filtr ls i jego implementacja w sterowniku … · głównie modele odwrotne oparte na strukturach...
TRANSCRIPT
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 65 ISSN 1896-771X
107
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE
Z SIŁOWYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM
Mateusz Saków1a, Arkadiusz Parus1b, Karol Miądlicki1c
1Instytut Technologii Mechanicznej, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki,
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie [email protected], [email protected], [email protected]
Streszczenie Systemy zdalnie sterowane z siłowym sprzężeniem zwrotnym są jedną z przyszłościowych gałęzi rozwoju robotyki.
Pojawienie się kanału siłowego sprzężenia zwrotnego przyniosło jednak wiele nowych problemów. Znane filtry ana-
logowe, dyskretne, adaptacyjne powodują przesunięcie filtrowanego sygnału w czasie. W ramach badań została
opracowana metoda filtracji sygnałów w czasie rzeczywistym, która jest dedykowana do dyskretnych układów ste-
rowania. Metoda jest oparta na lokalnej aproksymacji parametrów wielomianu z zastosowaniem metody poszuki-
wania pseudorozwiązań równań liniowych nadokreślonych - najefektywniejszej według metody najmniejszych kwa-
dratów. Zaproponowany algorytm minimalizuje przesunięcie czasowe sygnału filtrowanego. Sposób działania me-
tody został zweryfikowany podczas dwóch niezależnych eksperymentów na hydraulicznym stanowisku badawczym.
Słowa kluczowe: siłowe sprzężenie zwrotne, zdalne sterowanie, zdalna manipulacja, filtracja z niskim
opóźnieniem
LS FILTER AND ITS IMPLEMENTATION INTO THE CONTROL UNIT OF THE MASTER-SLAVE SYSTEM WITH FORCE-FEEDBACK
Summary Remotely controlled systems with force-feedback are one of the future development of the robotics. However, the
use of a force-feedback communication channel have brought many new problems. Well-known analogue, discreet
or adaptive filters are a cause of the delay between measured and filtered signal. During research, a low-delay fil-
tration algorithm was developed which have been dedicated to work in a real-time control units. The algorithm
has been based on the method of finding the solutions of overdetermined systems - most effective according to the
least squares criterion. The algorithm minimizes the delay between the measured and filtered signal. The proposed
method of filtration was validated on the hydraulic test stand during two independent experiments.
Keywords: force-feedback, remote control, telemanipulation, low time delay filtration
1. WSTĘP
Systemy zdalnie sterowane odgrywają bardzo ważną rolę
w dzisiejszych czasach, ponieważ znalazły zastosowanie
niemal w każdej gałęzi przemysłu. Próżno jest szukać
zakładów pracy, w których brak jest urządzenia stero-
wanego pilotem, joystickiem czy klawiaturą. Jednak
urządzenie zdalnie sterowane nie musi ograniczać się
jedynie do wykonywania zaprogramowanego prostego i
nieskomplikowanego zestawu poleceń [23].
Od lat 60. ubiegłego wieku trwają badania, które mają
zapewnić urządzeniom zdalnie sterowaną [11, 9, 48] lub
częściowo autonomiczną pracę [10, 19, 43, 53]. Podział
na zdalnie sterowane i autonomiczne urządzenia został
zaproponowany, gdy określono graniczną wartość opóź-
nienia w kanale komunikacyjnym systemów zdalnie
sterowanych, która ma bardzo istotny wpływ na stabil-
ność oraz jakość pracy całego systemu [43]. W układach
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)
108
ciągłych podstawowych systemów sterowania system
zazwyczaj staje się niestabilny, gdy opóźnienie w za-
mkniętej pętli sprzężenia przekroczy wartość połowy
cyklu dowolnej częstotliwości pracy dla wzmocnienia
pętli większego od jedności [43]. Okazuje się jednak, że
sama odległość nie jest jedynym składnikiem sumarycz-
nego opóźnienia w kanałach komunikacyjnych układów
sterowania. Na sumaryczne opóźnienie składają się m.in.
czas potrzebny na przetworzenie wartości analogowej na
cyfrową przetwornika A/C, czas dokonania obliczeń
przez program sterownika rozumiany jako cykl jego
pracy, ponowne przetworzenie sygnału cyfrowego na
analogowy w przetworniku C/A, stany przejściowe
obiektów mechanicznych reprezentowane przez ich
dynamiczne parametry, a także te przesunięcia fazowe
sygnałów, których przyczyną jest stosowanie metod
filtracji sygnałów [43].
Wiele wartościowych artykułów naukowych zostało
poświęconych budowie schematów sterowania oraz
opracowaniu metod kontroli, które zapewnią stabilną
pracę oraz przeciwdziałają opóźnieniom i przesunięciom
fazowym w systemach zdalnie sterowanych [11, 17, 18,
27]. Jednymi z pierwszych metod stabilizujących pracę
systemów obustronnego działania Master-Slave były
strategie kontroli manipulatora Master. Dwie strategie
opracowane przez W. R. Ferrela polegały na dyskretyza-
cji ruchu operatora oraz na celowym spowolnieniu ruchu
przy zbliżaniu się do obiektu środowiska przez podatny
metalowy palec oklejony tensometrem [11]. Strategie
kontroli podsystemu Master jednak nie dawały tak
dobrych wyników pod względem czasu ukończenia zadań
przez operatora jak adaptacyjne schematy sterowania
[27]. Schemat sterowania oparty na bezpośrednim prze-
kazywaniu wartości siły z czujnika opracowany w [11]
został rozwinięty przez W. S. Kima o dodanie współdzie-
lonej kontroli zgodności, która polegała na wprowadza-
niu podatności w konstrukcji manipulatora Master [18].
Ten sam autor zaproponował także nowy schemat
sterowania oparty na obustronnym sterowaniu siłą, na
podstawie uchybu pozycji pomiędzy podsystemami Slave
oraz Master [17, 18], który znacząco poprawił dokład-
ność przekazywanej siły w siłowym sprzężeniu zwrot-
nym. Niestety, żaden z tych schematów sterowania nie
gwarantował stabilnej pracy systemu dla opóźnień w
kanale komunikacyjnym wynoszącym więcej niż kilkana-
ście milisekund. Dopiero modyfikacja kanału komunika-
cyjnego, która wykorzystywała zmienne falowe, pozwoli-
ła na całkowite ustabilizowanie pracy systemów obu-
stronnego działania [42]. W późniejszym czasie zmienne
falowe zostały rozbudowane o układy sterowania we-
wnętrznie pasywne [2]. Znaczącą poprawę odwzorowania
wartości siły w siłowym sprzężeniu zwrotnym przyniosło
jednak zwiększenie liczby kanałów komunikacyjnych z
dwóch [11, 9, 10, 17, 18] do czterech [13, 20]. W cztero-
kanałowym schemacie sterowania przesyłane z podsys-
temu Master do Slave były w obydwu kierunkach infor-
macje o sile oddziaływania operatora/środowiska oraz
pozycja konkretnych przegubów manipulatora Ma-
ster/Slave [13, 20]. Czterokanałowy schemat sterowania
został również wyposażony w adaptacyjny układ regula-
cji kontrolujący równolegle siły w systemie oraz pozycje
poszczególnych manipulatorów [52].
XXI wiek to okres implementacji algorytmów sterowania
opartych na regulatorach z przesuwnym horyzontem [15,
25, 26], logice rozmytej [6], separacji częstotliwości w
kanale siłowego sprzężenia zwrotnego [3, 30], specjalnych
metodach dyskretyzacji rozdzielczości czujników na
podstawie systemów jako ciągło-dyskretnych [14],
sztucznych sieciach neuronowych [46], a nawet wykorzy-
stujących stosowanie adaptacyjnych regulatorów prze-
znaczonych do systemów obustronnego działania z
niesymetrycznym opóźnieniem w kanale komunikacyj-
nym, które zostały uzupełnione o adaptacyjne metody
filtracji [54, 55].
Należy jednak zwrócić uwagę na to, że systemy zdalnie
sterowane posiadają trzy różne rodzaje sprzężenia
zwrotnego z operatorem: sprzężenie zwrotne wizyjne [10,
43], sprzężenie zwrotne siłowe (czuciowe) [11] oraz
kombinację sprzężenia zwrotnego wizyjno-siłowego [5,
13, 17, 18, 39, 46, 47, 56]. Zdalne systemy sterowania
mogą być sterowane za pomocą skanerów ruchu kończyn
[11, 9, 10, 17, 36-41, 43], w szczególnym przypadku
będących egzoszkieletami kończyn górnych [37] i dłoni
[56], za pomocą gestów [24, 28], a także z zastosowaniem
komend głosowych [44, 45]. Sterowanie gestem lub
komendami głosowymi pozwala jednak jedynie na zasto-
sowanie wizyjnego sprzężenia zwrotnego pomiędzy
manipulatorem a człowiekiem.
Ważnym podziałem systemów zdalnie sterowanych
obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-
nym jest podział, który dzieli urządzenia na wykorzystu-
jące pomiar siły [3, 11, 18, 30] oraz bezczujnikowe [16,
35, 37, 46, 51]. Grupa bezczujnikowa wykorzystuje
głównie modele odwrotne oparte na strukturach sztucz-
nych sieci neuronowych [46], nieliniowych modelach
autoregresyjnych z egzogennym wejściem [37], a także
mikromanipulatorach, które wykorzystują procesy
odwrotne zachodzące w piezokryształach [16, 33-35].
Systemy zdalnie sterowane obustronnego działania
Master-Slave z siłowym sprzężeniem zwrotnym niewąt-
pliwie zajmują jedną z przyszłościowych gałęzi rozwoju
robotyki; świadczy o tym wiele nowych prac, które stale
rozwijają telemanipulatory. Dotychczas większość sys-
temów beczujnikowych opartych na modelach odwrot-
nych wykorzystywała nieliniowe metody estymacji
wartości siły w kanale siłowego sprzężenia zwrotnego
[37, 46], aby poradzić sobie ze zjawiskami tarcia, opóź-
nień transportowych i przesunięć fazowych spowodowa-
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki
109
nych przez same obiekty mechaniczne, ale także przez
konieczność stosowania filtrów.
W niniejszym artykule przedstawiono algorytm filtracji
sygnałów dyskretnych oparty na poszukiwaniu pseudo-
rozwiązań równań liniowych dedykowany do systemów
obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-
nym. Prezentowany algorytm charakteryzuje się efektem
filtracji zbliżonym do filtrów ułamkowych [4, 29] pod
względem wartości przesunięcia fazowego w użytecznym
spektrum częstotliwości [21], ale o znacznie szerszym
paśmie przepustowym oraz szerszym zakresie częstotli-
wości dla których może być wykorzystany. Algorytm
filtracji ze względu na swój charakter może zostać
zaimplementowany jedynie w cyfrowych układach
sterowania. Dla pasma przepustowego wartość przesu-
nięcia fazowego jest zbliżona do wartości zerowej. Bliskie
zeru opóźnienie fazowe algorytmu jest na tyle małe, że
opóźnienie pomiędzy sygnałem filtrowanym a przefiltro-
wanym jest praktycznie niezauważalne dla operatora
systemu obustronnego działania z siłowym sprzężeniem
zwrotnym opartym na bezczujnikowym schemacie
sterowania.
2. ZDEFINIOWANIE PROBLEMU
Problemem przy wykorzystaniu modeli odwrotnych w
układach sterowania jest zawsze występujące pewne
opóźnienie pomiędzy „przyczyną” a „skutkiem” [43].
Istnieją rozwiązania, które pozwalają na kompensację
wpływu opóźnień transportowych i przesunięć fazowych
powodowanych przez napędy, obiekty, czujniki pomia-
rowe oraz filtrację sygnałów pochodzących z tych obiek-
tów w kanale komunikacyjnym [54, 55]. Niniejsza praca
przedstawia rozwiązanie problemu filtracji i związanych
z nią przesunięć fazowych, jednak nie wykorzystuje
skomplikowanych obliczeniowo iteracyjnych metod
filtracji, takich jak algorytmy LMS, WRLS czy filtr
Kalmana [7, 8, 32], które dodatkowo wymagają znajo-
mości sygnału odniesienia bądź dokładnego modelu
obiektu. Przedstawiony w pracy algorytm przede
wszystkim zapobiega powstawaniu opóźnień sygnału już
w układzie sterowania systemu Master-Slave. Schemat
systemu Master-Slave z siłowym sprzężeniem zwrotnym
został przedstawiony na rys. 1.
Rys. 1. Analizowany system Master-Slave
W analizowanym systemie z rys. 1 występują trzy
charakterystyczne składniki: operator systemu, który
zmienia pozycję skanera ruchu – podsystemu Master
oddziałując siłą Fh. Podsystem Master przekazuje infor-
mację do podsystemu Slave o swojej aktualnej pozycji
xm. Podsystem Slave dąży do tego, aby pozycja xs=xm.
W siłowym sprzężeniu zwrotnym Ff system przekazuje
wartość oddziaływania środowiska � na manipulator
Slave. Drugim zadaniem skanera ruchu jest przekazanie
informacji o oddziaływaniu siłowego środowiska z kana-
łu komunikacyjnego Ff≅Fe. W teoretycznym przypadku
Fm=Fe [37]. W praktyce model nigdy nie odzwierciedla
obiektu rzeczywistego z nieskończoną dokładnością,
dlatego Fm≅Fe, o której dokładności decyduje model
odwrotny urządzenia.
W przypadku analizowanego systemu mogą wystąpić
trzy sprzężenia zwrotne, w których przekazywane są
informacje operatorowi: sprzężenie siłowe zwrotne,
sprzężenie wizyjne pozycji skanera (podsystemu Master)
oraz sprzężenie wizyjne pozycji podsystemu Slave.
Sprzężenie zwrotne wizyjne pomiędzy podsystem Slave a
operatorem może wystąpić jedynie wtedy, gdy przeka-
zywany jest obraz za pomocą kamer na znacznych
dystansach lub podsystem Slave znajduje się w bezpo-
średnim sąsiedztwie operatora.
Problem przesunięcia fazowego i związanego z nim
opóźnienia w czasie sygnału przefiltrowanego jest szcze-
gólnie dotkliwy dla telemanipulatorów ze względu na ich
bilateralny charakter pracy. Bilateralizm czyli obustron-
ność w systemach zdalnie sterowanych polega na przesy-
łaniu sygnałów ze sterowaniem zarówno z urządzenia
nadzorczego, Master, do urządzenia zdalnie sterowanego,
Slave, ale również w przeciwnym kierunku. Fakt ten
nierzadko prowadzi do zwielokrotnienia opóźnienia
sygnałów przefiltrowanych względem sygnałów opisują-
cych rzeczywisty przepływ informacji w systemie. Istnie-
ją rozwiązania wykorzystujące skomplikowane oblicze-
niowo filtry adaptacyjne [7, 8, 32] oraz [54, 55], ale ich
adaptacyjność polega m.in. na dostrajaniu struktury
oraz parametrów filtrów o skończonej odpowiedzi impul-
sowej - SOI, które w szczególnych przypadkach mogą
charakteryzować się liniową charakterystyką fazową [22].
To z kolei skutkuje stałym przesunięciem czasowym
sygnału przefiltrowanego względem sygnału filtrowanego
i nie jest tak niebezpieczne jak zmienne w funkcji często-
tliwości przesunięcie czasowe, które może skutkować
utratą stabilności systemu zdalnie sterowanego.
Kryterium doboru parametrów filtracji dla bezczujniko-
wych systemów obustronnego działania z siłowym
sprzężeniem zwrotnym daje przede wszystkim możliwość
jak najdokładniejszego wyznaczenia pochodnych sygnału
położenia w czasie rzeczywistym. Fakt ten jest uwarun-
kowany podstawową cechą bezczujnikowych schematów
sterowania, które oparte są na wykorzystaniu zewnętrz-
nego obserwatora w postaci modelu odwrotnego podsys-
temu Slave. Celem modelu odwrotnego jest wyznaczenie
sygnału wymuszenia na podstawie znanej odpowiedzi
obiektu rzeczywistego, a do tego niezbędne są przynajm-
niej dwie pochodne sygnału odpowiedzi obiektu będące-
go sygnałem położenia.
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)
110
W czasie badań każdy z filtrów dostrajany był tak, aby
pierwsza pochodna sygnału charakteryzującego się
udziałem białego szumu była na tyle dokładnie wyzna-
czona, aby sygnał wyjściowy modelu odwrotnego nie
zakłócał sygnału w kanale siłowego sprzężenia zwrotne-
go. Dla sygnału harmonicznego charakteryzującego się
zmienną częstotliwości w przedziale od 0.1 do 10Hz oraz
białym szumem o odchyleniu standardowym wynoszą-
cym 5% wartości maksymalnej sygnału zostały przepro-
wadzone testy symulacyjne filtrów SOI (opartym na
średniej ważonej), LMS oraz RLS - rys. 2.
Rys. 2. Efekty wykorzystywania prostych sposobów filtracji
oraz zaawansowanych adaptacyjnych filtrów LMS oraz RLS
Sygnałem odniesienia, względem którego porównano
analizowane filtry, był sygnał przefiltrowany (rys. 2a)
metodą regularyzacji Tickonova (rys. 2b i 2c). Jedyną
wadą regularyzacji jest sam proces doboru jej współ-
czynnika. W przypadku badań symulacyjnych współ-
czynnik został dobrany tak, aby metoda nie uśredniała
sygnału filtrowanego pod względem jego głównych
składowych częstotliwości zmieniających się w przedziale
od 0 do 10Hz. Na rys 2b i 2c widać znaczącą przewagę
filtrów LMS i RLS nad filtrem SOI (przy założeniu
znajomości sygnału odniesienia). Widoczna jest także
przewaga algorytmu RLS, który charakteryzuje się
znacznie większą szybkobieżnością algorytmu w stosun-
ku do filtru LMS (rys. 2b). Filtr SOI wykorzystujący
średnią ważoną próbek z przeszłości znacznie odbiega od
metod filtracji adaptacyjnej, jednak należy zwrócić
uwagę, że jest on znacznie bardziej wygładzony, co
pozwala na wyliczenie pochodnej numerycznej sygnału
przefiltrowanego z mniejszą amplitudą szumu w stosun-
ku do filtrów LMS i RLS (rys. 3).
Rys. 3. Pochodna numeryczna sygnałów przefiltrowanych
Analizując wpływ filtracji na zachowanie się systemu
obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-
nym, uwzględniono także filtry analogowe Butterwortha
[31], 2 rodzaje filtrów Chebysheva [50], filtry eliptyczne
[1] oraz filtry Bessela [12]. Niestety, znane filtry analo-
gowe charakteryzują się stosunkowo większym przesu-
nięciem fazowym dla tych samych parametrów filtracji
w stosunku do filtrów cyfrowych i adaptacyjnych. Tylko
jeden rodzaj filtrów analogowych, filtry Bessela, posiada
charakterystykę fazową zbliżoną do liniowej. Ze względu
na ten fakt w układzie sterowania wykorzystywano w
badaniach jedynie filtry cyfrowe SOI oraz NOI, których
opóźnienie czasowe było na tyle duże, że w fazie sztyw-
nego kontaktu manipulatora Slave z otoczeniem system
tracił stabilność. Filtr RLS i LMS dostrajany względem
sygnału zadanego manipulatora Slave nie powodowały
zauważalnego przesunięcia sygnału w czasie, ale ich
wymagające obliczeniowo algorytmy nie pozwalały na
zastosowanie odpowiedniej długości filtra w celu wyzna-
czenia pochodnej sygnału z niewielką amplitudą szumu,
jak w przypadku filtru SOI. Szum pochodnej numerycz-
nej z kolei także powodował utratę stabilności systemu,
tym razem jednak podczas ruchu swobodnego manipula-
tora Slave.
Proces doboru metody i typu filtracji dla systemów
zdalnie sterowanych z siłowym sprzężeniem zwrotnym
nie jest rzeczą prostą, w szczególności dla systemów
bilateralnych opartych na bezczujnikowych schematach
sterowania. Konieczność wyliczania pochodnych oraz
zachowania stabilności systemu spowodowały koniecz-
ność poszukiwania nowych rozwiązań, które sprostają
tym wymaganiom.
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki
111
3. ALGORYTM FILTRACJI OPARTY NA PPRLN
Zaproponowany algorytm filtracji został oparty na
metodzie poszukiwania pseudorozwiązań równań linio-
wych nadokreślonych (PPRLN), dopasowujących wielo-
miany optymalnie według kryterium najmniejszych
kwadratów - LS [49]. Algorytm filtracji w każdej chwili
czasowej cyklu pracy sterownika dopasowuje wielomian
o zdefiniowanym stopniu do określonej liczby próbek z
przeszłości zgromadzonych w utworzonym wektorze
pamięciowym. To z kolei pozwala na dynamiczne dostra-
janie się wielomianu do sygnału filtrowanego. Wartością
aktualną sygnału przefiltrowanego jest pierwsza próbka
nowo utworzonego sygnału przez dopasowany wielomian
(rys. 4).
Procedura pozwala na zminimalizowanie przesunięcia
fazowego do poziomu, który jest przede wszystkim
niezauważalny dla operatora systemu zdalnego sterowa-
nego z siłowym sprzężeniem zwrotnym. Fakt bliskiego
zeru przesunięcia fazowego w użytecznym spektrum
częstotliwości jest szczególnie korzystny pod względem
transparentności siłowego sprzężenia zwrotnego gdy
dochodzi do sztywnego kontaktu pomiędzy manipulato-
rem zdalnie sterowanym Slave a obiektami otoczenia.
Rys. 4. Przykład dynamiczne dopasowywanego wielomianu
Procedura doboru parametrów algorytmu filtracji
PPRLN rozpoczynana jest od zdefiniowania stopnia
wielomianu n, jaki dynamicznie będzie dopasowywany
do filtrowanego zestawu danych w postaci wektora FFFF.
Stopień wielomianu decyduje o parametrach filtracji,
jednak należy pamiętać, że im wyższy stopień wielomia-
nu zostanie zastosowany, tym lepiej będzie się on dopa-
sowywał do zestawu danych filtrowanych, co spowoduje
zmniejszenie współczynnika tłumienia dla pasma zapo-
rowego. Definiowana jest także liczba pamiętanych
próbek z przeszłości k, do których dopasowany jest
wielomian. Na podstawie znanego stopnia wielomianu n
oraz liczby pamiętanych próbek k z przeszłości tworzona
jest macierz pseudoodwrotna WWWW opisana równaniem (1):
WWWW(n+1)×k=(XXXXTXXXX)-1XXXXT, (1)
gdzie macierz XXXX zdefiniowana jest na podstawie stopnia
wielomianu n oraz liczby próbek pamiętanych z prze-
szłości k i opisana jest jako (2):
XXXXk×(n+1)=
������1n ⋯ 1 1 1 12n ⋯ 8 4 2 13n ⋯ 27 8 3 14n ⋯ 64 16 4 1⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯kn ⋯ k3 k2 k1 k0%
&&&&'
. (2)
Macierz XXXX o wymiarach k wierszy oraz n+1 kolumn jest
zdefiniowana ściśle wedle podanego wzoru (2). Zastoso-
wanie ciągu w kolumnach macierzy XXXX o formule ap= pn, gdzie p∈⟨1;k⟩ ∧ p∈ZZZZ, było kluczowe ze względu na
uproszczenie kolejnego kroku algorytmu, który po wy-
znaczeniu wektora współczynników dopasowanego
wielomianu BBBB(n+1)×1 (3):
BBBB(n+1)×1=WFWFWFWF, (3)
pozwolił na sumowanie współczynników wielomianu w
celu otrzymania aktualnej próbki sygnału w danej chwili
czasowej o uśrednionej wartości xxxxi,1f , ale za pomocą
dopasowanego wielomianu (4):
xi,1f = ∑ BBBBj,1
nnnn++++1111jjjj====1111 , (4)
gdzie i jest aktualnym cyklem pracy sterownika wyposa-
żonego w algorytm filtracji. Algorytm filtracji został
przedstawiony w formie graficznej na rys. 5.
Pierwszy krok algorytmu wymaga wyznaczenia macierzy
XXXX wedle wzoru (2) dla podanego stopnia wielomianu n
oraz liczby pamiętanych próbek z przeszłości k.
Drugi krok to wyznaczenie macierzy pseudoodwrotnej
WWWW, rezerwacji pamięci dla wektora wartości pamiętanych
próbek z przeszłości FFFF, który na samym początku pracy
sterownika przyjmuje wyłącznie wartości pierwszej
próbki filtrowanego sygnału xxxxt×1. Na potrzeby algoryt-
mu zdefiniowana jest także zmienna iteracyjna 6, ponie-
waż algorytm może zostać zastosowany do danych
zgromadzonych w wektorach - do filtracji offline. Jednak
jego właściwości w przypadku filtracji offline są znacznie
gorsze niż w przypadku regularyzacji Tickonova, więc
algorytm przeznaczony jest przede wszystkim do pracy
w czasie rzeczywistym w cyfrowych układach sterowa-
nia.
Trzeci krok polega na przypisaniu aktualnej próbki
sygnału filtrowanego xxxxt×1 do pierwszego elementu wek-
tora pamięciowego FFFF.
Czwarty krok to wyznaczenie wektora współczynników
dopasowanego wielomianu BBBB dla aktualnie zgromadzo-
nych próbek w wektorze pamięciowym FFFF.
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)
112
Rys. 5 Prezentacja graficzna algorytmu filtracji opartym na PPRLN
W piątym kroku sumowane są wszystkie współczynniki
dopasowanego wielomianu zgromadzone w wektorze BBBB, a
wyliczona suma przypisywana jest do wektora przefil-
trowanego 78,9:
na i-tej pozycji w przypadku filtracji
offline. W przypadku filtracji online algorytm wyliczał
aktualną wartość próbki sygnału po procesie filtracji.
Szósty krok występuje tylko w przypadku filtracji offli-
ne. Podejmowana jest w nim decyzja o zakończeniu
pracy algorytmu wówczas, gdy już odwołano się do
wszystkich t próbek z wektora danych filtrowanego xxxxt×1.
W siódmym kroku dane zgromadzone w wektorze pa-
mięciowym FFFF są kolejkowane (przesuwane o jedną pozy-
cję dalej) Fa,1≔Fb,1, gdzie parametr a∈Z Z Z Z ∧ a∈=2>,>k?, a
parametr b∈Z ∧ b∈=1>,>k-1@.
W ósmym kroku rozpoczynana jest kolejna pętla itera-
cyjna, w przypadku filtracji offline.
W kroku dziewiątym, przy filtracji offline, otrzymuje się
przefiltrowany sygnał zgromadzony w wektorze xxxxi,1f ,
który zgromadzony był uprzednio w wektorze danych
wejściowych xxxxt×1.
Opracowany sposób filtracji charakteryzuje się stosun-
kowo niższym przesunięciem fazowym w stosunku do
filtrów SOI i NOI w użytecznym spektrum częstotliwości
pracy dla systemów telemanipulacyjnych. Potwierdza to
analiza częstotliwościowa stosunku widma transmitancji
sygnałów po filtracji do sygnału przed filtracją dla
sterownika pracującego min. z częstotliwością 10kHz
(rys. 6).
Algorytm posiada trzy możliwości zmiany parametrów
filtracji. Jedną z nich jest liczba próbek sygnału pamię-
tanych z przeszłości k, której zwiększenie wartości
również zwiększa wartość tłumienia. Jednak zwiększenie
liczby pamiętanych próbek z przeszłości k powoduje
także zawężenie pasma przepustowego. Inną możliwością
zmiany parametrów filtracji jest zmiana stopnia dopa-
sowywanego wielomianu n (rys. 7).
Rys. 6. Wpływ ilości pamiętanych próbek z przeszłości przez
algorytm k na parametry filtracji
100
101
102
103
Częstotliwość [Hz]
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Am
plit
uda 2
0lo
g10(
Gf(z
))
Charakterystyka Amplitudowo-Częstotliwościowa
- metody filtracji
n = 1, k = 100
n = 1, k = 125
n = 1, k = 150
n = 1, k = 175
100
101
102
103
Częstotliwość [Hz]
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Faza [°]
Charakterystyka Fazowo-Częstotliwościowa
- metody filtracji
n = 1, k = 100
n = 1, k = 125
n = 1, k = 150
n = 1, k = 175
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki
113
Rys. 7. Wpływ stopnia wielomianu n na parametry filtracji
Stopień wielomianu decyduje o zawężeniu pasma przej-
ściowego na charakterystyce fazowej, ale kosztem zwięk-
szenia wzmocnienia amplitudy pasma przejściowego.
Zwiększenie stopnia wielomianu n wpływa także ko-
rzystnie na szerokość pasma przepustowego, jednak
drastycznie zmniejsza tłumienie częstotliwości w paśmie
zaporowym.
Ostatnim czynnikiem decydującym o właściwościach
filtracji jest częstotliwość pracy układu sterowania, w
którym algorytm został zaimplementowany. Częstotli-
wość ta wpływa na szerokość pasma przepustowego
metody filtracji. Zwiększenie częstotliwości pracy ste-
rownika zwiększa szerokość pasma przepustowego bez
zmiany kształtu charakterystyki w paśmie przejściowym
i zaporowym. Fakt ten oznacza, że dla częstotliwości
pracy większych niż te, którym podlegają systemy
telemanipulacyjne, wymagane mogą być układy stero-
wania pracujące z bardzo wysokimi częstotliwościami
zależnymi od pasma przepustowego. Należy jednak
pamiętać, że sam algorytm jest 10-40 razy bardziej
czasochłonny obliczeniowo od filtra SOI o tych samym
współczynniku tłumienia. Dlatego algorytm dedykowany
jest przede wszystkim do implementacji w systemach
pracujących z niskimi częstotliwościami, takimi jak
systemy telemanipulacyjne.
4. EKSPERYMENT
Przedstawiona w pracy metoda filtracji została zweryfi-
kowana na przygotowanym stanowisku badawczym o
strukturze serwoosi hydraulicznej wyposażonej w serwo-
zawór MOOG 760s (rys. 8).
Rys. 8. Stanowisko badawcze (a) fotografia, (b) widok rozstrze-
lony CAD
Uproszczony liniowy manipulator został wyposażony w
dwa niezależne czujniki pomiaru ciśnienia pozwalające
na pomiar ciśnienia w dwóch osobnych komorach siłow-
nika. Pomiar położenia korpusu manipulatora zrealizo-
wano za pomocą dwóch analogowych czujników induk-
cyjnych, z których wyliczana była wartość średnia
położenia korpusu.
Eksperyment dotyczył wykorzystania zaproponowanej
metody filtracji do filtracji sygnałów niezbędnych do
estymacji siłowego oddziaływania środowiska na mani-
pulator zdalnie sterowany - Slave. Są to dwa sygnały:
pomiar pozycji oraz pomiar sygnału sterowania prądu
zaworu.
Pierwszy sygnał, który został przefiltrowany w czasie
rzeczywistym metodą opartą na PPRLN, był pomiarem
pozycji. Sygnał ten charakteryzował się niższą wartością
amplitudy szumu w stosunku do pomiaru prądu. Ampli-
tuda natomiast była na tyle duża, że nie było możliwo-
ści wykorzystania tego sygnału w modelu odwrotnym ze
względu na poziom szumu sygnału pochodnych. Wyniki
pierwszego eksperymentu na sygnale pozycji zostały
zaprezentowane na rys. 9.
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)
114
Rys. 9. Filtracja pomiaru położenia z czujników indukcyjnych
Rys. 10. Filtracja pomiaru sygnału zadanego - prąd zaworu
Algorytm "PPRLN" w tym przypadku nie generował
zauważalnego przesunięcia w czasie sygnału pomiarowe-
go pozycji w stosunku do filtrów SOI i NOI. Mimo
braku widocznego przesunięcia fazowego algorytm
wygładził przebieg na tyle, że możliwe było obliczenie
pochodnych numerycznych z poziomem szumu, który nie
zakłócał pracy systemu. Filtr został także zastosowany
w pętli sprzężenia zwrotnego sterowania pozycją mani-
pulatora Slave, nie doprowadzając do utraty stabilności
systemu.
Natężenie prądu przepływającego przez cewkę zaworu
hydraulicznego jest kluczowym sygnałem z punktu
widzenia opisywanego bezczujnikowego układu sterowa-
nia. W celu wyznaczenia prawidłowej wartości natężenia
prądu (koniecznej do pokonania oporów ruchu środowi-
ska) od bieżącej wartości sygnału należy odjąć wartość z
modelu odwrotnego (dla manipulatora pracującego w
ruchu swobodnym). Wyniki filtracji prądowego sygnału
sterowania zostały przedstawione na rys. 10.
Sygnał sterowania przefiltrowany zaproponowaną meto-
dą również charakteryzuje się znacznie mniejszym
przesunięciem czasowym niż w przypadku filtrów SOI
oraz NOI. Jednak widoczne jest, że dla spektrum często-
tliwości przejściowego algorytm nieznacznie przesuwa w
fazie sygnał sterowania. Są to wartości jednak na tyle
małe, że nie wpływają na pracę systemu.
W dwóch przypadkach eksperymentu do filtracji sygna-
łów wykorzystano algorytm, który w czasie rzeczywi-
stym dopasowywał wielomian 3. stopnia do 150 próbek
sygnału z przeszłości. Poprawa pod względem przesunię-
cia w czasie sygnału była znacząca i wynosiła 20-40ms
względem filtrów SOI i NOI o zbliżonych parametrach
filtracji. Algorytm został zaimplementowany w sterow-
niki dSpace 1104, pracującego z częstotliwością 10kHz
5. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono metodę filtracji przeznaczoną do
dyskretnych układów sterowania zdalnie sterowanych,
bezczujnikowych systemów obustronnego działania z
kanałem siłowego sprzężenia zwrotnego. Algorytm
oparto na metodzie poszukiwania pseudorozwiązań
równań liniowych nadokreślonych, za pomocą której w
czasie rzeczywistym do zgromadzonych próbek sygnału
dopasowywany był wielomian. Podstawowa cecha algo-
rytmu, w postaci bliskiego zeru przesunięciu fazowego w
przepustowym spektrum częstotliwości, została potwier-
dzona zarówno przez charakterystyki częstotliwościowe,
jak i eksperymenty. Eksperymenty zostały przeprowa-
dzone na hydraulicznym systemie bilateralnym z siło-
wym sprzężeniem zwrotnym. Algorytm filtracji z powo-
dzeniem zaimplementowano w strukturę układu stero-
wania w pętli sprzężenia zwrotnego pozycji manipulatora
Slave, nie powodując utraty stabilności systemu nawet
podczas sztywnego kontaktu manipulatora z otoczeniem.
Prace realizowane były w ramach projektu
PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.
0 5 10 15
Czas [s]
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6a) Pomiar położenia korpusu
10.175 10.18 10.185 10.19 10.195
Czas [s]
1.47
1.48
1.49
1.5
1.51
1.52
1.53
b) Pomiar położenia korpusu
(Powiększony a) w przedziale czasu 6.111<t<6.122)
Pomiar
Algorytm "PPRLN"
SOI
NOI
Prą
d w
[m
A]
Prą
d w
[m
A]
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki
115
Literatura
1. Ali F., Jain R., Gupta D., Agarwal A.: Design and analysis of low pass elliptic filter. In: Second International
Conference on Computational Intelligence & Communication Technology (CICT). Ghaziabad, India 2016. p.
449-451.
2. Arcara P., Melchiorri C., Stramigioli S.: Intrinsically passive control in bilateral teleoperation mimo systems. In:
Control Conference (ECC), 2001 European. Porto, Portugal 2001. p. 1180-1185.
3. Atashzar S. F., Polushin I.G., Patel R.V.: Projection-based force reflection algorithms for teleoperated
rehabilitation therapy. In: IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Tokyo, Japan
2013. p. 477-482.
4. Baranowski J., Piątek P., Bauer W., Dziwiński T., Zagorowska M.: Bi-fractional filters. Part 2: Right half-plane
case. In: Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 2014 19th International Conference
Międzyzdroje, Poland 2014. IEEE. p. 369-373.
5. Ben-Dov D., Salcudean S.E.: A force-controlled pneumatic actuator for use in teleoperation masters. In:
Robotics and Automation. Proceedings.IEEE International Conference. Vol. 3. Atlanta, GA, USA 1993. p. 938-
943.
6. Chang Ming-Kun: An adaptive self-organizing fuzzy sliding mode controller for a 2-DOF rehabilitation robot
actuated by pneumatic muscle actuators. "Control Engineering Practice" 2010, Vol. 18, Iss. 1, p. 13-22.
7. Evensen G.: The ensemble Kalman filter: theoretical formulation and practical implementation. "Ocean
Dynamics" 2003, 53(4), p. 343-367.
8. Ferrara E.: Fast implementations of LMS adaptive filters. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal
Processing, 1980, 28(4), p. 474-475.
9. Ferrell W. R.: Remote manipulation with transmission delay. IEEE Transactions on Human Factors in
Electronics, 1965. HFE-6(1), p. 24-32.
10. Ferrell W. R., Sheridan T.B.: Supervisory control of remote manipulation. IEEE Spectrum, 1967, 4(10), p. 81-
88.
11. Ferrell W. R.: Delayed force feedback. Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics
Society, 1966, 8(5), p. 449-455.
12. Filanovsky I. M.: Bessel-Butterworth transitional filters. In: IEEE International Symposium on Circuits and
Systems (ISCAS). Melbourne VIC, Australia, 2014, p. 2105-2108.
13. Hastrudi-Zaad K., Salcudean S. E..: On the use of local force feedback for transparent teleoperation. In:
Robotics and Automation. Proceedings. IEEE International Conference, Vol.3. Detroit, USA 1999, p. 1863-1869.
14. Hulin T., Albu-Schäffer A., Hirzinger G.: Passivity and stability boundaries for haptic systems with time delay.
In: IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2014, 22(4), p. 1297-1309.
15. Hyun C., Park J. H., Kyunghwan K., Park J.: Sliding-mode-based impedance controller for bilateral
teleoperation under varying time-delay. In: Proceedings 2001 ICRA. IEEE International Conference, Seoul,
South Korea 2001, Vol 1, p. 1025-1030.
16. Khadraoui S., Rakotondrabe M., Lutz P.: Interval Modeling and Robust Control of Piezoelectric Microactuators.
In: Control Systems Technology, IEEE Transactions, 2012, 20(2), p. 486-494.
17. Kim W. S.: Developments of new force reflecting control schemes and an application to a teleoperation training
simulator. In: Robotics and Automation, IEEE International Conference, Nice, France 1992, Vol 2, p. 1412-1419.
18. Kim W. S., Hannaford B., Fejczy A. K.: Force-reflection and shared compliant control in operating
telemanipulators with time delay. "Robotics and Automation" IEEE Transactions 1992, 8(2), p. 176-185.
19. Larson R., Keckler W.: Optimum adaptive control in an unknown environment. In: IEEE Transactions on
Automatic Control, 1968, 13(4), p. 438-439.
20. Lawrence D. A.: Stability and transparency in bilateral teleoperation. In: Robotics and Automation, IEEE
Transactions 1993, 9(5), p. 624-637.
21. Lichiardopol S., Van de Wouw N., Nijmeijer H.: Control scheme for human-robot co-manipulation of uncertain,
time-varying loads. In: 2009 American Control Conference. St. Louis, MO, USA, 2009, p. 1485-1490.
22. McClellan J., Parks T., Rabiner L.: A computer program for designing optimum FIR linear phase digital filters
In: IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 1973, 21(6), p. 506-526.
23. Miądlicki K., Pajor M.: Overview of user interfaces used in load lifting devices. "International Journal of
Scientific & Engineering Research" 2015, 6(9), p. 1215-1220.
24. Miądlicki K., Pajor M.: Real-time gesture control of a CNC machine tool with the use Microsoft Kinect sensor.
"International Journal of Scientific & Engineering Research" 2015, 6(9), p. 538-543.
FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)
116
25. Moreau R., Pham M. T., Tavakoli M., Le M. Q., Redarce T.: Sliding-mode bilateral teleoperation control design
for master–slave pneumatic servo systems. "Control Engineering Practice" 2012, 20(6), p. 584-597.
26. Nguyen T., Leavitt J., Jabbari F., Bobrow J. E.: Accurate sliding-mode control of pneumatic systems using low-
cost solenoid valves. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007, 12(2), p. 216-219.
27. Niemeyer G., Slotine J.: Stable adaptive teleoperation. Oceanic Engineering. In: IEEE Journal of, 1991, 16(1), p.
152-162.
28. Mirosław P., Miądlicki K., Saków M.: Kinect sensor implementation in fanuc robot manipulation. "Archives of
Mechanical Technology and Automation" 2014, 34(3), p. 35-44.
29. Piątek P., Baranowski J., Zagórowska M., Bauer W., Dziwiński T.: Bi-fractional filters, part 1: Left half-plane
case. "Advances in Modelling and Control of Non-Integer-Order Systems" 2015, p. 81-90.
30. Polushin I. G., Takhmar A., Patel R. V.: Projection-based force-reflection algorithms with frequency separation
for bilateral teleoperation. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2015, 20(1), p. 143-154.
31. Psychalinos C., Tsirimokou G., Elwakil A. S.: Switched-capacitor fractional-step Butterworth filter design.
"Circuits, Systems, and Signal Processing" 2016, 35(4), p. 1377-1393.
32. Ra W. S., Whang I.: Recursive weighted robust least squares filter for frequency estimation. In: 2006 SICE-
ICASE International Joint Conference. Busan, South Korea 2006, p. 774-778.
33. Rakotondrabe M., Ivan I. A.: Development and force/position control of a new hybrid thermo-piezoelectric
microgripper dedicated to micromanipulation tasks. In: Automation Science and Engineering, IEEE
Transactions 2011, 8(4), p. 824-834.
34. Rakotondrabe M., Ivan I. A., Khadraoui S., Clevy C., Lutz P., Chaillet N.: Dynamic displacement self-sensing
and robust control of cantilever piezoelectric actuators dedicated for microassembly. In: Advanced Intelligent
Mechatronics (AIM), 2010 IEEE/ASME International Conference on. Montreal, QC, Canada 2010, p. 557-562.
35. Rakotondrabe M., Ivan I. A., Khadraoui S., Lutz P., Chaillet N.: Simultaneous displacement/force self-sensing
in piezoelectric actuators and applications to robust control. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2015,
20(2), p. 519-531.
36. Saków M., Miądlicki K., Parus A.: Self-sensing teleoperation system based on 1-dof pneumatic manipulator.
"Journal of Automation, Mobile Robotics and Intelligent Systems" 2017, 11(1), p. 64-76.
37. Saków M., Pajor M., Parus A.: Estymacja siły oddziaływania środowiska na układ zdalnie sterowany ze
sprzężeniem siłowym zwrotnym o kinematyce kończyny górnej. "Modelowanie Inżynierskie" 2016, nr 58,t. 27, s.
113-122.
38. Saków M, Pajor M., Parus A.: Układ sterowania samowyznaczający siły oddziaływania środowiska na
manipulator wykonawczy w czasie pracy systemu telemanipulacyjnego. "Projektowanie Mechatroniczne -
Zagadnienia Wybrane" 2016, Vol. 1., s. 139-150.
39. Saków, M., Parus, A.: Sensorless control scheme for teleoperation with force-feedback, based on a hydraulic
servo-mechanism, theory and experiment. "Measurement Automation Monitoring" 2016, 62(12), p. 417-425.
40. Saków M., Parus A., Miądlicki K.: Predykcyjna metoda wyznaczania siły w siłowym sprzężeniu zwrotnym w
systemie zdalnie sterowanym. "Modelowanie Inżynierskie" 2017, nr 62, t. 31, s. 88-97.
41. Saków M., Parus A., Pajor M., Miądlicki K.: Nonlinear inverse modeling with signal prediction in bilateral
teleoperation with force-feedback. In: Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 22nd
International Conference,Międzyzdroje, 2017, p. 141-146.
42. Sheridan T. B.: Space teleoperation through time delay: review and prognosis. "Robotics and Automation":
IEEE Transactions 1993, 9(5), p. 592-606.
43. Sheridan T. B., William R. F.: Human control of remote computer-manipulators. In: Proceedings of the 1st
International Joint Conference on Artificial Intelligence. 1969, p. 483-494.
44. Keith D., Majewski M.: Intelligent opinion mining and sentiment analysis using artificial neural networks. In:
International Conference on Neural Information Processing. Istanbul, Turkey, 2015, p. 103-110.
45. Keith D., Majewski, M.: Ana Botella Trelis. Intelligent semantic-based system for corpus analysis through
hybrid probabilistic neural networks. In: International Symposium on Neural Networks, 2011, p. 83-92.
46. Tadano K., Kawashima K.: Development of 4-DOFs forceps with force sensing using pneumatic servo system.
In: Proceedings 2006 IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2006. ICRA 2006. Orlando,
FL, USA, 2006, p. 2250-2255.
47. Tavakoli M., Patel R. V., Moallem M.: A force reflective master-slave system for minimally invasive surgery. In:
Intelligent Robots and Systems (IROS 2003). Proceedings. 2003 IEEE/RSJ International Conference. Las Vegas,
NV, USA, 2003, Vol.3, p. 3077-3082
48. Tomovic R., Boni G.: An adaptive artificial hand. In: IRE Transactions on Automatic Control, 1962, 7(3), p. 3-
10
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus
49. Trefethen, Lloyd N, David Bau III.:
50. Tsirimokou G., Psychalinos C., Elwakil
realizations using current-mirrors. I
2015, p. 2337-2340.
51. Wei A., Khosla P. K., Riviere C. N.
actuators in trajectory-tracking applications.
142.
52. Wen-Hong Z., Salcudean S. E.: Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.
In: Automatic Control, IEEE Transactions 2000
53. Whitney D.: State space models of remote manipulation tasks.
1969, 14(6), p. 617-623.
54. Zhai D. H., Xia Y.: Adaptive control for teleoperation system with varying tim
constraints. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016
55. Zhai D. H., Xia Y.: Adaptive control of semi
delays and input uncertainties. In: IEEE Transactions on Cybernetics, 2016
56. Zho M., Ben-Tzvi P.: RML glove
IEEE/ASME Transactions 2015, 20(2)
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki
117
.: Numerical linear algebra, 1997, Vol. 50.
, Elwakil A. S.: Digitally programmed fractional-order Chebyshe
mirrors. In: 2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS)
C. N.: Feedforward controller with inverse rate-dependent model for piezoelectric
tracking applications. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007
Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.
Transactions 2000, 45(11), p. 1951-1969
State space models of remote manipulation tasks. In: IEEE Transactions on Automatic Control,
control for teleoperation system with varying time Delays and input saturation
IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(11), p. 6921-6929
control of semi-autonomous teleoperation system with asymmetric time
IEEE Transactions on Cybernetics, 2016, PP(99), p. 1-
glove - an exoskeleton glove mechanism with haptics feedback
20(2), p. 641-652.
y na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
order Chebyshev filters
2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS),
dependent model for piezoelectric
Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007, 12(2), p. 134-
Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.
IEEE Transactions on Automatic Control,
elays and input saturation
asymmetric time-varying
-13.
an exoskeleton glove mechanism with haptics feedback. In: Mechatronics,
y na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.