Introduccin

Un filtro digital es un sistema que discrimina cierta parte de la informacin que ingresa.

Usualmente la discriminacin se realiza en base a consideraciones de contenido en

frecuencias, pero puede ser en base a otros. En este trabajo de investigacin nos basamos

especialmente en los filtros que discriminan de acuerdo al contenido de frecuencias.

El filtrado digital es una parte fundamental del procesamiento de seales, ya que este

trata de la representacin, transformacin y manipulacin de seales y de la informacin

que contienen. Por ejemplo, podramos desear separar dos o ms seales que se han

combinado de alguna forma, o podramos querer realzar alguna componente de la seal o

algn parmetro de un modelo de seal. Para esto en numerosas ocasiones se necesita

obtener una seal de otra seal, este es el caso del filtrado digital.

1) Generalidades

Los filtros digitales tienen como entrada una seal analgica o digital y en su salida tienen

otra seal analgica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase

dependiendo de las caractersticas del filtro digital. Comnmente se usa para atenuar o

amplificar algunas frecuencias. Por ejemplo, se puede implementar un sistema para

controlar los tonos graves y agudos de cualquier sistema de audio.

Es importante destacar que en la prctica el ruido siempre resulta atenuado y no eliminado, ya que no es posible construir un filtro ideal por las limitaciones impuestas por el manejo digital de la informacin. 2) Clasificacin de Filtros Digitales

Hay varios tipos de filtros as como distintas clasificaciones; de entre las cuales podemos mencionar las siguientes clasificaciones:

1. De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenan:

Filtros Pasa-bajos

Filtros pasa-altos

Filtros de banda Rechaza banda (Notch) Pasa banda Pasa todo Tipo comb (peine)

2. De acuerdo al tipo de respuesta ante la entrada de un impulso:

FIR (Finite Impulse Response)

IIR (Infinite Impulse Response) Cabe destacar que un filtro digital no tiene exclusivamente una sola caracterstica, ya que podemos requerir un filtro que atenu parte del espectro de frecuencias a una determinada respuesta a la entrada. Dicho en otras palabras podemos tener un filtro pasa-bajos con una caracterstica a la entrada tipo FIR.

2.1 Respuesta Impulsional: La respuesta impulsional es la reaccin de un filtro a un impulso que se enva a su entrada.

La respuesta impulsional caracteriza a un filtro en el dominio temporal. Podemos pensar,

por ejemplo, en la respuesta impulsional de una sala de conciertos que podemos generar

si damos un golpe seco en la sala. Al trabajar en el dominio digital, dicha respuesta

impulsional estar discretizada en el tiempo y por tanto definida por una serie de

muestras:

[ ]

La transformada de Fourier de una respuesta impulsional de un filtro corresponde a su

funcin de transferencia o representacin frecuencial, que caracteriza al filtro en el

dominio frecuencial. Dicha caracterizacin se realiza a travs de su espectro de amplitud y

de su espectro de fase.

( )

| ( )| ( )

Por naturaleza, un filtro no puede ser a la vez preciso en el dominio temporal y

frecuencial. De hecho, un filtro con una transicin rpida (por ejemplo, con una banda

pasante estrecha) presenta una respuesta impulsional larga. Por el contrario, una banda

pasante ancha corresponde a una respuesta impulsional corta.

Sea una seal digital de entrada [ ] que procesamos con un filtro para generar una seal

de salida [ ]. El espectro de la seal de salida ( ) se obtiene multiplicando el espectro

de entrada ( ) por la respuesta frecuencial del filtro ( ), es decir:

( ) ( ) ( )

Esto equivale a la operacin de convolucin (representada con un "*") entre las seales en

el dominio temporal:

[ ] [ ] [ ]

Una distincin fundamental en los sistemas discretos dinmicos lineales e invariantes, y en

particular en los filtros digitales, es la duracin de la respuesta ante el impulso. Se habla

de sistemas de respuesta de pulso finito o no recursivo (FIR, Finite Impulse Response) y de

sistemas de respuesta infinita o recursivo (IIR, Infinite Impulse Response). Partiendo de la

ecuacin en diferencias que modela el comportamiento dinmico de estos sistemas:

En el caso de tener todos los coeficientes ai iguales a cero se tendr un filtro FIR, con lo

que quedar la ecuacin reducida a:

Siendo m el orden del filtro y tendr una funcin de transferencia en z del tipo:

( )

Obsrvese que en estos tipos de filtros cada valor de la secuencia de salida slo

depender de un nmero finito de valores de la secuencia de entrada. Adems tambin se

desprende la carencia de polos en la funcin de transferencia. Al contrario, las

expresiones de los filtros recursivos corresponden a:

Y su funcin de transferencia en z a:

( )

En estos casos, la secuencia de salida depende tanto de la entrada como de la salida.

Conociendo esto podemos ahora definir cada filtro por separado.

Filtros FIR:

Los filtros digitales de Respuesta Finita Impulsiva o filtros FIR por sus siglas en ingles

Finite Impulse Response, se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre

indica, si la entrada es una seal impulso la salida tendr un nmero finito de trminos no

nulos. La estructura de seal a la salida del filtro se basa solamente en la combinacin

lineal de las entradas actuales y anteriores.

Caractersticas:

Estabilidad del sistema: Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son

estables. Los ceros se presentan en pares de recprocos si el filtro se disea para tener fase

lineal.

Linealidad: Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden disearse para ser de fase

lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetra de los coeficientes.

Este tipo de filtros tiene especial inters en aplicaciones de audio.

Diseo del filtro FIR

Hay cuatro mtodos bsicos para disear este tipo de filtros:

Mtodo de las ventanas, las ms habituales son: o Rectangular o Barlett o Hanning o Hamming o Blackman o Kaiser

Muestreo en frecuencia. Rizado constante (Aproximacin de Chebyshev y algoritmo de intercambio de Remez). Mnimos Cuadrados.

Filtro IIR: Son sistemas cuya salida depende adems de salidas anteriores y que, estando en reposo,

al ser estimulados con una entrada impulsional su salida no vuelve al reposo, de ah el

calificativo de filtros de respuesta impulsional infinita (IIR).

Caractersticas:

Estabilidad del sistema: Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determina la estabilidad y la causalidad del sistema.

Cuando todos los ceros y polos estn en el interior de la circunferencia unidad se dice que es fase mnima y el sistema es estable y causal. Si todos los ceros estn en el exterior es fase mxima. Si algn polo est fuera de la circunferencia unidad el sistema es inestable.

Linealidad: En principio no pueden disearse para tener fase lineal pero se pueden aplicar algunas tcnicas como el filtrado bidireccional para lograrlo.

Diseo del filtro IIR

Las formas habituales de disear este tipo de filtros son:

Indirecta (a partir de prototipos analgicos) o Impulso invariante

o Transformacin bilineal Directa

o Aproximacin de Pad o Aproximacin de mnimos cuadrados.

Dentro de los filtros IIR podemos encontrar dos tipos de filtors ms, estos son los filtros chebyshev y los filtros Butterworth. A continuacin describimos cada uno de ellos.

Filtros Chebyshev:

Con los filtros de Chebyshev se consigue una cada de la respuesta en frecuencia ms

pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas

(paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen

sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus

ceros se encuentran en el eje imaginario.

Se conocen dos tipos de filtros Chebyshev, dependiendo del rizado en alguna banda

determinada:

1. Tipo 1: Son filtros que nicamente tienen polos, presentan un rizado constante en

la banda pasante y presentan una cada montona en la banda de rechazo.

2. Tipo 2: Estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su

rizado es constante en la banda de rechazo y adems presentan una cada

monotnica en la banda pasante.

Filtros Butterworth:

Es uno de los filtros electrnicos ms bsicos, diseado para producir la respuesta ms

plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene

constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razn de 20n dB por dcada

( ~6n dB por octava), donde n es el nmero de polos del filtro.

El filtro Butterworth ms bsico es el tpico filtro pasa bajo de primer orden, el cual puede

ser modificado a un filtro pasa alto o aadir en serie otros formando un filtro pasa banda

o elimina banda y filtros de mayores rdenes.

Segn lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es extremadamente

plana (con mnimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en un diagrama de Bode con

escala logartmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia

menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por dcada (aprox. -6dB por

octava).

El filtro de Butterworth es el nico filtro que mantiene su forma para rdenes mayores

(slo con una cada de ms pendiente a partir de la frecuencia de corte).

Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos requerimientos en

comparacin con otros, como los de Chebyshev o el elptico.

Diseo de los Filtros Butterworth:

Si llamamos H a la respuesta en frecuencia, se debe cumplir que las 2N-1 primeras

derivadas de | ( )| sean cero para y . nicamente posee polos y la

funcin de transferencia es:

| ( )|

( )

Donde N es el orden del filtro, es la frecuencia de corte (en la que la respuesta cae 3 dB

por debajo de la banda pasante) y es la frecuencia analgica compleja ( =j w).

2.1.1 Diferencias de los filtros IIR y los filtros FIR:

1. Los filtros IIR producen en general distorsin de fase, es decir la fase no es lineal con la frecuencia.

2. Los filtros FIR son de fase lineal. 3. El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para una misma

aplicacin. 4. Los filtros FIR son siempre estables, en cambio los IIR pueden ser inestables aun

siendo diseados para permanecer estables.

2.2 De acuerdo al espectro de frecuencia

Los filtros digitales suelen ser caracterizados en trminos de rangos de frecuencia, tanto

de la banda pasante como de la supresora. Los cuatro tipos bsicos de filtros supresores

son ilustrados en la figura siguiente:

Al ser stos sistemas discretos, sus respuestas frecuenciales son peridicas con la frecuencia de Nyquist, por lo que solo se considera los intervalos de [- Wn, Wn]

Filtros pasa-bajos:

Un filtro pasa bajo corresponde a un filtro caracterizado por permitir el paso de las

frecuencias ms bajas y atenuar las frecuencias ms altas. El filtro requiere de dos

terminales de entrada y dos de salida, de una caja negra, tambin denominada cuadripolo

o bipuerto, as todas las frecuencias se pueden presentar a la entrada, pero a la salida solo

estarn presentes las que permita pasar el filtro. De la teora se obtiene que los filtros

estn caracterizados por sus funciones de transferencia, as cualquier configuracin de

elementos activos o pasivos que consigan cierta funcin de transferencia sern

considerados un filtro de cierto tipo.

En particular la funcin de transferencia de un filtro pasa bajo de primer orden

corresponde a ( )

, donde la constante k es slo una ponderacin

correspondiente a la ganancia del filtro, y la real importancia reside en la forma de la

funcin de transferencia

, la cual determina el comportamiento del filtro. En la

funcin de transferencia anterior corresponde a la frecuencia de corte propia del filtro.

Filtros Pasa-altos

Es un tipo de filtro electrnico en cuya respuesta en frecuencia se atenan las

componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia, stas incluso pueden

amplificarse en los filtros activos. La alta o baja frecuencia es un trmino relativo que

depender del diseo y de la aplicacin.

Filtros Pasa-banda

El filtro pasa-banda es un circuito diseado para pasar seales slo en cierta banda de

frecuencias en tanto que rechaza todas las seales fuera de esta banda.

Este tipo de filtro tiene un voltaje mximo de salida Vmax o una ganancia mxima Av, a

una frecuencia denominada frecuencia de resonancia. Si la frecuencia varia respecto a la

resonancia, el voltaje de salida disminuye. Hay una frecuencia arriba de y una debajo de a

las cuales la ganancia de voltaje es 0.707Av

Los filtros de banda de paso se clasifican ya sea como de banda estrecha o bien de banda

ancha. Un filtro de banda estrecha es el que tiene menos de un dcimo de la frecuencia

resonante, caso contrario Si el ancho de banda es mayor de un dcimo de la frecuencia de

resonancia, el filtro es de banda ancha.

Filtros Rechaza-bandas (Notch)

Se trata de un filtro que mantiene inalteradas todas las frecuencias excepto un rango muy

estrecho que trata de eliminar. Es decir, no aplican realces, slo atenuaciones, y sta

puede ser seleccionable hasta 30dB. Este filtro no permite el paso de seales cuyas

frecuencias se encuentran comprendidas entre las frecuencias de corte superior e inferior.

2.3 Otros Filtros

Filtros Bessel

Son filtros caracterizados por un ptimo comportamiento en la fase en detrimento de un

ritmo de cada peor al sobrepasar la frecuencia de corte. Son muy tiles cuando se desea

que las componentes de la seal por debajo de la frecuencia de corte no lleguen

desfasadas entre s. Por otro lado, su respuesta temporal a la funcin escaln o umbral no

presenta sobredisparos. La construccin de estos filtros en el dominio de Laplace

normalizado es bastante sencilla pues se obtienen directamente a partir de la expresin.

( ) ( )

( )

Siendo ( ) el polinomio inverso de Bessel de grado N cuya expresin general se

encuentra. ( ) se introduce para escalar la funcin de transferencia.

Polinomios Inversos de Bessel de grado N

Cuadro comparativo

Tipo Banda

Pasante Banda

Eliminada Pendiente

Respuesta al Escaln

Butterworth

Plana Monotnica Buena Buena

Chebyshev

Rizada Monotnica Muy

buena Mala

Chebyshev Inversa

Plana Rizada Muy

Buena Buena

Elptica Rizada Rizada La mejor mala

Bessel Plana Monotnica Mala La mejor

Filtros Sallen-Key

Se desarroll la investigacin en base a filtros digitales y como estos pueden tener

diferentes caractersticas de acuerdo a la frecuencia y al tipo de respuesta.

Los filtros digitales se encuentran dentro de los filtros pasivos, estos filtros se caracterizan

por tener diferentes componentes como resistencias, capacitores e inductores. Funcionan

a alta frecuencia y su respuesta es aproximada a la respuesta ideal del sistema. Una

ventaja importante es su muy baja sensitividad, donde su aproximacin es excelente

cuando el valor real de cada elemento es diferente al valor ideal.

La contraparte de los filtros pasivos son los filtros activos, estos filtros generalmente

anlogos se componen de capacitores, resistencias y amplificadores operacionales. No

utilizan inductores, disminuyendo considerablemente el tamao del filtro. Los filtros

Sallen-Key son filtros activos de gran uso en la actualidad, si bien es cierto su respuesta no

es tan precisa como los filtros pasivos su amplificacin de la seal de entrada permite que

estos filtros obtengan una gran relevancia y se extienda su uso en esta era digital.

Al igual que los filtros digitales los filtros Sallen-Key pueden tener las configuraciones

complejas de Chebyshev, Butterworth y Bessel; conectando en cascada y en diferentes

configuraciones los filtros SK. La diferencia entre los filtros digitales y los SK es que la

complejidad de los clculos de diseo en los SK son menores que los digitales.

A continuacin presentamos las ventajas y desventajas de los filtros Activos Sallen-Key

Ventajas:

La ventaja ms significativa es que los filtros activos no tienen inductancias en los

circuitos. Esta es una clara ventaja porque son muy difcil conseguirlas o disearlas.

Entonces se las evita.

Otra clara ventaja de estos filtros activos es que adaptan las impedancias

perfectamente. Esto tambin se debe a los Amplificadores Operacionales utilizados

en los circuitos electrnicos.

Es fcil crear filtros difciles o complejos mediante la colocacin de varios filtros

simples conectados en cascada.

La gran ventaja de los filtros activos como se dijo anteriormente es que es posible

aumentar la amplitud de la seal de entrada fcilmente.

Es barato crear un filtro activo porque los componentes no son caros.

Desventajas:

La gran desventaja de los filtros activos es que para que funcionen necesitan una

fuente de alimentacin.

Como los filtros activos utilizan Amplificadores Operacionales en sus circuitos,

estos tienen un lmite para la frecuencia de uso y en consecuencia los filtros

tambin lo tendrn.

No es posible utilizar filtros activos en sistemas o circuitos en donde se

requiera tener una alta potencia. Esta es una clara desventaja de estos filtros.

Otra desventaja es que la amplificacin de la seal de entrada tiene como lmite el

nivel de la fuente de alimentacin.

Conclusiones

Existen dos posibles opciones al disear filtros digitales, los sistemas FIR y los IIR.

La implementacin de uno u otro depender de la necesidad que la aplicacin

requiera. Por ejemplo, si se requiere para cierta aplicacin garantizar al 100% la

estabilidad del sistema en condiciones dinmicas, se preferir a los filtros FIR, ya

que slo estn constituidos por ceros.

La clasificacin general de los filtros es en activos y pasivos, estos se subdividen en

los diferentes parmetros de los cuales se disear el filtro. Estas caractersticas

pueden ser basadas en filtros Butterworth, Chevyshev, Bessel y elpticos.

Los filtros Sallen-Key son filtros activos muy utilizados en electrnica debido a su

amplificacin de la seal de entrada como tambin su bajo costo, fcil

implementacin y su no inclusin de inductores disminuyendo su tamao

considerablemente con respecto a los filtros pasivos.

Los filtros digitales se consideran filtros pasivos, estos tienen una alta sensibilidad y

su respuesta es muy similar a la salida real que se requiera en el sistema.

Bibliografa

Introduccin al Procesamiento Digital de Seales/Mag. Gillermo R. Friedrich, 2002.

Universidad Tecnolgica Nacional.

Introduccin al Filtrado Digital/ Emilia Gmez Gutirrez, Universidad de Catalunya.

Sistemas Digitales, Principios y Aplicacin; Tocci y Widmer Octava Edicin, Editorial

Prentice Hall.