FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: A Beleza e a Arte da Geometria Fractal na Construção de Cartões.

Autor Alessandry Amaral

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização Colégio Estadual José de Anchieta, Rua Juazeiro , 1501

Município da escola Quedas do Iguaçu – Pr

Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul

Professor Orientador Prof.ª. Ms. Maria Regina Carvalho Macieira Lopes

Instituição de Ensino Superior UNICENTRO- Guarapuava

Relação Interdisciplinar Matemática e Artes

Resumo

Neste trabalho apresentamos a unidade didática destinada aos

Professores de Matemática da Rede Estadual de Ensino de Quedas

do Iguaçu. Através da geometria fractal explorando a construção de

cartões fractais abordaremos diversos conteúdos matemáticos como:

perímetro, área, volume, dimensão, progressão geométrica, triângulo

de Pascal, simetria, entre outros. Estes conteúdos matemáticos serão

explorados durante a construção de cartões fractais, seguidos de

textos e vídeos de apoio para que o professor compreenda a

importância do uso dos fractais como aliado a aprendizagem

matemática, tornando suas aulas de geometria mais atrativas e

oportunizando aos alunos o conhecimento de uma geometria rica em

detalhes e dimensões.

Palavras-chave Geometria Fractal, Cartões, Matemática.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Professores de Matemática da Rede Estadual de

Ensino de Quedas do Iguaçu- Pr.

2. APRESENTAÇÃO

Preparar aulas de Matemática mais interessantes e inovadoras sempre foi

um dos maiores desafios dos matemáticos, que procuram repassar conteúdos com

uma dinâmica diferenciada para os alunos que já trazem consigo, muitas vezes,

certa ansiedade acreditando que a matemática é muito difícil, principalmente no

conteúdo relacionado as geometrias.

Um dos maiores problemas em sala de aula nas aulas de Matemática é que

precisa-se levar os alunos a encantarem-se com o conhecimento, e para isso é

necessário criar condições para que possam construir este conhecimento no

concreto, que consigam visualizar esta aprendizagem. A visualização da

aprendizagem sobre fractais pode ser realizada através da construção de cartões,

que podem levar os alunos a maravilhar-se com a sua beleza e com a apresentação

de um saber novo e diferente da geometria que estão acostumados a estudar.

O professor de Matemática ao trabalhar com o aluno deve levá-lo a

aprofundar-se na geometria euclidiana, que trata das figuras planas e espaciais

como na geometria não euclidiana, que se refere à geometria projetiva (pontos de

fuga e linhas do horizonte); geometria topológica (conceitos de interior, exterior,

fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noção

de geometria dos fractais. E ao abordar a “geometria dos fractais, pode-se explorar

os fractais clássicos, como: o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de

Sierpinski entre outros” a fim de conduzi-lo a observação do senso estético para

“constatar que há regularidade harmoniosa nas suas próprias irregularidades”.

(PARANÁ, 2008, DCE’S. p.56).

Como a geometria fractal ainda é uma novidade na Matemática, torna-se

interessante produzir este material didático para que os professores integrem-se ao

conteúdo desta geometria não euclidiana e com ela possam oferecer a seus alunos

uma aula mais interessante, porque primeiro o professor necessita dominar bem o

conhecimento para depois passar este conhecimento aos alunos.

Por meio da construção dos cartões fractais e das intervenções realizadas

nesta produção didática pedagógica será possível explorar vários conteúdos

matemáticos que estão inseridos no planejamento de Matemática e que podem ser

construídos conceitos matemáticos mais consistentes e ainda após confeccionar

estes cartões conjuntamente, os professores terão conhecimento e suporte

pedagógico para aplicar em suas salas de aula outros cartões, ou até mesmo,

produzir novos cartões com temas da natureza, enfim ampliar ainda mais os

horizontes sobre o tema.

De acordo com Barbosa (2005), existem diversas razões para o professor

utilizar-se da geometria fractal em sala de aula como: a conexão com diversas

outras áreas das ciências, a deficiência da geometria euclidiana apresentada como

meio de entender as formas da natureza, sendo que a natureza por ser mais

complicada exige uma geometria ”mais rica”, a difusão desta geometria através da

computação, a sensação do aluno ao verificar que na desordem existe ordem e

especialmente a existência da beleza visual que a construção de cartões fractais

pode proporcionar aos alunos.

A produção didática pedagógica tem como objetivo geral proporcionar aos

professores cursistas, situações que os levem a conhecer mais sobre a geometria

fractal e como a construção de cartões fractais podem servir de suporte pedagógico

para a exploração de diversos conteúdos matemáticos de maneira mais dinâmica e

atraente perante os alunos.

No desenvolvimento deste trabalho, propõe-se primeiro o conhecimento

sobre o tema fractal e a seguir a oficina de construção dos cartões e a exploração

dos conteúdos como: medida, simetria, potência, área, perímetro, funções e outros

conteúdos que surgirem durante a oficina de construção dos cartões.

3. MATERIAL DIDÁTICO

A) ATIVIDADE 1: QUESTIONÁRIO( Dur: 2 h/a)

A Atividade 1 apresenta um questionário direcionado aos professores

cursistas, contendo um total de 5 questões, sendo 2 abertas e 3 fechadas

relacionadas ao conhecimento que os mesmos já possuem sobre a geometria e sua

aplicabilidade em sala de aula.

O objetivo é investigar o conhecimento que o professor cursista possui sobre

a geometria fractal e como utiliza-se do ensino da geometria na sua prática docente.

1- Apresentar-se e dar as boas vindas aos participantes do grupo de

estudo salientando sobre o objetivo de sua produção pedagógica do PDE

que é oportunizar o conhecimento de uma geometria mais rica que vai tornar

as aulas de matemática, em relação aos conteúdos de geometria mais

envolvente para o aluno;(20min)

2- Separar os professores em grupo de 4 participantes . Entregar os

questionários para que respondam as questões;(30min)

3- Pedir que cada grupo socialize as questões 1 de cada vez e que

discuta-se a resposta da questão 1, depois da questão 2 e assim

sucessivamente até que todos os grupos apresentem suas

questões?(30min)

4- Esclarecer aos professores qual foi o objetivo da aplicação do

questionário e como estas informações contribuirão para as próximas

atividades a serem desenvolvidas sobre o tema que vamos estudar: Os

fractais. (20min)

5- Questionário:

QUESTIONÁRIO

1- No ensino de geometria, em sala de aula, trabalhamos muito com a geometria

euclidiana que compreende a geometria plana e a espacial e sabe-se que é

necessário no estudo da geometria conhecer as demonstrações das fórmulas,

teoremas e aplicar as regras e convenções matemáticas, além de possibilitar

ao aluno do ensino médio, acesso ao amplo mundo das geometrias. (DCE’S,

2008.p.56/57) Para explorar a geometria euclidiana, você costuma usar qual

metodologia de ensino? Assinale todas as alternativas que englobam sua

metodologia.

( ) Figuras e cálculos sistematizados

( ) Oficinas

( ) Jogos cooperativos

( ) Arquivos do portal Dia a Dia

( ) Vídeos específicos

( ) Tecnologia e multimeios

( ) Outros. Qual?___________________________

2- Na primeira metade do século XVII, o conhecimento geométrico recebeu a

abordagem nova com a geometria analítica, trazendo uma dinâmica para a

geometria, abrindo caminhos para o pensar além da geometria euclidiana.

Assim, em meados do século XIX, matemáticos como Bolyai, Lobachesvski,

Riemann e Gauss, trouxeram uma nova maneira de ver e conceber o

conhecimento geométrico por meio da geometria não euclidiana, com a

Teoria da Relatividade. Provando que os problemas do mundo só são

resolvidos pela geometria não euclidiana. (DCE’S, 2008.p.56/57) Como você

utiliza a geometria não euclidiana em suas aulas? Assinale todas as

alternativas que definem sua aplicabilidade.

( ) Apenas conceitos

( ) Conceitos e propriedades

( ) Questões que envolvam álgebra

( ) Questões que envolvam aritmética

( ) Questões que envolvam aritmética e álgebra

( ) A beleza das formas da natureza e a geometria não euclidiana.

( ) Materiais diversos, Como?____________________________________

_______________________________________________________________

3- Falando em geometria não euclidiana, podemos citar a geometria fractal, a

geometria projetiva, a geometria hiperbólica e elíptica, porém, a geometria

fractal é a que possibilita o estudo das formas da natureza por apresentar

uma dimensão a mais que as outras geometrias, sendo considerada a

geometria rica em detalhes e beleza das formas (DCE’S, 2008.p.56/57). Com

base no texto acima responda as questões a,b,c?

a) Nas suas aulas a geometria projetiva é utilizada:

( ) Frequentemente

( ) Raramente (apenas definições)

( ) Nunca

b) Você explora a geometria hiperbólica e elíptica

( ) Frequentemente

( ) Raramente

( ) Nunca

c) A geometria fractal torna possível o estudo das formas da natureza. Em

seu cotidiano escolar com que frequência explorou esta geometria?

( ) Frequentemente

( ) Raramente

( ) Nunca

4- Se já utilizou em sala de aula estudo sobre geometria fractal, qual atividade

realizou?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5- A proposta da Produção Didática Pedagógica é abordar a geometria fractal e

explorar conteúdos matemáticos presentes na construção de cartões com os

fractais primitivos como: O Floco de Neve, a Curva de Koch, o Triângulo e o

tapete de Sierpinski, a Curva de Peano. O que acha de aprender a construir

cartões e explorar a geometria fractal com seus alunos, possibilitando uma

aula de geometria mais atraente além de ser uma novidade?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

b) ATIVIDADE 2: SEMINÁRIO DE INTRODUÇÃO AOS FRACTAIS E SUA

HISTÓRIA (Dur: 2 h/a)

Seminário tem por objetivo a produção textual da oralidade, ou seja, a

exposição com base na transmissão oral de conhecimentos específicos e técnicos

de um assunto, no qual o orador deve ter domínio pleno do tema abordado sendo

apresentado por uma única pessoa ou por um grupo de pessoas. ( BRASIL

ESCOLA, 2012).

Este seminário tem objetivo de esclarecer e motivar os professores

cursistas quanto ao estudo e aplicação em sala de aula da geometria fractal e como

a exploração dos cartões fractais pode levar a aplicação de conteúdos matemáticos

de geometria.

Para explorar o estudo dos fractais e sua história, apresenta-se aos

cursistas o vídeo: Fractares y Caos, retirado do site Dia a dia educação, ( adicionado

em 28/04/2009), com duração de 11min 46seg, o vídeo original é em espanhol,

porém em 2008 foi feita a narração em língua portuguesa pelo acadêmico do curso

de licenciatura em Matemática Alexandre Pereira Salgueirinho, o link para acesso do

vídeo é:

http.//www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/delaser/singlefile.php?id=13047. e

a seguir slides explicativos sobre o tema fractais e sua contribuição para o estudo da

geometria e a exploração de conteúdos matemáticos.

1. Recepcionar os colegas; (10min).

2. Apresentar o vídeo que apresenta explicações sobre fractais e sua

história; (20min).

3. Conversar sobre o vídeo fazendo interpretação sobre o conteúdo,

utilizando-se da explanação oral; (20min).

4. Utilizar os slides com uma explicação mais detalhada sobre o que são

fractais e sua contribuição para o estudo da geometria não euclidiana e da

inovação nas aulas de Matemática; (30min).

5. Pedir aos cursistas que após assistirem ao vídeo e aos slides, escreva em

um papel a importância de trabalhar a geometria fractal para ensinar aos

alunos os conteúdos matemáticos e socializar a escrita. (20min).

c) ATIVIDADE 3 QUEBRA-CABEÇAS FRACTAIS ( Dur: 4 h/a)

As atividades de quebra cabeças são excelentes para desenvolver o

raciocínio lógico, pois requer a formalização e a utilização das peças de maneira

ordenada e numa sequência visual perfeita. Os quebra-cabeças levam os

professores a desafiar a mente e montar figuras que representam fractais.(RACHA

CUCA, 2012)

Esta atividade tem o objetivo de despertar nos cursistas a beleza e a riqueza

da geometria fractal para que observando-se suas formas passem a interessar-se

cada vez mais pelo tema fractal.

1. Antes dos professores cursistas entrarem na sala de aula, distribuir os

quebra cabeças desmontados em carteiras, separando assim um

quebra cabeça para cada grupo;

2. Expor as imagens dos quebra cabeças por meio de Datashow para

que os cursistas se familiarizem com as imagens dos fractais neles

existentes, e a sequência de cada imagem. Explicar brevemente o

que é cada fractal.(30min);

3. Cada grupo escolhe o quebra cabeça que irá montar.(10min);

4. Montar os quebra cabeças (60min);

5. Após montar seu quebra cabeça. O grupo irá descrever uma atividade

matemática em que possa ser utilizada a técnica de quebra cabeça

explorando conteúdos matemáticos do seu Plano de Trabalho

Docente. (60min)

6. Expor a atividade para os demais grupos (40min).

Na figura de 01 a 20 observe os quebra cabeças a serem utilizados nesta

atividade:

Figura 01 - Triângulo de Sierpinski

Fonte: AMARAL, 2012

Figura 2: Floco de Neve,

Fonte: AMARAL, 2012

Figura 3: Curva de Koch,

Fonte: AMARAL, 2012

Figura 4: Curva de Hilbert

Fonte: AMARAL, 2012

Figura 5: Conjunto de Mandelbrot,

Fonte: Física Interessante

Figura 6: Conjunto de Mandelbrot,

Fonte:http://máxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/máxima_47.html

Figura 7: Conjunto de Mandelbrot,

Fonte: Capital Cartões

Figura 8: Conjunto de Julia,

Fonte; Física Interessante

Figura 9: Conjunto de Julia,

Fonte: Método De Rose Alta Performance/O Despertar da Consciência Cósmica

Figura 10: Esponja de Menger

Fonte: ZEIT FRACTALES

Figura 11; Formas da natureza – Árvore

Fonte: MACEDO, 2008

Figura 12: Formas da Natureza- Paisagem

Fonte: CANALLI, 2008.

Figura13: Formas da Natureza -Relâmpago

Fonte: CANALLI, 2008

Figura 14: Forma da Natureza - Brócolis

Fonte: AMARAL, 2012

Figura 15:- Estrutura Fractal dos Vasos Sanguíneos do Coração

Fonte: BOLCO QUADRICULADO.WORDPRESS.COM

Figura 16: Sistema Respiratório-Pulmões

Fonte: CANALLI, 2008.

Figura 17: Corpo Humano- DNA

Fonte: A Matemática na Natureza

Figura 18: Arte Fractal

Fonte: CANALLI, 2008

Figura 19: Arte Fractal

Fonte:Fourart.homestead.com

Figura 20: Arte Fractal

Fonte: CANALLI, 2008

d) ATIVIDADE 4 : Oficina 1: Construção individual de Cartões fractais

Sequência Oficina 1 (Dur: 8 h/a)

a) Apresentar a turma o objetivo da construção coletiva dos três cartões;

(20min).

b) Construir, junto com a turma os três cartões fractais passo a passo,

explorando o processo de construção e sua relação com os

conteúdos matemáticos que podem ser trabalhados em cada cartão;

(380min).

Passo a passo da confecção dos cartões

1-Cartão Degraus Centrais com figura de Borboleta

O cartão denominado Degraus Centrais, além da beleza das etapas fractais

que contemplam uma perfeição de formas sobrepostas onde em cada etapa de

iteração tem-se à próxima figura idêntica a primeira apenas numa proporção menor,

é apresentado acompanhado da arte francesa na sobreposição da gravura de uma

borboleta.

Ao utilizar-se da sobreposição de gravuras em papel o artista consegue dar

á produção de cartões, um efeito de profundidade e a ideia de movimento da figura.

Tanto que na Inglaterra recebe o nome de arte tridimensional. Vejamos a seguir

passo a passo a construção do cartão Quartil Central (Figura de 21 a 28).

Passo 1: Em uma folha de cartolina, recorte um retângulo com medida de

40/32 e forme uma malha quadrangular com medida de 1cmx1cm

Figura 21: Malha quadrangular

Passo 2: Cole a imagem da Borboleta no verso da malha

Figura 22: Borboletas

Fonte: glimboo.com

Passo 3: Dobre a folha ao meio encontrando seu eixo de simetria;

Postulado1: Eixo de Simetria “ É a linha reta que divide uma figura em duas partes

que coincidem por superposição, quando dobradas uma sobre a outra. A linha reta

formada pela dobra é o eixo de simetria.(FRANÇA, 1999.p.281).

Figura 23: Eixo de simetria da malha quadrangular

Passo 4: Com a cartolina dobrada ao meio conforme a figura acima, divida

em 4 partes( 8 cm) e recorte verticalmente 2/4( 16 cm) centrais até chegar a

simetria, formando um retângulo com medidas de 16cmx10cm;

Postulado 2: É um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si.,

sendo dois lados verticais e dois horizontais(FRANÇA, 1999.p.281).

Figura 24: Formação do 1º retângulo

Passo 5: Observe o retângulo que se formou ,com medida de 16cm por 10

cm, recorte as duas parte centrais ( 8 cm), num total de 16 cm. Recorte 10

cm na altura, dobre-o para a parte interna, pressionando bem para formar o

vinco. Abra o cartão e visualize a primeira iteração do cartão fractal que se

formou, ou seja, o primeiro degrau;

Figura 25: Formação da 1ª iteração do cartão quartil ou 1º degrau

Passo 6: Volte novamente a dobrar o cartão, meça a parte central(

horizontal), que contém a medida de 16cm e divida em quatro partes iguais,

ou seja, 4 cm cada parte. Recorte as duas partes central (8cm) e dobre esta

parte para dentro, formando novamente vincos bem fixados. Abra o cartão e

visualize a segunda iteração do cartão, ou o segundo degrau do cartão;

Figura 26: Formação da 2ª iteração do cartão quartil ou 2º degrau

Passo 7: Desdobre novamente e meça o retângulo em quatro partes iguais(2

cm cada parte) horizontalmente. Recorte( na vertical) as duas partes

centrais,( 4cm) dobre-a até metade da altura, dobre para dentro formando os

vincos. Abra o cartão e verifique a terceira iteração do cartão ou o terceiro

degrau.

Figura 27: Formação da 3ª iteração do cartão quartil ou 3º degrau

Passo 8: Aplicar a Arte Francesa

Figura 28: Cartão Quartil com Arte Francesa

Explorando os conteúdos matemáticos do cartão

1- Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na

construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura

29:

Figura 29: Malha planificada do Cartão Quartil

Nível do fractal

(planificado)

Perímetro

(planificado)

Área

(planificado)

Volume

(paralelepípedo)

0 (malha

quadriculada

40x32cm)

P=2 (b+H)

P= 144cm

A= b.H

A=1280cm²

1 ( 1ª iteração) P= 72cm A=320cm² V= c.l.H

V= 1000cm³

2 (2ª iteração) P=36cm A= 80cm² V=125cm³

3 (3ª iteração) P=18cm A= 20cm² V =15,625cm³

N P=N A=N V=N

2 - Analisando as iterações do cartão quartil( na sua formação “dobras”), podemos

perceber que os degraus formam a seguinte P.G. (1, 2, 4...). Com base nisso

determine:

a) A razão(q);

b) O termo

c) Para visualizar a quarta iteração no cartão Quartil Central, o an =8, e q=2

então qual será o n termo desta P.G?

d) Na quinta iteração 0 n=5, q=2, calcule o an?

e) Classifique esta P.G. em: Crescente, decrescente, constante ou oscilante.

f) A soma dos 6 primeiros termos:

1- Cartão Tridimensional – Conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor é um subconjunto de intervalo definido pelo

matemático Georg Cantor como limite de um processo interativo.

O objetivo desta construção é além de apresentar a beleza da construção

fractal explorar os conteúdos matemáticos: razão, perímetro, área e volume das

iterações.

1º Passo: No verso da figura do coração, desenhe um retângulo de

27cmx24cm e nele construa uma malha retangular com medidas de 1cm no

comprimento e altura de 1,5cm;

Figura 30: Imagem Fractal do Cartão tridimensional

Fonte: fourart.homestead.com

Figura 31: Malha retangular do Cartão Tridimensional

2º Passo: Encontre a Simetria em relação á altura da malha retangular,

pressione para formar um vinco. Divida na altura, os 24cm, em três partes e

construa um retângulo central com 9 retângulos de altura por 4 retângulos de

largura, nas duas partes da malha, frente e verso;

Figura 32: Desenho do 1º retângulo

3º Passo: Recorte o retângulo na sua largura e dobre-o simetricamente,

formando assim a 1ª iteração;

Figura 33: Formação da 1ª iteração

4º Passo: Divida as extremidades da malha retangular em três partes,

construindo em cada extremidade um quadrado de 3cmx3cm, recorte sua

largura, dobre simetricamente e visualize a 2ª iteração;

Figura 34: formação da 2ª iteração

5º Passo: Divida as partes restantes em retângulos de 1cmx 1,5cm, nos dois

lados da malha e recorte na largura, pressione formando os vincos e

visualize a 3ª iteração do Conjunto de cantor;

Figura 35: formação da 3ª iteração

7º Passo: Agora é só aplicar a Arte Francesa

Figura 36: Cartão tridimensional Conjunto de Cantor com Arte Francesa

Explorando os conteúdos Matemáticos do Cartão

1-Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na

construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura 37:

Figura 37: Planificação da malha do cartão Tridimensional Conjunto de

Cantor.

Nível do fractal

(planificado)

Perímetro

(planificado)

Área

(planificado)

Volume

(paralelepípedo)

0 (malha quadriculada

27x24cm)

P=2 (b+H)

P= 102cm

A= b.H

A= 648cm²

1 ( 1ª iteração) P= 42cm A=108cm² V= c.l.H

V= 324cm³

2 (2ª iteração) P= 18cm A= 18cm² V= 27cm³

3 (3ª iteração) P= 8cm A= 3cm² V = 2,25cm³

N P=N A=N V=N

2- Calcular a razão da área e do volume de cada iteração.

Postulado: Sendo a e b dois números racionais, com b≠0, denomina-se razão entre

a e b ou razão de a para b o quociente a/b ou a:b (GIOVANNI, 1998.p.164).

a) Qual a razão entre a área do nível 0 e 1ª iteração? R= 648/108=6

b) Qual a razão entre a área da 1ª e a 2ª iteração? R= 108/18=6

c) Qual a razão entre a área da 2ª e da 3ª iteração? R= 18/3=6

d) As razões da área são proporcionais? R= Sim

e) Qual a razão do volume da 1ª iteração para a 2ª iteração? R= 324/27= 8

f) Qual a razão do volume da 2ª iteração para a 3ª iteração? R=27/2,25=12

g) As razões do volume são proporcionais? R=Sim

3- Triângulo de Sierpinski ( Samambaia)

O triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um

processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por

apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto

dos números reais; ter área igual a zero no nível; ser autossemelhante; não perder a

sua definição inicial a medida que é ampliado. Foi primeiramente descrito por

Waclaw Sierpinski (1882-1969) matemático polonês.

O objetivo desta construção é provar que a autossimilaridade dos fractais

são visíveis a medida que vai aumentando a sua iteração. E explorar conteúdos

matemáticos através da construção.

Vamos construir:

1º Passo: Escolha uma imagem ( Samambaia) na forma de um retângulo de

40cmx28cm. Construa no verso da imagem uma malha retangular dividindo a

medida de 40cm em 16 partes de 2,5cm e a medida 28cm, em 8 partes de 3,5cm.

Figura 38: Fractal da natureza Samambaia

Fonte: Racionalidade Abstrata:DNA e Geometria Fractal,Postado por:Guilherme A. Pianezzer

Figura 39: Malha retangular

2º Passo: Encontre o ponto médio da malha e forme um vinco, marcando

nela um retângulo de 14cm x 20cm nos dois lados conforme a figura 40;

Figura 40: Ponto médio formando retângulo

3º Passo: Recorte na sua altura (14cm) dobre para dentro, pressione, abra

a figura no verso ( onde possui a imagem Samambaia) e visualize a 1ª

iteração;

Figura 41: 1ª iteração do Triângulo de Sirpinski

4º Passo: Encontre o ponto médio dos 14cm de altura, desenhe um

retângulo, assim também com a largura, encontre o ponto médio e desenhe

outro retângulo, Visualize que foram formados degraus congruentes;

Figura: 42:Degraus Congruentes

5º Passo: Dobre-os para dentro, vire para a figura e observe a 2ª iteração;

Figura 43 : 2ª iteração ou 2º degraus do cartão

6º Passo: Em cada degrau, encontre o ponto médio e desenhe retângulos

conforme a figura 44;

Figura 44: Encontro do ponto médio

7º Passo: Recorte, dobre-os para dentro, vire o cartão e visualize a 3ª

iteração;

Figura 45: 3ª iteração ou 3º degrau do cartão

8º Passo: Aplique a arte francesa.

Figura 46: Arte Francesa no cartão Triângulo de Sierpinski

Conteúdos matemáticos explorados na construção do cartão

1-Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na

construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura 47:

Figura 47: Malha planificada do triângulo de Sirpinski

Nível do fractal

(planificado)

Perímetro

(planificado)

Área

(planificado)

0 (malha retangular

40x28cm)

P=2 (b+H)

P= 136cm

A= b.H

A=1120cm²

1 ( 1ª iteração) P= cm

68 cm

A=280cm²

2 (2ª iteração) P= 34cm A= 70cm²

3 (3ª iteração) P=17cm A= 17,5cm²

N P=N A=N

2- Observando-se a construção do Triângulo de Pascal na malha retangular pronta,

além dos números binomiais que aparecem sucessivamente , pode-se perceber a

potência na base 11. Então calcule:

2- Linha 0: 110=1(100)= R=1

3- Linha 1: 111=1(101)+1(100)= R=10+1=11

4- Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=R= 100+20+1=121

5- Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=R= 1000+300+30+1=1331

6- Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)= R=14641

e) ATIVIDADE 5 : Oficina 2: Construção em grupo de Cartões fractais

Sequência Oficina 2 (Dur: 14 h/a)

a) Apresentar à turma o objetivo da construção em grupo dos sete

cartões; (20min)

b) Ensinar passo a passo a construção dos sete cartões, com

explanação sobre a arte francesa para o grande grupo; (90min)

c) Formar os grupos. Cada grupo escolhe um cartão. O professor tutor

entrega em pen-drive os passos necessários para a construção do

cartão, sendo que o cursista irá baixar no seu notebook para seguir os

passos e construir o cartão. (200 min/ 4h/a);

d) Atividade extraclasse: cada grupo irá reunir-se e explorar conteúdos

matemáticos que pode ser trabalhados a partir da construção do seu

cartão; (300min / 6h/a).

e) Cada grupo irá expor a atividade extraclasse desenvolvida para os

demais grupos, socializando o conhecimento. (90min).

Cartões da Oficina 2

1-Curva de Koch

Em 1904 Helge Von Koch, matemático polonês, resolve estudar melhor a

similaridade dos fractais, visto que, seu colega Karl Weierstrass, havia deixado muito

abstrato o estudo de sua propriedade de função similar. Criou o floco de neve de

Koch provando que a função similar é o resultado de infinitas adições de triângulos

respeitando a lei de formação do triângulo de origem, ou seja, a cada novo triângulo

adicionado o perímetro aumenta e se aproxima do infinito. Observa-se então que o

fractal é uma área finita dentro de um perímetro infinito (SERRA, 1997).

A construção consiste em seguir os passos abaixo ( Figura 46 a 54).

1º Passo: Escolher um retângulo para formar a figura fundo de 29cmx20cm;

Figura 48: Figura fundo para a Curva de Koch

Fonte: Blog Alface com café:10 de maio-Dia do campo

2º Passo: Considerar um segmento de reta de 27cm;

Figura 49: Segmento de Reta inicial da Curva de Koch.

3º Passo: Dividir o segmento em três partes iguais de 9 cm, com o

compasso em uma abertura de raio de 9 cm traçar o terceiro ponto para

formar o triângulo central, fazendo assim a 1ª iteração da curva;

Figura 50: Início da 1ª iteração

Figura 51: Triângulo Central- 1ª iteração

4º Passo: Construir o triângulo central, eliminando-se a sua base;

Figura 52: Ocultação da 1ª base

5º Passo: Dividir cada lado da Curva de Koch em três partes de 3 cm,

posicionando o compasso na parte central e formar o terceiro ponto, para

construir 4 novos triângulos, eliminando-se sua base, formando assim a 2ª

iteração da curva;

Figura 53: Formação da 2ª iteração da Curva de Koch.

6º Passo: Dividir cada lado da base da Curva de Koch em 3 partes de 1 cm,

posicionando o compasso na parte central, formando o terceiro ponto para a

formação de 16 novos triângulos, eliminando-se suas bases e formando

assim a 3ª iteração;

Figura 54: 3ª iteração da Curva de Koch

7º Passo: Contorne formando assim a Curva de Koch em uma visualização

mais definida e Aplique a Arte Francesa.

Figura 55: Contorno da Curva de Koch

Figura 56: Curva de Koch com a Arte Francesa

Fonte: AMARAL,2012

Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção da Curva de Koch

Nível 0 Nível 1

No nível 1 o segmento é dividido em 4 partes : n = 4 e a razão de

semelhança é r= ⁄ . Usando a fórmula da dimensão, temos,

2-Floco de Neve de Koch

Se focalizarmos nas particularidades da construção da curva de Koch pode-

se entender suas características visivelmente apresentadas na sua fragmentação,

as quais fazem parte de diversos fractais como: a estrutura fina, a autossimilaridade

e a simplicidade na lei de formação (SERRA, 1997.p.8).

Utilizando o algoritmo de construção da Curva de Koch só que partindo de

um de um triângulo equilátero obtém-se uma formação cristalina de outro fractal

famoso denominado Floco de Neve

Vejamos a seguir a construção do Floco de Neve de Koch passo a passo

(figura 57 a 64).

1º Passo: Construa um cartão medindo 20cmx18cm. E trace um segmento

de reta AB de 13,5cm com 6 cm da borda inferior horizontal;

Figura 57: Segmento AB

2º Passo: Posicione o compasso no ponto A e no ponto B girando-o até

formar o ponto C, uma os pontos ABC formando um triângulo equilátero;

Figura 58: Formação do Triângulo

Figura 59: Triângulo equilátero do Floco de Neve

4º Passo: Divida em três partes iguais (de 4,5cm) os seguimentos AB, BC,

CA. Abra o compasso, posicionando-o nos pontos centrais dos seguimentos

e formando os pontos para a construção de 3 triângulos e da 2ª iteração do

floco de neve com medidas de 4.5cm cada segmento, ocultando-se a base

dos triângulos (pontilhados), visualizando-se assim 6 triângulos

semelhantes.

Figura 60: Formação da 2ª iteração

Figura 61: Ocultando as bases na 2ª iteração

6º Passo: Divida cada lado dos 6 triângulos por 3, elimine a parte central e

obtém-se assim 12 triângulos, formando então a 3ª iteração;

Figura 62: 3ª iteração do Floco de Neve

7º Passo: Contorne as bordas dos triângulos usando uma cor de destaque

para tornar possível a visualização do Floco de Neve de Koch com 3

iterações;

Figura 63: Visualização do Floco de Neve 3 ª iteração

8º Passo: Aplique no cartão Fractal Floco de Neve a Arte Francesa.

Figura 64: Floco de Neve com Arte Francesa

Fonte: AMARAL,2012

3-Conjunto de Cantor

Outro fractal que pode ser explorado em sala de aula é o de Georg Cantor,

matemático russo, reconhecido por seus trabalho na teoria dos conjuntos. Cantor em

1883 construiu um fractal que levou seu nome: Conjunto de Cantor ou Poeira de

Cantor. O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido por Cantor

como limite de um processo iterativo.

Sua construção dá-se mediante os seguintes passos (figura 65 a 70).

1º Passo: Selecione uma imagem de fundo em forma de retângulo com as

medidas de 30cmx20cm;

Figura 65: Imagem de Fundo Conjunto de Cantor

Fonte: Blog ISSO TAMBÉM PASSA

2º Passo: Crie um retângulo de 27cmx3cm como segmento de reta, sobre a

imagem fundo;

Figura 66: Segmento de reta ou 1ª iteração

3º Passo: Divida o segmento de reta em três partes iguais e elimine as

partes centrais, formando dois triângulos com medida de 9cmx3cm;

Figura 67: Eliminação das partes centrais ou 2ª iteração

4º Passo: Divida novamente cada segmento do passo anterior em três

partes iguais, eliminando a parte central, formando assim 4 novos

segmentos em forma de quadrado medindo 3cmx3cm;

Figura 68: 3ª iteração com 4 segmentos

5º Passo: Divida os segmentos do passo anterior novamente em três partes

iguais, eliminando as partes centrais, formando assim 8 novos segmentos

com medidas de 1cmx3cm e assim sucessivamente, por infinitas iterações

até surgir o fractal;

Figura 69: 4ª iteração com 8 segmentos

6º Passo: Aplique a Arte Francesa.

Figura 70: Conjunto de Cantor com Arte Francesa

Fonte: AMARAL,2012

4-Curva de Peano

O matemático italiano Giusepe Peano, também deixou sua contribuição

para a geometria fractal ao publicar em 1890 uma curva denominada de Curva de

Peano.

A curva de Peano, um fractal primitivo, também conhecido como O terço

Médio de Cantor é um exemplo de um fractal que preenche o plano. Uma curva que

preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada área, acabando

por, gradualmente, a ocupar a sua totalidade. Na figura 74 é apresentada a curva

de Peano em três níveis, podendo serem infinitos (Carvalho et. al. ,1986, p.28).

Vejamos sua construção:

1º Passo: Selecione um quadrado de 28cmx 28cm;

Figura 71: Quadrado da Curva de Peano

Fonte: textura do Microsoft PowerPoint, 2010

2º Passo: Inicia-se com 1 segmento de reta de 27cm, construindo no centro

da figura fundo, deixando-se 0,5cm de cada extremidade horizontal;

Figura 72: Segmento inicial da curva

3º Passo: Divida o segmento no nível zero em três partes iguais de

9cmx9cm, construindo um quadrado acima e outro abaixo da porção central,

tendo essa porção como um de seus lados;

Figura 73: 1ª iteração da Curva de Peano

4º Passo: Divida novamente os lados do quadrado central e os segmentos

dos lados laterais. Em cada lado do quadrado, e do segmento central, serão

construídos quadrados (32), um acima e um abaixo com medida de

3cmx3cm;

Figura 74: Construção dos primeiros quadrado acima e abaixo do segmento

central

Figura 75: Construção da 2ª iteração da Curva

5º Passo: Dividir novamente os 32 quadrados e os segmentos extremos que

restaram em 1cm, em 1 quadrado acima e outro abaixo o que resultará em

338 quadradinhos de 1cmx1cm;

Figura 76: Construção da 3ª iteração da Curva de Peano

Figura 77: Construção da Curva de Peano

6º Passo: Aplicar a Arte Francesa.

Figura 78:Curva de Peano com aplicação da Arte Francesa ( gotas d’água)

Fonte: AMARAL, 2012

5- Triângulo de Sierpinski

Em 1916 o matemático polonês Waclaw Sierpinski criou o fractal primitivo

que deu origem a estudos mais detalhados sobre os objetos fractais: o triângulo de

Sierpinski. :

Da figura 79 a 86, apresenta-se o Triângulo de Sierpinski, sua construção

mais detalhada.

1º Passo: Em uma folha de 52cmx24cm, encontre o ponto médio do lado de

medida 52cm, formando assim um cartão de 26cmx24cm; Construa um

segmento de reta de 24 cm. Abra o compasso com raio de 24cm e marque o

terceiro ponto para formar a altura do triângulo;

Figura 79 :Altura do triângulo de Sierpinski

2º Passo: construa o triângulo e encontre o ponto médio de seus lados,

conforme a figura 80.

Figura 80: Construção do triângulo Central de Sierpinski

3º Passo: Forme, ligando os pontos médios, um triângulo circunscrito.

Fazendo assim a 1ª iteração do Tapete de Sierpinski;

Figura 81: 1ª iteração do triângulo de Sierpinski

4º Passo: Encontre novamente os pontos médios, agora dos 4 triângulos

que se formaram na 1ª iteração;

Figura 82: ponto médio dos 4 triângulos

5º Passo: Ligue os pontos médios, formando mais 3 triângulos circunscritos;

Figura 83: 2ª iteração do Triângulo de Sierpinski

6º Passo: Encontre novamente o ponto médio de cada um dos 13 triângulos;

Figura 84: Ponto médio da 3ª iteração

7º Passo: Ligue os pontos médios, visualizando assim 39 triângulos,

formando então a 3ª iteração do Tapete de Sierpinski;

Figura 85: 3ª iteração

8º Passo: Aplique a Arte Francesa.

Figura 86: Triângulo de Sierpinski com aplicação da arte francesa

Fonte: AMARAL,2012

Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção do Cartão

1-Cálculo da dimensão fractal do triangulo de Sierpinski

Nível 0 Nível 1

No nível 1 temos 3 triângulos válidos e a base foi dividida em 2 partes,

portanto, r = ½

6-Tapete de Sierpinski

Variações no algoritmo de construção do triângulo de Sierpinski podem ser

incluídas, trocando-se o triângulo original por um quadrado. Este novo fractal

surpreendentemente bonito é conhecido como tapete de Sierpinski .

Na construção do Tapete de Sierpinski a técnica de eliminação que foi

utilizada nos triângulos também aparece nitidamente nos tapetes que são

quadrados. Parte-se de uma figura e vai para outras 9 pequenas figuras congruentes

eliminando-se a central na sequência usa-se o mesmo procedimento nos 8

quadrados seguintes e assim infinitamente.

1º Passo: Na paisagem, medir um quadrado de 27cm x 27cm; Dividir o

quadrado em 9 quadrados congruentes com medida de 9cmx9cm,

Figura 87: Medindo os quadrados centrais

Fonte: Blog de Reflexões

2º Passo: Após construir os 9 quadrados, elimina-se o quadrado central.

Dividir os 8 quadrados restantes, dos congruentes com medida de 3cmx3cm,

formando assim 64 quadrados congruentes, eliminando-se o quadrado

central de cada um deles;

Figura 88: Criando 64 quadrados

3º Passo: Dividir cada um dos quadrados (64) em 9 quadrados de 1cmx1cm,

formando assim 576 novos quadrados de 1cmx1cm

Figura 89: Construindo 576 quadrados

4º Passo: Aplica-se a Arte Francesa

Figura 90: Tapete de Sierpinski com Arte Francesa

Fonte: AMARAL,2012

Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção do Cartão

Cálculo da dimensão fractal do tapete de Sierpinski

Nível 0 Nível

No nível 1 temos oito quadrados válidos e a base foi dividida em três

partes, portanto, r=1/3

7-Curva de Hilbert

O fractal que nos dá a sensação de movimento é denominado Curva de

Hilbert, criada por David Hilbert, em 1891. Iniciando com um quadrado, Hilbert

dividiu em pontos e formou outros quadrados iguais mantendo uma curva contínua

que ao olharmos dá a impressão de estar se movimentando, acompanhando a

ordem 4 e sempre formando outros quatro quadrados a mais.

Nas figuras 91 a 99, apresentam-se a Curva de Hilbert e a sua construção

pode ser realizada seguindo-se os passos abaixo:

1º Passo: Pegue uma cartolina branca e construa um quadrado de

24cmx24cm, divida em quadrados congruentes medindo 12cmx12cm;

Figura 91: Quadrados congruentes

2º Passo: Encontre o ponto central de cada quadrado, dando início a Curva

de Hilbert com 3 segmentos consecutivos com os extremos em seus pontos

centrais, fazendo assim a 1ª iteração da Curva;

Figura 92: Ponto central

Figura 93: 1ª iteração da Curva de Hilbert

3º Passo: Usando os pontos centrais dos quadrados anteriores como

referência, construa 4 novos quadrados, continuando a Curva e construindo

agora 12 segmentos, que dão origem a 4 curvas, conectando cada curva

parcial com um segmento na mesma ordem dos anteriores, originando assim

a 2ª iteração;

Figura 94: 2ª iteração da curva

Figura 95: localizando os pontos médios da curva de hilbert

Figura 96: Criando os segmentos dos pontos médio

4º Passo: Conectando cada curva parcial com um segmento na mesma

ordem dos anteriores, formando a curva.

Figura 97: Conexão da Curva

5º Passo: Para formar a 3ª iteração procede-se da mesma forma, dividindo

os 8 pontos centrais em quatro novos quadrados, formando assim 16 novas

curvas, conectando cada curva parcial com 1 segmento na mesma ordem

dos anteriores;

Figura 98: 3ª iteração da curva

6º Passo: Aplicar a arte francesa.

Figura 99: Curva de Hilbert com aplicação da Arte Francesa

Fonte: AMARAL,2012

f) ATIVIDADE 6 : Avaliação final do curso (Dur: 2h/a)

a) Responder ao questionário avaliativo do curso (30min)

Prezados (a) Professores (a):

Procurou-se por meio deste grupo de estudos, repassar todos os

conhecimentos adquiridos no PDE sobre a geometria Fractal e sua utilização

enquanto material didático pedagógico, mediante atividade lúdica de construção de

cartões fractais. Objetivava-se além de apresentar a geometria fractal, explorar

conteúdos matemáticos existentes na confecção dos cartões e proporcionar a todos

a oportunidade de realizar um grupo de estudos dinâmico e construtivista. Para

sabermos se o grupo de estudos adquiriu a aprendizagem que planejamos,

gostaríamos de contar com sua colaboração respondendo aos questionamentos.

01

Já possuía conhecimentos sobre o assunto abordado “ FRACTAIS”?

( ) Sim

( ) Não

( ) Pouco

02

O grupo de estudo realizado:

( ) não me proporcionou conhecimentos além dos já possuídos

( ) proporcionou-me novos conhecimentos sobre o assunto

Durante o grupo de estudos

( ) Tive

03

( ) Não tive

oportunidade de reformular conceitos e pontos de vista que tinha a respeito da

geometria fractal.

04

( ) Alguns

( ) Vários

pontos do grupo de estudos levaram-me a uma reflexão sobre a docência e

pensar em introduzir modificações:

( ) No meu comportamento

( ) Nos processos metodológicos que venho adotando

( ) Nos planos que estabeleci

05

O material didático utilizado foi

( ) Suficiente

( ) Insuficiente

06

A qualidade (conteúdo) do material didático distribuído foi:

( ) Deficiente

( ) Razoável

( ) Boa

( ) Muito boa

07

O Professor PDE, Saiu-se

( ) Sofrivelmente

( ) Satisfatoriamente

( ) Bem

( ) Muito bem

na

( ) Teoria

e na

( ) Prática

08

O número de horas em relação as atividades desenvolvidas foi

( ) Insuficiente

( ) Razoável

( ) Excelente

( ) Excessivo

09

O Professor PDE, conseguiu.

( ) Durante todo o tempo

( ) Durante parte do tempo prender a atenção dos participantes

Ou

( ) Não conseguiu prender a atenção dos participantes

10 Se vc tivesse que dar uma nota para o grupo de estudo

( ) De 0 á 5

( ) De 5 á 7

( ) De 7 a 10

( ) 10

b) Confraternização de encerramento do evento ( 70 min).

4. ORIENTAÇÃO METODOLÓGICAS

ATIVIDADE1: QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO

Conteúdo: Questionário

Objetivo: Investigar como é trabalhada a geometria fractal em sala de aula

No questionário objetiva-se conhecer a maneira como o professor trabalha

em sala de aula com a geometria fractal. O professor ao utilizar este questionário

direcionando-o aos seus alunos deverá modificar as questões adaptando-o de

acordo com os objetivos do curso que ministra.

Se for uma turma do Ensino médio, por exemplo, que já possui um

conhecimento bem elaborado da geometria euclidiana, que os alunos sejam

questionados sobre dimensões intermediárias (fracionárias) como a de uma folha de

papel amassado, padrões de formação como a da samambaia, entre outros.

Sugere-se que aproveitem de imagens, animações que estão disponíveis no portal

dia a dia educação no link dos educadores.

As questões do questionário para o aluno devem leva-lo a motivar-se á

conhecer mais da geometria fractal. A pesquisa por fractais na web também

funciona como excelente incentivo visto que a geometria fractal encanta pela beleza

de suas formas e autossimilaridade.

ATIVIDADE 2: SEMINÁRIO DE INTRODUÇÃO AOS FRACTAIS E SUA HISTÓRIA

Conteúdo: Seminário de introdução aos fractais.

Objetivo: Conhecer a história dos fractais e a construção de cartões fractais

Ao trabalhar um seminário com os alunos o professor pode utilizar-se dos

mesmos passos que estão expostos na atividade 2, apenas deverá tomar cuidado

para direcionar a turma aos objetivos de explorar os fractais que aqui nesta atividade

estão voltados aos professores considerando os pré requisitos necessários.

Partindo-se do conhecimento que o aluno já trás consigo seguir em frente e explorar

a história dos fractais deixando clara a preocupação de Mandelbrot, que ao estudar

sobre os fractais procurava soluções para os desafios de sua vida, sua profissão.

Pode-se, então, nesta atividade enfatizar o quanto a matemática está ligada

com os desafios diários de quem a produz e vale a pena aprofundar-se mais na

história dos fractais e fazer um estudo mais detalhado sobre Mandelbrot.

ATIVIDADE 3 : QUEBRA CABEÇAS DOS FRACTAIS

Conteúdo: Quebra cabeças de fractais

Objetivo: Despertar nos cursistas a beleza e a riqueza da geometria fractal

para que observando-se suas formas passem a interessar-se cada vez mais pelo

tema fractal.

Nesta atividade de quebra cabeças fractais o professor pode proceder da

mesma maneira que está exposto na atividade visto que, o objetivo é despertar para

a beleza dos fractais além de instigar a capacidade de raciocínio em relação a

posição correta das peças do quebra cabeça. Acredita-se que apenas o tempo de

visualização das imagens no data show deva ser maior porque o aluno possui,

dependendo de seu nível de conhecimento e série/idade, dificuldade de abstração

para contemplar as imagens e maior tempo para realização desta atividade.

Se o professor decidir-se por trabalhar este tema por meio da

interdisciplinaridade, vários conceitos artísticos podem ser explorados como: cor,

forma, similaridade, entre outros conteúdos de arte.

ATIVIDADE 4 : OFICINA 1: CONSTRUÇÃO INDIVIDUAL DE CARTÕES FRACTAIS

Conteúdo: Oficina com construção coletiva de cartões fractais

Objetivo: Construção e exploração dos conteúdos matemáticos

A manipulação de material concreto facilita para o aluno a compreensão de

conceitos. Aproveitando-se desta premissa o professor pode ir explorando os

conteúdos matemáticos da atividade 4, ou os conteúdos que julgar necessários e

possíveis de serem explorados já no momento da construção. Além do que, pode-se

ir direcionando para a construção paralela das formas geométricas que aparecem no

fractal, como a construção de cada iteração em sua forma planificada, espacial e

fractal.

Importante trabalhar com os postulados e explorar bem as medidas contidas

na formação da malha de cada cartão, fazendo com que o aluno crie a ideia de que

a geometria é o ramo da matemática utilizado para medir de forma precisa áreas,

volumes e criar dimensões além de demais conteúdos matemáticos presentes na

construção.

O tempo para a realização desta atividade também difere e deve ser

acrescentado para o aluno, ou se o professor não dispor de muito tempo reduzir a

quantidade de cartões a serem construídos.

ATIVIDADE 5 : OFICINA 2: CONSTRUÇÃO EM GRUPO DE CARTÕES FRACTAIS

Conteúdo: Oficina de construção de cartões fractais

Objetivo: Construir individualmente/e ou/em grupo os cartões fractais e

estimular explorações de conteúdos matemáticos.

Nos passos iniciais onde apresenta-se os objetivos da construção dos

cartões a sequencia didática pode ser complementada com as imagens dos cartões

já prontos como meio de incentivar mais os alunos á construção. No segundo passo

sobre a arte francesa acredito que para o aluno seria melhor se o professor deixasse

por ultimo e ajudasse os alunos nesta sobreposição de figuras.

Os grupos podem ser formados de acordo com as afinidades da turma,

deixando-os assim livres, inclusive pela questão da tarefa de casa onde os alunos

devem estar predispostos a se encontrarem para realizá-la. Neste momento será útil

entregar impresso para o grupo passo a passo das sequencias de cada cartão. Dar

tarefa para terminar em casa, caso necessite e expor os cartões em uma feira

especial sobre matemática onde o professor pode aproveitar outras produções feitas

durante o ano.

Vale lembrar que uma parceria com o professor de arte será bem vinda pois

o tempo gasto nas construções é de grande e pode atrapalhar os demais conteúdos

da turma.

ATIVIDADE 6: ENCERRAMENTO DO CURSO

Conteúdo: Avaliação das atividades

Objetivo: Avaliar a produção dos cartões

O professor pode neste momento fazer um questionário direcionado á

investigação do que o aluno aprendeu sobre fractais, qual a função da geometria

fractal, como meio de enriquecimento da aprendizagem.

REFERÊNCIAS

AMARAL, Alessandry. FIGURA1-2-3-4 Triângulo de Sierpinski, Floco de Neve, Curva de Koch e Curva de Hilbert, Quedas do Iguaçu-PR, 2012 figura adaptada. Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaula.html?aula=22040

_________________Figura 14: Forma da Natureza- Brócolis. Quedas do Iguaçu-

PR,2012.Figura.adaptada.http://2.bp.blogspot.com/_Ru7_nAhseTc/SVbOXoefNZI/AAAAAAAAANQ/mEOp249HpF8/s1600/Broccoli.jpg

_____________________. Figura 56: Curva de Koch com Arte Francesa, Quedas do Iguaçu-PR, 2012. Figura adaptada: http://4.bp.blogspot.com/i1yugjBWX8/T6wQYcrq1I/AAAAAAAAEvo/JOz9Tjy2yFk/s1600/9139campo1.jpgehttp://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/produção_pde/2008_fafipa_mat_md_eny_canalli.pdf.acesso em 20 out.,2012

__________________Figura 64:Floco de Neve com Arte Francesa. Quedas do IguaçuPR,2012,figuraadaptada:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/1/normal_250dustyfractal.jpg-acesso 22 out.2012.

__________________Figura 70: Conjunto de Cantor com Arte Francesa. Quedas doIguaçuPR,2012.Figuraadaptada:http://4.bp.blogspot.com/IRXf8b0O79Y/TZlGiy2ZvvI/AAAAAAAABvw/Ax1xCMWCwEM/s1600/CEU%2BAZUL.jpghttp://enciclopedia.us.es/images/thumb/d/dc/Conjuntos_de_Julia.jpg/300px-Conjuntos_de_Julia.jpg,acesso em :23 out.2012.

_________________Figura 78: Curva de Peano com Aplicação da Arte Francesa. ( Gotas d’água) Quedas do Iguaçu-PR,2012.Figura adaptada:

www.matematica.seed.pr.gov.br/module/galeria/detalhe.php?foto86&evento=1

_________________Figura 86: Triângulo de Sierpinski com Aplicação da Arte

Francesa,QuedasdoIguaçuPR,2012.Figuraadaptadahttp://www.educadores.diaadia.

pr.gov.br/arquivos/File/tvmultimidia/imagens/matematica/favomela.jpghttp://www.viva

terra.org.br/abelha_22.2.jpg-acesso em:05 nov.2012.

_________________Figura 90:Tapete de Sierpinski com arte Francesa. Quedas

do Iguaçu-PR,2012 figura adaptada: http://www.educadores.diaadia.pr.g

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BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal- para a sala de aula.

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BRASIL ESCOLA Definição do que é um Seminário.

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CARVALHO, Maria Cecília Costa et. al. Fractais uma breve introdução. São Paulo: Edição Própria, 1986.

FRACTALES E CAOS Vídeo História da Geometria Fractal

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_____38: Fractal da Natureza- Samambaia.

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_______48: Imagem fundo para Curva de Koch-

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_______65: Imagem de Fundo Conjunto de Cantor.

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______71:Quadrado da Curva de Peano .Power point,2010. Textura do Microsoft-acesso em 15 set. 2012

_______87: Medindo os Quadrados Centrais.

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SERRA, Celso Penteado. Fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos.

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