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ホモロジー群によるアルファベットの分類
数学教育専修 2511018
佐々木 康英
序論
ホモロジー群とは,トポロジーの研究でしばしば用いられる不変量である.幾何的対象
の各次元に存在する「穴」を代数的に表現したものがホモロジー群である.近年,ホモロ
ジー群はトポロジーの研究分野の他に,工学分野のセンサーネットワークや生命科学の分
野などへの応用もされている.
本研究は,身近な図形である文字をホモロジー群で分類可能かに着目した.文字そのも
のの各次元の「穴」の数に着目すれば分類結果は明らかで,多くの文字を分類することは
できない.そこで,第 2章で紹介する方法でさらに詳細な文字の分類を試みる.
第 1章
§1 オイラー数
オイラー数はトポロジーの不変量として最初に発見され,かつ最も重要なものの 1つで
ある.点と直線からなる単純な図形である平面グラフを考察することで,オイラー数の概
念をまとめる.平面上,または球面上の連結平面グラフを𝐺,𝐺の頂点の数を𝑉(𝐺),辺の
数を𝐸(𝐺),面の数を𝐹(𝐺)とするとオイラーの公式
𝑉(𝐺) − 𝐸(𝐺) + 𝐹(𝐺) = 2
が成り立つ.オイラーの公式の応用として,格子点上に成り立つ格子多角形𝑃の面積を求
められるピックの公式に,証明を与えている.そして,種数𝑔の閉曲面上のオイラー数を
定義し,向き付け可能,または不可能閉曲面の性質について確認する.
§2 回転数
単位円周𝑆1からそれ自身への連続写像全体の集合をホモトピーという関係で類別した
集合は,回転数という数で分類できることを示す.その応用として,代数学の基本定理や
任意の連続写像𝑓: 𝐷2 → 𝐷2は不動点をもつというブラウアーの不動点定理,そして,連続
写像𝑓: 𝑆2 → 𝐑2に対し,𝑓(−𝑎) = 𝑓(𝑎)となる点𝑎 ∈ 𝑆2が存在するという,ボルスク・ウラム
の定理に証明を与える.
また,曲面上のベクトル場の考察から,向き付け可能閉曲面上のベクトル場の孤立特異
点の指数和は,向き付け可能閉曲面のオイラー数と一致するという,ポアンカレ・ホップ
の定理を導く.
§3 単体的ホモロジー群
ホモロジー理論において,中心的な役割を果たす加群の性質をまとめる.
次に,幾何の性質を代数的に扱うために𝑛単体を定義する.𝑛は単体の次元を表す.この
単体は,2 次元の 3 角形を一般の次元に拡張したものである.そして,有限個の単体から
なる集合𝐾が,1)𝑠を𝐾に属する単体とするとき,𝑠の面はまた𝐾に属する.2)𝑠,𝑠′を𝐾に属
する 2つの単体とし,𝑠 ∩ 𝑠′が空でないとき,𝑠 ∩ 𝑠′は𝑠の面であると同時に𝑠′の面でもある.
の1)2)を満たすとき,𝐾を単体複体という.
単体に向きをつけ,チェイン群𝐶𝑞(𝐾)を定義すると,向きの付いた単体の境界を代数的
に表現できる.たとえば,向きの付いた𝑞単体⟨𝑠⟩ = ⟨𝐴0𝐴1 … 𝐴𝑞⟩の境界𝜕(⟨𝑠⟩)を
𝜕(⟨𝑠⟩) ≔ ∑(−1)𝑞
𝑞
𝑖=1
⟨𝐴0𝐴1 … 𝐴𝑖−1𝐴�̂�𝐴𝑖 … 𝐴𝑞⟩
と定めると準同型写像
𝜕: 𝐶𝑞(𝐾) → 𝐶𝑞−1(𝐾)
を得る。この準同型写像𝜕をバウンダリー作用素という.バウンダリー作用素は 2 度続け
ると零写像になる.単体複体𝐾に対して
𝑍𝑞(𝐾) ≔ ker(𝜕: 𝐶𝑞(𝐾) → 𝐶𝑞−1(𝐾) )
𝐵𝑞(𝐾) ≔ im(𝜕: 𝐶𝑞+1(𝐾) → 𝐶𝑞(𝐾) )
と定める.𝑍𝑞(𝐾)は境界のない𝑞次元図形,𝐵𝑞(𝐾)は𝑞 + 1次元図形の境界となっている𝑞次
元図形と思える.そして,𝑍𝑞(𝐾)と𝐵𝑞(𝐾)の差を表す剰余群または商群
𝐻𝑞(𝐾) ≔ 𝑍𝑞(𝐾) 𝐵𝑞(𝐾)⁄
を単体複体𝐾の𝑞次ホモロジー群という.次の定理は,ホモロジー群はオイラー数より豊富
な情報をもっていることを示唆している.
定理 オイラー・ポアンカレの公式
χ(𝐾) = ∑(−1)𝑞rk (𝐻𝑞(𝐾))
𝑛
𝑞=0
χ(𝐾)は単体複体𝐾のオイラー数,rk (𝐻𝑞(𝐾))は加群𝐻𝑞(𝐾)の階数で,𝐾の𝑞次ベッチ数とい
う.
第 2章
§1 概要
アルファベットの大文字をホモロジー群で分類可能かを調べることにする.分類する文
字のフォントはMicrosoft Wordの「Century」「MS明朝」「MSゴシック」「HGS創英角
ポップ体」「HGP教科書体」とする.しかし,単にホモロジー群を調べるだけでは,多く
の文字が分類できないのは明らかであるため,特別な分類方法を与える.そして,ホモロ
ジー群が変化する様子で文字を分類可能か調べる.このとき,次の命題がいえる.
命題
𝐾:平面図形を構成する単体複体
𝐻𝑞(𝐾) = 0(𝑞 ≥ 2)
§2 結果
Microsoft Wordの 5種類のフォント「Century」「MS 明朝」「MSゴシック」「HGS創
英角ポップ体」「HGP 教科書体」を分類した結果,すべて分類不可能であった.分類でき
なかった文字は次の表に示す通りである.
ホモロジー群が一致した文字を(A, B),(A, b)のように示す.大文字同士の組は,1 種類
のフォント内で分類できなかった場合で,大文字と小文字の組は,2 種類のフォントでホ
モロジー群が一致したもの同士を表す.つまり,Century「A」とMS明朝「B」が分類で
きなかった場合,(A, b)と表す.また,両方のフォントでホモロジー群が一致した場合は,
括弧無しで示す.表より,ポップ体以外の「U」と「V」が分類できなかったことがわか
る.そして,MS ゴシック,HGS 創英角ポップ体,HGP 教科書体では分類できなかった
文字が増えたことから,フォント特有のとめやはねなどが,ホモロジー群の計算に影響を
与えていることがわかった.
次に,手書きの文字の分類を試みた.30人の手書きの文字の分類を行ったが,全て分類
できない結果となった.しかし,既存のフォントで分類できなかった「U」と「V」が,
30人中 22人で分類可能となっていた.一方,様々な文字のホモロジー群が一致する中で,
特に「S」と「X」とホモロジー群が一致する場合が多かった.
以上の結果によりホモロジー群は,既存のフォントと手書きの文字の分類には不適切で
小
大 Century 明朝 ゴシック ポップ体 教科書体
Century (J, Z)(U, V)
C, F, I, L, N, O,
P, T, U, V, Y, Z
(J, Z, z)
(U, V, u, v)
I, O
(J, Z, s)
(J, Z, c, g, s, x, z)
(O, d, o, p)
C, O
(J, Z, s, z)
明朝 (U, V)
I, O
(O, d, o, p)
(Z, s)
(Z, c, g, s, x, z)
C
(O, d, o, p)
(Z, s, z)
ゴシック
(D, O, P)
(U, V, Y)
(L, T)
D, O, P, Q
(S, c, g, s, x, z)
(F, i, l)
D, O, P, S
(S, s, z)
ポップ体
(C, G, S, X, Z)
(D, O, P)
(I, L)
(J, V)
D, J, O, P, S, Z
(I, L, f)
教科書体
(D, O, P)
(H, N)
(I, T, L)
(U, V, Y)
(S, Z)
あることがわかった.特に,手書きの文字の方が,ホモロジー群が一致する文字が増えて
しまい,分類困難であった.
今後の研究課題としては,既存のフォントを斜め方向からも計算することが考えられる
が,「U」と「V」の結果は一致してしまうことが予想される.そこで,計算方向を 360度
方向から行い,ホモロジー群が変化する瞬間の様子から分類が考えられる.また,文字の
出現率と合わせて分類できるかも考えられる.たとえば,「S」と「X」は本研究では同じ
ホモロジー群となったが,ホモロジー群が変化するタイミングは異なる.ホモロジー群が
一致した他の文字も,出現率によって差があることが考えられるため,出現率と合わせた
分類が考えられる.そして,本研究の方法でアルファベット小文字や平仮名等,他の文字
を分類できるかが課題として考えられる.
参考文献
枡田幹也,『代数的トポロジー』,朝倉書店,2002.
瀬山士郎,『トポロジー:柔らかい幾何学』,日本評論社,1988.
田村一郎,『トポロジー』,岩波全書,1972.
河原英介,『レタリング日本字・英字』,ビジネス社,1981.