Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ

και η Θεία Αναλογία

Ο Λεονάρντο της Πίζας (1170 - 1250), πιο γνωστός ως Φιμπονάτσι (Fibonacci), ήταν αυτός που πρώτος έφερε στη Δύση την ακέραιη ακολουθία που φέρει και το όνομά του. Η ακολουθία αύτη είχε πρωτύτερα μελετηθεί και από Ινδούς μαθηματικούς, δεν ήταν όμως γνωστή στη Δύση. Οι δώδεκα πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι οι εξής:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Κάθε όρος της ακολουθίας υπολογίζεται από τον αναδρομικό τύπο

Fn=Fn-1 + Fn-2 , όπου F(0)=0 και F(1)=1

Δηλαδή κάθε όρος της ακολουθίας είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων του με τους δύο πρώτους όρους να είναι οι αριθμοί 0 και 1 (αρχικά το 0 δεν υπήρχε στο πρωτότυπο κείμενο του Φιμπονάτσι, αλλά προστέθηκε αργότερα.)

Η ιδέα αυτής της ακολουθίας εμφανίζεται στο βιβλίο του Fibonacci Liber Abacci, με τη μορφή του παρακάτω προβλήματος, το οποίο ο ίδιος απάντησε:

Έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σε ένα χωράφι, τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους, έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζευγάρι κουνελιών, τα κουνέλια δε πεθαίνουν ποτέ και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννάει ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά. Το ερώτημα που έθεσε ο Φιμπονάτσι ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θα έχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;

Η λύση έχει ως εξής: Στην αρχή του πρώτου μήνα θα έχουμε ένα ζευγάρι κουνέλια, αφού δεν μπορούν να αναπαραχθούν πριν από το τέλος του δεύτερου μήνα. Έτσι και στο τέλος του πρώτου μήνα θα έχουμε ένα ζεύγος. Στο τέλος του δεύτερου μήνα, τα κουνέλια θα έχουν αναπαραχθεί και θα έχουμε δύο ζεύγη. Στο τέλος του τρίτου μήνα θα έχουμε τρία ζεύγη, αφού θα έχει ξαναγεννήσει το θηλυκό του πρώτου ζεύγους, ενώ το άλλο ακόμα θα αδυνατεί. Στο τέλος του τέταρτου μήνα θα έχει γεννήσει και το θηλυκό του πρώτου και αυτό του δεύτερου ζεύγους, άρα θα έχουμε συνολικά πέντε ζεύγη. Συνεχίζοντας με αυτή τη λογική παίρνουμε τα παρακάτω ζεύγη κουνελιών ανά μήνα:1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233Άρα θα έχουμε 233 ζεύγη κουνελιών στο τέλος του έτους. Με αυτή τη λογική προκύπτουν και όλοι οι υπόλοιποι όροι της ακολουθίας Fibonacci.

22 – 1*3=132 – 2*5=-152 – 3*8=1

82 – 5*13=-1132 – 8*21=1

κ.ο.κ.

Αν από το τετράγωνο του κάθε όρου της ακολουθίας αφαιρέσουμε το γινόμενο του αμέσως προηγούμενου με τον αμέσως επόμενο όρο παίρνουμε αποτέλεσμα εναλλάξ 1 ή -1. Για παράδειγμα:

Μερικά ενδιαφέροντα στοιχεία για την ακολουθία

Αν διαιρέσουμε διαδοχικούς όρους της ακολουθίας μεταξύ τους παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα:

1/1=12/1=23/2=1,55/3=1,66…8/5=1,613/8=1,62521/13=1,61538…34/21=1,619047…55/34=1,61734705…

Παρατηρούμε ότι όσο προχωράμε με τους όρους της ακολουθίας παίρνουμε μία όλο και ακριβέστερη προσέγγιση του αριθμού Φ (προς τιμήν του Φειδία), ο οποίος ισούται με:Φ= 1.618033988749894848204586834... ή [1+5^(1/2)]/2

Η παρουσία της ακολουθίας αυτής είτε αυτούσιας είτε μέσα από τον αριθμό φ είναι έντονα αισθητή στη φύση. Μερικά από τα ακόλουθα παραδείγματα είναι χαρακτηριστικά:

•Τα διαδοχικά πέταλα της τριανταφυλλιάς σχηματίζουν γωνίες 135 ή 144 μοιρών οι οποίες σαν τμήματα του κύκλου είναι: 135/360=3/8 και 144/360=2/5 αντίστοιχα, δηλαδή είναι κλάσματα με όρους αυτούς της ακολουθίας του Fibonacci.

•Αν σχεδιάσουμε τετράγωνα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (με βάση τη Χρυσή τομή) με μήκος πλευράς διαδοχικούς όρους της ακολουθίας FIbonacci και φέρουμε στο καθένα ένα κυκλικό τόξο όπως εικονίζεται παρακάτω παίρνουμε τη λεγόμενη σπείρα Fibonacci:

Η σπείρα αυτή εμφανίζεται σε τεράστια συχνότητα και με ποικίλες μορφές στη φύση (ζώα, φυτά κ.λπ.)

Στο κέλυφος του Ναυτίλου: Στους σπειροειδής γαλαξίες: Στους τυφώνες:

Στο ίδιο μας το σώμα: Στα τριαντάφυλλα:

Στο παρακάτω απόσπασμα βλέπουμε τη δημιουργία ενός άνθους του ηλιοτροπίου (επεξεργασμένο σε υπολογιστή) και πώς κατά την ανάπτυξη του φυτού δημιουργούνται σπείρες Fibonacci, το πλήθος των οποίων είναι κάποιος από τους αριθμούς της ακολουθίας.

Βιβλιογραφία:•http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

•http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/fibonacci-pascal.html

•http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/akolouthia.htm

•http://users.sch.gr/geoman22/mathP/Fibonacci.htm

Βιβλιογραφία:•http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

•http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/fibonacci-pascal.html

•http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/akolouthia.htm

•http://users.sch.gr/geoman22/mathP/Fibonacci.htm