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EinperiodenmodellBinomialmodell

Black-Scholes-Formel

Finanz- und Risikomanagement II

Fakultät Grundlagen

März 2009

Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II



EinperiodenmodellMarktmodellBewertung von Derivaten

BinomialmodellBinomialbaumBewertungen im BinomialmodellAbhängigkeiten von Parametern

Black-Scholes-FormelModellbildungParameterabhängigkeitenHedging

Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 2



MarktmodellBewertung von Derivaten

Marktmodell

Ein Investor kann sein Geld sowohl in Aktien (risikoreiche Anlage),Anleihen oder Sparbuch (risikofreie Anlage), Forwards aufAktien und Optionen auf Aktien anlegen.

Wert der Aktie zum Zeitpunkt t: S(t)Wert der risikofreien Anlage zum Zeitpunkt t: A(t)Wert des Forwards zum Zeitpunkt t: F (t)Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t: C (t)Wert einer Put-Option zum Zeitpunkt t: P(t)Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t: V (t)

Für einen Investor, der z1 Aktien, z2 risikofreie Anlagen, z3Forwards, z4 Call-Optionen und z5 Put-Optionen besitzt, berechnetsich der Wert seines Portfolios zum Zeitpunkt t als

V (t) = z1 · S(t) + z2 · A(t) + z3 · F (t) + z4 · C (t) + z5 · P(t)





Einfaches Marktmodell

Wir betrachten zunächst nur zwei Anlagemöglichkeiten (Aktien, Anleihen) und zweiZeitpunkte t = 1 und t = 0 und machen dabei die folgenden Annahmen:

I Zufälligkeit: Der zukünftige Aktienkurs S(1) ist eine Zufallsvariable, diemindestens zwei verschieden Werte annehmen kann. Der zukünftige Wert derrisikofreien Anlage A(1) ist bekannt.

I Positivität: Alle Aktienkurse und alle Werte einer risikofreien Anlage sind immerpositiv.

I Liquidität und Short-Selling: Ein Investor kann jede beliebige (rationale,negative oder postive) Anzahl x von Aktien, y von risikofreien Anlagen besitzen,d. h. x , y ∈ IR wobeiI x > 0 : Aktienbesitz

I y > 0 : Geldanlage

I x < 0 : Aktienleerverkäufe

I y < 0 : KreditaufnahmeI Einheitlicher Zinssatz: Ein Investor kann für denselben Zinssatz Geld

aufnehmen und Geld anlegen.

I Es gibt keine Transaktionskosten.

I Es gilt das No-Arbitrage-Prinzip.





Bewertung eines Finanzderivats, z. B. Call-Option

Wie kann die Option auf den Kauf einer Aktie zu einem späterenZeitpunkt (t = 1) beim Optionskauf (t = 0) bewertet werden?

Trick: man konstruiert ein Ersatzportfolio aus hinterlegtem Gut(Aktie) und einer risikolosen Anlage (Anleihe).

Die Gewichte zwischen Aktie und Anleihe versucht man nun so zubestimmen, dass das Ersatzportfolio zum Zeitpunkt t = 1 sowohlim günstigen als auch im ungünstigen Fall dasselbe Resultat liefertwie das Derivat.

Das Finanzderivat und das Ersatzportfolio müssen nach demNo-Arbitrage-Prinzip dann auch zum Zeitpunkt t = 0 denselbenWert besitzen.

Der Wert des Ersatzportfolios zu diesem Zeitpunkt liefert dann denWert des Derivats zum Zeitpunkt t = 0.





Bewertung einer Call-Option; C (0)

Prinzip: V (t) = x · S(t) + y · A(t) = C (t) für t = 0, 1

C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K ; S(0) = S0;risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = q

Annahme: 2 Möglichkeiten für Aktienkurs bei t = 1; Sd < K < Su

S(1) =

{Su mit Wahrscheinlichkeit pSd mit Wahrscheinlichkeit 1− p

für 0 < p < 1

Fall Su : V (1) = x · Su + y · A(1) = C (1) = Su − K

Fall Sd : V (1) = x · Sd + y · A(1) = C (1) = 0

LGS für Gewichte x , y :

(Su q Su − K

Sd q 0

) x = Su − K

Su − Sd, y =

Sd · (K − Su)q · (Su − Sd )

C (0) = x · S0 + y = . . . =(Su − K )(q S0 − Sd )

q(Su − Sd )unabhängig von Wahrscheinlichkeit p!!





Bewertung einer Call-Option; C (0); Zahlenbeispiel

C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K = 100; S(0) = S0 = 100;

risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = 1.1

Annahme: zwei Möglichkeiten für Kurs der Aktie für t = 1

S(1) =

{120 mit Wahrscheinlichkeit p80 mit Wahrscheinlichkeit 1− p

für 0 < p < 1

Fall Su : V (1) = x · 120 + y · 1.1 = C (1) = 20Fall Sd : V (1) = x · 80 + y · 1.1 = C (1) = 0(120 1.1 2080 1.1 0

) x = 1

2 , y = −40011 ≈ −36.36

Optionspreis: C (0) = 12 · 100−

40011 = 150

11 ≈ 13.64

Das Äquivalenzportfolio besteht aus einer halben Aktie und einerKreditaufnahme in Höhe von e 36.36.





Bewertung einer Call-Option; C (0); Abhängigkeiten

C (0) =(Su − K ) · (q · S0 − Sd )

q · (Su − Sd )

Bei variablem Strike K liegen dieOptionsprämien bei diesem einfa-chen Modell auf einer Geraden.

Die Abhängigkeit von den übrigenParametern ist nichtlinear.

Die Optionsprämie C (0) steigt mitzunehmendem Zinssatz q.





Bewertung einer Call-Option; C (0); Abhängigkeiten

C (0) =(Su − K ) · (q · S0 − Sd )

q · (Su − Sd )

Die Optionsprämie C (0) steigt bei zunehmendem oberen Kurs Su;bei wachsendem Sd wird sie kleiner.





Umformulierung des Einperiodenmodells

S

S · u

S · d

��

�:

XXXXXXz

Aktie

Startwert S0 = S

Fall I Su = S · uFall II Sd = S · d

C

Cu

Cd

��

�:

XXXXXXz

Option

Startwert C (0) = C

Fall I C (1) = Cu = S ·u−KFall II C (1) = Cd = 0

Gewichte:x · (u · S) + y · q = Cux · (d · S) + y · q = Cd

x = Cu−Cd

S·(u−d)

y = u·Cd−d ·Cuq·(u−d)

Optionspreis zu Beginn: C =(q − d) · Cu + (u − q) · Cd

q · (u − d)

Problem: Bestimmung der Faktoren u und d !Antwort: Drift µ und Volatilität σ!




BinomialbaumBewertungen im BinomialmodellAbhängigkeiten von Parametern

Binomialbaum

k kk��

��1PPPPq

kkk

��1

PPPPq

��1

PPPPq kkkk

��1

PPPPq

��1

PPPPq

��1

PPPPq

. . .

. . .

. . .

. . .Der Baum eines n-PeriodenBinomialmodells entstehtdurch �Aneinandersetzen�der Bäume von Ein-Perioden Binomialmodellen.

I Simulation des Aktienkurses im BinomialmodellI In jedem Ein-Perioden-Modell kann der Optionspreis am

Anfang der Periode berechnet werden.I Optionspreise zum Ausübungszeitraum T können im

n-Periodenmodell aus dem Payo�-Pro�l bestimmt werden.I Der Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich durch

�Rückwärts rechnen� im Binomialbaum.





Binomialbaum; Zahlenbeispiel

Jahresdrift µ = 0.155; jährliche Volatilität σ = 0.4;Strike K = e 85; aktueller Kurs S = e 78; Zinssatz 3.35% p. a.Optionspreis für eine Call- bzw. Put-Option bei einemVerfallstermin in fünf Monaten mittels 5-Perioden-ModellI Periode entspricht einem Monat

I Umrechnung von Jahresdrift auf Monatsdrift

µjährlich = 0.155 µmonatlich = 0.15512≈ 0.012916

I Umrechnung von Jahresvolatilität in Monatsvolatilität

σjährlich = 0.4 σmonatlich = 0.4√12≈ 0.11547005

I Umrechnung von Jahreszins auf Monatszins

qjährlich = 1.0335 qmonatlich = 12√1.0335 ≈ 1.0027496985

I Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung

u = eµmonatlich+σmonatlich = e

0.15512

+ 0.4√12 ≈ 1.1369926160

d = eµmonatlich−σmonatlich = e

0.15512− 0.4√

12 ≈ 0.9025299649I EXCEL-Sheet binomial1.xls





Amerikanische Optionen im n-Perioden-Binomialmodell

Vorgehensweise:

I Simulation des Aktienkurses im Binomialmodell

I Berechnung des Optionspreises am Laufzeitende wie beieuropäischen Optionen

I Berechnung des Optionspreises an den restlichenKnotenpunkten als den gröÿeren der folgenden Werte:I Wert, der sich über das Binomialmodell für eine europäische

Option ergibtI die Auszahlung bei einer vorzeitigen Ausübung

I Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch�Rückwärts arbeiten� im Binomialbaum

Amerikanische Optionen sind immer mindestens soviel wert, wie dieentsprechenden europäischen Optionen.





Amerikanische Option; Zahlenbeispiel

Jahresdrift µ = 0; jährliche Volatilität σ = 0.4118;Strike K = e 13; aktueller Kurs S = e 11.69; Zinssatz 3.9 % p. a.Optionspreis für eine amerikanische Call- bzw. Put-Option beieinem Verfallstermin in sechs Wochen mittels 3-Perioden-ModellI Periode entspricht zwei Wochen

I Jahresdrift µ = 0 ergibt Periodendrift µ2-Wochen = 0I Umrechnung von Jahresvolatilität in Zwei-Wochen-Volatilität

σjährlich = 0.4118 σ2-Wochen = 0.4118√26≈ 0.080760624

I Umrechnung von Jahreszins auf Zwei-Wochen-Zins

qjährlich = 1.039 q2-Wochen = 26√1.039 ≈ 1.001472572

I Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung

u = eµ2-Wochen+σ2-Wochen = e

0.4118√26 ≈ 1.084111356

d = eµ2-Wochen−σ2-Wochen = e

− 0.4118√26 ≈ 0.922414468

I EXCEL-Sheet binomial2.xls





Abhängigkeiten

Faktoren, die den Wert einer Aktienoption beein�ussen:

I der aktuelle Kurs der zugrundeliegenden Aktie,

I der Strike-Preis der Option,

I die Laufzeit der Option,

I die Volatilität der zugrundeliegenden Aktie,

I der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oderaufgenommen werden kann,

I eventuelle Dividenden, die während der Laufzeit der Optionerwartet werden.

In diesem Abschnitt sollen die Auswirkungen auf den Optionspreisuntersucht werden, wenn sich einer dieser Faktoren ändert.





Qualitative Ein�üsse I

AuswirkungenI des derzeitigen Aktienkurses auf den Optionspreis:

I mit steigendem Aktienkurs steigt auch der Wert einer

Call-OptionI mit steigendem Aktienkurs fällt der Wert einer Put-Option

I des Strike-Preises auf den Optionspreis:I mit steigendem Strike-Preis fällt der Wert einer Call-OptionI mit steigendem Strike-Preis steigt der Wert einer Put-Option

I der Laufzeit der Option auf den Optionspreis:I mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen

Call-OptionI mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen

Put-Option

Bei europäischen Optionen ist hier keine Aussage möglich





Qualitative Ein�üsse II

AuswirkungenI der Volatilität auf den Optionspreis:

I mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer

Call-OptionI mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer

Put-Option

I des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis:I mit steigendem Zinssatz steigt der Wert einer Call-OptionI mit steigendem Zinssatz fällt der Wert einer Put-Option

I von Dividendenzahlungen auf den Optionspreis: Der Wert einerAktie wird nach einer Dividendenzahlung geringer, daher gilt:I mit zunehmenden Dividenden fällt der Wert einer Call-OptionI mit zunehmenden Dividenden steigt der Wert einer Put-Option





Schranken für Call- und Put-Optionen

Sei C at bzw. C e

t der Wert einer amerikanischen bzw. europäischenCall-Option zum Zeitpunkt t.Mit Pa

t bzw. Pet bezeichnen wir den Wert einer amerikanischen

bzw. europäischen Put-Option zum Zeitpunkt t.St ist der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t, K der Strike-Preis undT die Laufzeit der jeweiligen Option.Den risikolosen Zinsfaktor nennen wir q. Dann gilt immer:I C a

t ≥ C et und Pa

t ≥ Pet mehr Möglichkeiten!

I C et ≤ C a

t ≤ St und Pat ≤ K sofortige Ausübung!

I max(0, St − K ) ≤ C at und max(0,K − St) ≤ Pa

t

I max(0, St − KqT−t

) ≤ C et und max(0, K

qT−t− St) ≤ Pe

t

I Pet ≤ K

qT−t





Put-Call-Paritäten für dividendenlose Aktien

C et − Pe

t = St − KqT−t

Beweis mit No-Arbitrage-Prinzip für die beiden Portfolios

VI (t) = C et + K

qT−t; VII (t) = Pe

t + St ; Vergleich für t = T

VI (T ) = C eT + K =

{(ST − K ) + K für ST ≥ K

K für ST < K

VII (T ) = PeT + ST =

{ST für ST ≥ K

(K − ST ) + ST für ST < K

Für amerikanische Optionen ergeben sich nur die Ungleichungen:

St − K ≤ C at − Pa

t ≤ St − KqT−t




ModellbildungParameterabhängigkeitenHedging

Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell

Es liege ein n-Perioden Binomialmodell mit un = eµ·T

n+σ·

√T

n und

dn = eµ·T

n−σ·

√T

n vor, wobei µ die Jahresdrift und σ die Jahres-volatilität der jeweiligen Aktie beschreibt. Der risikolose Zinsfaktorwird mit q bezeichnet. C0,n sei der aus dem Binomialmodellbestimmten Preis einer europäischen Call-Option mit Strike-Preis Kund Laufzeit T auf eine dividendenlose Aktie, die zum Zeitpunktt = 0 den Kurs S hat. Dann gilt für n→∞:

limn→∞

C0,n = CBS0 = S · Φ(d1)− K

qT· Φ(d2)

wobei d1 =ln

(S · qT

K

)+σ2

2· T

σ ·√T

und d2 = d1 − σ ·√T ist

und Φ, die Verteilungsfunktion für eine standardnormalverteilteZufallsvariable bezeichnet.





Formel von Black und Scholes (Call); Approximation

Bei den folgenden Bildern wur-de die Anzahl der Teilintervallevon 2 bis 1024 stets verdoppelt.Der Grenzwert ist unabhängigvon µ.MATLAB: black_scholes_approx.m





Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell

Voraussetzungen zum Beweis der Black-Scholes Formel:I Der Aktienkurs bzw. die Rendite des Aktienkurses entwickelt

sich gemäÿ dem Black-Scholes Modell.I Der Leerverkauf (�Short-Selling�) von Aktien ist immer

möglich.I Es gibt keine Transaktionskosten.I Es werden keine Dividenden während der Laufzeit der Option

gezahlt.I Es gibt keine Arbitrage Möglichkeiten.I Der Handel von Aktien ist stetig möglich (d. h. jeder Bruchteil

einer Aktie ist handelbar).I Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder

aufgenommen werden kann, ist konstant über die gesamteLaufzeit der Option.





Formel von Black und Scholes; Bemerkungen

Über die Put-Call-Parität erhält man die Black-Scholes Formel fürden Preis einer europäischen Put-Option als:

limn→∞

P0,n = PBS0 = −S · Φ(−d1) + K

qT· Φ(−d2)

Bemerkungen:I Die Black-Scholes Gleichung erhält man auch, wenn man das

Black-Scholes-Modell für die Aktienkursentwicklung zugrundelegt und nach dem No-Arbitrage-Prinzip vorgeht.

I In der Black-Scholes-Formel taucht der Drift-Parameter µnicht auf. Sein Verschwinden erklärt sich ähnlich wie dasVerschwinden der Wahrscheinlichkeit für die Aufwärts- oderAbwärtsbewegung im Binomialmodell.

I Weil es nie lohnend ist, eine amerikanische Call-Optionvorzeitig auszuüben, ist CBS

0 auch der Preis für eineamerikanische Call-Option. (nur bei dividendenlosen Aktien!)





Formel von Black und Scholes (Put); Approximation

Bei den folgenden Bildern wur-de die Anzahl der Teilintervallevon 2 bis 1024 stets verdoppelt.Der Grenzwert ist unabhängigvon µ.MATLAB: black_scholes_approx.m





Formel von Black und Scholes; Beispiel

Volatilität: σ = 40%; Zinssatz p. a. 3.35%; Strike e 85; Kurs e 78.Verfallstermin in fünf Monaten T = 5

12 ; q = 1.0335

d1 =ln(7885 · (1.0335)

5

12

)+

0.42

2· 512

0.4 ·√

512

; d2 = d1 − 0.4 ·√

512

CBS0 = S · Φ(d1)− K

qT· Φ(d2)

CBS0 = 78 · Φ(d1)− 85

(1.0335)5

12

· Φ(d2) ≈ 5.7128 . . .

PBS0 = −S · Φ(−d1) + K

qT· Φ(−d2)

PBS0 = −78 · Φ(−d1) + 85

(1.0335)5

12

· Φ(−d2) ≈ 11.5537 . . .





Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 1

Der Optionspreis hängt auf vielfältige Art von den Parametern T ,q, σ, K und S ab.Bevor wir uns analytisch damit befassen (totales Di�erenzial), seienhier einige Abhängigkeiten graphisch skizziert.MATLAB: black_scholes_paramter.m

Dabei bestätigen sich qualitativ die Zusammenhänge desBinomialmodells.





Formel von Black und Scholes; Sensitivitäten

Veränderungen der Parameter S , K , T , q, σ bewirken eineÄnderung des Optionspreises CBS

t bzw. PBSt .

Für kleine Veränderungen dS , dK , dT , dq, dσ der Parameter S ,K , T , q, σ kann die Veränderung ∆CBS bzw. ∆PBS mit demtotalen Di�erenzial angenähert werden. Mathematik 1!!

dCBS =∂CBS

∂S·dS+

∂CBS

∂K·dK+

∂CBS

∂T·dT+

∂CBS

∂q·dq+

∂CBS

∂σ·dσ

Grundidee: Zu verkauften Optionen werden parallel Aktien gekauft,um sich gegen Kursschwankungen abzusichern. Um Veränderungendes Zinssatzes zu kompensieren, wird man festverzinsliche, sichereAnleihen kaufen . . .Hier soll nur der Kauf bzw. Verkauf von Aktien diskutiert werden,um so eine Absicherung gegen Kursschwankungen zu erreichen.





Formel von Black und Scholes; ∆-Hedging

Für eine verkaufte Call-Option wird man von den hinterlegtenAktien zur Absicherung des Kursrisikos weitere Aktien kaufen.Bezogen auf eine Option sei x der Anteil der betre�enden Aktie.Ein Portfolio könnte dann wie folgt aussehen:

Vt = x · St − CBSt

Betrachten wir nur Kursschwankungen, so ergibt sich

dV = ∂∂S

(x · St − CBS

t

)· dS =

(x − ∂CBS

t∂S

)︸︷︷︸

!= 0

· dS

Wählen wir den Aktienanteil so, dass das Di�erenzial verschwindet,dann ist das Portfolio risikoneutral bzgl. kleiner Kursschwankungen.





Formel von Black und Scholes; �Griechen�

Unter den Sensitivitäten des Optionspreises versteht man diepartiellen Ableitungen des Optionspreises nach den Inputvariablen S

(Aktienkurs), σ (Volatilität) und q (risikoloser Zinsfaktor).

Formeln für die partiellen Ableitungen1 der europäischen Optionen:

Bezeichnung Ableitung bzgl. Call-Option Put-Option

Delta ∆ Aktienkurs S Φ(d1) Φ(d1)− 1

Vega υ Volatilität σ S ·√T · N(d1) S ·

√T · N(d1)

Rho ρ Zinsfaktor q T · KqT−1

· Φ(d2) −T · KqT−1

· Φ(−d2)

N(x) : Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

∆:Call-Option 0 < ∆ < 1 ∆ → 1 für S → ∞Put-Option −1 < ∆ < 0 ∆ → 0 für S → ∞

1Man benutzt: Φ(−u) = 1− Φ(u)





Formel von Black und Scholes; ∆-Hedging; Beispiel

Sie sind Verkäufer von 100 Call-Optionen mit Strike K = e 90 undeiner Restlaufzeit von neun Monaten auf eine Aktie mit Tageskurse 91.05. Die Jahresvolatilität werde mit 29 % angenommen. Derrisikolose Zinssatz ist 3 % p. a.Wie viele Aktien müssen gekauft werden, damit die Positiongegenüber kleinen Kursschwankungen risikoneutral wird?

d1 =ln

(91.0590· (1.03)

3

4

)+ 0.292

2 · 34

0.29 ·√

34

≈ 0.2600;

∆ = Φ(0.26) = 0.60257Um das Portfolio �∆-neutral� zu machen, müssen 60.257 Aktiengekauft werden.Zweite Deutung von ∆: Erhöht sich der Kurs um e 1, so erhöhtsich der Wert einer Call-Option um ca. e 0.60257.





Formel von Black und Scholes; dynamisches ∆-Hedging

Dynamische ∆-Hedging-Strategie:

Fortlaufende Än-derung des Aktien-bestands, so dassdas Portfolio ri-sikoneutral bzgl.Kursschwankungenbleibt.

0 5 10 15 2040

50

60

Kur

s

Dynamische Delta−Hedging−Stategie; Strike = 50 ; (Call−Option)

0 5 10 15 200

5

10

Opt

ions

prei

s

0 5 10 15 200

0.5

1

∆

0 5 10 15 20−1

0

1

Zuk

auf

0 5 10 15 20

20

40

60

Kum

. Kos

ten

Zeit





∆-Hedging mit Fremdkapital

Finanzierung eines Optionsverkaufs durch festverzinsliches Kapital

Portfolio: V = x · S + y − CBS ; ∆-neutral x = Φ(d1)

V0 = Φ(d1) · S0 + y0 − CBS0 ; y0 so festlegen, dass V0 = 0

y0 = CBS0 − Φ(d1) · S0 = − K

qT· Φ(d2)

V0 =

Aktien︷︸︸︷Φ(d1) · S0 −

Kapital︷︸︸︷KqT· Φ(d2) −

Optionen︷︸︸︷CBS0 = 0

Wert nach einer Zeiteinheit:

V1 = Φ(d1) · S1 − KqT−1

· Φ(d2) − CBS1

V1 hängt von Kursentwicklung ab!





∆-Hedging mit Fremdkapital; Beispiel I

S0 = 60; K = 60; σjährlich = 0.3; qjährlich = 1.08; T = 90 [Tage] Φ(d1) = 0.57999135 . . . ; K

qT· Φ(d2) = 30.67798163 . . . ; CBS

0= 4.12149939 . . .

V1 = Φ(d1) · S1 − KqT−1

· Φ(d2)− CBS1 ;

V1 = CBS0 · q − CBS

1 ; Optionspreis wird festverzinslich angelegt!

S1 59 60 61

Φ(d1) · S1 34.219489 34.799481 35.379472

− KqT−1

· Φ(d2) −30.684705 −30.684705 −30.684705

−CBS1 −3.538274 −4.095564 −4.696803

CBS0 · q 4.122402 4.122402 4.122402

V1 =∑. . . −0.003490 0.019212 −0.002036

V1 =∑. . . 0.584128 0.026838 −0.574401





∆-Hedging mit Fremdkapital; Beispiel II

Bei dem Portfolio ohne Hedging schlägt die Kursänderung direktaufs Portfolio durch. Das ∆-neutrale Portfolio pro�tiert von kleinenKursschwankungen; der Verlust für gröÿere Schwankungen hält sichin Grenzen.Bei kleinen Kursschwan-kungen wird mit Hed-ging ein Gewinn erwirt-schaftet � unabhängigdavon, in welche Rich-tung die Schwankungengehen.Bei Berücksichtigungder Di�erenzen zweiterOrdnung wird dieserBereich gröÿer. . .

58.5 59 59.5 60 60.5 61 61.5−0.04

−0.02

0

0.02

Kurs

V1

Wert einer Call−Option nach einem Tag; Strike = 60 ; S0 = 60 ; T = 90 ; Zins = 0.08

mit Hedgingohne Hedging





Black-Scholes-Formel; historische und implizite Volatilität I

Die wertbestimmenden Parameter eines Optionspreises sind durchMarktdaten feststellbar � mit einer Ausnahme: Volatilität σ.

Eine Möglichkeit zur Schätzung von σ ergibt sich aus denVergangenheitskursen der Aktie (historische Volatilität).

Kennt man umgekehrt den Marktpreis einer Option, so kann mandaraus (zusammen mit den übrigen bekannten Marktdaten) mittelsder Black-Scholes-Gleichung numerisch die sogenannte �implizite�Volatilität berechnen. Sie gibt sozusagen die �Markteinschätzung�der Aktie wieder.

Theoretisch sollten historische und implizite Volatilität in �normalenZeiten� ungefähr gleich groÿ sein. Häu�g treten aber auch groÿeAbweichungen auf, wie die folgenden Beispiele zeigen.





Black-Scholes-Formel; historische und implizite Volatilität II

März-Call-Optionen derEurex vom 14. 12. 2000;(T = 1/4)Zinssatz: 4.953 %

Deutsche Bank S0 = e 87.80K 80 85 90 95C e 11.20 8.15 5.75 3.81σimplizit 0.349 0.353 0.358 0.353

Die Übersicht über dieCall-Optionen auf De-zember 09 zeigt eineveränderliche Volatilitätbzgl. des Strike-Preises.

3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 70000.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

Strike

Vol

atili

tät

Call−Option auf DAX am 26. 2. 09; S0 = 3942.62 ; q = 1.0204 ; T = 5/6

AbrechnungpreisLetzter Preis

Quelle: www.eurexchange.com/market/quotes

bzw. de.euribor-rates.eu/euribor-zinssatz-12-monate.aspFakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 38




Black-Scholes-Formel; Schlussbemerkungen

Die Black-Scholes-Formel liefert auch unter abgeschwächtenVoraussetzungen (z. B. Normalverteilung der logarithmischenRenditen nicht streng erfüllt) gute, praktisch verwertbare Resultate.

Ihre Attraktivität besteht vor allem darin, dass durch einen einzigenParameter � die Volatilität σ � Optionen schnell und einfachbewertet werden können. Diese Bewertungen mittels eineranalytischen Funktion einschlieÿlich ihrer Ableitungen sindGrundlage sämtlicher Hedging-Strategien.

Inzwischen sind Modi�kationen bekannt, bei denen z. B. auchvariable Zinssätze berücksichtigt werden können.


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