ヘルムホルツ方程式 -...
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ヘルムホルツ方程式
∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
⇔
∂∂
=∆
),(),(),(
),(),(),(
tEtEtE
tctEtEtE
zyx
tc
z
y
x
z
y
x
rrr
rrr
EE
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1←3次元波動方程式
マクスウェル方程式より、
電磁波は特定の方向にのみ偏光しているとし（近似し）、その成分をuとする。また時間依存性はe-iωtであるとすると
02 =+∆ uku ヘルムホルツ方程式
( )ck /ω=
ヘルムホルツ方程式の解
02 =+∆ uku ikzezyxfu ),,(=の解として、
の形のものを探してみる。方程式に代入すると、
022
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zfik
zf
yf
xf
Paraxial (近軸)ヘルムホルツ方程式
波の振幅 f がz方向に関して（波長スケールで）緩やかに変化する場合(slowly varying envelope approximation)
022
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
→∂∂
<<∂∂
zfik
yf
xf
zfk
zf
近軸ヘルムホルツ方程式の解①
→= ikrerAu )(r
( )
zyxz
zyxz
zyxr
2
1
22
21
2
22
21222
++≅
++=
++=/
/
+=
++=
zyxik
zAf
zyxzik
zAu
2
222
22
exp
exp)(r)(
)(1==
fAeu ikzr
近似
この２つは解になっている
近軸ヘルムホルツ方程式の解②
+=
zyxik
zAf
2
22
exp
0izzz −→
放物面波（paraboloidal wave）の場合、
と置き換えても、近軸ヘルムホルツ方程式を満たす
−+
−=
)(exp
0
22
0 2 izzyxik
izzAf
)(2
)(11
220
20
0 zkwi
zRzzizz
izz+=
++
=−
+≡
201)(
zzzzR
2/12
00 1)(
+≡
zzwzw
関数R(z), w(z)を次のように定義する：
2/10
02
≡
kzw
←実はこれが既にガウシアンビームを表している。
ガウシアン（Gaussian）ビーム
−
−=
+
+−
=
)()(2
exp)(
exp)(
)(2
)(1
2exp
2
2
20
0
2
22
0
zizR
ikzwzw
wA
zkwi
zRyxik
izzAf
ςρρ
−
+
−== )(
)(2exp
)(exp
)(
2
2
20
0 zizR
zikzwzw
wAfeu ikz ςρρ
+≡
≡ −
2/122
0
1
)(
tan)(
yx
zzz
ρ
ζ
−
=≡
)(2exp
)( 2
22
00
2
zwzwwIuI ρ
z軸上の強度変化
20
0
2
00 )/(1)(
),0,0(zz
Izw
wIzI+
=
=
z0: Rayleigh range(レイリー長)
ビーム半径(Beam radius)
2/12
00 1)(
+≡
zzwzw
2/10
0
=πλzw
00
00
)(limwz
wzzw
z πλθ ===
∞→
：beam waist(ビームウエスト)
：divergence angle(広がり角)
焦点深度（depth of focus）
ビーム半径が 以下である領域の長さ02w
（強度が 以上である領域の長さ）2/0I
2z0: depth of focus (confocal parameter)
ガウシアンビームと不確定性原理
00 w
hx
hpwx =∆
≈∆→≈∆
λhp =
0whp ≈∆
00 wwh
hpp λλθ =⋅=
∆=
θ
ビームはどこまで絞れるのか？
θλλθ ≈→≈ 0
0
ww
02w
0θ
20 πθ << より λ≈0w
ビームは波長以下には絞れない
波面の曲率
zzzzzR zz →
+≡ >> 0
201)(
+∝
zziku
2exp
2ρ
c.f. paraboloidal wave
エルミート・ガウシアンビーム
++−
++×
=
)()1()(2
exp
)(2
)(2
)(),,(
22
0,,
zmlizRyxzik
zwyG
zwxG
zwwAzyxu mlmlml
ς
−≡
2exp)()(
2ξξξ ll HG