12.4Filtros Elctricos

Um filtro tem como funo seleccionar, rejeitar ou igualizar uma ou vrias gamas de frequncia de um sinal elctrico. Os filtros constituem uma das aplicaes mais comuns da electrnica, sendo amplamente utilizados na aquisio e processamento de sinais audio, vdeo e de dados, em sistemas de alimentao, de telecomunicaes, de controlo, etc. Nesta disciplina introduzem-se duas das principais tcnicas de realizao de filtros elctricos: a tcnica passiva, que utiliza essencialmente resistncias, condensadores, bobinas e transformadores; e a tcnica activa. Esta ltima tcnica faz referncia a dispositivos electrnicos como o amplificador operacional de tenso e o transferidor de corrente, e ser abordada nos Captulos 15 e 16. Convm desde j salientar que existem diversas tcnicas alternativas s duas referidas, como sejam a digital e as tcnicas amostradas dos condensadores e das correntes comutadas.Os filtros elctricos podem ser de cinco tipos bsicos (ver Figura 12.20): passa-baixo (a), passa-alto (b), passa-banda (c), rejeita-banda (d) e passa-tudo. comum distinguirem-se os seguintes parmetros e gamas de frequncia na caracterstica de selectividade de um filtro:(i) a banda de passagem, que define a gama de frequncias a seleccionar;(ii) a banda de rejeio, que define a gama de frequncias a rejeitar;(iii) as bandas de transio entre bandas de passagem e bandas de atenuao;(iv) a variao mxima na banda de passagem;(v) a atenuao mnima garantida na banda de rejeio. com base nestes cinco parmetros que geralmente se especifica a caracterstica de selectividade de um filtro elctrico.

Figura 12.20 Filtros elctricos12.4.1 Filtros Passa-BaixoOs circuitos RC e RL da Figura 12.21 implementam ambos um filtro passa-baixo de 1. ordem.

Figura 12.21 Filtros RC e RL passa-baixo de 1. ordemAs funes de transferncia so formalmente idnticas, designadamente(12.100)

no caso do circuito RC, e(12.101)

no caso do circuito RL. As bandas de passagem e de transio-atenuao esto compreendidas entre zero e p e p e infinito, respectivamente, sendo a variao mxima da amplitude na banda de passagem de -3 dB.Na Figura 12.22 representam-se dois filtros passa-baixo com atenuao limitada na banda de rejeio.

Figura 12.22 Filtros passa-baixo com atenuao limitadaA funo de transferncia constituda por um plo e por um zero, designadamente(12.102)

no circuito RC, e (12.103)

no circuito RL. Como se verifica no diagrama de Bode de amplitude assinttico, estes dois filtros definem explicitamente uma banda de transio e uma banda de rejeio na qual a atenuao mxima obtida aproximadamente constante. A banda de transio uma funo da separao entre o plo e o zero, enquanto a atenuao na banda de rejeio uma funo do cociente entre ambos.A Figura 12.23 mostra um filtro passa-baixo de 2. ordem constitudo por uma malha RLC-srie.

Figura 12.23 Filtro RLC passa-baixo de 2. ordemNeste caso a funo de transferncia possui dois plos,(12.104)

os quais imprimem uma atenuao crescente com a frequncia, ao ritmo de 40 dB por dcada, e introduzem uma variao mxima na banda de passagem que uma funo do factor de qualidade dos plos (Figura 12.23).12.4.2 Filtros Passa-AltoOs circuitos RC e RL representados na Figura 12.24 implementam ambos uma funo de transferncia de tipo passa-alto de 1. ordem

Figura 12.24 Filtros RC e RL passa-alto de 1. ordem(12.105)

em que z=p=1/RC no circuito RC e z=p=R/L no circuito RL. Neste caso, as bandas de passagem e de atenuao-transio encontram-se compreendidas entre =p e infinito e =0 e =p, respectivamente, sendo a atenuao crescente para frequncias decrescentes. Por outro lado, a variao mxima da amplitude na banda de passagem de -3 dB.Os dois filtros passa-alto representados na Fig.12.25 impem um limite atenuao mxima na banda de rejeio.

Figura 12.25 Filtro passa-alto de 1. ordem com atenuao limitadaAs funes de transferncia respectivas possuem um zero na origem e um plo real,(12.106)

no caso do circuito RC, e(12.107)

no caso do circuito RL.Finalmente, na Figura 12.26 considera-se um filtro passa-alto de 2. ordem.

Figura 12.26 Filtro RLC passa-alto de 2. ordemA funo de transferncia respectiva (12.108)

12.4.3 Filtros Passa-BandaNa Figura 12.27 consideram-se dois filtros passa-banda constitudos pela cascata de um passa-alto e de um passa-baixo de 1 ordem.

Figura 12.27 Filtros RC e RL passa-banda de 1. ordemPor exemplo, em (a) a funo de transferncia (12.109)

que para R1C2 se simplifica para(12.110)

O zero na origem e o plo p1 definem o limite inferior da banda de passagem do filtro, enquanto o segundo plo, p2, define o limite superior respectivo (Figura 12.27.c). Pode facilmente demonstrar-se que o circuito RL-LR da Figura 12.27.b apresenta uma funo de transferncia(12.111)

aproximao que vlida quando L1R1>>L1R2 e L2R2>>L1R2.Na Figura 12.28 consideram-se dois filtros passa-banda de 1 ordem alternativos s topologias em cascata anteriores. Em ambos os filtros, a amplitude da resposta em frequncia unitria em =1/ LC, frequncia qual a bobina e o condensador se anulam mutuamente. Por outro lado, para frequncias angulares superiores ou inferiores frequncia de ressonncia, o divisor de impedncias constitudo pela resistncia e pela malha LC apresenta valores sempre inferiores unidade, sendo mesmo nulos para =0 e para = . Este comportamento em frequncia permite associar o circuito a um filtro passa-banda centrado na frequncia de ressonncia.

Figura 12.28 Filtros RLC passa-banda de 1. ordemAs funes de transferncia destes dois filtros so formalmente idnticas, designadamente(12.112)

em (a), e(12.113)

em (b).12.4.4 Filtros Rejeita-BandaA funo de um filtro rejeita-banda atenuar uma ou vrias gamas de frequncias limitadas, seja superior seja inferiormente. Nas Figuras 12.29 e 12.30 ilustram-se os dois princpios com base nos quais se podem realizar filtros do tipo rejeita-banda. No primeiro caso, Figura 12.29, trata-se de estabelecer dois caminhos alternativos entre o terminal de entrada e o terminal de sada do filtro, um deles de tipo passa-alto e o outro de tipo passa-baixo. Os sinais localizados entre as frequncias de corte do filtro passa-baixo e do filtro passa-alto so rejeitados por ambos os caminhos.

Figura 12.29 Filtro rejeita-banda (por associao em paralelo de filtros passa-alto e passa-baixo)No segundo caso, Figura 12.30, explora-se o facto de o somatrio das funes de transferncia da entrada para os terminais dos diversos componentes do circuito ser obrigatoriamente unitrio.

Figura 12.30 Filtro rejeita-banda (complementar de um filtro passa-banda)Como se ilustra na Figura 12.30.b, dado que a funo de transferncia da entrada para os terminais da resistncia de tipo passa-banda(12.114)

ento a sua complementar(12.115)

deve necessariamente ser de tipo rejeita-banda, uma vez que ambas devem verificar a igualdade(12.116)

Na Figura 12.31 considera-se um filtro rejeita-banda constitudo pelo paralelo de um filtro passa-baixo (L e Rpb) e um filtro passa-alto (C e Rpa). Este circuito particular pode ser redesenhado como na Figura 12.31.b, esquema no qual se identifica uma das malhas RLC ressonantes estudadas anteriormente.

Figura 12.31 Filtro rejeita-bandaEstes dois filtros rejeita-banda de 1. ordem caracterizam-se pela funo de transferncia(12.117)

com R=Rpb// Rpa. A funo de transferncia (12.117) apresenta dois zeros imaginrios puros no numerador, os quais para anulam a amplitude da resposta em frequncia (Figura 12.31.c).