fiabilidad de sistemas

2014

MMVIIIM1C02: Mtodos Cualitativos y

Cuantitativos en Fiabilidad

Captulo 1: Fiabilidad de sistemas

Nieves Martnez Alzamora

* Departamento de Estadstica e Investigacin Operativa Aplicadas y Calidad Universidad Politcnica de Valencia

Espaa

U L P G C S I A N I C E A N I

CURSO: MAESTRA EN INGENIERA DE CONFIABILIDAD Y RIESGO VIII EDICIN

MDULO: 1. Ingeniera de Fiabilidad

ASIGNATURA: Mtodos Cualitativos y Cuantitativos en Fiabilidad I

CAPTULO: Fiabilidad de sistemas

PROFESOR: Nieves Martnez Alzamora

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NDICE

1 Introduccin .................................................................................................................................................... 3

2 Diagramas de bloques ..................................................................................................................................... 3

3 Sistemas serie.................................................................................................................................................. 5

4 Sistemas paralelo ............................................................................................................................................ 7

5 Sistemas compuestos ...................................................................................................................................... 9

5.1 Paralelo-serie .......................................................................................................................................... 9

5.2 Serie-paralelo ........................................................................................................................................ 10

5.3 Mixto-paralelo ....................................................................................................................................... 10

5.4 Asignacin ptima de unidades en un sistema serie-paralelo .............................................................. 11

6 Sistemas complejos ....................................................................................................................................... 13

6.1 Mtodo de la descomposicin .............................................................................................................. 13

6.2 Mtodo de los pasos mnimos .............................................................................................................. 15

6.3 Mtodo de los cortes mnimos ............................................................................................................. 16

6.4 Mtodo tabla booleana y mtodo de la reduccin ............................................................................... 17

7 Redundancia ................................................................................................................................................. 20

7.1 Sistemas que toleran k-1 fallos ............................................................................................................. 20

7.2 Redundancia en un sistema serie .......................................................................................................... 21

7.3 Medidas de importancia de las componentes ...................................................................................... 22

8 Fiabilidad dependiente del tiempo ............................................................................................................... 24

8.1 Sistemas serie ........................................................................................................................................ 25

8.2 Sistemas paralelo .................................................................................................................................. 28

8.3 Sistemas complejos ............................................................................................................................... 32

8.4 Sistemas redundantes ........................................................................................................................... 32






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1. INTRODUCCIN

En la asignatura anterior Fiabilidad, se vieron las definiciones de funcin de fiabilidad, funcin de riesgo y de

medidas de la fiabilidad como MTTF. Estas definiciones son aplicables a componentes y a sistemas como se

coment al finalizar la asignatura anterior y se ver con ms amplitud en el presente tema.

Un sistema es una coleccin de componentes especficas establecidas de acuerdo con un diseo especfico con

el propsito de lograr el cumplimiento de unas determinadas funciones con una fiabilidad aceptable. El tipo de

componentes, su cantidad, su calidad y el modo en que estn dispuestas tienen un efecto directo sobre la

fiabilidad del sistema. Puede utilizarse por ejemplo un nmero reducido de componentes de alta calidad,

configurados de modo que el sistema resulte altamente fiable o puede utilizarse un nmero elevado de

componentes de baja calidad configurados de modo que se obtenga la misma fiabilidad.

El principal objetivo del anlisis de fiabilidad en un sistema es determinar la distribucin del tiempo hasta el

fallo aunque en algunos casos se desee nicamente conocer la fiabilidad de un sistema para un tiempo dado.

La configuracin de un sistema puede ser tan simple como un sistema serie o un sistema paralelo o tan

complejo como una red. Una vez est configurado un sistema, se evaluar su fiabilidad y se comparar con un

nivel considerado como aceptable. En caso de no alcanzarse este nivel se modificar el sistema y se evaluar de

nuevo su fiabilidad.

En esta asignatura se vern mtodos para evaluar la fiabilidad de sistemas con distintas configuraciones y

mtodos para evaluar la importancia de una componente en una estructura compleja.

2. DIAGRAMAS DE BLOQUES

La fiabilidad de un sistema depende tanto de la fiabilidad individual de cada una de sus componentes como del

modo lgico en que estn conectadas dichas componentes.

Se supone que el estado de funcionamiento o fallo de las componentes determina el estado de funcionamiento

o fallo del sistema.






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Figura 1

Un diagrama de bloques (RBD) es una representacin grfica de los componentes o subsistemas de un sistema

y de cmo se relacionan desde el punto de vista de la fiabilidad (Figura 2). En algunos casos est relacin es

distinta de la relacin fsica.

Figura 2

Un RBD est formado por una serie de bloques unidos por un grfico de fiabilidades. Los bloques son

rectngulos que no muestran ningn detalle sobre las componentes o subsistemas que representa. Cada

bloque del diagrama podra ser representado a su vez por su propio diagrama de bloques. Por ejemplo en el

RBD de un coche, el nivel superior de bloques podra representar los principales sistemas del coche. Cada uno

de estos sistemas podra tener sus propios RBD. El grfico de fiabilidades proporciona una representacin

visual del modo en que los bloques se relacionan y muestra el efecto que el funcionamiento o fallo de una

componente tiene sobre el funcionamiento o fallo del sistema

Los RBD resultan tiles para determinar la funcin de fiabilidad de un sistema a partir de las fiabilidades de

cada uno de los bloques.

FIABILIDAD SISTEMAFIABILIDAD

SISTEMA

Dise o del sistema

Dise o del sistema

Fiabilidad de las componentes

Fiabilidad de las

componentesNmero de

componentesNmero de

componentes






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3. SISTEMAS SERIE

Un sistema serie es aquel que funciona si y solo si funcionan todos y cada uno de los componentes que lo

forman.

Si suponemos que el sistema est formado por n componentes: C1,...Cn, la probabilidad de funcionamiento de

cada componente en el momento en que es evaluado el sistema es conocida y asumimos la notacin,

iX = la unidad Ci funciona

iX = la unidad Ci no funciona

( )ii XPR = = probabilidad de que la unidad Ci funcione correctamente ( )if XPP i = = probabilidad de que la unidad Ci no funcione

XS = el sistema funciona

SX = el sistema no funciona

( )Ss XPR = = fiabilidad del sistema ( )Sf XPP s = = probabilidad de fallo del sistema

El diagrama de bloque correspondiente a este tipo de sistemas ser el de la Figura 3:

Figura 3

No hay que olvidar que el grfico de fiabilidades proporciona una representacin visual del modo en que los

bloques se relacionan aunque esto no significa necesariamente que esta sea la relacin fsica entre los bloques

como se puede ver en los siguientes ejemplos:






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EJEMPLO.- Un coche tiene varios subsistemas conectados en serie, como el subsistema de arranque, el

subsistema de direccin y el subsistema de frenos. El fallo de cualquiera de estos subsistemas hace que

el coche no realice su funcin y se considera que ha ocurrido un fallo del sistema.

EJEMPLO.- Una linterna est formada por 3 componentes en serie, interruptor, batera y bombilla.

La fiabilidad del sistema ser la probabilidad de que funcionen todas las componentes, es decir, la probabilidad

de que funcione la primera componente, multiplicada por la probabilidad de que, funcionando la primera,

funcione tambin la segunda y as sucesivamente

( ) ( ) ( ) ( )12112121 ......./.........../........ == nnnS XXXXPXXPXPXXXPR

En el caso de que las componentes sean independientes,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==

====

n

ii

n

iinnS RXPXPXPXPXXXPR

112121 ...................

La fiabilidad de un sistema serie siempre es menor o igual que la fiabilidad de la componente con menor

fiabilidad

{ }nS RRRR ,.....,,min 21

Por lo tanto el componente de mayor influencia en la fiabilidad del sistema ser el componente de menor

fiabilidad

EJEMPLO.- Dado un sistema serie formado por 3 componentes cuya fiabilidad, para un tiempo t, es 09, 08 y

075 respectivamente, la fiabilidad del sistema para dicho tiempo t ser

54'075'08'09'0 ==SR

Si representamos la fiabilidad del sistema (ordenada) en base a la fiabilidad de la componente ms dbil

(abcisa) podemos comprobar que, como hemos comentado antes, en sistemas serie la influencia de la fiabilidad

del componente de menor fiabilidad en la fiabilidad del sistema es muy fuerte, ya que podemos hacer que la

fiabilidad del sistema oscile entre 0 y 072 en base a la fiabilidad de la tercera componente (Figura 4)






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Figura 4

Ejercicio 1

Estimar la fiabilidad de un sistema serie formado por 150 componentes idnticas de fiabilidad 099. Sol: R=022

4. SISTEMAS PARALELO

Un sistema paralelo es aquel que funciona mientras funcione al menos una de sus componentes. En un sistema

paralelo el fallo de una componente permite que el resto de las componentes funcionen. El diagrama de

bloque correspondiente a este tipo de sistemas ser el de la Figura 3.

Figura 5






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La fiabilidad de un sistema paralelo ser, por lo tanto, la probabilidad de que funcione alguna de las

componentes.

( )

)........(11)........(

.......

21

21

21

nfS

nf

nS

XXXPPR

XXXPPXXXPR

S

S

==

=

+++=

Si las componentes son independientes,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

===

n

ii

n

iinS RXPXPXPXPR

1121 111......1

La fiabilidad de un sistema paralelo siempre es mayor o igual que la fiabilidad de la componente con mayor

fiabilidad:

{ }nS RRRR ,.....,,max 21 Por lo tanto el componente de mayor influencia en la fiabilidad de un sistema paralelo ser la componente de

mayor fiabilidad

EJEMPLO.- Si conectamos las componentes del ejemplo anterior cuya fiabilidad era 09, 08 y 075 en paralelo, la

fiabilidad del sistema ser

( ) ( ) ( ) 995'075'018'019'011 ==SR Si representamos la fiabilidad del sistema en base a la fiabilidad de la componente ms dbil podemos

observar que en un sistema paralelo la influencia de la fiabilidad del componente de menor fiabilidad en la

fiabilidad del sistema es mucho menor (Figura 6). En este caso el componente de mayor influencia ser el

componente de fiabilidad 09






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Figura 6

5. SISTEMAS COMPUESTOS

Hay muchas situaciones en las cuales un sistema est compuesto por una combinacin de subsistemas serie o

paralelo

5.1 Paralelo-serie

Un sistema paralelo-serie est formado por m caminos paralelos, cada uno de los cules tiene n unidades

conectadas en serie, como se recoge en el siguiente RBD (Figura 7) :

Figura 7

La fiabilidad de este tipo de sistemas es,

= =

=

m

i

n

jjS RR

1 111






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5.2 Serie-paralelo

Un sistema serie-paralelo est formado por n subsistemas colocados en serie, cada uno de los cuales tiene m

unidades colocadas en paralelo, como se recoge en el siguiente RBD (Figura 8):

Figura 8

La fiabilidad de este tipo de sistemas es,

( ) = =

=

n

i

m

jjS RR

1 111

Los sistemas serie-paralelo tienen mayor fiabilidad que los sistemas paralelo-serie cuando ambos tienen igual

nmero de unidades y cada unidad tiene la misma fiabilidad

5.3 Mixto-paralelo

Un sistema mixto paralelo tiene como nica restriccin que las componentes estn colocadas en

configuraciones serie y paralelo, como se ve en los siguientes RBD:






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Ejercicio 2

Dadas 6 unidades idnticas, cada una de ellas con fiabilidad 085, determinar la fiabilidad de los 3 sistemas

siguientes (Figura 9 ). Cmo se denomina cada configuracin?cul es la configuracin ptima?. Sol: a) 08511

b) 09340 c) 09022

Figura 9

Ejercicio 3

Calcular la fiabilidad del siguiente sistema Sol. 09852

5.4 Asignacin ptima de unidades en un sistema serie-paralelo

La fiabilidad de un sistema depende de cmo se han asignado las unidades a la configuracin del sistema.

Cuando las componentes no son idnticas el problema es complicado.

Basndose en el hecho de que la fiabilidad de un sistema serie-paralelo es mxima cuando la fiabilidad de los

subsistemas sea tan igual como sea posible, Baxter y Harche propusieron (1992) el algoritmo TDH (top down

heuristic) para conseguir una asignacin que maximice la fiabilidad en este tipo de sistemas.

0.80

0.90 0.80

0.80

0.80 0.95

0.90






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Los pasos son los siguientes,

Paso 1.- Ordenar las componentes por orden decreciente de fiabilidad

Paso 2.- Colocar las n componentes ms fiables, una en cada subsistema

Paso 3.- Colocar las n componentes siguientes en orden inverso

Repetir hasta que se coloquen todas las componentes,

Paso 4 .- Evaluar la fiabilidad de cada subsistema

Paso 5.- Colocar las n componentes siguientes. En este caso se colocar la componente ms fiable en el

subsistema de menor fiabilidad y as sucesivamente.

Existe tambin un algoritmo semejante BUH (bottom up heuristic) que empieza asignando las n unidades de

menor fiabilidad.

EJEMPLO Un ingeniero desea disear un sistema redundante que incluye seis resistencias. Sus fiabilidades son

095, 075, 085, 065, 040 y 055. El espacio donde las resistencias son instaladas limita al diseador a colocar

los resistencias en un arreglo (3,2), es decir, dos subsistemas en serie de 3 resistencias conectadas en paralelo.

Usar el TDH para colocar las unidades y calcular la fiabilidad del sistema resultante. Sol : 0972802

Si ordenamos las fiabilidades de las componentes tendremos

095>085>075>065>055>040

Si realizamos los pasos 1,2 y 3 tendremos (Figura 10)

Figura 10

Si evaluamos la fiabilidad de cada subsistema (Paso 4) tendremos

R1= 1-(1-095) (1-065) = 09825






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R2= 1-(1-085) (1-075)= 09625

Por lo tanto la asignacin definitiva de las componentes ser (Figura 11)

Figura 11

y la fiabilidad definitiva del sistema 09728

6. SISTEMAS COMPLEJOS

No todos los sistemas pueden descomponerse como combinaciones de subsistemas serie/paralelo, por ello es

necesario otros mtodos de anlisis.

La fiabilidad de estos sistemas puede ser determinada por distintos mtodos: mtodo de la descomposicin,

mtodo de los pasos, mtodo de los cortes, mtodo de la particin, etc. Los sistemas de telecomunicaciones,

redes de ordenadores, sistemas de energa elctrica o sistemas de distribucin de aguas son ejemplos tpicos

de redes complejas.

Algunas de estas redes se denominan redes dirigidas cuando el flujo de un nodo a otro es unidireccional.

Cuando el flujo es bidireccional la red se denomina no-dirigida. Los problemas y mtodos discutidos en este

apartado son vlidos para redes dirigidas o no-dirigidas.

6.1 Mtodo de la descomposicin

Este mtodo se basa en seleccionar una componente clave, Ci, que consideramos bsica para la fiabilidad del

sistema. Por el teorema de la particin la fiabilidad del sistema puede expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( )iiii XfuncionesistemaPXPXfuncionesistemaPXPR // +=






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EJEMPLO: Suponiendo que todas las componentes del sistema de la Figura 12 tienen la misma fiabilidad, p,

determinar la fiabilidad de la red cuando la componente B es seleccionada como componente clave.

Figura 12 SOLUCIN:

En este sistema se verifica que

P(XB)=p

pXP B =1)(

Si consideramos que la componente B funciona con seguridad, el RBD del sistema de la Figura 12 ser

equivalente al de la Figura 13

Figura 13

y ( ) ( ) 22 211/ pppXXP BS ==






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Si consideramos que la componente B no funciona con seguridad, el RBD del sistema de la Figura 12

ser equivalente al de la Figura 14

Figura 14

y ( ) ( ) 4222 211/ pppXXP BS ==

Por lo tanto, aplicando el mtodo de la descomposicin, la fiabilidad del sistema ser,

( ) ( )( )422 212 ppppppRS +=

6.2 Mtodo de los pasos mnimos

El mtodo de los pasos se basa en buscar subconjuntos de componentes del sistema tales que su

funcionamiento implica el funcionamiento del sistema, independientemente del estado del resto de los

componentes.

Estos subconjuntos se denominan pasos o caminos. Un paso se dice que es minimal si ningn subconjunto

propio es a su vez paso. Dicho de otro modo, un paso minimal es aquel que verifica que cuando se elimina

cualquier componente deja de ser paso.

Si las componentes son independientes, la probabilidad de que funcione un paso, por ejemplo el

formado por tres componentes ACD ser,

P(XAXCXD)= P(XA)P(XC)P(XD) Al intersectar 2 pasos el paso resultante est formado por aquellas componentes que aparecen al

menos una vez en cualquiera de los pasos intersectados (regla de absorcin).






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(AD )(BD)= ABD

Un sistema funcionar siempre y cuando funcione al menos uno de los pasos minimales. En base a esto, el

mtodo de los caminos para calcular la fiabilidad de un sistema complejo consiste en localizar todos los pasos

minimales de un sistema, P1,...Pp , y calcular la probabilidad de la unin de todos los pasos minimales,

( )pPPS XXPR ++= .......1

EJEMPLO: Considerar el sistema de la Figura 15 y usar el mtodo de los pasos y el mtodo de los cortes para

estimar la fiabilidad del sistema, suponiendo que todas las componentes tienen una fiabilidad de 085.

Figura 15

SOLUCIN:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9368'0=+

++=++=

EDCBABACDCBEACDEA

CBACDEACBACDEAS

XXXXXPXXXXPXXXXPXXXXP

XXXPXXPXXPXXXXXXXPR

6.3 Mtodo de los cortes mnimos

Este mtodo funciona de modo similar al anterior, pero en lugar de buscar subconjuntos de componentes del

sistema tales que su funcionamiento implica el funcionamiento del sistema, se buscan subconjuntos de

componentes cuyo fallo implica el fallo del sistema.






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Se llama corte (cut-set) a un grupo de componentes tal que su fallo implica el fallo del sistema. Un corte

minimal ser aquel que verifica que ningn subconjunto suyo es un corte. De modo similar a los pasos, un

corte minimal ser aquel que verifica que cuando se elimina cualquier componente deja de ser corte.

La probabilidad de fallo de un sistema vendr dada por la probabilidad de que falle al menos un corte mnimal.

En base a esto, el mtodo de los cortes para calcular la fiabilidad de un sistema complejo consiste en localizar

todos los cortes minimales de un sistema, K1,...Kp , y calcular,

( )pS KKfS XXPPR ++== .......11 1

Ejercicio 4:

Considerar el sistema de la Figura 15 y usar el mtodo de los cortes para estimar la fiabilidad del sistema,

suponiendo que todas las componentes tienen una fiabilidad de 085. Sol: cortes ECCAEDBDA ,,,

6.4 Mtodo tabla booleana y mtodo de la reduccin

El mtodo de la tabla booleana se basa en la construccin de una tabla de verdad para el sistema. Es tedioso si

se realiza a mano pero sencillo si se programa. En una tabla de verdad se lista cada posible estado del sistema.

Se crea una columna para cada componente y se asigna un valor de 1 0 indicando si la componente funciona

o no funciona. Cada fila de la tabla representar uno de los posibles estado del sistema. Estas filas son

examinadas para determinar si el sistema funciona o no y se crea una columna para el estado del sistema en la

cual se asigna 1 0 segn que el sistema funcione o no funcione. Se calcula la probabilidad de cada fila y la

fiabilidad del sistema se obtiene sumando las probabilidades de todos los estados en los cuales funciona el

sistema.






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EJEMPLO: Usar el mtodo de la tabla booleana para estimar la fiabilidad del sistema anterior.

XA XB XC XD XE Estado sistema

Probabilidad estado

1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 585'0=EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 0 0 0



0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Sol: RS=09368






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El mtodo de la reduccin se basa en el mtodo de la tabla de verdad y la aplicacin de la suma de productos

(Case, 1977).

Se construye una tabla de verdad de orden 2n (n =nmero de componentes).

Se examina el estado del sistema para cada fila y se identifican las filas en las cuales el sistema funciona correctamente.

Se construye una tabla de reduccin localizando las filas que difieren en el estado de una componente.

La fiabilidad del sistema ser la probabilidad de la unin de todos los trminos que ya no pueden ser comparados

EJEMPLO: Usar el mtodo de la tabla booleana para estimar la fiabilidad del sistema anterior.

Estados sistema funciona Nivel reduccin 1 Nivel reduccin 2

EDCBA XXXXX

DCBA XXXX

CBA XXX

EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

DCBA XXXX EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

ECBA XXXX

ECA XXX EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

DCBA XXXX

EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

ECBA XXXX

EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

DCBA XXXX

DCA XXX EDCBA XXXXX

EDCBA XXXXX

DCBA XXXX EDCBA XXXXX






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( )( )

9368'015'0*85'015'0*85'02*15'0*85'085'0()()()()

23323=+++

=++++

=++++=

EDCBADCBADCAECACBA

EDCBADCBADCAECACBAS

XXXXXPXXXXPXXXPXXXPXXXPXXXXXXXXXXXXXXXXXXPR

7. REDUNDANCIA

La redundancia es el uso de componentes adicionales en el diseo de un sistema con objeto de mejorar su

fiabilidad.

Existen dos tipos de redundancia: activa o pasiva. En una redundancia activa todas las componentes

redundantes funcionan simultneamente desde el inicio. En una redundancia no activa (stand-by), las

componentes redundantes empiezan su trabajo solo cuando falla alguna de las componentes operativas.

Por ejemplo, un avin que requiere 3 de sus 4 motores para poder volar, tendr sus motores en redundancia

activa, mientras que un ordenador tendr una fuente de alimentacin en redundancia inactiva, para

proporcionar energa cuando ocurra algn fallo en la fuente de alimentacin principal.

Ejercicio 5:

Un procesador de seales tiene una fiabilidad de 090. Debido a su poca fiabilidad, se estudia la posibilidad de

aadir un procesador redundante (redundancia activa). Sin embargo, si se aade un procesador redundante

debe aadirse antes un distribuidor de seal y despus un comparador. Cada una de estas unidades tiene una

fiabilidad de 095. Aumenta la fiabilidad del sistema aadir un procesador redundante? Sol: No

7.1 Sistemas que toleran r-1 fallos

Un sistemas tolerante a r-1 fallos es un sistema con n componentes en activo, cuyo fallo se produce si y solo si

fallan r o ms de las n componentes.

EJEMPLOS:

Grandes aviones que, aunque solo requieren 2 motores, tienen 3 o 4 por motivos de seguridad

Sistemas que, aunque solo requieren un generador para proveer las necesidades de potencia, tienen 2 o 3 generadores por motivos de seguridad

Cables de gras o puentes que contienen miles de hilos aunque solo una fraccin de ellos es necesaria para sostener la carga deseada.






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Si un sistema tolerante a r-1 fallos tiene n componentes idnticas, todas ellas con probabilidad de

funcionamiento p, la fiabilidad del sistema ser la probabilidad de que funcionen correctamente k=n-(r-1) o

ms componentes,

( )=

=

n

kj

jnjS ppj

nR 1

ntecorrectamefuncionecomponenteunaquedeadprobabilidprnsistemadelentofuncionamiel

garantizanquentecorrectameofuncionandscomponentedenumeromnimoksistemadelscomponentedenmeron

=

=

=

)1(

sistemadelfiabilidadR S =

Si el sistema est formado por n componentes diferentes, para determinar la fiabilidad del sistema debern

evaluarse todas las posibles combinaciones operacionales.

EJEMPLO: Un sistema de telecomunicaciones consta de 4 canales paralelos diferentes. El sistema es operacional

si funcionan 3 canales. Determinar la fiabilidad del sistema en el caso en que las componentes sean diferentes y

en el caso en que las componentes sean idnticas

( ) 4343

4 3414

ppppjR jjj

S =

=

=

7.2 Redundancia en un sistema serie

Se puede aumentar la fiabilidad de un sistema serie replicando las componentes principales con componentes

redundantes.

Es interesante conocer el mnimo nmero de componentes redundantes que deben ser colocadas en una

estructura serie para conseguir una determinada fiabilidad

El mtodo de bsqueda secuencial propuesto por Barlow y Proschan (1965) se basa en el hecho de que se

maximiza el aumento en la fiabilidad de un sistema serie si se replica la componente de menor fiabilidad

EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 3 componentes con fiabilidades 070, 075 y 085 respectivamente.

Determinar el mnimo nmero de componentes que deben ser aadidas en paralelo (redundancia activa) a las

componentes iniciales. para que la fiabilidad llegue a ser superior a 07. Se supone que las componentes usadas

en las rplicas son idnticas a las componentes originales del sistema






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7.3 Medidas de importancia de las componentes

Una vez realizado el diseo de un sistema que permite asegurar una fiabilidad determinada, es interesante

identificar aquellas componentes que son cruciales para el correcto funcionamiento del sistema. De este modo,

es posible mejorar la fiabilidad del sistema replicando estas componentes.

Existen distintos mtodos para medir la importancia de cada componente en trminos de fiabilidad que son

aplicables en un sistema serie, paralelo, mixto o complejo. La mayor parte de los mtodos se basan en estudiar

la fiabilidad del sistema cuando la componente funciona y cuando no lo hace.

( ) nixPpppp iin ,...,1)(...,,.........1 === funcionenosistemaelquedeadprobabilidpG =)(

07 075 085

85'0*75'0*7'0=R

07

075 085

07

( )( ) 5801'085'0*75'0*7'011 2 ==R07 075

085

07 075

( )( ) ( )( ) 7251'085'0*75'011*7'011 22 ==R






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La medida de importancia de Birnbaum, de la componente i-sima, ( )tI iB es la probabilidad de que esta componente sea crtica para el sistema,

( ) ( )( ) ( )( )tpGtpGtI iiiB ,1,0 =

( )( )( )( ) funcionaicomponentelacuandofuncionenosistemaelquedeadprobabilidtpG

funcionanoicomponentelacuandofuncionenosistemaelquedeadprobabilidtpGi

i

=

=

,1,0

EJEMPLO: Uno de los mtodos ms simples para medir la resistencia consiste en transmitir un voltaje por una

resistencia desconocida y medir la intensidad de la corriente con un galvanmetro. Un fabricante de estos

galvanmetros necesita bateras para proporcionar el voltaje necesario. Si coloca en serie 4 bateras con tasas

de fallo constantes 1=0005, 2=0009, 3=0003 y 4=005 fallos por hora cul ser la medida de importancia de Birnbaum de cada batera a las 40 horas?

( ) ( ) ( ) ( ) 135'040;887'040;698'040;819'040 40*440*340*240*1 4321 ======== epepepep

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )40404040140 4321 pppppG =

( )( )( )( )( )( )( )( ) 10*887'0*698'0*819'0140;0

1135'0*0*698'0*819'0140;01135'0*887'0*0*819'0140;01135'0*887'0*698'0*0140;0

4

3

2

1

==

==

==

==

pGpGpGpG

0698 0887 0135 0819






Pg. 24 de 35

( )( )( )( )( )( )( )( ) 4929'01*887'0*698'0*819'0140;1

9228'0135'0*1*698'0*819'0140;19019'0135'0*887'0*1*819'0140;19614'0135'0*887'0*698'0*1140;1

4

3

2

1

==

==

==

==

pGpGpGpG

( )( )( )( ) 507'04929'0140

077'09228'0140098'09019'0140084'09614'0140

4

3

2

1

==

==

==

==

B

B

B

B

I

I

I

I

La componente de mayor importancia en este sistema es la componente 4, lo cual resulta lgico ya que hemos visto que la fiabilidad de un sistema serie es siempre menor que la de su componente ms dbil. Si el sistema es complejo, esta medida resultara muy til para saber que componentes debemos replicar con mayor prioridad.

Ejercicio 6:

Si en el ejerci anterior el fabricante tiene las siguientes opciones para colocar las 4 bateras

- Bateras 1 y 2 conectadas en serie con bateras 3 y 4 conectadas en paralelo

- Las 4 bateras en paralelo

Cul ser la medida de importancia de Birnbaum de cada batera en las configuraciones anteriores a las 40

horas? Comentar los resultados. Sol: 0629, 0739, 0495, 0065; 0029,0018, 0047,0006. Deben ser replicadas

la 2 y la 3.

8. FIABILIDAD DEPENDIENTE DEL TIEMPO

Hasta ahora se ha considerado que la fiabilidad de las componentes en un instante concreto y no se ha

intentado obtener la distribucin del tiempo de vida del sistema en base a la distribucin del tiempo de vida de

las componentes. Es decir se ha realizado un estudio instantneo de la fiabilidad del sistema y no se ha

observado su variacin a travs del tiempo. En este apartado, estudiaremos como obtener la funcin de

fiabilidad de un sistema en base a las funciones de fiabilidad de las componentes..






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8.1 Sistemas serie

Razonando del mismo modo que vimos en la pregunta 1, la fiabilidad de un sistema serie formado por n

componentes independientes en un instante t, es decir la probabilidad de que la duracin del sistema sea

superior a t, ser la probabilidad de que todas las componentes tengan una duracin superior a t, es decir:

( ) [ ] ( )( ) ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )tRtRtRtTPtTPtTP

tTtTtTPtTPtR

nn

nSs

......................

.............

2121

21

=>>>

=>>>=>=

Por lo tanto,

( ) ( )=

=

n

iis tRtR

1

Si cada componente tiene una funcin de riesgo constante, i, la fiabilidad del sistema en el instante ser,

( ) == = =

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1

La duracin del sistem seguir por tanto un modelo exponencial, cuya tasa de fallo ser la suma de las

tasas de fallo de las componentes

Para componentes con funcin de riesgo linealmente creciente ( ) tth ii = la fiabilidad del sistema ser,

( ) = =

n

i

it

s etR 12

2

En este caso, la duracin del sistema seguir por tanto un modelo Rayleigh, cuya tasa de fallo ser la

suma de las tasas de fallo de las componentes

Para componentes con tasa de fallo Weibull ( )1

=

i

ii

ii

tth

la fiabilidad del sistema ser,

( )

=

=

n

i is

it

tR1

exp

Si el parmetro de forma, , es idntico para todas las componentes la duracin del sistema seguir un modelo Weibull con parmetro de forma y parmetro de escala






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=

=

1

1

1'

n

i i

.

Si ambos parmetros, y , son idnticos para todas las componentes, la duracin del sistema seguir un modelo Weibull con parmetro de forma y parmetro de escala

= 1' n

Si r componentes presentan tasa de fallo constante y n-r presentan tasa de fallo de Weibull, la fiabilidad del sistema ser,

( )

=

+==

n

ri i

r

iis

it

ttR11

exp

EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 5 componentes, tres de las cuales tienen tasa de fallo constante

1=5x10-6, 2=3x10-6 y 3=9x10-6. Las otras 2 componentes presentan tasa de fallo de Weibull con parmetros 1=765010, 1=22, 2=1452371 y 2=21. Determinar la fiabilidad del sistema a las 1000 horas.

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 9685'01000 2211321 100010001000*1000*1000* == eeeeeRS Si utilizamos el software ICR, como se vio en la asignatura anterior, podemos verificar utilizando la opcin Show

Point Values, el resultado anterior.






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Como se vio anteriormente, el valor medio del tiempo hasta el fallo puede obtenerse a partir de la funcin de

fiabilidad mediante la siguiente expresin

( ) ( ) ( )

===

00

dttRdtttfTEMTTF

En la siguiente tabla se recoge el MTTF para sistemas serie con n componentes,

Configuracin

sistema

Tasa de fallo

Componentes

MTTF componente MTTF sistema

Serie Constante

i i

dtte i

=

1

0

=

=

=

n

ii

dttn

ii

e

1

0

11

Lineal crec.

i t pi

=

2022 dte /ti

=

pin

ii

12

Weibull ( cte) 1

ii

t

+

11i

+

=

111

1

1

n

i i

.

EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 6 componentes que tienen el mismo parmetro forma de una

distribucin Weibull. El parmetro forma es 175 y el parmetro escala de las componentes son 218804,

239509, 172132, 209732,215210 y 180532. Determinar el MTTF del sistema. Sol: 647143horas

( )727'726

32'18051

10'21521

32'20971

32'17211

09'23951

04'21881

'

75'1175'175'175'175'175'175'1

=

+

+

+

+

+

=

( ) 143'64789049'0*727'7265714'1' === MTTF Ejercicio 7:

Una fuente de alimentacin tiene 3 rectificadores colocados en serie. El tiempo de vida de todos los

rectificadores sigue una distribucin Weibull con =2.1. La vida caracterstica es diferente para cada rectificador: 12.000 h, 18.500h y 21.500h. Qu tiempo de vida alcanzar la fuente de alimentacin con una

probabilidad del 90%? Cul ser el tiempo medio hasta el fallo? Sol: t=3194792; MTTF=826267

(Si obtenis el grfico siguiente con ICR, y utilizis la opcin Show Point Values, podis verificar el valor del

percentil






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Ejercicio 8:

10 componentes Weibull, cada una de ellas con parmetro de forma 08, deben trabajar en serie.

Determinar una vida caracterstica comn para estas componentes de modo que el sistema supere un

tiempo de vida de 1 ao con una fiabilidad de 099. Sol: =558823

8.2 Sistemas paralelo

La fiabilidad de un sistema paralelo formado por n componentes independientes en un instante t ser la

probabilidad de que alguna de las componentes tenga una duracin mayor de t,

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]tXtXtXP

tXtXtXPtTP

n

ns

==>>>=>

.........1.........

21

21

Por lo tanto,

( ) ( )( )=

=

n

iis tRtR

111






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En el caso de componentes independientes con tasa de fallo constante, i, la fiabilidad del sistema ser.

y no se ajustar a un modelo concreto.

Para componentes con tasa de fallo linealmente creciente ( ) tth ii = la fiabilidad del sistema ser, ( ) ( )

=

=

n

i

/ts

ietR1

2211

no ajustndose, al igual que en el caso anterior a un modelo concreto.

Para componentes con tasa de fallo Weibull ( )1

=

i

ii

ii

tth

la fiabilidad del sistema ser,

( ) =

=

n

i

t

s

i

ietR1

11

ocurriendo lo mismo que en los dos casos anteriores

EJEMPLO: Dado un sistema paralelo con 2 componentes con tasa de fallo constante 1=05x10-6 y 2=03x10-6 fallos por hora. Cul es la fiabilidad a las 1000 horas de funcionamiento?

( ) ( )( ) 999'011000 1000*1000* 21 == eeRS Si utilizamos el software ICR,

( ) ( )=

=

n

i

ts

ietR1

11






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El clculo del MTTF para sistemas paralelos es similar al clculo para sistemas serie,

Configuracin

sistema

Tasa de fallo

Componentes

MTTF sistema

Paralelo Constante

i ( )( )

=

+=

=

= +=

+

dt.......eedttRn

i

n

i

n

ij

tt jii

0 1

1

1 10

( ) =

= +=

=

+

++

+

=

n

i

n

i

n

ijn

ii

n

jii.............

1

1

1 1

1

1 1111

Constante Componentes idnticas

()

+++

n.......

12111 (1)

Lineal crec.

i t ( )( )

=

+=

=

= +=

+

dt.......eedttRn

i

n

i

n

ij

t/t/ jii

0 1

1

1 1

2121

0

22

( ) =

= +=

++

pi

pi

=

n

i

n

i

n

ij jii1

1

1 1.............

22

Lineal crec. Componentes idnticas

t

+

...........

31

321

22nn

npi






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La ecuacin (1) implica que en el caso de redundancia activa (todas las componentes estn activas de modo

contnuo) con el mismo tipo de fallo, el MTTF del sistema es mayor que el MTTF de una componente y la

contribucin de la segunda componente y otras adicionales irn disminuyendo cuando n se incrementa. Esto

implica que existe un valor ptimo de n a partir del cual el coste de aadir una componente al sistema es

mayor que el beneficio obtenido.

EJEMPLO: Un sistema con redundancia activa est formado por 4 componentes con tasa de fallo creciente, kt,

con k=35x10-6

fallos por hora. Determinar el MTTF del sistema

611'104941

44

31

34

21

24

42

=

+

=

kMTTF pi

Ejercicio 9:

Tres canales de comunicacin en paralelo tienen tasas de fallo independientes de 01 fallos por hora. Estos

canales deben compartir un transmisor comn. Determinar el MTTF del transmisor para que el sistema tenga

una fiabilidad de 085 para una misin de 5 horas. Considerar tasas de fallo constantes. Sol: 501455 horas

Ejercicio 10:

Para cada uno de los siguientes sistemas redundantes, determinar el MTTF de las componentes necesario para

conseguir una fiabilidad del sistema de 09 a las 100 horas de funcionamiento. Considerar que todas las

componentes tienen la misma tasa de fallo constante. Sol: 78928 hr ; 4865 hr

8.3 Sistemas complejos

La estimacin del MTTF de un sistema complejo requiere la obtencin previa de la funcin de fiabilidad del

sistema. Para obtener esta funcin puede utilizarse cualquiera de los mtodos vistos anteriormente, siendo la

funcin obtenida integrada para t variando de 0 a .






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8.4 Sistemas redundantes

En la pregunta 7, hemos comentado que existen dos tipos de redundancia: activa o pasiva. En una redundancia

activa todas las componentes trabajan simultneamente. En una redundancia pasiva (stand-by), las

componentes redundantes empiezan su trabajo solo cuando falla alguna de las componentes operativas.

8.4.1 Redundancia activa: sistemas que admiten k-1 fallos

Siguiendo el mismo razonamiento del punto 7, la fiabilidad en el instante t de un sistema, cuyas componentes

son independientes e idnticas, que admite r-1 fallos, es

( ) ( )( ) ( )( )=

=

n

kj

jnjs tRtRj

ntR 1

ntecorrectamefuncionecomponenteunaquedeadprobabilidprnsistemadelentofuncionamiel

garantizanquentecorrectameofuncionandscomponentedenumeromnimoksistemadelscomponentedenmeron

=

=

=

)1(

donde R(t) es la fiabilidad de una componente en el instante t.

No existe una expresin general para MTTF.

EJEMPLO: Determinar la fiabilidad a las 2.000 de un sistema de 4 componentes que tolera 2 fallos, con

componentes idnticas e independientes con tasa de fallo constante de 27x10-4

fallos por hora. Sol: 08

( ) 5827'0000.2 54'02000*10*7'2 4 === eeR

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8'05827'05827'01*5827'0*45827'01*5827'0*614000.2 432242

4=++=

=

=

j

jjs tRtRjR

Si utilizamos el software ICR. Sistemas PareleloParalelo k de n, y la opcin Show Point Values, podemos

obtener esta fiabilidad






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Ejercicio 11:

Determinar la fiabilidad a las 500 horas de un sistema de 5 componentes que tolera 2 fallos, con componentes

idnticas e independientes cuyo tiempo hasta el fallo sigue una distribucin Weibull de parmetros =46521 y =21. Sol: 01798

8.4.2 Redundancia pasiva: sistemas stand-by

En un proceso de Poisson homogneo, en el cual el tiempo entre fallos sea exponencial con parmetro , el tiempo hasta el fallo k-esimo sigue una distribucin de Erlang con parmetros =k y =1/. Por lo tanto,

( ) ( )

=

=

1

0 !

k

i

it

it

etR

/kMTTF =






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En base a esto, si un sistema con redundancia pasiva est formado por N equipos trabajando simultneamente y n en stand-by, tendremos

( ) ( )=

=

n

i

itN

itN

etR0 !

( ) ( )NnMTTF /1+=

EJEMPLO: Un sistema de achique est formado por 3 bombas idnticas, las cuales deben operar en paralelo, aunque las bombas estn en stand-by. Calcular la fiabilidad del sistema a las 1.000 horas de funcionamiento, si

la tasa de fallos de cada bomba es =2*10-3 fallos/hora y el MTTF.

( ) ( ) 67'02221

!2 2213

0

2=

++==

=

eietR i

i

( ) horasMTTF 150010*2/3 3 == Si utilizamos el software ICR, entramos en SistemasStand-by3 componentes iguales tendremos,






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fiabilidad de sistemas

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