volatilnost portfolija:

(9)

U gornjem izrazu predstavlja prosti koeficijent korelacije stopa prinosa dve komponente:

(10)

koja može uzeti vrednosti u intervalu . Za sledi .

Ako se uzima kombinacija samo dva sredstva u portfolio, tada će varijansa biti:

(11)

čiji je kvadratni koren zajednička volatilnost kombinacije dva sredstva u portfoliju.

3.4.3. LINIJA ALOKACIJE KAPITALA3 - CAL

Linija alokacije kapitala (CAL) je prava koja pokazuje kretanje očekivane vrednosti stope prinosa u odnosu na rizik (volatilnost) u portfoliju i koja sadrži kombinaciju jednog rizičnog i nerizičnog sredstva. CAL se formira variranjem učešća rizičnog sredstva u portfoliju od 0% do 100%, pri čemu je učešće nerizičnog sredstva ostatak, tj. . Za svako potencijalno pojedinačno sredstvo se može formirati CAL, u kombinaciji sa nerizičnim sredstvom. Jednačina CAL glasi:

(12)

gde i označava rizično sredstvo, f nerizično sredstvo a if kombinaciju (portfolio) i-tog rizičnog i nerizičnog sredstva. Pošto je volatilnost nerizičnog sredstva jednaka nuli, tj. , iz (11) sledi da je a zamenom u (12) se dobija:

(13)

3 U literaturi poznata kao CAL: Capital Alocation Line

43

Napomena 1: primetite da kod bezrizične stope nije korišćena očekivana vrednost, pošto je uzeto da je stalna veličina; kod nekih drugih pristupa se dozvoljava da ova stopa bude promenljiva, čime se

menjaju izvedeni obrasci.Napomena 2: CAL se može formirati i tako što se pretpostavlja da dato sredstvo i predstavlja već neki formirani portfolio.

U praktičnom radu CAL se prikazuje grafički u pravouglom koordinatnom sistemu, gde je na horizontalnoj osi prikazan rizik (devijacija), a na vertikalnoj stopa prinosa. Za prikaz CAL dovoljno je izračunati dve tačke preko kojih ona prolazi: npr. jedna je tačka na vertikalnoj osi sa vrednošću nerizične stope , a druga je tačka sa 100% učešćem rizičnog sredstva , dok će sve

tačke između ove dve krajnje imati koordinate .

PRIMER 3.4.Radi ilustracije uzmimo primer sa tri sredstva čije su vrednosti , i .

Vrednost portfolija će biti a ponderi pojedinih sredstava ,

i . Neka su date stope prinosa ovih sredstava u sledećoj tabeli:

Tabela 3. Stope prinosa tri rizična sredstva

t Rt1 Rt2 Rt3

1 1,9673% 3,6368% 1,1429%

2 0,6473% 6,8993% -2,2990%

3 3,1749% -3,3902% 3,4289%

4 6,6490% 6,6691% 1,1173%

5 -2,3670% -3,2790% 2,1979%

6 2,9501% 3,2790% 1,0811%

7 1,7291% 3,1749% 1,0695%

8 1,1364% 3,0772% 2,1053%

9 1,1236% -3,0772% -1,0471%

10 3,2970% -3,1749% 1,0471%

11 3,1918% 6,2520% 1,0363%

12 3,5994% 5,8841% 2,0409%

suma 27,0987% 25,9511% 12,9212%

E(Ri) 2,2582% 2,1626% 1,0768%

0,02066 0,04031 0,01434

Neka je stalna mesečna stopa prinosa nerizičnog sredstva Rf=1,5%. Sve linije alokacije kapitala imaju početnu vrednost u tački (0; 0,015). Linija alokacije kapitala za prvo sredstvo CAL1 prolazi kroz tačku (0,02066; 0,022582), za drugo sredstvo CAL2 kroz tačku (0,04031; 0,021626) i za treće sredstvo

44

CAL3 kroz tačku (0,01434; 0,010768). Ove linije su grafički predstavljene na sledećoj slici. Linija s najvećim pozitivnim nagibom je ujedno i tržišna linija kapitala (CML)4.

Slika 1. Linije alokacije kapitala. CAL1 je ujedno i CML

3.4.4. GRANICA EFIKASNOSTI I SHARPE-OV INDEKS

Neka je iz portfolija isključeno nerizično sredstvo. Kombinovanjem dva ili više rizičnih sredstva dobija se portfolio koji ima očekivanu vrednost datu izrazom (7) a varijansu i devijaciju date izrazima (8) i (9). Ako se skup svih mogućih kombinacija svih sredstava predstavlja grafički u vidu tačaka sa

koordinatama , tada sve tačke pripadaju regionu koja je ograničena hiperbolom5. Gornji

krak hiperbole se naziva granica efikasnosti ulaganja, koja matematički predstavlja presek skupa portfolija sa minimalnom varijansom i skupa portfolija sa maksimalnom stopom prinosa. Granica efikasnosti je uvek konveksna. Na granici efikasnosti nalaze se portfolija koja daju najniži rizik za datu stopu prinosa, odnosno najveću stopu prinosa uz dati rizik. Tačke ispod granice efikasnosti su suboptimalne, a tačke iznad granice efikasnosti se mogu dobiti uključivanjem nerizičnih sredstava u portfolio.

PRIMER 3.5.Radi ilustraciije, izračunato je nekoliko kombinacija sredstava iz prethodnog primera, te su dobijeni sledeći rezultati, dok skup svih mogućih kombinacija su sve tačke unutar regiona hiperbole:

Tabela 4. Neke moguće kombinacije sredstava u portfoliju

4 Capital market Line: CML5 Ova hiperbola se naziva i „Markowitz-ev metak“. U slučaju da se horizontalnoj osi nalazi varijansa, oblik koji se dobija je parabola.

45

Učešće 1. sredstva

Učešće 2. sredstva Učešće 3. sredstva

Devijacija portfolija

Očekivana vrednost stope portfolija Sharp-ov indeks

1 0 0 0,02066 0,02258 0,3670 1 0 0,04031 0,02163 0,1640 0 1 0,01434 0,01077 -0,295

0,4 0,3 0,3 0,01528 0,01875 0,2460,4 0,2 0,4 0,01290 0,01767 0,2070,4 0,1 0,5 0,01167 0,01658 0,1350,3 0,7 0 0,02889 0,02191 0,2390,3 0,5 0,2 0,02129 0,01974 0,2230,3 0,4 0,3 0,01781 0,01866 0,2050,2 0,4 0,4 0,01761 0,01747 0,1400,2 0,5 0,3 0,02103 0,01856 0,1690,1 0,8 0,1 0,03235 0,02064 0,1740,1 0,4 0,5 0,01777 0,01629 0,0730,1 0,2 0,7 0,01305 0,01412 -0,067

0 0,4 0,6 0,01828 0,01511 0,006

Dobijene tačke su prikazane na sledećoj slici.

Slika 2. Granica efikasnosti

Sharpe-ov indeks je mera dodatne stope prinosa nekog sredstva (ili portfolija) iznad nerizične stope u odnosu na njegov rizik i dobija se prema obrascu:

46

(14)

Kada nerizična stopa prinosa nije konstantna, tada se Sharpe-ov indeks računa kao:

(15)

Ako dva sredstva imaju jednaku očekivanu vrednost stope prinosa, tada će povoljnije biti ono sredstvo koja ima veću vrednost Sharpe-ovog indeksa. Vrednosti Sharpe-ovog indeksa za sredstva iz ovog primera kao i indeksa za dobijena portfolija su prikazana u tabeli 4.

Od onih portfolija koji se nalaze na granici efikasnosti, onaj koji ima najveću vrednost Sharpe-ovog indeksa naziva se tangencijalni, super-efikasni ili tržišni portfolio. U našem primeru tangencijalni portfolio jednak je prvom sredstvu, i prikazan je na slici 1. Kombinovanjem nerizičnih sredstava sa tangencijalnim portfoliom može se formirati novi portfolio koji uz dati rizik daje veću stopu prinosa nego sam rizični portfolio na granici efikasnosti.

3.4.5. SISTEMATSKI I NESISTEMATSKI RIZIK

Nesistematski, specifični, diverzifikovani, jedinstveni ili idiosinkratički rizik se pridružuje pojedinačnim sredstvima u portfoliju, unutar kojeg se specifični rizici međusobno poništavaju postupkom diverzifikacije.

Sistematski, portfolio ili tržišni rizik je zajednički za sva sredstva i od njega se ne možemo osloboditi diverzifikacijom na datom tržištu. Ovaj rizik je jednak devijaciji tržišnog portfolija6.

Rizik novog sredstva je rizik koji se nabavkom tog sredstva dodaje na tržišni rizik. U ovom kontekstu rizik novog sredstva kao i njegova korelacija sa tržišnim portfoliom su istorijski određeni, a cena koju treba platiti za novo sredstvo se određuje na osnovu njegove povezanosti s tržišnim portfoliom.

6 Napomena: obratite pažnju da se ovaj pojam razlikuje od tzv. sistemskog rizika, koji u finansijama označava opasnost od pada (propasti ili sloma) celokupnog finansijskog sistema ili finansijskog tržišta, kada je sistem nestabilan, s mogućim katastrofalnim posledicama; zbog veza međuzavisnosti na finansijskom tržištu, pad jednog elementa ili jedne grupe može dovesti do kaskadnog (domino) efekta, što potencijalno izaziva bankrotstvo celokupnog finansijskog sistema ili tržišta.

47

3.4.6. KARAKTERISTIČNA LINIJA HARTIJA OD VREDNOSTI7 - SCL

SCL predstavlja odnos između stope prinosa datog sredstva i i prosečne tržišne stope prinosa u vremenu t. Za tržišnu stopu prinosa uzima se prosek hartija od vrednosti ostvaren na nekom finansijskom tržištu u proteklom periodu8. Radi jednostavnosti, pretpostavlja se da je SCL linearnog oblika:

, (16)

gde su i ponderi regresione jednačine, a stohastički elemenat.

Model (16) u ocenjenom obliku glasi9:(17)

Alternativni oblik modela za ocenjivanje je:

(18)

Ako je nerizična stopa stalna, tada su ocenjene vrednosti jednake u (17) i (18), a veza između konstanti je:

(19)

odnosno iz (18) sledi:

(20)

Ocenjena vrednost se naziva Jensen-ova alfa10 i ona označava meru aktivnog prinosa ulaganja u odnosu na tržišni prosek nakon eliminisanja uticaja rizika.

Na efikasnom tržištu očekivana vrednost ovog koeficijenta jednaka je stopi prinosa nerizičnog sredstva. Ako je:

7 U literaturi poznata kao SCL: Security Characteristic Line; 8 U praktičnom radu, kao pokazatelji prosečne tržišne stope prinosa, koriste se poznati opšti tržišni indeksi hartija od vrednosti kao što su npr. Nasdaq (New York), DIJA (Dow Jones Industrial Average), Russel 3000 (USA), FTSE (razne varijante, London), CAC 40 (Pariz), S&P/TSX (Kanada), S&P 500, DAX 30 (Nemačka), SSE B (Šangaj) TASK (Izrael), ASX (Australija), CASE 30, BELEXline (Beograd), itd.9 Ovaj oblik, nazvan tržišnim modelom s jednim indeksom, je prvi koristio H. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, New Haven, Cowles Foundation for Research in Economics, 1959. Dalja istraživanja je vršio W.F. Sharpe, A Simplified Model for Portfolio Analysis, Management Science 9, January 196310 Ovaj pokazatelj je razvio Michael Jensen tokom 1970-ih godina u evaluaciji menadžera slobodnih investicionih fondova (uzajamnih fondova)

48

tada dolazi do smanjenja (poništavanja) sredstava investitora,tada je vrednost sredstava investitora nepromenjena itada dolazi do stvaranja vrednosti za investitora.

U ocenjenoj regresiji parametar pokazuje relaciju očekivane vrednosti stope prinosa i-tog sredstva (ili portfolija) prema celom finansijskom tržištu. Ako je:

tada je dato sredstvo nezavisno od tržišnih kretanja,tada sredstvo prati tržišna kretanja, tada sredstvo prati tržište inverzno i

tada je koeficijent datog sredstva jednaka tržišnoj vrednosti, koja je .

Beta koeficijent se naziva i finansijska elastičnost ili korelisana relativna volatilnost i meri osetljivost stope prinosa nekog sredstva u odnosu na prosečnu tržišnu stopu. Ako se SCL oceni za neki portfolio u odnosu na prosečnu tržišnu stopu, tada je beta koeficijent mera sistematskog rizika portfolija, i pokazuje onaj deo varijanse koji se ne može izbeći diverzifikacijom.

Neka je prosečna stopa prinosa formiranog portfolija. Iz jednačine (17) prizilaze i sledeće relacije:

- u slučaju jednog sredstva u okviru portfolija važi: .

- kada se radi o portfoliju na tržištu, tada je: .

PRIMER 3.6.U ovom primeru će biti prikazano ocenjivanje karakterističnih linija za akcije pet proizvoljno odabranih kompanija koje se kotiraju na Njuroškoj berzi: Barrick Gold Corporation (NYSE:ABX), Advanced Micro Devices Inc (NYSE:AMD), Motorola Inc (NYSE:MOT), General Electric Co (NYSE:GE), Ford Motor Co (NYSE:F), kao i za portfolio formiran od avih pet akcija s jednakim ponderima. Prosečna tržišna stopa prinosa se u ovom primeru aproksimira na osnosu indeksa Dow Jones Industrial Average (^DJI) 11, a kao nerizične uzete su stope prinosa blagajničkih zapisa trezora SAD, sa rokom dospeća 91 dan12.

11 Izvori podataka: http://money.cnn.com/quote/historical/historical.html?pg=hi&close_date=31%2F12%2F2008&mode=add&symb=NYA; http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EDJI&a=11&b=31&c=2005&d=11&e=31&f=2008&g=m12 U.S. Treasury – Daily Treasury Bill Rates. Napomena: U SAD državne dužničke hartije od vrednosti su: blagajnički zapisi (treasury bill), koji su kratkoročni, s rokom dospeća 4, 13 ili 26 nedelja, trezorski zapisi (treasury note) su srednjoročni, s rokom dospeća 1 do 10 godina, a državne obveznice (treasury bond) su dugoročne, s rokom dospeća 10 i više godina.

49

Kontinuelne mesečne stope prinosa akcija su označene redom sa R1,..., R5, stope prinosa portfolija sa Rp, tržišne stope sa RM, a nerizične stope sa Rf.

Tabela 5. Stope prinosa pet rizičnih sredstva i portfolija, prosečne tržišne stope i nerizične stope

t R1 R2 R3 R4 R5 Rp RM Rf

1 Jan-06 0,1212 0,3119 0,0053 -0,0679 0,1056 0,1033 0,0137 0,0036672 Feb-06 -0,1393 -0,0778 -0,0594 0,0037 -0,0737 -0,0680 0,0118 0,0037793 Mar-06 -0,0048 -0,1537 0,0682 0,0565 -0,0013 -0,0175 0,0105 0,0037794 Apr-06 0,1124 -0,0094 -0,0705 -0,0055 -0,1357 0,0013 0,0229 0,0038915 May-06 0,0043 -0,0615 -0,0123 -0,0096 0,0298 -0,0177 -0,0176 0,0039626 Jun-06 -0,0336 -0,2350 -0,0456 -0,0387 -0,0327 -0,0836 -0,0016 0,0040747 Jul-06 0,0397 -0,2306 0,1218 -0,0082 -0,0382 -0,0155 0,0032 0,0041548 Aug-06 0,0834 0,2537 0,0269 0,0411 0,2270 0,1013 0,0173 0,0041149 Sep-06 -0,0860 -0,0056 0,0670 0,0358 -0,0340 -0,0026 0,0258 0,003986

10 Oct-06 0,0091 -0,1556 -0,0808 -0,0054 0,0232 -0,0432 0,0338 0,00413811 Nov-06 0,0141 0,0140 -0,0394 0,0048 -0,0183 -0,0011 0,0116 0,00409812 Dec-06 -0,0238 -0,0582 -0,0754 0,0533 -0,0793 -0,0192 0,0195 0,00409013 Jan-07 -0,0358 -0,2690 -0,0351 -0,0317 0,0793 -0,0632 0,0126 0,00417014 Feb-07 0,0084 -0,0314 -0,0694 -0,0321 -0,0274 -0,0271 -0,0284 0,00420215 Mar-07 -0,0452 -0,1432 -0,0510 0,0128 -0,0025 -0,0366 0,0070 0,00410616 Apr-07 -0,0155 0,0566 -0,0155 0,0415 0,0188 0,0165 0,0558 0,00401017 May-07 0,0356 0,0320 0,0484 0,0193 0,0366 0,0317 0,0423 0,00385918 Jun-07 -0,0021 0,0021 -0,0273 0,0185 0,1218 0,0117 -0,0162 0,00392319 Jul-07 0,1238 -0,0546 -0,0409 0,0125 -0,1016 0,0176 -0,0148 0,00404220 Aug-07 -0,0116 -0,0407 -0,0024 0,0028 -0,0858 -0,0141 0,0110 0,00328221 Sep-07 -0,1121 0,0153 0,0891 0,0631 0,0835 0,0140 0,0395 0,00312922 Oct-07 0,4174 -0,0091 0,0139 -0,0058 0,0438 0,1298 0,0025 0,00322523 Nov-07 -0,0856 -0,2928 -0,1626 -0,0723 -0,1664 -0,1177 -0,0409 0,00258824 Dec-07 0,0373 -0,2634 0,0044 -0,0324 -0,1097 -0,0239 -0,0080 0,00276625 Jan-08 0,2016 0,0119 -0,3327 -0,0472 -0,0135 0,0283 -0,0474 0,00161926 Feb-08 0,0172 -0,0514 -0,1428 -0,0648 -0,0167 -0,0302 -0,0308 0,00152927 Mar-08 -0,1860 -0,2022 -0,0696 0,1104 -0,1324 -0,0742 -0,0003 0,00115128 Apr-08 -0,1178 0,0118 0,0686 -0,1238 0,3675 -0,0597 0,0444 0,00118429 May-08 0,0423 0,1435 -0,0653 -0,0625 -0,1945 -0,0156 -0,0143 0,00155330 Jun-08 0,1216 -0,1656 -0,2399 -0,1406 -0,3462 -0,0418 -0,1075 0,00157031 Jul-08 -0,0717 -0,3256 0,1631 0,0582 -0,0021 -0,0211 0,0025 0,00138932 Aug-08 -0,1984 0,4015 0,0864 -0,0067 -0,0735 -0,0618 0,0144 0,00142233 Sep-08 0,0563 -0,1807 -0,2771 -0,0971 0,1535 -0,0389 -0,0619 0,00075534 Oct-08 -0,4797 -0,4055 -0,2849 -0,2678 -0,8648 -0,4038 -0,1515 0,00037435 Nov-08 0,2589 -0,3941 -0,2199 -0,1278 0,2056 0,0490 -0,0547 0,00000836 Dec-08 0,2216 -0,0886 0,0275 -0,0582 -0,1610 0,0995 -0,0060 0,000092

E(Ri) 0,0077 -0,0736 -0,0453 -0,0214 -0,0338 -0,0193 -0,0056 0,002880

50

Radi ilustracije prikazujemo ocenjeni model oblika (17) za prvo sredstvo, dakle model s jednim indeksom bez uzimanja u obzir nerizične stope je:

Kao što se vidi u prvom dole ocenjenom modelu, s uvedenom nerizičnom stopom u odnosu na gornji

model, koeficijenti se razlikuju, pošto je računato s promenljivom tržišnom stopom.

Modeli ocenjeni na osnovu odstupanja od nerizične stope, oblika (18) glase:

Kod prvog sredstva nije ustanovljena značajna veza sa tržišnom stopom prinosa iznad nerizične stope,

dok je kod ostalih koeficijent determinacije uobičajene veličine13. Sve ocenjene vrednosti su

pozitivne, što znači da sva sredstva prate tržišna kretanja. Istovremeno, sem kod prvog modela, t-test pokazuje visoku statističku značajnost ocene koefcijenta , odnosno odbacuje se nulta hipoteza

. Dole će biti detaljno objašnjen postupak ocenjivanja i testiranja parametara za 3. model, a

ovde ćemo posebno prikazati testiranje hipoteze , o vrednosti parametra za model koji se

odnosi na treće sredstvo i na formirani portfolio.

, odnosno rizik greške je

,

Prihvata se alternativna hipoteza da je parametar trećeg sredstva značajno različita od 1 i prihvata se nulta hipoteza da parametar portfolija ne odstupa značajno od prosečnog tržišnog parametra. Pretpostavimo da gore prikazani portfolio predstavlja neki zajednički fond. Ocenjeni parametar

je negativan, međutim i p=0,311, dakle prihvata se nulta hipoteza da se ovaj parametar ne razlikuje značajno od nule, odnosno menadžer ovog fonda niti premašuje (kada bi bio značajno veći od nule) niti podbacuje (kada bi bio značajno manji od nule) tržište nakon eliminisanja tržišnog rizika. Na sledećim slikama su prikazani dijagrami rasturanja i regresione prave,

tako da je na horizontalnoj osi a na vertikalnoj .

13 Za pojedinčane akcije najčešće se dobija vrednost koeficijenta detrerminacije između 15% i 65%. Na osnovu: S.T. Rachev et al., Financial Econometrics, Wiley, Hoboken, 2007

51

Sl. 3.1. Relacija Rt1-Rtf sa Rtm-Rtf Sl. 3.2. Relacija Rt2-Rtf sa Rtm-Rtf

Sl. 3.3. Relacija Rt3-Rtf sa Rtm-Rtf Sl. 3.4. Relacija Rt4-Rtf sa Rtm-Rtf

Sl. 3.5. Relacija Rt5-Rtf sa Rtm-Rtf Sl. 3.6. Relacija Rtp-Rtf sa Rtm-Rtf

PRILOG 3.6. Izračunavanje osnovnih statističkih pokazatelja za treći model

52

Tabela 6.

t1 0,0016 0,0100 0,000100 0,000016 -0,0091 0,0107 0,0001152 -0,0632 0,0080 0,000064 -0,000505 -0,0134 -0,0498 0,0024843 0,0644 0,0067 0,000045 0,000432 -0,0161 0,0805 0,0064744 -0,0744 0,0191 0,000363 -0,001418 0,0101 -0,0845 0,0071425 -0,0162 -0,0216 0,000467 0,000350 -0,0761 0,0598 0,0035826 -0,0497 -0,0057 0,000032 0,000283 -0,0423 -0,0073 0,0000547 0,1176 -0,0010 0,000001 -0,000115 -0,0323 0,1500 0,0224988 0,0228 0,0132 0,000175 0,000301 -0,0023 0,0250 0,0006279 0,0630 0,0219 0,000478 0,001377 0,0160 0,0470 0,002207

10 -0,0849 0,0297 0,000881 -0,002520 0,0326 -0,1175 0,01381211 -0,0435 0,0075 0,000057 -0,000327 -0,0143 -0,0291 0,00084812 -0,0795 0,0155 0,000239 -0,001228 0,0025 -0,0820 0,00671713 -0,0393 0,0085 0,000072 -0,000333 -0,0123 -0,0270 0,00072814 -0,0736 -0,0326 0,001061 0,002396 -0,0993 0,0257 0,00066215 -0,0551 0,0029 0,000008 -0,000157 -0,0242 -0,0308 0,00095116 -0,0195 0,0518 0,002679 -0,001008 0,0794 -0,0989 0,00977617 0,0446 0,0385 0,001480 0,001715 0,0512 -0,0067 0,00004418 -0,0312 -0,0201 0,000405 0,000628 -0,0729 0,0417 0,00173819 -0,0450 -0,0188 0,000354 0,000846 -0,0701 0,0252 0,00063320 -0,0056 0,0077 0,000059 -0,000043 -0,0140 0,0083 0,00007021 0,0860 0,0363 0,001321 0,003126 0,0468 0,0392 0,00154022 0,0107 -0,0008 0,000001 -0,000008 -0,0319 0,0426 0,00181323 -0,1652 -0,0435 0,001891 0,007185 -0,1224 -0,0428 0,00182924 0,0016 -0,0108 0,000116 -0,000017 -0,0531 0,0547 0,00299725 -0,3344 -0,0490 0,002406 0,016400 -0,1342 -0,2002 0,04006126 -0,1443 -0,0324 0,001047 0,004668 -0,0988 -0,0455 0,00206827 -0,0707 -0,0014 0,000002 0,000102 -0,0333 -0,0374 0,00139928 0,0674 0,0433 0,001871 0,002914 0,0614 0,0060 0,00003629 -0,0669 -0,0158 0,000251 0,001059 -0,0638 -0,0031 0,00000930 -0,2415 -0,1091 0,011899 0,026340 -0,2614 0,0200 0,00039831 0,1617 0,0011 0,000001 0,000174 -0,0280 0,1897 0,03597432 0,0850 0,0130 0,000170 0,001107 -0,0027 0,0877 0,00769033 -0,2779 -0,0627 0,003926 0,017411 -0,1630 -0,1148 0,01318834 -0,2853 -0,1519 0,023074 0,043331 -0,3521 0,0669 0,00447435 -0,2199 -0,0547 0,002988 0,012020 -0,1461 -0,0738 0,00544636 0,0274 -0,0061 0,000037 -0,000166 -0,0431 0,0705 0,004972

Suma -1,7328 -0,3035 0,060018 0,136336 -1,7328 0,0000 0,205009

-0,0481 -0,0084

Ocenjuje se model: ili, zbog jednostavnosti označavanja:

53

Ocenjivanje po metodu običnih najmanjih kvadrata:

Ocenjeni model glasi: . Ako je prosečna tržišta stopa na nivou 0, tada je teoretska vrednost stope prinosa trećeg sredstva -0,030273 (odnosno negativna stopa od 3,0273%). Za svaki 1% porasta prosečne tržišne stope, stopa prinosa trećeg sredstva raste u proseku za 2,118967 procentnih poena. Zamenom vrednosti u ocenjenu jednačinu, dobija se niz ocenjenih

vrednosti , a niz reziduala je , kako je prikazano u gornjoj tabeli.

Zbirevi originalnih i ocenjenih vrednosti zavisne promenljive su međusobno jednaki:

, iz čega sledi da je zbir reziduala jednak nuli: . Zbir kvadrata

reziduala iznosi: . Nepristrasna ocena varijanse greške modela je:

, a devijacija .

Standardne greške ocenjenih parametara su:

i

.

Testiranje statističke značajnosti parametara:

i .

Kritična vrednost t-rasporeda uz broj stepeni slobode n-k=36-2=34 uz verovatnoću 95% iznosi

t=2,032. Pošto se izračunate statistike za i nalaze van područja prihvatanja nulte hipoteze,

odbacuje se nulta hipoteza i zaključuje da se parametri značajno razlikuju od nule.

54

Slika 3. Dijagram t-rasporeda

Koeficijent determinacije je:

Znači da je 55,71% varijacija stopa prinosa trećeg sredstva u navedenom periodu objašnjeno varijacijama prosečne tržišne stope, a preostali deo od 44,29% je posledica modelom neobuhvaćenih faktora.

3.4.6.1. TREYNOR-OV INDEKSTreynor-ov indeks je mera dodatne stope prinosa iznad nerizične stope u odnosu na sistematski rizik izražen koficijentom beta. Ovaj indeks ne pokazuje dodatnu vrednost, nego služi za rangiranje sub-portfolija u okviru šireg portfolija. Traynor-ov indeks pravi razliku između ukupnog i sistematskog (tržišnog) rizika, pod pretpostavkom da je portfolio adekvatno diverzifikovan. Veća vrednost indeksa ukazuje na bolje performanse sub-portfolija. Računa se po obrascu:

(21)

odnosno (22)

Portfolio i može da nadmaši tržište ako je Ti >

3.4.6.1. Sharpe-ov indeks nasuprot Traynor-ovom indeksu

Definicija rizika određuje koji od ova dva indeksa ima prednost u upotrebi, s obzirom na činjenicu da su različite mere rizika korišćene kod ova dva indeksa. U slučaju da investitor uključi sva sredstva u portfolio, bolje odluke o performansama pojedinačnih sredstava i formiranog portfolija daje Sharpe-ov indeks zbog uključenosti ukupnog rizika. Ako se investitor odluči da ukupni portfolio čini samo deo

55

od pretpostavljenog broja sredstava, tada se kao mera performanse koristi Traynor-ov indeks koji uključuje samo tržišni rizik. Redosled rangiranja sredstava investiranja ili portfolija kod Sharpe-ovog u odnosu na Traynor-ov indeks može biti:

- isti, ako je portfolio savršeno diverzifikovan ili- različit, ako portfolio nije adekvatno diferzifikovan.

U drugom slučaju, a kako je gore navedeno, Traynor-ov indeks pokazuje tačniji redosled rangiranja.Kako ćemo znati da li je portfolio savršeno diverzifikovan? Upotrebom koeficijenta determinacije iz regresione analize, gde se prinos portfolija regresira sa prinosom tržišta, određujemo stepen diverzifikacije posmatranog portfolija. Kod savršeno diverzifikovanih portfolija koeficijent deteminacije će težiti vrednosti 1.

PRIMER 3.7.Neka je formiran subportfolio 1. koji sadrži prvo, drugo i treće sredstvo, i subportfolio 2. koji sadrži četvrto i peto sredstvo. Sledeća tabela prikazuje prosečne stope prinosa iznad nerizične stope za ova subportfolija, za portfolio i za prosek tržišta.

Tabela 7. Treynor-ov i Sharpe-ov indeks

Sredstvo

Subportfolio 1. -0,01738 8,98% 0,8374 -0,0208 0,1118 -0,1555Subportfolio 2. -0,02329 66,65% 1,5178 -0,0154 0,0750 -0,3105Portfolio -0,01928 27,31% 1,0983 -0,0176 0,0839 -0,2298

Tržište -0,00843 100,00% 1,0000 -0,0084 0,0400 -0,2108

Niti jedan od subportfolija kao ni ukupni portfolio ne nadmašuju tržište, pošto su vrednosti Treynor-ovog indeksa ispod prosečnog tržišnog pokazatelja. U okviru portfolija, drugi portfolio pokazuje bolje performanse, pošto je . Koeficijnent determinacije ukazuje na bolju diverzifikovanost drugog subportfolija u odnosu na prvi. Prema Sharpe-ovom indeksu prvi portfolio ima bolje performanse:

; razlika u rangiranju po ova dva indeksa je posledica nesavršene diverzifikacije portfolija.

3.4.7. TRŽIŠNA LINIJA HARTIJA OD VREDNOSTI14 - SML

Tržišna linija sredstava predstavlja pravu koja odražava prosečnu tržišnu relaciju rizika i stope prinosa

i čija je jednačina , gde je teorijska (očekivana) tržišna

prosečna stopa prinosa i-tog sredstva koja bi važila uz dati pokazatelj rizika . Grafik ove funkcije

14 U literaturi poznata kao SML: Security Market Line

56

u koordinatnom sistemu, čija je horizontalna osa a vertikalna osa R, jeste prava čiji je presek sa

ordinatnom osom jednaka sa nerizičnom stopom Rf, a nagib je dat izrazom . Za

konstrukciju je dovoljno uzeti dve tačke, jedna je , a druga .

PRIMER 3.8.Prema podacima iz primera 3.4. dato je: i . Jednačina SML glasi

. Grafik SML je prikazan na sledećoj slici.

Slika 6. Tržišna linija sredstava - SML

3.4.8. MODEL VREDNOVANJA KAPITALA - CAPM15

Model vrednovanja kapitala - CAPM se izvodi iz tržišne linije sredstava i glasi:

(21)

Zamenom vrednosti ocenjene iz modela karakteristične linije sredstva (relacija 17) dobija se

teorijska stopa prinosa sredstva koja bi bila u skladu sa prosečnom tržišnom relacijom rizik/prinos, a to je tačka koja se nalazi na liniji SML. Ako se na grafikonu tržišne linije sredstava tačkom prikaže par podataka čija je apscisa ocenjena vrednost beta koeficijenta datog sredstva, a

ordinata očekivana vrednost prinosa: , tada dobijena tačka može biti na tržišnoj liniji

sredstava (tada je sredstvo ispravno vrednovano), iznad linije (tada je sredstvo precenjeno i za dati

15 U literaturi poznata kao CAPM: Capital Asset Pricing Model

57

rizik nosi veći prinos nego što to prosečna tržišna kretanja obezbeđuju) ili ispod linije (tada je sredstvo potcenjeno). U slučaju precenjenih sredstava investitori će vremenom početi da ih kupuju, povećavajući time njihovu tražnju, a samim tim i tržišnu cenu, što će dovesti do smanjenja očekivanih prinosa ovih sredstava. Prema tome, sredstva će se nakon određenog vremenskog perioda spustiti na liniju SML. S druge strane, potcenjena sredstva ne pružaju odgovarajući nivo očekivanog prinosa za preuzeti sistemski rizik, pa će to dovesti do suprotne radnje od gore navedenih precenjenih sredstava. Investitori će prestati da kupuju ovakva sredstva, smanjujući time njihovu tražnju praćenu smanjenjem tržišne cene, što u krajnoj liniju dovodi do porasta očekivane stope prinosa na sredstva, odnosno pomeranje na gore ka SML liniji.

PRIMER 3.9.

Slika 7. Tržišna linija sredstava, tačke (beta, prinos) za tri sredstvai određivanje očekivane tržišne stope za prvo sredstvo

Na slici 7. su predstavljene tri tačke za tri sredstva (0,355;2,2582), (0,373;2,1626) i (-0,073;1,0768). Prvo i drugo sredstvo su precenjene , dok je treće potcenjeno. Spuštanjem normale iz date tačke do tržišne linije sredstava i povlačenjem horizontale do vertikalne ose, može se očitati poželjna stopa prinosa za dato sredstvo koja odgovara riziku iskazanom koeficijentom beta za to sredstvo. Na slici je ovo prikazano za prvo sredstvo. Poželjna stopa za prvo sredstvo na osnovu relacije (21) CAPM modela dobija se kao .

Diskontovanjem budućih očekivanih prinosa (novčanih tokova) prema poželjnoj stopi dobija se ispravno vrednovana sadašnja vrednost sredstva. Ako je poznata najverovatnija vrednost sredstva na kraju nekog perioda, tada se diskontovanjem po stopi dobija ispravna vrednost; ako je tekuća aktualna vrednost različita od izračunate zbog tržišnih okolnosti, ona će biti vraćena na

58

ispravnu vrednost. Diskontovanje kasnije vrednosti na raniju vrednost za h vremenskih jedinica po kontinuelnoj stopi R se vrši obrascem:

(22)

PRIMER 3.10.U našem primeru neka je tekuća aktuelna cena prvog sredstva, za koje smo ustanovili da je neispravno vrednovano (precenjeno), . Neka je, dalje, predviđena cena sredstva nakon četiri meseca

. Diskontovanjem se dobija ispravna sadašnja cena prema modelu CAPM:

3.4.8.1. Pretpostavke i nedostaci CAPM

Pretpostavke primene CAPM su:- cilj investitora je maksimiranje korisnosti- investitori su racionalni i odbojni prema riziku- investitori ne mogu da utiču na cene- investitori mogu neograničeno uzimati i davati zajam uz nerizičnu stopu- sva sredstva (i hartije od vrednosti) se mogu deliti na male delove- ne postoje transakcioni troškovi

Nedostaci CAPM se ogledaju u sledećem:- pretpostavlja se da stope prinosa imaju zajedničku normalnu distribuciju- pretpostavlja se da je varijansa (ili devijacija) adekvatna mera rizika- model ne objašnjava u dovoljnoj meri varijacije prinosa- pretpostavlja se da za datu stopu prinosa preferira niži tržišni rizik, odnosno za dati rizik

preferira viša stopa prinosa- pretpostavlja se homogenost očekivanja investitora

3.4.9. ARBITRAŽNA TEORIJA VREDNOVANJA16 - APT

U arbitražnoj teoriji vrednovanja se pretpostavlja da je očekivana vrednost stope prinosa nekog finansijskog sredstva funkcija različitih makroekonomskih faktora ili teorijskih tržišnih pokazatelja. Osetljivost stope prinosa sredstva na pojedine faktore izražava se beta koeficijentima.

U arbitražnoj teoriji vrednovanja primenjuju se dva tipa modela: prema prvom, koeficijenti se ocenjuju na osnovu podataka vremenskih serija, a po drugom, prema podacima uporednih preseka.

16 U literaturi poznata kao APT: Arbitrage Pricing Theory, Ross, 1976

59

Kada je data vremenska serija podataka, tada se u prvom koraku ocenjuje model:

(23)

gde je stopa prinosa i-tog sredstva a stopa promene j-tog faktora, kojih ima ukupno m.

U drugom koraku se metodom maksimalne verodostojnosti simultano rešava sistem od tri matrične jednačine za dobijanje egzaktnog vrednovanja iz modela sa restrikcijom, čime se određuju nepoznate vrednosti i :

(24)

tako da je , a označava premiju za preuzimanje rizika.

Faktori koji se uključuju u APT model su npr. kratkoročne i dugoročne kamatne stope, stopa inflacije, stopa rasta industrijske proizvodnje, stopa rasta GDP, stopa rasta agregatne potrošnje, berzanski indeksi, cena nafte, cena zlata i drugih plemenitih metala, kurs deviza itd.

PRIMER 3.11.U sledećoj tabeli dati su mesečni podaci u periodu decembar 2005. - decembar 2008. za kretanje indeksa Beogradske berze BELEXsentiment17 (Yt1) i BELEXline18 (Yt2), bazne indekse industrijske proizvodnje u Srbiji 2007=100 (Xt1), kamatne stope na plasmane banaka na godišnjem nivou u % (Xt2) i vrednosti EUR-a u odnosu na dinar (Xt3).

Tabela 8. Podaci za modeliranjeMesec God. t Yt1 Yt2 Xt1 Xt2 Xt3 Rt1 Rt2 Ft1 Ft2 Ft3

Dec. 2005 0 136,88 1954,35 105,0 14,41 85,50 - - - - -Jan. 2006 1 129,25 1957,05 77,9 16,15 87,12 -0,0574 0.0014 -0,2985 0,1140 0,0188Feb. 2 129,64 2052,13 87,0 17,73 87,52 0,0030 0.0474 0,1105 0,0933 0,0046Mart 3 144,00 2106,98 98,2 16,02 86,90 0,1051 0.0264 0,1211 -0,1014 -0,0071Apr. 4 145,00 2,057.45 90,5 16,88 86,35 0,0069 -0.0238 -0,0817 0,0523 -0,0063Maj 5 122,14 2,134.11 95,4 16,43 87,64 -0,1716 0.0366 0,0527 -0,0270 0,0148Jun 6 106,50 2,036.44 96,1 17,30 86,00 -0,1370 -0.0468 0,0073 0,0516 -0,0189Jul 7 87,50 2,157.31 94,0 16,70 83,00 -0,1965 0.0577 -0,0221 -0,0353 -0,0355Avg. 8 127,69 2,241.60 93,1 16,43 84,60 0,3780 0.0383 -0,0096 -0,0163 0,0191Sept. 9 150,00 2,341.51 99,1 18,15 82,00 0,1610 0.0436 0,0625 0,0996 -0,0312Okt. 10 154,00 2,388.46 107,5 17,79 79,92 0,0263 0.0199 0,0814 -0,0200 -0,0257Nov. 11 147,86 2,435.12 108,1 17,86 78,65 -0,0407 0.0193 0,0056 0,0039 -0,0160Dec. 12 140,96 2,658.16 110,2 15,88 79,00 -0,0478 0.0876 0,0192 -0,1175 0,0044Jan. 2007 13 122,73 3,013.39 87,6 15,08 79,00 -0,1385 0.1254 -0,2295 -0,0517 0,0000Feb. 14 136,25 3,290.01 87,2 15,77 79,99 0,1045 0.0878 -0,0046 0,0447 0,0125Mart 15 126,43 4,220.42 100,9 12,95 81,57 -0,0748 0.2490 0,1459 -0,1970 0,0196

17 BELEXsentiment je pokazatelj očekivanja tržišnih učesnika u pogledu razvoja trenda tržišnih kretanja na beogradskoj berzi u narednom mesecu18 BELEXline je opšti indeks performansi akcija kojima se trguje na redovnoj osnovi na Beogradskoj berzi

60

Apr. 16 139,90 4,966.73 96,5 13,01 80,73 0,1012 0.1628 -0,0446 0,0046 -0,0104Maj 17 121,00 4,604.36 100,1 11,78 81,21 -0,1451 -0.0758 0,0366 -0,0993 0,0059Jun 18 97,00 4,456.21 101,4 12,33 79,03 -0,2211 -0.0327 0,0129 0,0456 -0,0272Jul 19 106,25 4,536.01 98,2 11,52 79,53 0,0911 0.0177 -0,0321 -0,0680 0,0063Avg. 20 140,00 4,540.08 99,8 11,26 79,89 0,2758 0.0009 0,0162 -0,0228 0,0045Sept. 21 151,25 4,430.94 99,7 11,79 78,86 0,0773 -0.0243 -0,0010 0,0460 -0,0130Okt. 22 130,71 4,131.16 112,5 11,39 77,24 -0,1460 -0.0701 0,1208 -0,0345 -0,0208Nov. 23 82,50 3,736.48 105,7 11,38 84,75 -0,4602 -0.1004 -0,0623 -0,0009 0,0928Dec. 24 86,43 3,830.84 110,4 11,13 79,24 0,0465 0.0249 0,0435 -0,0222 -0,0672Jan. 2008 25 89,32 3,629.77 91,0 11,29 82,77 0,0329 -0.0539 -0,1933 0,0143 0,0436Feb. 26 70,00 3,498.76 97,8 12,82 83,46 -0,2437 -0.0368 0,0721 0,1271 0,0083Mart 27 93,08 3,067.75 103,6 14,59 82,31 0,2850 -0.1315 0,0576 0,1293 -0,0139Apr. 28 66,25 2,823.02 99,5 16,36 80,13 -0,3400 -0.0831 -0,0404 0,1145 -0,0268Maj 29 100,00 3,092.43 102,2 16,34 82,43 0,4117 0.0911 0,0268 -0,0012 0,0283Jun 30 116,25 3,092.44 103,3 16,93 78,98 0,1506 0.0000 0,0107 0,0355 -0,0428Jul 31 117,86 2,689.86 103,5 16,47 76,99 0,0138 -0.1395 0,0019 -0,0275 -0,0255Avg. 32 103,75 2,474.56 95,5 16,61 76,44 -0,1275 -0.0834 -0,0804 0,0085 -0,0072Sept. 33 85,00 1,941.76 102,5 17,35 76,60 -0,1993 -0.2425 0,0707 0,0436 0,0021Okt. 34 69,00 1,402.91 108,8 17,02 84,99 -0,2085 -0.3250 0,0596 -0,0192 0,1039Nov. 35 47,29 1,208.76 102,6 19,63 89,20 -0,3778 -0.1490 -0,0587 0,1427 0,0483Dec. 36 55,00 1,198.34 100,5 14,41 88,60 0,1510 -0.0087 -0,0207 -0,0806 -0,0067Izvori: www.nbs.sr, www.belex.org, mart 2009.

U prvom koraku su analizirane veze između nivoa pojava19. Matrica koeficijenata korelacija je:

Y1 Y2 X1 X2 X3

Y1 1,0000 0,2414 -0,1563 -0,0520 -0,2487

Y2 0,2414 1,0000 0,1451 -0,8904 -0,5287

X1 -0,1563 0,1451 1,0000 -0,1324 -0,3697

X2 -0,0520 -0,8904 -0,1324 1,0000 0,3448

X3 -0,2487 -0,5287 -0,3697 0,3448 1,0000

Iz podataka tabele prozilazi da je veza između Y2 i X2 negativna jaka, a veza između Y2 i X3 negativna srednja. Isto tako postoji veza srednje jačine između faktora X1 sa X3 i X2 sa X3.

Model 1.

Y1 = 460.8241375 - 1.135135226*X1 + 0.4235934039*X2 - 2.95776302*X3Zavisna promenljiva: Y1

Metod: Obični najmanji kvadrati

Uzorak: 2006:01 2008:12

Broj osmatranja: 36

Varijabla Parametar Stand. greška t-statistika Verovatnoća

C 460,82414 156,63618 2,94200 0,00602

19 Analiza i ocenjivanje su vršeni korišćenjem ekonometrijskog programskog paketa EViews

61

X1 -1,13514 0,69924 -1,62339 0,11432

X2 0,42359 2,02553 0,20913 0,83567

X3 -2,95776 1,50422 -1,96631 0,05799

Koeficijent determinacije 0,13441 Srednja vred. zavisne promenljive 112,16083

Korigovani koeficijent determinacije 0,05326 Devijacija zavisne promenljive 29,40786

Standardna greška regresije 28,61407 Akaike-ov informacioni kriterijum 9,65011

Zbir kvadrata reziduala 26200,47938 Schwarz-ov kriterijum 9,82606

Logaritam funkcije verodostojnosti -169,70204 F-statistika 1,65627

Durbin-Watson statistika 0,63333 Verovatnoća za F-statistiku 0,19602

Model 2.

Y2 = 15320.0857 - 8.852029383*X1 - 331.2149657*X2 - 78.7691926*X3Zavisna promenljiva: Y2


Uzorak: 2006:01 2008:12

Broj osmatranja: 36


C 15320,0857 2307,7289 6,6386 0,0000

X1 -8,8520 10,3019 -0,8593 0,3966

X2 -331,2150 29,8423 -11,0988 0,0000

X3 -78,7692 22,1617 -3,5543 0,0012

Koeficijent determinacije 0,8520 Srednja vred. zavisne promenljive 2956,7586


Standardna greška regresije 421,5726 Akaike informacioni kriterijum 15,0303

Zbir kvadrata reziduala 5687149,2820 Schwarz kriterijum 15,2062

Logaritam funkcije verodostojnosti -266,5454 F-statistika 61,4206


Polazni pokazatelji su preračunati na kontinuelne stope rasta za period januar 2006. – decembar 2008.:

,

Veze između stopa rasta daju sledeće rezultate:

Matrica koeficijenata korelacija je:

R1 R2 F1 F2 F3

R1 1,0000 0,2414 -0,1563 -0,0520 -0,2487

62

R2 0,2414 1,0000 0,1451 -0,8904 -0,5287

F1 -0,1563 0,1451 1,0000 -0,1324 -0,3697

F2 -0,0520 -0,8904 -0,1324 1,0000 0,3448

F3 -0,2487 -0,5287 -0,3697 0,3448 1,0000

Model 3.

R1 = -0.02166266479 + 0.08471819623*F1 - 0.3200115469*F2 - 1.54601961*F3Zavisna promenljiva: R1


Uzorak: 2006:01 2008:12

Broj osmatranja: 36


C -0,0217 0,0336 -0,6455 0,5232

F1 0,0847 0,3813 0,2222 0,8256

F2 -0,3200 0,4577 -0,6991 0,4895

F3 -1,5460 1,0338 -1,4955 0,1446

Koeficijent determinacije 0,0862 Srednja vred. zavisne promenljive -0,0253


Standardna greška regresije 0,2005 Akaike informacioni kriterijum -0,2716

Zbir kvadrata reziduala 1,2864 Schwarz kriterijum -0,0956

Logaritam funkcije verodostojnosti 8,8880 F-statistika 1,0056


Pošto promenljiva F1 predstavlja očekivanja o kretanjima na berzi za naredni mesec, u model su uključeni regresori s docnjom, da bi se istražilo sa koliko meseci kašnjenja se neke informacije o privrednim kretanjima efektuiraju u formiranju očekivanja. Na osnovu minimuma informacionih kriterijuma, dobijen je model:

Model 4.R1 = -0,0239 – 0,9738*F1(-2) + 0,9938*F2(-3) – 1,6172*F3, R2=0,1916, AIC (Akaike i.k.)=-0,3008t: -1,90 1,80 -1,60 p(F)=0,0991, DW=2,3646

Svi znaci su u skladu sa znacima koeficijenata korelacije.

Model 5.R2 = -0.008872075035 - 0.2032242113*F1 - 0.6046680132*F2 - 1.144361433*F3

Zavisna promenljiva: R2


Uzorak: 2006:01 2008:12

Broj osmatranja: 36


63

C -0,0089 0,0159 -0,5564 0,5818

F1 -0,2032 0,1812 -1,1216 0,2704

F2 -0,6047 0,2175 -2,7802 0,0090

F3 -1,1444 0,4912 -2,3298 0,0263







Pošto parametar uz F1 nije statistički značajan, izostavlja se iz modela

Model 6.R2 = -0.009104258422 - 0.5457037946*F2 - 1.037759522*F3

Zavisna promenljiva: R2


Uzorak: 2006:01 2008:12

Broj osmatranja: 36


C -0,0091 0,0160 -0,5688 0.5733

F2 -0,5457 0,2119 -2,5757 0.0147

F3 -1,0378 0,4838 -2,1451 0.0394







Uvođenje regresora s docnjom nije dovelo do boljih rezultata. Izostavljanjem F1 došlo je do smanjenja vrednosti informacionih kriterijuma, što upućuje na opravdanost izostavljanja regresora. Oba ocenjena strukturna parametra uz F2 i F3 su statistički značajna. Parametri uz F2 i F3 imaju znak koji je u skladu sa vezom među varijablama, kako je dobijeno i u matrici koeficijenata korelacije. Zbog značajne pozitivne autokorelacije, na što upućuje vrednost DW-statistike < 2, primenjen je metod kvazi diferenci sa po iterativnim metodom ocenjenom vrednošću autokorelacionog koeficijenta

i dobijen je ocenjeni model:

Model 7.

WR2 = -0,00540 – 0,2661*WF2 – 0,5831*WF3, R2=0,1471, AIC =-2,0759t: -1,76 -1,81 p(F)=0,0784, DW=2,0678

64

gde W označava transformaciju: . Vrednost konstante za model bez

transformacije je .

3.5. POSTMODERNA PORTFOLIO TEORIJA20 (PMPT)

Postmoderna portfolio teorija predstavlja proširenje moderne portfolio teorije, odnosno moderna portfolio teorija je „simetrični slučaj“ postmoderne portfolio teorije. Postmoderna, slično modernoj portfolio teorji, predlaže kako racionalni investitori treba da koriste diverzifikaciju u cilju optimizacije portfolija i daje metode za određivanje cena rizičnih sredstava. Moderna portfolio teorija je ograničena pretpostavkama koje ne odražavaju u potpunosti stvarna kretanja na finansijskom tržištu, a to su, pre svega: da je varijansa portfolija korektna mera investicionog rizika i da stope prinosa svih sredstava prate normalan raspored. Simetričnost rasporeda znači da se uzimaju jednako rizičnim kako prebačaj, tako i podbačaj u odnosu na poželjnu stopu prinosa. Pored toga, pretpostavka o normalnom rasporedu znači i to da ako prevladaju prebačaji u odnosu na podbačaje, ili obratno, računski dobijena mera rizika će biti veća nego što u stvari ona jeste. Rezultati istraživanja finansijske i portfolio teorije kao i skoro neograničene mogućnosti računarske tehnike omogućili su razvijanje novih modela u okviru postmoderne portfolio teorije. Godine 1987. saradnici Istraživačkog instituta penzionog fonda Državnog univerziteta u San Francisku su razvili praktični matematički algoritam za modele PMPT koji se i danas koristi. Najpoznatiji alati PMPT su model rizika naniže, Sortino-ov indeks i asimetrija volatilnosti.

3.5.1. MODEL RIZIKA NANIŽE

Model rizika naniže, ili devijacija stope promene ispod ciljne veličine je dat izrazom:

(25)

gde je t godišnja ciljna stopa prinosa ili nominalni prihvatljivi prinos, r je slučajna promenljiva iz distribucije godišnjih prinosa i f(r) je lognormalna distribucija sa tri parametra. Postupak ocenjivanja ima sledeći tok: beleže se mesečne stope prinosa; osmatranjima se prilagođava odgovarajuća distribucija, po potrebi asimetrična; preračunavaju se mesečne u godišnje stope; vrši se primena integrala.

Devijacija stope prinosa ispod ciljne veličine može biti određena i iterativnim postupkom:1) oduzimanjem ciljne stope prinosa od slučajne promenljive iz godišnje distribucije prinosa r-t,

2)

20 U literaturi poznata kao PMPT: Postmodern Portfolio Theory

65

3) kvadrirati svaki periodičnu razliku prinosa i sumirati ih za sve periode osmatranja, odnosno odrediti sumu kvadrata odstupanja,4) podeliti sumu kvadrata odstupanja sa brojem perioda osmatranja, odnosno odrediti polu-varijansu i5) korenovati dobijenu polu-varijansu kako bi se odredila devijacija, odnosno rizik naniže.Kao što se iz navedenog može zaključiti, model rizika na niže uključuje u dalju analizu samo onaj deo rizika koji je od značaja za investitora.

3.5.2. SORTINO-OV INDEKS

Sortino-ov indeks služi za rangiranje rezultata ulaganja. Efikasnost ulaganja je tim veća, što je veća vrednost ovog indeksa. Računa se po obrascu, u kojem je jedna od ulaznih veličina pokazatelj rizika naniže:

(26)

Na osnovu podataka iz tabele 3. primera 3.4. možemo izračunati vrednosti Sortino-vog indeksa. Kao ciljna ili nominalno prihvatljiva vrednost prinosa uzet je prosečni tržišni prinos. Razlika između prinosa pojedinih sredstava i ciljnog prinosa uzima se u obzir samo ako je izračunata vrednost negativna. Nakon toga ove vrednosti se kvadriraju i kada se njihov zbir podeli brojem osmatranja, dobijamo polu-varijansu koja proizilazi iz iterativnog obračunskog postupka navedenog kod rizika na niže. Na kraju dobijamo vrednosti ocenjenog pokazatelja rizika na niže d za svako pojedinačno sredstvo.Rizik na niže se u Sortino-vom indeksu koristi kao imenilac tako da dobijamo sledeće vrednosti navedenog indeksa sa svako pojedinačno sredstvo:

Redosled efikasnosti ulaganja u ova tri sredstva pokazuju da je najbolje izvršiti ulaganje u prvo sredstvo, zatim u drugo, a da najgore investicione karakteristike pokazuje treće sredstvo. Redosled ulaganja je nepromenjen u odnosu na Sharpe-ov i Traynor-ov indeks.

Tabela 7. Obračun poluvarijanse i odgovarajuće devijacije

t Rt1 Rt2 Rt3 RtM (r-t)1 (r-t)2 (r-t)3 (r-t)12 (r-t)2

2 (r-t)32

1 1,967% 3,637% 1,143% 2,000% -0,033% 0,000% -0,857% 0,000% 0,000% 0,007%

2 0,647% 6,899% -2,299% 1,800% -1,153% 0,000% -4,099% 0,013% 0,000% 0,168%

3 3,175% -3,390% 3,429% 1,200% 0,000% -4,590% 0,000% 0,000% 0,211% 0,000%

4 6,649% 6,669% 1,117% 3,600% 0,000% 0,000% -2,483% 0,000% 0,000% 0,062%

5 -2,837% -3,279% 2,198% 1,800% -4,637% -5,079% 0,000% 0,215% 0,258% 0,000%

6 2,950% 3,279% 1,081% -2,100% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000%

7 1,729% 3,175% 1,070% 0,700% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000%

8 1,136% 3,077% 2,105% 1,300% -0,164% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000%

66

9 1,124% -3,077% -1,047% 1,800% -0,676% -4,877% -2,847% 0,005% 0,238% 0,081%

10 3,297% -3,175% 1,047% 2,200% 0,000% -5,375% -1,153% 0,000% 0,289% 0,013%

11 3,192% 6,252% 1,036% 2,400% 0,000% 0,000% -1,364% 0,000% 0,000% 0,019%

12 3,599% 5,884% 2,041% 2,200% 0,000% 0,000% -0,159% 0,000% 0,000% 0,000%

suma 26,629% 25,951% 12,921% 18,900% 0,233% 0,995% 0,350%

E(Ri) 2,258% 2,163% 1,077% 1,575%polu- varijansa

0,019% 0,083% 0,029%

d 0,139% 0,288% 0,171%

3.5.3. ASIMETRIJA VOLATILNOSTI21

Asimetrija volatilnosti (AV) je količnik ukupne varijanse iznad proseka i ukupne varijanse ispod proseka. Za simetričnu distribuciju je AV=1. Ako je AV>1, tada se radi o pozitivnoj asimetriji dok AV<1 znači negativnu asimetriju.

PRIMERProverimo vrednost AV u prethodnom primeru za prvo sredstvo! U tabeli 8. su prikazane: kolona vrednosti stopa prinosa Rt1, očekivana vrednost stope prinosa , kolona odstupanja

stopa od proseka , kolona pozitivnih vrednosti i negativnih

vrednosti , kao i njihovi kvadrati.

što znači da postoji negativna asimetrija u distribuciji stopa prinosa ovog sredstva, u vremenskoj seriji stopa: pretežu stope koje su ispod u odnosu na stope koje su iznad očekivane vrednosti.

Tabela 8. Obračun asimetrije volatilnostit Rt1

1 1,9673% -0,002910 0 0,000000 -0,002910 0,000008

2 0,6473% -0,016110 0 0,000000 -0,016110 0,000260

3 3,1749% 0,009166 0,009166 0,000084 0 0,000000

4 6,6490% 0,043907 0,043907 0,001928 0 0,000000

5 -2,3670% -0,046252 0 0,000000 -0,046252 0,002139

6 2,9501% 0,006918 0,006918 0,000048 0 0,000000

7 1,7291% -0,005291 0 0,000000 -0,005291 0,000028

8 1,1364% -0,011219 0 0,000000 -0,011219 0,000126

9 1,1236% -0,011346 0 0,000000 -0,011346 0,000129

10 3,2970% 0,010388 0,010388 0,000108 0 0,000000

21 Rom i Ferguson, 2001.

67

11 3,1918% 0,009335 0,009335 0,000087 0 0,000000

12 3,5994% 0,013411 0,013411 0,000180 0 0,000000

suma 27,0987% 0,000000 0,002435 0,002690

E(Ri) 2,2582%

3.6. RIZIKOVANA VREDNOST- VaR22

Originalno, metod rizikovane vrednosti je razvijen početkom 1990-ih godina u cilju merenja tržišnog rizika derivatnih instrumenata. Međutim, ovaj pristup je dalje razvijan i njegova upotreba je proširivana, tako da se sada može smatrati opštim metodom aktivne kontrole rizika i upravljanja i drugim tipovima rizika, kao što su npr. kreditni i operativni. Prednost pokazatelja rizikovane vrednosti u odnosu na druge mere je njegova kompaktnost, naime, jednim agregatnim numeričkim pokazateljem (koji uključuje u sebe i leveridž efekat23, korelacije i trenutnu poziciju portfolija), pokazuje najveći mogući gubitak kompanije u datom vremenskom periodu uz datu verovatnoću, pod normalnim tržišnim okolnostima24. Upotrebe pokazatelja rizikovane vrednosti su raznovrsne25, a mogu se klasifikovati na sledeće: pasivna (za izveštavanje o riziku u tekućim prometnim i investicionim aktivnostima sredstvima), odbrambena (za kontrolu rizika, pri čemu se formira zajednički pokazatelj kojima se upoređuju tekuće rizične aktivnosti na finansijskom tržištu) i aktivna (za upravljanje rizikom, pružajući podršku investitorima pri odlučivanju o trgovini finansijskim sredstvima, odnosno pri alokaciji kapitala, tako da se stvori bolji kvocijent prinosa prema riziku kompanije). Metodologija rizikovane vrednosti je prihvaćena od strane nejvećeg broja organizacija u svetu, kao što su finansijske i regulatorske institucije26, nefinansijske korporacije i institucionalni investitori.

Izračunavanje rizikovane vrednosti se može bazirati na različitim postupcima, koji se mogu grupisati u parametarske metode, metode istorijske simulacije i Monte Carlo metode.

22 VaR: Value-at-Risk23 Leveridž (leverage) ili poluga je odnos tuđeg i sopstvenog kapitala. Leveridž efekat kod derivata znači odnos između najveće stope prinosa jedne akcije prema stopi prinosa hartije od vrednosti koja je predmet ugovora.24 B. Schahter (An Irreverent Guide to Value at Risk, Financial Engineering News, vol. 1, No 1, August 1997) nudi tri ekvivalentne definicije VaR: (1) ocena datog percentila, obično na donjem kraju distribucije prinosa portfolija u nekom period, (2) ocena nivoa gubitka portfolija koji može biti ostvaren ili premašen s datom malom verovatnoćom i (3) broj koji su izmislili isporučioci čudotvornih sredstava protiv finansijskog rizika, da bi ubedili viši menadžment i regulatorna tela u laž, kako se tržišni rizik može adekvatno razumeti i kontrolisati.25 Na osnovu: P. Jorion, Value at Risk,26 Npr. Bazelski Komitet za kontrolu bankarskog poslovanja, regulatorske institucije Evropske Unije, Federalna rezervna banka SAD, Komisija za hartije od vrednosti i berze SAD i sl.

68

finekon 03 moderna i postmoderna

Documents