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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: Uma tarefa com cubos coloridos para Resolução de Problemas:
Geometria Espacial + Medidas de Volume
Autora Lauriane dos Santos Lima
Escola de Atuação Colégio Estadual do Patrimônio Regina.
Município da escola Londrina
Núcleo Regional de Educação Londrina
Orientadora Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar Língua Portuguesa
Público Alvo Alunos da 7ª série/ 8º ano, do ensino fundamental regular.
Localização
Colégio Estadual do Patrimônio Regina.
Endereço: Rodovia Mabio Gonçalves Palhano, 377. Bairro: Patrimônio Regina. Zona Rural. CEP: 86.055-991. Fone: (0xx43) – 3339-5186
Apresentação:
A presente produção didática (unidade didática) faz parte de um caderno pedagógico com abordagem na Resolução de Problemas, dentro do tema Tendências em Educação Matemática. Apresenta a utilização de conteúdos básicos do ensino fundamental ( 7ª série/8°ano) para a formalização de conceitos de geometria e medida de volume, considerando a composição e elaboração do conhecimento do aluno no desenvolvimento do projeto.
A Resolução de Problemas apresenta-se como alternativa metodológica para prática escolar. Além de auxiliar na construção do conhecimento do aluno nos processos de ensino e aprendizagem, propicia sua colaboração, cooperação em grupo.
Os encaminhamentos metodológicos estão fundamentados na proposta para ensinar Matemática através da Resolução de Problemas apresentada em Onuchic (1999) e Allevato e Onuchic (2009). A proposta tem como objetivo geral propiciar a articulação de alguns conteúdos estruturantes do ensino fundamental, como também oportunizar a outros professores o desenvolvimento de uma tarefa com essa estratégia metodológica, mediante a implementação desse material.
Palavras-chave (3 a 5 palavras) Resolução de problemas; potência; volume; cubo.
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
INTERVEN
LAURIANE DOS SANTOS LIMA
Uma tarefa com cubos coloridos para Resolução de
Problemas: Geometria Espacial + Medidas de Volume
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
UEL – LONDRINA - 2011
PARANÁ GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL –
PDE
LAURIANE DOS SANTOS LIMA
Uma tarefa com cubos coloridos para Resolução de
Problemas: Geometria Espacial + Medidas de Volume
Produção Didática (unidade didática) integra um caderno pedagógico, com abordagem na Resolução de Problemas, dentro do tema Tendências em Educação Matemática. Plano de Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional.
Orientadora: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
UEL – LONDRINA – 2011
AGRADECIMENTOS
A toda contribuição: a Deus, familiares, coordenadores do
PDE, professores da UEL, professores do Canguru Matemático,
colegas de matemática, ao professor doutorando Bruno Rodrigo
Teixeira e a orientação da professora doutora Márcia Cyrino.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO DO CADERNO PEDAGÓGICO .......................................................... 4
1 APRESENTAÇÃO .................................................................................................. 7
1.1 Tema de Estudo do Professor PDE ..................................................................... 7 1.2 Título ................................................................................................................... 7 1.3 Introdução da Unidade Didática .......................................................................... 7 1.4 Justificativa .......................................................................................................... 8 1.5 Objetivo Geral ...................................................................................................... 9
2 PROCEDIMENTOS ................................................................................................ 9
2.1 Problema ........................................................................................................... 10 2.2 Resolução Esperada ......................................................................................... 11 2.3 Objetivos ........................................................................................................... 18 2.4 Encaminhamentos metodológicos e sugestões aos professores ...................... 18 2.5 Formalização do volume do cubo pequeno e apresentação da unidade de medida ddo volume ................................................................................................... 25
3 CONTEÚDO DE ESTUDO ................................................................................... 26
3.1 Formalização do Cálculo do Volume do Poliedro Cubo .................................... 26 3.2 Conteúdos propostos e Avaliação do aluno ...................................................... 27
4 RECOMENDAÇÕES AOS PROFESSORES ....................................................... 29
5 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DA P.D.P. ............................................................. 29
INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 30
ANEXOS ................................................................................................................... 31
ANEXO 1 – Unidade Pedagógica no formato para sala de aula.
ANEXO 2 – Autorização para aplicação de parte do problema.
4
INTRODUÇÃO DO CADERNO PEDAGÓGICO
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de
Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser
abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática
que fundamentam a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas,
pode-se destacar a Resolução de Problemas.
Diante disso, estudamos a Resolução de Problemas enquanto
estratégia metodológica para o ensino e a aprendizagem da Matemática e
produzimos um caderno pedagógico composto por unidades didáticas
elaboradas individualmente por nove professores PDE, correlacionadas com
esse tema.
Essa produção didático-pedagógica, além de se constituir para os
professores PDE em uma estratégia para a implementação do Projeto de
Intervenção Pedagógica na Escola, apresenta possibilidades de abordagem de
diferentes conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas, e tem
também como objetivo oportunizar a outros professores que venham a ter
acesso a essa produção, o desenvolvimento de um trabalho com essa
estratégia metodológica mediante a implementação desse material.
Utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia
metodológica para o ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se,
segundo Allevato e Onuchic (2009, p.7), “de um trabalho onde um problema é
ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do
conhecimento far-se-á através de sua resolução.”
Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para
colocar em prática essa metodologia” (ibidem). Apresentamos a seguir uma
proposta, sugerida pelas autoras, de organização das tarefas em etapas a
serem desenvolvidas pelo professor e pelos alunos.
5
1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.
2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.
3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.
Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.
Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.
4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.
5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.
O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.
6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos
6
devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.
7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem.
8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).
A intenção é que a implementação desta produção didático-
pedagógica, seja realizada de acordo com as etapas apresentadas
anteriormente, e, por isso, sugerimos para cada problema presente nessa
produção, encaminhamentos que podem ser utilizados pelos professores em
algumas dessas etapas, bem como possíveis formalizações para os conteúdos
matemáticos abordados.
7
1 APRESENTAÇÃO .
Professor PDE:
Disciplina PDE:
Núcleo Regional de Educação:
Professor Orientador IES:
IES vinculada:
Escola de Implementação:
Público objeto da intervenção:
Lauriane dos Santos Lima.
Matemática.
Londrina / PR.
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino.
Universidade Estadual de Londrina – UEL.
Colégio Estadual do Patrimônio Regina.
35 alunos do ensino fundamental regular,
7ª série/ 8º ano, área rural do município de
Londrina, mantenedora Secretaria de
Estado da Educação do Paraná.
1.1 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
Tendências em Educação Matemática.
1.2 TÍTULO
Uma tarefa com cubos coloridos para Resolução de Problemas:
Geometria Espacial + Medidas de Volume
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1.3 INTRODUÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA
A unidade didática apresenta a utilização de conteúdos básicos do
ensino fundamental (7ª série/8°ano) para a exploração dos elementos de um
cubo e formalização do cálculo de seu volume, considerando a constituição do
conhecimento do aluno no desenvolvimento do projeto. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais para a área de Matemática no Ensino Fundamental,
terceiro e quarto ciclos, apresentam como um de seus princípios norteadores,
sobre atividade matemática escolar, que “não é olhar para as coisas prontas e
definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno,
que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade” (BRASIL,
1998, p.56).
A implementação desta unidade didática está proposta para o
Colégio Estadual do Patrimônio Regina, Núcleo Regional de Educação de
Londrina, com alunos de 7ª série/8º ano do Ensino Fundamental,
acompanhado pela equipe pedagógica e direção deste Estabelecimento.
1.4 JUSTIFICATIVA
A Resolução de Problemas apresenta-se como alternativa
metodológica para prática escolar. Além de auxiliar na construção do
conhecimento do aluno nos processos de ensino e aprendizagem, propicia sua
colaboração, cooperação em grupo. Nesse sentido os PCN de Matemática
apontam que “o professor deve levar em conta que os alunos adolescentes/
jovens atuam mais em grupo do que individualmente [...]” (BRASIL, 1998,
p.39).
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1.5 OBJETIVO GERAL
Propiciar a articulação de alguns conteúdos estruturantes do ensino
fundamental, para a formalização de tópicos de conteúdos básicos referentes à
7ª série/ 8º ano, por meio da Resolução de Problemas.
2. PROCEDIMENTOS
Apresentamos a seguir um problema que envolve a exploração de
pequenos cubos, subdividido em 4 questões, que tem como objetivo trabalhar
com os conceitos de geometria e medida de volume por meio da metodologia
da Resolução de Problemas na perspectiva das autoras Allevato e Onuchic
(2009). Serão utilizados os seguintes materiais: 36 impressões do problema,
folhas para anotações de cada aluno, pequenos cubos coloridos para o
trabalho em pequenos grupos de alunos, dicionários da língua portuguesa,
livros didáticos, folha de anotação do professor para relatório de avaliação de
cada grupo.
Para cada grupo será entregue um conjunto de 80 cubos coloridos,
de 1 cm de aresta, sendo 8 cubos de cada uma das seguintes cores: amarelo,
vermelho, azul, verde, branco, preto, lilás, laranja, marrom, salmão.
O desenvolvimento propõe um período mínimo de 5 horas/aula,
sendo as quatro primeiras para apresentação e desenvolvimento de 4 questões
e a última para formalização do conteúdo: cálculo do volume do poliedro cubo.
Na descrição do desenvolvimento do problema contemplamos: a
resolução esperada, os objetivos a serem atingidos, sugestão de
encaminhamento, de formalização do conteúdo abordado, e da proposta de
avaliação para a tarefa.
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2.1. PROBLEMA
Considere um pequeno cubo de dimensão 1 cm x 1 cm x 1 cm.
1) Com o auxílio de um dicionário e de livros investigue o que é um cubo.
2) Quais são os elementos que compõe um cubo? Um cubo tem quantas
dimensões?
3) A partir de uma coleção de pequenos cubos, onde cada cubo tem uma única
cor, investigue qual o menor número possível de cores, que podem ser
utilizadas para montar um cubo com :
Montagem A - 8 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor;
Montagem B - 27 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor;
Montagem C - 64 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor
(Fonte: adaptado do Canguru Matemático de Portugal/ Canguru Brasil, 2010).
Figura 1: Exemplos de pequenos cubos coloridos Fonte: Lauriane S Lima. 03/06/11
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4) Preencha o quadro a seguir:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem, levando em conta a aresta do cubo
maior.
Pequeno Cubo
Cubo maior da montagem A
Cubo maior da montagem B
Cubo maior da montagem C
Quadro 1: Organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima 06/11
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.2. RESOLUÇÕES ESPERADAS
Questão 1 – Investigação sobre o cubo, utilizando livros e dicionários.
O aluno poderá encontrar de 3 a 5 definições em um dicionário ou
livro didático (como exemplo para a Geometria, para Matemática, para a
Mecânica). Espera-se que o conceito seja organizado com base na aplicação
para a Geometria. Estas anotações complementam as definições a serem
formalizadas e descritas no tópico encaminhamento metodológico e sugestões
ao professor.
Questão 2 – Anotação do conceito de dimensão, utilizando um dicionário.
Dentre os possíveis conceitos retirados do dicionário (exemplos
referentes à aplicação na Álgebra, na Geometria e no sentido figurado),
espera-se que o aluno compreenda o conceito de dimensão apropriado para
um cubo, reconhecendo as três extensões, comprimento, largura e altura ou
profundidade, bem como escreva os elementos arestas, vértices e faces.
12
Esta anotação poderá ser complementada pela formalização do
professor, sugerida do tópico encaminhamento metodológico.
Questão 3 – A partir de 80 pequenos cubos pequenos coloridos
(especificado na introdução do procedimento), espera-se que o grupo
investigue o menor número possível de cores, que pode ser utilizada para
montar um cubo com:
Opções de Montagem A - 8 pequenos cubos de modo que qualquer
cubo pequeno, com vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não
seja da mesma cor.
Figura 2: opção de resolução com 8 cores, com 8 pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Resposta: 8 cores
Importante.
Formação com outras disposições dos 8 cubos com 8 cores diferentes, atendendo aos critérios da questão, são resoluções consideradas corretas.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Opções de Montagem B - 27 pequenos cubos de modo que qualquer
cubo pequeno, com vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não
seja da mesma cor. São todas as disposições dos 27 cubos combinados com 8
cores, atendendo ao requisito.
A seguir uma possível solução com 8 cores (Figura 3):
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Figura 3: opção de resolução com 8 cores da montagem B, a partir de 27 pequenos cubos.
Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Opção de Montagem C - 64 pequenos cubos de modo que qualquer
cubo pequeno, com vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não
seja da mesma cor. São todas as disposições dos 64 cubos combinados com 8
cores, atendendo ao requisito. A seguir uma possível resolução (Figuras 4 e 5):
Figura 4: opção de resolução com 8 cores da questão com 64 pequenos cubos. Fonte: Lauriane dos S Lima. 06/11.
Figura 5: opção de montagem C com 8 cores da questão com 64 pequenos cubos. Fonte: Lauriane dos S Lima. 06/11.
14
POSSÍVEIS ERROS DE RESOLUÇÕES NAS MONTAGENS A, B, C.
Nesta etapa, o grupo precisa de atenção na distribuição das cores
que tem como objetivo o questionamento e localização das faces, arestas e
vértices dos pequenos cubos. É possível que na plenária sejam relatados os
seguintes erros no processo de resolução:
Exemplo 1 - erros de montagens A, com 8 pequenos cubos, apresentando, por
exemplo, 1 e 6 cores (Figura 6).
Figura 6: Exemplos de montagens de 3 cubos contendo 8 pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Exemplo 2 - erros de montagens A, com 8 pequenos cubos, apresentando
por exemplo, 2 cores (Figura 7) ou 4 cores (Figura 8).
2 cores, apresentando alguns vértices e arestas da mesma cor que estão encostados.
Figura 7: Montagem com 8 pequenos cubos em 2 cores. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
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4 cores, apresentando alguns vértices e arestas da mesma cor que estão encostados.
Figura 8: Montagem com 8 pequenos cubos em 4 cores. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Exemplo 3 - erros de montagens B, com 27 pequenos cubos, com 4 cores
(Figuras 9 e 10) ou 6 cores (Figuras 11 e 12), apresentando, algumas vezes,
vértices e arestas em comum quanto à cor:
Erro: 4 cores, apresentando alguns vértices e arestas da mesma cor que estão encostados.
Figura 9: distribuição das 4 cores nos 27 pequenos cubos, apresentando algumas vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Figura 10: montagem com 27 pequenos cubos, com 4 cores, apresentando algumas vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
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Exemplo 4 - erro de montagem C, com 64 pequenos cubos, com 6 cores
(Figura 13 e 14), apresentando, algumas vezes, vértices e arestas em comum
quanto à cor:
Figura 13: distribuição das 6 cores nos 27 pequenos cubos, apresentando algumas
vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane d S Lima. 06/11
Erro: 6 cores, apresentando alguns vértices e arestas na mesma cor.
Figura 11: distribuição das 6 cores nos 27 pequenos cubos, apresentando algumas vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane d S Lima. 06/11
Figura 12: montagem com 27 pequenos cubos, com 6 cores, apresentando algumas vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
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Figura 14: montagem com 27 pequenos cubos, com 6 cores, apresentando algumas
vezes vértices e aresta vizinhos da mesma cor. Fonte: Lauriane S Lima. 06/11
Exemplo 5 – é possível alguns grupos apresentarem como erros, nas 3
montagens, números de cores acima de 8. Contudo, o limite do número de 10
cores, nesta tarefa diminui esta opção.
RESOLUÇÃO ESPERADA - Questão 4 - Preencha o quadro a seguir:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de
medida, determine a medida da aresta dos
cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem de cubo maior, levando em
conta a aresta do cubo maior.
Pequeno Cubo
1 1 1³ = 1
Cubo maior da montagem A
2 8 2³ = 8
Cubo maior da montagem B
3 27 3³ = 27
Cubo maior da montagem C
4 64 4³ = 64
Quadro 1: organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima 06/11
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2.3. OBJETIVOS
Reconhecer as características do cubo;
Montar um cubo utilizando outros cubos menores (sólido geométrico);
Fazer uma composição, utilizando cubos coloridos, conforme critérios da
questão;
Utilização da linguagem matemática e discussão dos conceitos de
vértice, aresta e face;
Reconhecer a medida da aresta do cubo maior e identificar as
dimensões do cubo;
Reconhecer as potências como multiplicação de mesmo fator e sua
nomenclatura: base, expoente e potência;
Reconhecer o cubo pequeno como unidade de medida de volume do
cubo maior;
Organizar as informações do problema em um quadro resumo.
2.4. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO E SUGESTÕES AOS
PROFESSORES.
As questões serão encaminhadas uma a uma. Justificamos que,
desta maneira, facilita a flexibilidade para o procedimento, como exemplo,
disponibilizar mais tempo para uma plenária ou formalização de um conteúdo,
também contando com a possibilidade de um aluno fazer perguntas que não
estejam no planejamento e, desta maneira, seja necessário a formalização de
um conceito não planejado.
Questão 1 e 2 - Investigação sobre o cubo, seus elementos e quantidade
de dimensões, utilizando livros e dicionários.
A classificação e construção de sólidos geométricos fazem parte do
conteúdo básico Geometria Espacial, dentro do conteúdo estruturante
Geometrias, para a 6ª série/ 7º ano, conforme DCE (2008, p.77 a 80). Nestas
questões, o problema apresenta um cubo e suas dimensões para investigação,
com auxílio de livros e dicionários.
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Após plenária e busca de consenso, o professor pode formalizar o
cubo como um poliedro. Apresentar um exemplo de poliedro convexo e do
poliedro não-convexo (Ilustração1):
Ilustração 1: Poliedro convexo Poliedro não-convexo
Fonte: Lauriane S. Lima 06/11
Investigando um pequeno cubo, a partir da Ilustração 1 pretende-se
que o aluno conclua que o cubo é um poliedro convexo. Acrescentando à
denominação hexaedro regular, uma classificação de acordo com o números
de faces congruentes, para o cubo 6 faces quadradas, com a observação de
que o quadrado possui lados e ângulos congruentes, é um polígono regular.
Formalizando o cubo como uma forma geométrica espacial, um poliedro
regular porque apresentam faces representadas por polígonos regulares.
Complementando com as quantidades: além de 6 faces quadradas, apresenta
12 arestas e 8 vértices.
Investigando uma das faces quadradas do pequeno cubo, o
professor pode explorar o reconhecimento das características desta face: como
uma forma geométrica plana, onde o contorno é fechado, este contorno é
formado apenas por segmentos de reta. Formalizando desta observação, que
este contorno mais a parte interna deste plano, região interna, são denominado
polígono (do grego, poli significa muitos, vários e gono significa
ângulos). Apresentar nesta formalização a ilustração (2) de contorno e região
interna, bem como a formalização ilustrada (3) de polígono convexo e não
convexo, e sua denominação de acordo com a região interna.
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Ilustração 2: exemplo de polígono contorno região interna
Ilustração 3: região convexa região não convexa
polígono convexo polígono não convexo
Ilustração 2: exemplo de polígono. Ilustração 3: região convexa e não convexa. Fonte: Lauriane S Lima 06/11
Com estas informações o aluno poderá organizar na definição de
polígono convexo como forma geométrica plana, com contorno fechado,
formado por segmentos de reta que não se cruzam. A face do cubo é um
polígono convexo também denominada polígono regular. O professor poderá
acrescentar os elementos do polígono, explicando que seus lados são
congruentes entre si, seus ângulos internos também congruentes entre si, além
dos outros elementos: os vértices, ângulos externos e diagonais. Na Ilustração
4, apresenta um exemplo de cada um desses elementos para que os alunos
identifiquem as quantidades de cada elemento:
Ilustração 3: vértice lado ângulo interno diagonal ângulo externo
Ilustração 4: um exemplo de cada elemento do cubo. Fonte: Lauriane S. Lima 06/11
21
Ainda destas plenárias, pretende-se formalizar a definição de
dimensão. Segundo Ribeiro (2009, p.297), dimensão é “cada uma das
medidas que indicam o tamanho de uma figura, um objeto, etc.” A quantidade
de dimensões do cubo, três, denominando como comprimento, altura, largura
ou profundidade.
Questão 3 – Com a opção de montagem com pequenos cubos coloridos,
espera-se que o grupo investigue o menor número possível de cores, que
pode ser utilizada para montar um cubo com 8, 27 e 64, respectivamente,
apresentando como critério que qualquer cubo pequeno, com vértice,
aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não seja da mesma cor.
Para esta etapa, considerando montagem, plenária, busca de
consenso e formalização de conceitos desta questão, pretende-se um período
de 2 a 3 aulas. A proposta que as montagens A, B, C sejam realizadas
separadamente, de acordo com a distribuição das questões, onde é possível
que alguns grupos aguardem para esta plenária, que pretende como resultado
o consenso do resultado 8 cores. Para esta etapa recomenda-se os pequenos
grupos adiantados utilizem este espaço de tempo para organização de suas
plenárias e de suas anotações.
A formalização desta questão pretende esclarecer para os grupos a
regularidade da constante 8 cores para as montagens A, B, C. É possível que a
plenária e a busca de consenso não apresentem a compreensão desta
regularidade. Neste caso o professor podepropor. o seguintequestionamento
para os pequenos grupos:
Um vértice de um pequeno cubo tem contato, no máximo, com
quantos outros cubos?
Pretende-se como resposta 7 outros pequenos cubos. A partir deste
consenso, pretende-se que a plenária traga a discussão que os 7 pequenos
cubos apresentem o critério cores diferentes ao pequeno cubo de referência,
perfazendo o total e a regularidade 8 cores.
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Para exemplificar seguem as figuras:
Figura 15 – Um vértice do pequeno cubo preto pode ter contato com no
máximo 7 outros pequenos cubos.
Figura 15 – Um vértice do pequeno cubo preto e 7 outros pequenos cubos. Lauriane S Lima 06/11.
Figura 16 – Um vértice de um pequeno cubo preto pode ter contato com no
máximo 7 coloridos pequenos cubos..
Figura 16 – Um vértice de um pequeno cubo preto pode ter contato com 7 coloridos pequenos cubos.
Juntos organizamos 8 cores. Lauriane S Lima 06/11
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Figura 17 – Estas 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para
outro vértice do pequeno cubo preto, começando uma organização de 8 cores
na montagem de um cubo maior.
Figura 17 – Estas 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para outro vértice
do pequeno cubo preto, começando uma organização de 8 cores na montagem de um cubo maior.
Lauriane S Lima 06/11
Figura 18 – Estas 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para
outros vértices do pequeno cubo preto, perfazendo uma organização de 8
cores na montagem de cubos maiores.
Figura 18 – Estas 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para outros vértices do pequeno cubo preto,
perfazendo uma organização de 8 cores na montagem de cubos maiores.
Lauriane S Lima 06/11
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Questão 4 – Com o preenchimento do quadro e apresentação em plenária:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem de cubo maior, levando em conta a aresta
do cubo maior.
Pequeno Cubo
1 1 1³ = 1
Cubo maior da montagem A
2 8 2³ = 8
Cubo maior da montagem B
3 27 3³ = 27
Cubo maior da montagem C
4 64 4³ = 64
Quadro 1: organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima 06/11
Do consenso dos valores do quadro 1, pretende-se que os grupos
percebam que a quantidade de dimensões (comprimento, altura e largura) são
3, uma grandeza que não varia nestas e em outras montagens de cubos. Ao
contrário da grandeza medida da aresta do cubo maior, que possui uma
variação à medida que se altera o total de cubos pequenos.
Pretende-se que os grupos reescrevam, no quadro e apresentem em
plenária, a base da notação de potência, exemplo pequeno cubo, como 1 cm
de medida de aresta. A partir desta informação, o professor pode utilizar o
conteúdo básico Potenciação.
Cabe ao professor formalizar que a base e o expoente são números
racionais (no caso de medidas de volume também naturais) e a expressão
baseexpoente como a representação da potência. O professor pode acrescentar
o contexto histórico relatando, segundo Oliveira e Ponte(1999), que quando
criada por René Descartes, a princípio, também servia somente para números
inteiros positivos.
25
SUGESTÃO PARA A QUESTÃO 4. Para a notação de potência,
apresentamos uma leitura e curiosidades da História da Matemática.
Utilizamos a notação de potência, para indicar um número para multiplicar
por si mesmo, duas ou mais vezes. Nesta multiplicação: indicou-se base para
este número que se repete, e, o número elevado como expoente para indicar a
quantidade de repetições.
Esta notação “surge, finalmente, com o livro Géometrie (1637) de René
Descartes (1596-1650)” (OLIVEIRA e PONTE, 1999).
Segundo Oliveira e Ponte (1999, apud BALL, 1960), as primeiras
referências de uma notação para esta operação, “encontra-se num papiro
egípcio que remonta ao final do Império Médio (cerca de 2100-1580 a.C.)”.
Durante o século XVII, muitas notações coexistiram e, ainda foram criadas
outras, “mas a de Descartes oferecia certas vantagens quanto à interpretação,
tal como o seu uso, até aos nossos dias, tem evidenciado” (OLIVEIRA e
PONTE, 1999 apud CAJORI, 1993).
2.5. FORMALIZAÇÃO DO VOLUME DO CUBO PEQUENO E
APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DE MEDIDA DO VOLUME.
O professor pode apresentar a formalização da potenciação do
monômio “cm”, com a finalidade de reconhecer o centímetro cúbico como
medida do volume deste cubo. Bem como a padronização do metro cúbico
como unidade padrão do Sistema Internacional de Unidades para medir o
volume e sua representação m³; seus múltiplos Km³, hm³, dam³ e seus
submúltiplos dm³, cm³, mm³ (5ª série/ 6º ano). Enfatizando que o metro cúbico
é originário do cubo com um metro de medida da aresta. Deste registro
organizado estabelecemos a conexão do conteúdo Potenciação com o
conteúdo Medidas e Volumes: cálculo do volume do cubo.
Conceituando o Volume como “medida do espaço ocupado por um
corpo” (RIBEIRO, 2009), o professor poderá sugerir outras perguntas para
contribuir com a questão 4: Qual a relação entre o volume dos pequenos
cubos e o volume dos cubos maiores montados?
26
Com a tarefa de organizar os dados do problema em um quadro
resumo (Quadro 1), pretende-se que o aluno reconheça as grandezas que
representam volume, bem como reconhecer as grandezas dadas e calculadas
em todas as questões do problema, acrescentando a este quadro as
respectivas unidades de medidas.
3. CONTEÚDO DE ESTUDO
3.1. FORMALIZAÇÃO DO CÁLCULO DO VOLUME DE UM CUBO.
O professor pode resumir os conteúdos trabalhados, a partir da
primeira montagem com 8 cubos pequenos (questão 2 – montagem A),
destacando a formalização do volume 1 cm3 para cada pequeno cubo (questão
4). Destacando o conceito de Volume como “medida do espaço ocupado por
um corpo” (RIBEIRO, 2009), associar que este espaço foi ocupado por 8
pequenos volumes de 1cm³.
Após obter sugestões de respostas quanto à relação entre o volume
dos pequenos cubos e o volume dos cubos maiores montados, o professor
pode propor a observação do volume do cubo maior 8 cm3 e a respectiva
aresta de medida 2 cm (quadro 1- questão 4). Cálculo do volume também
obtido pela potência (2 cm)³ = 8 cm³
Seguindo esta observação (questão 4), na segunda montagem, o
professor atenta que o aumentou da medida da aresta do cubo maior para 3
cm, produz o volume para 27cm3. Seguindo para a terceira montagem, com
aumento da dimensão da medida da aresta do cubo maior para 4 cm e o
volume vai para 64 cm3.
Com o registro formal desta observação para a questão 4, o
professor apresenta a variação do volume, conforme o aumento da medida da
aresta. Compreendendo esta relação, podemos utilizá-la sem montagem, para
outros dois cubos, por exemplo, com dimensões das medidas das arestas 5 cm
e 6 cm, resultando volumes 125cm3 e 216 cm3, respectivamente.
27
A confirmação desta constatação expressa o cálculo do volume do
poliedro cubo. Neste cálculo, o professor poderá acrescentar que para o
volume do cubo, podemos adotar a letra “V”; e para a medida da aresta do
cubo, podemos adotar a letra “a”; e, 3 o expoente constante que representa o
número de dimensões do cubo (comprimento, largura e altura). Sistematizando:
Volume do cubo = medida da aresta do cuboquantidade de dimensões do cubo
V = a 3
É uma relação que podemos chamar de fórmula matemática para
o cálculo do volume do cubo.
A partir desta fórmula podemos imaginar a montagem de um cubo
com aresta 20 vezes a medida da aresta de um pequeno cubo de 1 cm. Assim
podemos calcular que o cubo com medida da aresta 20 cm possui um volume:
V = (20 cm)3 , calculando V= 8000 cm3.
Também, podemos constatar que ao pretendermos montá-lo com
pequenos cubos com aresta de 1 cm de medida, precisaremos de 8000
pequenos cubos, serão 8000 espaços ocupados por 1cm³, que resultará em
um volume de 8000 cm3. Se ao invés de 1 cm de aresta do cubo pequeno
apresentasse 2 cm, ainda se verificaria uma relação?
3.2. CONTEÚDOS PROPOSTOS E AVALIAÇÃO DO ALUNO.
Para a avaliação do aluno, nesta proposta dos pequenos grupos,
um relatório de avaliação de cada grupo, foi sugerido no encaminhamento
metodológico, anotações conforme DCE Matemática (1998), por exemplo, a
comunicação e utilização da linguagem matemática do grupo em plenária e as
estratégias utilizadas nas resoluções. Recomendando que a estratégia de
avaliação seja apresentada aos alunos.
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Além das anotações, o professor pode considerar o registro do
grupo na lousa, a linguagem matemática utilizada nas plenárias, a
organização escrita do aluno na formalização do conteúdo. A formalização,
conforme Allevato e Onuchic (2009, p. 8), é apresentada pelo professor, de
maneira “organizada e estruturada em linguagem matemática, padronizando
os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da
resolução do problema (...).”
Os quadros a seguir apresentam alguns itens retirados das DCE –
Matemática (2008, p.77 a 80), para explicar os conteúdos a serem formalizados
e sua respectiva avaliação.
Conteúdos
Estruturantes
Conteúdos
Básicos(caminhos
de resolução)
Avaliação (série/ano)
NÚMEROS E
ÁLGEBRA
Potenciação. Reconhecer a notação de potência como multiplicação
de mesmo fator. (5ªsérie/6ºano)
GRANDEZAS E
MEDIDAS
Medidas de Volume Compreender e utilizar uma unidade de medida do
volume. (5ªsérie/6ºano).
GEOMETRIAS
Geometria Espacial Classificar e construir sólido geométrico cubo
(cubo).(6ªsérie/7ºano).
Conteúdo
Estruturante a
formalizar
Conteúdo Básico
a formalizar Avaliação (série/ano)
GRANDEZAS E
MEDIDAS
Medidas de Volume Calcular o volume de um cubo. (7ªsérie/8ºano).
Fonte: Lauriane S Lima 06/11. Adaptado DCE – Matemática (2008, p.77 a 80)
29
4 RECOMENDAÇÕES AOS PROFESSORES
O desenvolvimento das etapas desta unidade pedagógica está
pautado na metodologia Resolução de Problemas apresentada em Onuchic
(1999) e Allevato e Onuchic (2009). Como recomendação o detalhamento de
cada etapa, para implementação em sua sala de aula, encontra-se na
introdução do caderno pedagógico, o qual esta unidade integra.
A utilização das cores na unidade pedagógica é um argumento
matemático que tem adaptação do problema da Olimpíada Portuguesa de
Matemática e também, em 2010, da Olimpíada Brasileira de Matemática, fonte
autorizada, em anexo, do Canguru Matemático de Portugal e do Canguru
Brasil. As cores são apresentadas para auxiliar na identificação dos elementos
do cubo, arestas, vértices e faces. Porém, a extensão da regularidade de no
mínimo 8 cores, para um cubo de qualquer tamanho, permite outras
abordagens nos conteúdos matemáticos. Assim esta unidade pedagógica
apresenta como sugestão a exploração da regularidade das cores do problema
em questão.
O material, pequenos cubos, são unidades do material dourado, coloridos com
tinta látex, para viabilizar a metodologia na produção didática. A utilização do
material dourado, na cor madeira, é possível com a substituição no problema,
pela opção cálculo das cores, sem o recurso visual, como propõe o problema
do Canguru Matemático.
5. PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DA P.D.P.
Para a avaliação das etapas de implementação é recomendado ao
professor o registro em forma de relatório ou diário, para a percepção das
dificuldades, contribuições e adequações desta proposta, nos pontos sugeridos
a seguir:
- na apresentação do problema; perfil do público alvo; objetivos das questões
do problema; procedimentos (atividades, recursos, técnicas, tempo, avaliação
dos alunos) e conteúdos.
30
INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS
ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Matemática). Brasília: MEC/SEF, 1998.
OLIVEIRA, H. & PONTE, J. P. Marcos históricos no desenvolvimento do conceito de potência. Educação & Matemática, 52, 29-34. (1999). Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos-por-temas.htm#Outros. Acesso em: 15 jun. 2011.
ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12. p. 199-220.
ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática: pesquisa em movimento. 2.ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
RIBEIRO, Jackson. Projeto Radix: matemática, 7° ano. São Paulo: Scipione, 2009.
UNIVERSIDADE DE COIMBRA. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Departamento de Matemática. Canguru Matemático sem Fronteias Portugal. Disponível em: http:/www.mat.uc.pt/canguru. Acesso em: 15 mar. 2011.
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ANEXO 1 – Problema no formato para sala de aula.
Considere um pequeno cubo de dimensão 1 cm x 1 cm x 1 cm.
1) Com o auxílio de um dicionário e de livros investigue o que é um cubo.
2) Quais são os elementos que compõe um cubo? Um cubo tem quantas
dimensões?
3) A partir de uma coleção de pequenos cubos, onde cada cubo tem uma única
cor, investigue qual o menor número possível de cores, que podem ser
utilizadas para montar um cubo com :
Montagem A - 8 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor;
Montagem B - 27 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor;
Montagem C - 64 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas não seja da mesma cor
(Fonte: adaptado do Canguru Matemático de Portugal/ Canguru Brasil, 2010).
Figura 1: Exemplos de pequenos cubos coloridos Fonte: Lauriane S Lima. 03/06/11
4) Preencha o quadro a seguir:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem, levando em conta a aresta do cubo
maior.
Pequeno Cubo
Cubo maior da montagem A
Cubo maior da montagem B
Cubo maior da montagem C
Quadro 1: Organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima 06/11
ANEXO 2 Autorização para aplicação de parte do problema.
Fonte : Canguru sem Fronteira de Portugal, problema adaptado para a Unidade Didática
Canguru Matemático sem Fronteiras 2010 Categoria:Cadete
Questão 27.Um canguru tem uma grande coleção de pequenos cubos de dimensões 1× 1 × 1. Cada cubo é de
uma única cor.O canguru quer usar 27 pequenos cubos para fazer um cubo de dimensões 3 × 3 × 3, de modo
a que quaisquer dois cubos com pelo menos um vértice com um sejam de cores diferentes. No mínimo,
quantas cores tem de ser utilizadas?
(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 27
Um canguru tem uma grande colecção de pequenos cubos de dimensões 1 \times 1 \times 1 . Cada cubo é de uma única cor. O canguru quer usar 27 pequenos cubos para fazer um cubo de dimensões 3 \times 3 \times 3 , de modo a que quaisquer dois cubos com pelo menos um vértice comum sejam de cores diferentes. No mínimo, quantas cores têm de ser utilizadas?
a) 27 b) 12 c) 8 d) 9 e) 6
Fonte do problema: Problema adaptado do Canguru sem Fronteira de Portugal – www.mat.uc.pt/canguru, acesso 15/03/2011. Canguru Brasil, 2010.
Solicitação de Autorização, por email, e respostas.
Re: Canguru Matemático
Quarta-feira, 25 de Maio de 2011 6:27
De:
"Canguru Matemático" <[email protected]>
Para:
"Lauriane dos Santos Lima" <[email protected]>
Cc:
"Élio Mega" <[email protected]>
Cara Colega,
pela parte do Canguru - Portugal não há problema. Contudo, deveria
perguntar no Canguru Brasil, pois o Brasil também já é membro do
Canguru MAtemático sem fronteiras e a questão é de 2010 (categoria
Cadete).
O contacto é o Prof. Élio Mega (OBM).
e-mail: [email protected]
Com os meus melhores ccumprimentos
Júlio Neves
On May 10, 2011, at 10:11 PM, Lauriane dos Santos Lima wrote:
> Below is the result of your feedback form. It was submitted by
> Lauriane dos Santos Lima ([email protected]) on Tuesday, May
10, 2011 at 22:11:27
> ------------------------------------------------------------------
> email: [email protected]
> realname: Lauriane dos Santos Lima
> subject: Canguru Matemático
> message: Ao Canguru Matemático sem Fronteiras
> Departamento de Matemática
> Universidade de Coimbra
> Apartado 3008
> 3001-454 Coimbra
> Correio Electrónico: [email protected]
> Contacto através da WEB:
> Telefone: 239 791150
> URL: http://www.mat.uc.pt/~canguru/
>
> Senhores Professores
> Sou Lauriane dos Santos Lima, RG 5.151.343-6 PR, pertencente
ao Quadro Próprio do Magistério do Governo do Paraná -Brasil,
professora de matemática, trabalho em um Colégio Público Rural, em
Londrina, estado do Paraná, sul do Brasil. Como professora do
Governo do Estado do Paraná, estou participando no bienio 2010-2011,
do PDE- Programa de Desenvolvimento Educacional, onde estudo e
pretendo fazer a implemen- tação de uma Unidade Pedagógica para
validar meus estudos sobre Tendências em Educação Matemática, dentro
da metodologia Resolução de Problemas. Este material é criado,
testado no colégio e colocado na plataforma da educação do Governo
do Paraná pra consulta e aplicação de todos os outros professores.
Todo o material é postado para fins pedagógicos sem fins lucrativos.
Para participar deste programa aceito estas condições.
> Para a criação de meu material preciso da autorização de
utilização de parte de um problema, em anexo, o qual vou adaptar
para animais em extinção da fauna brasileira, com acréscimo de mais
cálculos para formalizar o conteúdo "noção intuitiva de função"
> Segue o problema e em destaque a parte que pretendo utilizar
após autorização:
> Um canguru tem uma grande colecção de pequenos cubos de dimensões
1 \times 1 \times 1 . Cada cubo é de uma única cor. O canguru quer
usar 27 pequenos cubos para fazer um cubo de dimensões 3 \times 3
\times 3 , de modo a que quaisquer dois cubos com pelo menos um
vértice comum sejam de cores diferentes. No mínimo, quantas cores
têm de ser utilizadas?
> > a) 27 b) 12 c) 8 d) 9 e) 6
>
> Fonte do problema: Problema Canguru sem Fronteira de Portugal ˆ
www.mat.uc.pt/canguru acesso 15/03/2011
>
> Esclarecendo, o Programa de Desenvolvimento Educacional ˆ PDE
é uma política pública, que proporciona ao professor da Educação
Básica, através de atividades teórico-práticas orientadas, a
produção de conhecimento e mudanças qualitativas na prática escolar
da escola pública paranaense.
> Ante o exposto
> Agradeço antecipadamento a atenção .
> Lauriane dos Santos Lima - [email protected];
> (ddd 43) 3351-1729
> Matemática - PDE.210/2011
> Londrina - Paraná - Brasil
> ------------------------------------------------------------------
---
> REMOTE_ADDR: 189.103.142.3
> HTTP_USER_AGENT: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT
5.1; Trident/4.0; GTB6.6; OfficeLiveConnector.1.3;
OfficeLivePatch.0.0)
problemas do Canguru
Quarta-feira, 25 de Maio de 2011 8:57
De:
Este remetente é verificado pelo DomainKeys
"Élio Mega" <[email protected]>
Adicionar remetente à lista de contatos
Para:
Prezada professora Lauriane,
eu sou o prof. Élio Mega, representante do Canguru Brasil.
A senhora pode usar os problemas do Canguru livremente em sua escola.
Entretanto, se for publicar algum material, deverá constar a fonte.
Peço para entrar no site
www.obm.org.br
(site da Olimpíada Brasileira de Matemática)
onde irá encontrar todas as provas já aplicadas no Brasil desde 2008.
Os problemas estão escritos em Português Brasileiro, mais adequado aos seus
alunos.
Atenciosamente.