Field Theory I July 14,2020

Lecture 7Eij -_- Gjk 0た、 Eio = Wi

Lorentz transf .

詘きり☆ → 貳城では𦥯p

exp ( ま ぽーいけば)

や↳

yiithlた = exp ( Ewがりunless

Sigma matrices

が 二(12,03030--3) Tた ( 1 z , - 01,-03 - 03)

om_I.comが-0なり、まれに も 1が よー が0M)

4

の たが ( 一の -0 で はり) -しな ] = IEはが

2iqijkob.JO_ た (が 1 - 1 1 - 0 り ) - し oi

- し Eno" -_- し Gij がよ。 i Eioが ° = 1 ifktwn)こ

がし

、が"

Satisfied the Lorentz algebra .

. omt_ g M ,

INT = JM

(がけ = が ⇒ ベ =が

口 Lagrangean for Spinor Fields

Weylspinors 421が、 4RCD

4し 、 4R Take values in Grassmamnumberseee・ Grossman numbers

Odd~

の、 p Grossman numbers は 1 - 1

の p - - p の anti.commuting

の 2 = 0

x : Ordinary number Grossman even numberIII = 0

AB = C- 1)IBMBA

o. 7,3 : Complete Grassmannnnmbe.rs

で、 3* : amph conjugate of で 3

(78)* = G *で 、 _ n*y*

Lagr興

4で もがた,4た のが4RLorentascalar.ee

14せ た が生 )*= が 4で 計 4、

- が 4、 Tu 4u が 14で言い

まい た 14せ た が 4、 . が出た 4き ー どなどを

Kinetic terms forそこで 4」などとし た が 1 4でのでい)nnnnnn

LR = 立 1 4 で の が 4、 -2"4/0µ 4R)

= i 4が 0µ が 4R + Total derivative

Mass terms 4で4R,

4が4、 Lorentz Sedan

( 4では )と 4がた

よmas = 一 m 1424。 +4が先)

Diraclagraた燕:籊鱲鬱洲口

口 Diracspinoree4 - comment 4=1剡Spinon

mmmm= で 40

+ 0 12 ( と4が4、 +4で4が 1 4で、 知 (沖) 4)

に げ りしま) = 1 4が ど)Dirac conjugate of 4

i 4世が2µ4、 t で けが が 2µ 4 R

- i には どう 1 !市)が m ) の信 )

i10した= i I が 2µ 4

-H = I ( i が 2µ - m ) 4eee

Dirac Lagrange ' an

Dirac

matrices.tli き )が 1 で も) ・ T.fi な)だぱ○• { yyyy = がよ+ JM - 2gN 14

( OMが+のが -2が 1 2 , みなたが0M = 2gで 1)

.jot.gg giた _

gi.meg 0 gは g O t.jo jogo t.JO

goyityoo_goyiyo_g.ioLorentz transformations of 4い) - 1 着!)

n.物→ 44×リ = 1 ± 4 D "

が expl.iq、無) = ドが訕が)0

o 毈ぼ)11

SN - f [が、 み] ぺ

= 䢵ばき)はではでは部詩が高が

"

でのがの )=は 別

.SN satis.fies the Lorentz algebra .

n [ が , SPO ] ( MPO) M 、 J

・

r01swfj0-_suvg0njr0-expfIavd0@Jry-e.xpは Enが)

= ヘジ

Lorentz transformations of t Dirac conjugate

IX) → 4てい ー い ている0=41が njr 0= 4で) 8 0 1」な 0

kianintた) 41×1 Lorentz Scalar

o なる MA 」 = バ、J'

Iが 4 Lorentz Vector

II derivative with repeat o Grossman number

0 : Grossman number 02=0

f10) = a + ED

・ arme f Grossmann even a i GrassmannerenDi Grossmannodd

長 : GrassMann odd

tで興 長510) = 長 at長Cfb)こ まさ。 b 2 b

㗅いい興 5嶧 = a誌嫌で 一魍 b

= 一 b

L = Ili が 2 µ 一 m) 4m

Euler - Lagrange eq科- 2

µ (高が よ ) +言よ 」 (i で 2µ - m) 4分= 0

for 4

- an (高は ) +言 よ ーのはみ) -mote- - i の好を m で-0

・ (はなµの第呟くと虎

i の好Mtm I = 。

1 Hemitianwj

・ 2 - Component Notation

i 0 Mの 4、 一 m 4R - 0{i が 2µ 4R - m 4t

= 0