サイン・コサインとレーザー走査型プロジェクターtsutomu/20111214.pdf2011/12/14...
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サイン・コサインとレーザー走査型プロジェクター
ー 知財（特許）を出願した数式と曲線たち ー
光走査装置とそれに用いる光学反射素子
特願 ２０１１－１１０７７５（２０１１／５／１７）
パナソニックエレクトロニックデバイス株式会社 と共同出願
外国出願：準備中
池 田 勉
龍谷大学理工学部数理情報学科
パナソニックエレクトロニックデバイス株式会社との共同研究の契機
湯河潤一（パナソニック株式会社 本社Ｒ＆Ｄ部門，主幹技師）が 検索をかけた キーワード：リサジュー曲線 龍谷大学理工学部 池田研究室が・・・ ２００５年度特別研究（卒業研究） 結城洋志：リサジュー曲線によるスクリーンセーバーの作成
２００９年１２月２５日に話を聞いた，・・・，感動した
0, , , , :
L Ha b f f 定数
0
( ) sin(2 )( )
( ) sin(2 )L
H
x t a f tt
y t b f t
レーザー走査型プロジェクター
レーザー走査型プロジェクターの特徴
超小型，低消費電力，高輝度・低発熱，斜め投影・曲面投影（ピント合せ不要）
レーザー走査型プロジェクターを組み込んだ商品展開
デジカメ内臓プロジェクター
携帯電話内臓プロジェクター
ノートパソコン内臓プロジェクター
自動車内のシアター，カーナビ（フロントガラスの一部をスクリーンに）
Head Mounted Display
レーザー走査型プロジェクターとは ミラーでレーザー光を反射し，スクリーンを走査させる
環境に優しいプロジェクター・テレビ
液晶プロジェクター・テレビ
ブラウン管テレビ（ＣＲＴ）に比べたら，はるかに，環境に優しい
しかし，真っ暗な画面でも バックライト は煌々と輝いている
バックライト を煌々と輝かせ，必要に応じて色別の シャッター を開けて映像を表示するのが液晶方式
レーザー走査型プロジェクター
電力が消費されるのは，レーザーが当たっているところだけ：
低消費電力，熱くならないプロジェクター
従来の走査方式： Raster scan 方式（のこぎり波）
横方向 1,170 Hz（saw wave） 概念図（線の太さ 5 倍）
横方向 29,970 Hz（saw wave）
縦方向 60 Hz（sine wave），フレームレート 30（1/30 秒で描画完成） 上下左右 10 % カット（i.e. 全体の 64 % のスペース， 35 % の時間を使用）
横方向 1,170Hz（sine wave） 模式図（線の太さ 5 倍）
横方向 29,970 Hz（sine wave）
縦方向 60 Hz（sine wave），フレームレート 30（1/30 秒で描画完成） 上下左右 10 % カット（i.e. 全体の 64 % のスペース， 35 % の時間を使用）
日立の試作品は正弦波 による Raster scan 方式 ？
従来の走査方式： Raster scan 方式（正弦波）
Raster scan 方式と Lissajous scan 方式
Raster scan 方式 ：高網羅率，駆動周波数が低い（60 Hz）
Panasonic は Lissajous 図形の利用を考えた
日立の試作品は正弦波による Raster scan 方式 ？
駆動周波数が低い（60 Hz） 機械的強度に劣る，外乱振動に弱い
Lissajous scan 方式 ：駆動周波数が高い（1,000 Hz 程度），実績が少ない
機械的強度に優れ，外乱振動に強い
実績が少ない（一定以上の網羅率の確保が必要）
横方向，縦方向の駆動周波数の決定方法の研究が必要
温度などの環境変動に対応するため，自動決定方式が必要
Lissajous 図形の基礎： サインのグラフ，コサインのグラフ
Lissajous 図形（リサジュー図形）
( )t ( ) cos2
( ) sin2
x t t
y t t
( (0), (0)) (1,0)x y (0) cos 0 1
0(0) sin 0 0
xt
y
1 3( ) cos1 12 6 2
12 1 1( ) sin12 6 2
xt
y
1 1 3 1( ( ), ( )) ( , )
12 12 2 2x y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11, , , , , , , , , ( ( ), ( ))
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12t x t y t でもを計算
Lissajous 図形（リサジュー図形）
( ) cos2
( ) sin2
x t t
y t t
2 2 2 2cos 2 sin 2 1x y t t
Lissajous 図形（リサジュー図形）
2 2 1x y ( ) cos2
( ) sin2
x t t
y t t
2 2 2 2cos 2 sin 2 1x y t t
いろいろな Lissajous 図形
( ) sin 4
( ) sin10
x t t
y t t
( ) sin 4
( ) sin6
x t t
y t t
( ) sin2
( ) sin6
x t t
y t t
( ) sin2
( ) sin 8
x t t
y t t
( ) sin2
( ) sin 4
x t t
y t t
電気通信大学の校章 50 Hz – 60 Hz
もっと速く振動させたら？
, m n を，大きく 上手に 選んだら？( ) sin2
( ) sin2
x t mt
y t nt
( ) sin2 7
( ) sin2 59
x t t
y t t
( ) sin2 79
( ) sin2 271
x t t
y t t
( ) sin2 991
( ) sin2 11161
x t t
y t t
Panasonic の技術 MEMS (Micro Electro Mechanical Systems)： 機械要素部品を１つのシリコン基板上に集積した デバイス （プリンターヘッド，加速度センサー，・・・）
( ) sin2
( ) sin2L
H
x t f t
y t f t
Lissajous scan 方式によるレーザー捜査型プロジェクター
この技術を利用したプロジェクターを開発したい
レーザーをコントロールする技術
レーザーに映像情報を乗せる技術
1000 Hz, 30000 HzL Hf f
MEMS によって小さな鏡を作り， 高速で正確に振動させる技術
MEMS による歯車とダニ Wikipedia, サンディア国立研究所
http://www.mems.sandia.gov
MEMS (Micro Electro Mechanical Systems) ミラーデバイス
18: 第１駆動部（S1 軸回り） 約 1,000 Hz
20: 第２駆動部（S2 軸回り） 約 30,000 Hz
19: 第１枠体（第１駆動部を含む）
17: 反射部
Lissajous 図形によるスクリーンのスキャン
数学の視点からは
上記の数学の結果は，時間を無制限に使ったもの， プロジェクター・テレビは３０分の１秒でスクリーンをスキャンする必要がある
物を作る上では，有理数と無理数の区別は不可能
映像情報は離散的に（デジタル的に）送らざるを得ない
( ) sin2
( ) sin2L
H
x t f t
y t f t
商品開発の立場からは
数学の立場・商品開発の立場・数理科学の出番
数理科学の出番 商品開発の現場を十分に理解しつつ，精妙な数学的知見を最大限に利用して， 新たな地平を切り開く
H
L
f
f が有理数ならば周期軌道，
無理数ならば正方形を稠密にスキャン
試してみよう ーフランスの国旗ー
映像情報を処理する時間が欲しい 端は Lissajous 図形がゆがむ
の部分だけを使う
991 Hz, 11161 HzL Hf f トリコロール（フランスの国旗）
0.8 0.8, 0.8 0.8x y
1135 Hz, 29510 HzL Hf f 1135 Hz, 29515 Hz
L Hf f
試してみよう ーフランスの国旗ー
26H Lf f 26 5
H Lf f
1135 Hz, 29520 HzL Hf f 1135 Hz, 29525 Hz
L Hf f
試してみよう ーフランスの国旗ー
26 10H Lf f 26 15
H Lf f
1135 Hz, 29530 HzL Hf f
試してみよう ーフランスの国旗ー
1135 HzLf
26 20H Lf f
29599.605263H
H
f
f
は知財を出願した数式で計算
知財を出願した数式（奇数分割＋方式）
30, 1135 Hzr L
F f 例：
r L
F f（１）フレームレート（１秒間のコマ数） を決め， を与える
max
213
4L
r
fa x x
F
（２） を計算するは を越えない最大の整数
max
1 2 11353 18.166 18
4 30a
例：
max
, 0
1 , | 2 | 2 1, 0 2 1 |2 |
a b a b
a a b a b a b
（３）つぎの条 件を満たす整数を選ぶ（特別な場合として も可）
， と は互いに素
1, 1, 2 1 3 | | | 1 | 1 a b a b 例： と は互いに素
知財を出願した数式（奇数分割＋方式） , a b（４） がつぎの 2 つの条件を満たすか否かを調べる
21 4(2 1) 44 1 1, 0.6
4(2 1) 21
Lp
r L
r
f a P bP b E
a F f
F
1 2 11354 1 1 6.055 6 1
4(2 1 1) 30P
例：
4(2 1 1) 6 4 1 72 4 761 0.6
1 752 1135 1 75.6661
30
pE
例：
1 2 1
2 (2 1)H L L
af Nf f N
a P b
（５） とする は自然数
1 2 1 126 1135 1135 29599.605263
2 (2 1 1) 6 1Hf
例：
どのように考えて導出した数式か？ 正方形の中での Lissajous 図形の挙動を解析するのは容易ではない
Lissajous 図形と y 軸の交わり方に注目
Lissajous 図形が y 軸と，
“均一に”，“偏りのない順番で”
交わるための条件を追求した
数理科学のアドバンテージ 科学技術の進歩に対応可能（高い汎用性）． フレームレートが大きくなっても，使える数式 低速側周波数・高速側周波数が大きくなっても，使える数式
縮約は数理的思考を活性化させる
Lissajous 曲線が長方形領域を
“隙間なく”，“均一に”，“目にやさしく”
埋め尽くすならば， Lissajous 曲線は y 軸と
“均一に”，“偏りのない順番で”
交わるであろう
( ) sin2
( ) sin2L
H
x t f t
y t f t
1000 Hz, 30000 Hz
L Hf f
1(0 )
r
tF
Lissajous 2n
L
ny t
f曲線と 軸との交叉時刻
20,1,2, , L
r
fn
F
(0, sin ) 2 Hn n H n
L
ff t n
f 交点 の位相
r LF f30, 1135 Hz
76 45
のとき，交点の個数は
約個，表示範囲に
含まれるのは 個
交点の位相の分布
(0, sin ) 2 Hn n H n
L
ff t n
f 交点 の位相
20,1,2, , L
r
fn
F
:n
L
fN n
f 偶数
2（位相は を法として考える）
:N 奇数の場合
00
22
L
ff
44
L
ff
33
L
ff
1L
ff
2 1
2
(2 1) :
2
nL
nL
fn
fN
fn
f
奇数
H Lf Nf f : 0
LN f f （ 自然数, ） n
L
fNn n
f
交点位相決定方式
2P
0
4
2
1
3
5
奇数分割方式
偶数分割方式
2
22 1P
L
b fa f
としたい
2
2 12P
L
b fa f
としたい
00
22
L
ff
44
L
ff
33
L
ff
1L
ff
, a b はつぎを満たす整数
, a b はつぎを満たす整数
0, | 2 | 2 1, 0a b a b ，
2 1 |2 | a b と は互いに素
0, | 2 1 | 2 ,a b a
2 |2 1 | a b と は互いに素
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
としたい
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
( 1, 1)a b
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
としたい
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
( 1, 1)a b
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
としたい
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
( 1, 1)a b
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
2 2P
2 2P
2 4P
2 4P
2 1P
2 3P
2 3P
2 5P
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
としたい
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
( 1, 1)a b
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
2 2P
2 2P
2 4P
2 4P
2 1P
2 3P
2 3P
2 5P
4 2P
4 2P
4 4P
4 6P
4 3P
4 1P
4 3P
4 5P
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
としたい
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
( 1, 1)a b
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
2 2P
2 2P
2 4P
2 4P
2 1P
2 3P
2 3P
2 5P
4 2P
4 2P
4 4P
4 6P
4 3P
4 1P
4 3P
4 5P
6 2P
6 2P
6 1P
6 3P
6 3P
6 4P
6 6P
6 5P
6 7P
8 2P
8 2P
8 4P
8 6P
8 1P
8 1P
8 3P
8 5P
10 2P
10 6P
10 8P 10 1P
10 3P
10 5P
10 7P
10 4P
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2
( 2)3P
L
ff
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
2 2P
2 2P
2 4P
2 4P
2 1P
2 3P
2 3P
2 5P
4 2P
4 2P
4 4P
4 6P
4 3P
4 1P
4 3P
4 5P
6 2P
6 2P
6 1P
6 3P
6 3P
6 4P
6 6P
6 5P
6 7P
8 2P
8 2P
8 4P
8 6P
8 1P
8 1P
8 3P
8 5P
10 2P
10 6P
10 8P 10 1P
10 3P
10 5P
10 7P
10 4P
12 4 10 4
20
3P PL
ff
12P+3 番目が最後， 12P+4 番目で元に戻る
奇数分割方式
2P
0
4
2
1
3
5
H Lf Nf f :N 奇数の場合の説明
2 1P
4P
4 1P
6P
6 1P
8P
8 1P
10P
10 1P
2 2P
2 2P
2 4P
2 4P
2 1P
2 3P
2 3P
2 5P
4 2P
4 2P
4 4P
4 6P
4 3P
4 1P
4 3P
4 5P
6 2P
6 2P
6 1P
6 3P
6 3P
6 4P
6 6P
6 5P
6 7P
8 2P
8 2P
8 4P
8 6P
8 1P
8 1P
8 3P
8 5P
10 2P
10 6P
10 8P 10 1P
10 3P
10 5P
10 7P
10 4P
12 4 10 4
20
3P PL
ff
12P+3 番目が最後， 12P+4 番目で元に戻る
12 3P
12 2P
12 1P
12P
奇数分割方式（一般形）
2
22 1P
L
b fa f
4 4(2 1) 4(2 1) 4
4, 4 , 0
2 1P a P a P bL L
b f fb
a f f
0 1 2 4(2 1) 4 12 1 |2 | , , , ,
a P ba b は互いに相異なる（ と は互いに素）
24(2 1) 4 1L
r
fa P b m
F
交点の個数
214 1
4(2 1) 4(2 1)L
r
fmP b
a a F
214 1
4(2 1)L
r
fP b
a F
( 0 1 4(or o 2 1) 1)r orm a
2
22
2 1PL L
b f fP
a f f
1 2 12 (2 1)H L L
af Nf f
a P b
1 2 12 (2 1) L
af f
a P b
H Lf Nf f
奇数分割方式（一般形のまとめ）
相異なる位相の割合
位相が重ならないための条件 P>0 となりうるための条件
r L
F f（１）フレームレート（１秒間のコマ数） を決め， を与える
max
213
4L
r
fa
F
（２） を計算する
max
, 0
, |1 2 1 |2 |2 | 2 1, 0 a a a b
a b a b
b a b
（３）つぎの条 件を満たす整数を選ぶ（特別な場合として も可）
と ， は互いに素
, a b（４） がつぎの 2 つの条件を満たすか否かを調べる
1 2 1
2 (2 1)H L L
af Nf f N
a P b
（５） とする は自然数
214 1 1
4(2 1) 40,
4(26
21
1).
p
Lr
r
L a P bE
f
F
fP b
a F
偶数分割方式（一般形のまとめ）
相異なる位相の割合
位相が重ならないための条件 P>0 となりうるための条件
r L
F f（１）フレームレート（１秒間のコマ数） を決め， を与える
, a b（４） がつぎの 2 つの条件を満たすか否かを調べる
max L
r
fa
F
（２） を計算する
max1 2
,
, | | 2 1 | 1 2 | 2
a b
a a a a bb （
と
３）つぎの条 件を満たす整数を選ぶ
は， 互いに素
2
4 2 1H L L
af Nf f N
aP b
（５） とする は自然数
4 2 10.6
21
11 1,
2L
p
L
r
r
aP bE
f
F
F fP b
a
＜目にやさしい＞の数理化
現 状：作成後に＜やさしさ＞をチェック
将来課題：＜目へのやさしさ＞をあらかじめ組み込んだ計算方式