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コホモロジー的AGT対応とK群類似

柳田　伸太郎　 (名大・多元数理)

Encounter with MathematicsOctober 29, 2016

概要 Nekrasov 分配函数コホモロジー的 AGT K 群類似量子トロイダル代数

AGT予想とは？

L. F. Alday, D. Gaiotto, Y. Tachikawa,“Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories”,

Lett. Math. Phys. 91 (2010), arXiv:0906.3219.

• 物理的には (6次元の理論から議論が出発して)

4次元 N = 2 SU(2) ゲージ理論 = 2次元 Liouville場の理論

という、量子場の理論の等価性を主張している。

• 数学的にも、両辺ともある程度理解されていて(ランク 2の)Nekrasov分配函数 (代数幾何学的対象)

=共形ブロック (Virasoro代数の表現論の対象)

• 幾何学的表現論の立場からは(インスタントンのモジュライ空間の同変ホモロジー群)

⟲Virasoro(ないしW)代数


お話しすること

• 昨日の中島先生の話の復習• インスタントン・モジュライ• 同変コホモロジー• Nekrasov分配関数• Virasoro代数、Whittakerベクトル• 退化版 (コホモロジー的)AGT対応

• 退化版対応の K群 (ないし q)類似• 同変 K群、K理論的 Nekrasov分配関数• 変形 Virasoro代数、Whittakerベクトル• K理論的対応

• gl1 量子トロイダル代数


お話できないこと

• 物質場つき Nekrasov分配関数• 1 = [M(r, d)]以外のものを同変積分して定義される。

• Nekrasov分配関数/Liouville共形ブロックの解析的性質• 全般的によく分かっていない。• 名古屋さんの話：c = 1なら Painleveと関連する。• 山田先生のコメント：τ 関数を量子化して調べればよい。

• 一般のW代数に関する話• Maulik-Okounkovの話はしません。

• K理論的 Nekrasov分配関数の物質場つき version• “Liouville場の理論の q変形”は不明。• gl1 量子トロイダル代数の Fock表現には “3点関数”が定義できる。


目次1 概要

概要目次

2 Nekrasov 分配函数Gieseker モジュライトーラス作用同変ホモロジー（物質場無し）Nekrasov 分配関数

3 コホモロジー的 AGTVirasoro 代数Whittker ベクトル退化 AGT 関係式一般の rk の場合

4 K 群類似K 理論的 Nekrasov 分配函数変形 Virasoro 代数Whittaker ベクトルK 理論的 AGT 対応

5 量子トロイダル代数幾何学的アプローチMacdonald 対称函数からのアプローチテンソル表現と変形W 代数Whittaker ベクトルと Macdonald 対称函数


Nekrasov, Adv. Theor. Math. Phys. 7 (2003)中島・吉岡, Invent. math. 162 (2005)中島・吉岡, ”Lectures on Instanton Counting”


§2.1 Giesekerモジュライ

M(r, d): P2(:=CP2)上のランク r, c2 = nの torsion free層の枠付きモジュライ空間 (Giesekerモジュライ)

M(r, d) =

(E,φ)

∣∣∣∣∣E : P2 上の連接 torsion free層,

ℓ∞ の近傍で局所自由,rk(E) = r, c2(E) = d,

φ : E|ℓ∞∼−→ O

⊕rℓ∞

/∼,

ℓ∞ := {[0 : z1 : z2]} ⊂ P2.

• 局所自由層 = ベクトル束• 非特異代数曲面上の torsion free層は有限個の点上を除いて局所自由。

• M(r, d)は非特異代数多様体、dimC = 2rd.

• φの存在から c1(E) = 0.

• M(1, d) ≃ (C2)[d] = Hilbd(C2).(E ≃ IZ, dimZ = 0, length(Z) = d, Z ⊂ P2 \ ℓ∞ ≃ C2.)

• M(r, d)は射影的ではない。


インスタントンとの関係

Mreg0 (r, d) ⊂M(r, d): 局所自由層（ベクトル束）のなす開部分空間。

= Donaldson (1984)

MdSU(r): S4 (= R4 ∪ {∞}) 上の SU(r)インスタントンの

枠付きモジュライ空間

=

(A,ϕ)∣∣∣ A : 主 SU(r)束 P上の

反自己双対 SU(r)接続ϕ : P|∞

∼−→ SU(r)

/{γ∣∣∣ ゲージ変換γ∞ = id

}

• 上記の Donaldsonの定理は任意の古典群 Gに対するもの。


Uhlenbeckモジュライとの関係

UdSU(r): Md

SU(r) の Uhlenbeck部分コンパクト化

UdSU(r) =

d⊔k=0

MkSU(r) × Sd−kR4.

• UdSU(r) はアフィン代数多様体の構造を持つ（ADHM構成から分かる）。

• 射影的な射 π : M(r, d)→ UdSU(r) があって

(E,φ) 7−→ ((E∨∨,φ), Supp(E∨∨/E))

• 非特異代数曲面 X 上の torsion free 層 E に対して E∨∨ は常に局所自由。E∨ := H(E,OX)

また 0 → E → E∨∨ → A → 0 で定義される A は有限個の点に台を持つ層に

なる。


ADHM構成

•

U(r, d) =

(B1, B2, j, k)

∣∣∣∣∣ B1, B2 ∈ End(Cd),j ∈ Hom(Cr,Cd),k ∈ Hom(Cd,Cr)

(1)

//GLd(C)

(1)[B1, B2] + jk = 0

• 但し //は GLd(C)作用に関する GIT商

g · (B1, B2, j, k) := (gB1g−1, gB2g

−1, gj, gk)

（座標環の GLd(C) 不変部分環に対応するアフィン代数多様体）

•

M(r, d) ≃{(B1, B2, j, k) | (1), (2)}/GLd(C)

(2) Bα(S) ⊂ S(α = 1, 2) かつ Im j ⊂ S なる

真部分空間 S ⊂ Cn は存在しない.


トーラス作用

T := (C∗)2 × T, T ⊂ GLr(C): 対角行列からなる極大トーラス(t1, t2, e1, ... , er) = ((t1, t2), diag(e1, ... , er)) ∈ T

TのM(r, d)への作用

(t1, t2, e1, ... , er) · (E,φ) := ((F−1t1,t2

)∗E,φ′)

• P2 への自然な (C∗)2 作用:

Ft1,t2 : [z0 : z1 : z2] 7−→ [z0 : t1z1 : t2z2]

• Tの O⊕rℓ∞への作用 (s1, ... , sr) 7→ (e1s1, ... , ersr)から

(φ : E|ℓ∞∼−→ O

⊕rℓ∞

) 7−→ (φ′ : (F−1t1,t2

)∗E∣∣∣ℓ∞

∼−→ O⊕rℓ∞

).

• ADHM構成では

(B1, B2, j, k) 7−→ (t1B1, t2B2, je, t1t2ek)

• UdSU(r) にも T作用がある。


固定点

(E,φ) ∈M(r, d)T iff E = I1 ⊕ · · · ⊕ Ir with

(1) Iα = IZα , dimZα = 0, Zα ⊂ P2 \ ℓ∞,

(2) φ(Iα|ℓ∞) = α-th factor of O⊕rℓ∞

,

(3) Iα は (C∗)2 作用で不変。

各 Iα は単項式で生成される C[x, y]の余次元有限のイデアル Iαと同一視できる。更に各 Iα は

xi−1yj−1 ←→ (i, j)

で Young図形 Yα と 1対 1に対応する。

I = ⟨x5, x4y, xy2, xy3, y4⟩ ←→

-

?i

j

x4x3y

xy2 xy3

Y

これから

M(r, d)T ←→Y(r, d) := {r個の Young図形の組 (Y1, ... , Yr) |

∑rα=1 |Yα| = d}


eα で 1次元 T加群 (t1, t2, e1, ... , er) 7→ eα を表す。ti も同様。すると Tの表現環 R(T)は

R(T) ≃ Z[t±11 , t±1

2 , e±11 , ... , e±1

r ].

接空間の Tウェイト [Ellingsrud-Gottsche 1998]

−→Y ∈ Yr と対応する (E,φ) ∈M(r, d)T を同一視する。−→Y での接空間 T−→

YM(r, d)は T加群と思える。

R(T) ∋ T−→YM(r, d) =

r∑α,β=1

Nα,β(t1, t2),

Nα,β(t1, t2) := eβe−1α

( ∑□∈Yα

t−lYβ (□)

1 taYα (□)+12 +

∑■∈Yβ

tlYα (■)+11 t

−aYα (■)2

).


同変ホモロジー

同変 K群

• KT(−): T同変連接層の Grothendieck群。• KT(−)は KT(pt)加群。KT(pt) ≃ R(T).• π : M(r, d)→ Ud

SU(r) は T同変固有写像なので

π∗ : KT(M(r, d)) −→ KT(UdSU(r))

が定義できる。(π∗ :=∑

i(−1)iRiπ∗)

• KT(−)loc := KT(−)⊗R(T) R, R := Frac(R(T)).• ι : M(r, d)T ↪→M(r, d) 固定点の埋め込み写像.

• UdSU(r)への T作用について、固定点は d[0] ∈ SdC2 ⊂ Ud

SU(r)のみ。

(UdSU(r))

T = {d[0]} (1点)

ιと同様に ι0 : (UdSU(r))

T ↪→ UdSU(r).


• Thomasonの局所化定理:

ι∗ : KT(M(r, d)T)loc∼−−→ KT(M(r, d))loc.

ι0 についても同様。

• 逆写像 ι−1∗ は ι−→

Y: {−→Y } ↪→M(r, d)を使って

ι−1∗ (−) = ⊕−→

Y ∈Y(n,r)

ι∗−→Y(−)∧

−1 T∗−→YM(r, d)

• 更に次の図式は可換

KT(M(r, d))locι−1∗

∼//

π∗

��

KT(M(r, d)T)loc = ⊕−→YR

∑−→Y

��

KT(UdSU(r))loc

ι−10∗

∼ // KT((UdSU(r))

T)loc = R


同変 (Borel-Moore)ホモロジー

• HT∗(−) = HT

∗(−,Q): T同変 Borel-Mooreホモロジー。• {Un}n≥1: Tの分類空間 ET → BTの有限次元近似

(非特異既約, Hi(Un,Q) = 0 for 1 ≤ i ≤ n, Un → Un/T: 主 T 束)

• HTn(X) := Hn−2 dim T+2 dim Un(X ×T Un).

• HTd(X) = 0 for d > 2 dimX.

• deg [M(r, d)] = 2 dimC M(r, d) = 4rd.

• HT∗(−)は H∗

T(pt)加群。H∗T(pt) ≃ S(T) := Sym((LieT)∗)

• HT∗(−)loc := HT

∗(−)⊗S(T) S, S := Frac(S(T)).• 局所化定理:

ι∗ : HT∗(M(r, d)T)loc

∼−−→ HT∗(M(r, d))loc.

ι0 についても同様。


• 次の図式は可換

HT∗(M(r, d))loc

ι−1∗

∼//

π∗

��

HT∗(M(r, d)T)loc = ⊕−→

YS

∑−→Y

��

HT∗(U

dSU(r))loc

ι−10∗

∼ // HT∗((U

dSU(r))

T)loc = S

• 特に ∑−→Y

ι∗−→Y(−)

eT(T−→Y)= (ι0∗)

−1π∗(−)


（物質場無し）Nekrasov分配関数

• 同変パラメータ ε1, ε2,−→a = (a1, ... , ar)を

t1 = eε1 , t2 = eε2 , eα = eaα ∈ R(T).

で導入すると

S(T) := Sym((LieT)∗) = Z[ε1, ε2,−→a ]

• S = Frac(S(T)) = Q(ε1, ε2,−→a ).

定義

Z(q; ε1, ε2,−→a ) =

∞∑d=0

qdZd(ε1, ε2,−→a )

:=∞∑d=0

qd(ι0∗)−1π∗[M(r, d)] ∈ S[[q]].


図式の可換性 ∑−→Yι∗−→Y(−)/eT(T−→

Y) = (ι0∗)−1π∗(−)

より Nekrasovの与えた明示式が復元できる。

Zd(ε1, ε2,−→a ) =

∑−→Y ∈Y(r,d)

1∏1≤α,β≤r n

−→Yα,β(ε1, ε2,

−→a ),

n−→Yα,β(ε1, ε2,

−→a ) :=∏

□∈Yα

[−ℓYβ(□)ε1 + (aYα(□) + 1)ε2 + aβ − aα]

×∏

■∈Yβ

[(ℓYα(■) + 1)ε1 − aYβ(■)ε2 + aβ − aα].


Z−→Y(ε1, ε2,

−→a ) := [∏

1≤α,β≤r

n−→Yα,β(ε1, ε2,

−→a )]−1.

と略記する。

rk = 1で計算してみる。ZY =1

nY11(ε1, ε2)

nY11 =∏

□∈Y[−ℓY(□)ε1 + (aY(□) + 1)ε2][(ℓY(□) + 1)ε1 − aY(□)ε2]

Z0 = Z(∅) = 1, Z1 = Z(1) =1

ε1ε2

Z2 = Z(2) +Z(1,1) =1

2ε2(ε1 − ε2)ε2ε1+

1

ε2ε1(ε2 − ε1)2ε1=

1

2ε21ε22

Z3 = Z(3) + Z(2,1) + Z(1,1,1) = · · · =1

6ε31ε32

実は rk = 1の時は

Zrk=1(q; ε1, ε2) =∑d≥0

qdZd(ε1, ε2) = exp(q

ε1ε2)


Virasoro代数

• Virasoro Lie代数 Vir

• 生成元: Ln (n ∈ Z)• 関係式: [Ln, Lm] = (n − m)Ln+m + n(n2−1)

12 δn+m,0c.• 三角分解:

Vir+ := ⟨Ln (n > 0)⟩, Vir0 := ⟨L0, 1⟩, Vir− := ⟨Ln (n < 0)⟩.

• Verma加群M(∆) (c,∆: generic)

• 最高ウェイトベクトル |∆⟩Vir+ |∆⟩ = 0, L0 |∆⟩ = ∆ |∆⟩.

• L0 ウェイト分解: M(∆) = ⊕n≥0M(∆)n,M(∆)n := {v ∈ M(∆) | L0v = (∆ + n)v}.

• 双対 Verma加群 M(∆)∗

• 最高ウェイトベクトル ⟨∆|⟨∆|Vir− = 0, ⟨∆| L0 = ∆ ⟨∆|.

• Shapovalov形式 · : M(∆)∗ ×M(∆)→ C• 双線形形式,• uLn · v = u · Lnv (u ∈ M(∆)∗, v ∈ M(∆))• ⟨∆| · |∆⟩ = 1.


Whittkerベクトル

• AGTの元々の予想は共形場理論の共計ブロック(P1 上の 4点相関関数, 及びトーラス上の 1点関数)が(物質場付き)Nekrasov分配函数に一致するというもの。

• ここでは退化操作で得られる退化版 AGT対応を復習する。（Gaiotto arXiv:0908.0307）

定義 (M(∆)のWhittakerベクトル)

w(ξ) = |∆⟩+∑n≥1

ξn/2wn, wn ∈ M(∆)n

L1wn = wn−1, Lkwn = 0 (k ≥ 2).

双対Whittakerベクトルも同様で

w∗(ξ) = ⟨∆|+∑n≥1

ξn/2w∗n , w∗

n ∈ M(∆)∗n

w∗nL−1 = w∗

n−1, w∗nL−k = 0 (k ≥ 2).


退化AGT関係式

w∗(ξ) · w(ξ) = Zrk=2(q; ε1, ε2,−→a )

但し

Virasoro Nekrasovc 13 + 6(ε1/ε2 + ε2/ε1)∆ (ε1/ε2 + ε2/ε1 + 2)/4− (a2 − a1)2/ε1ε2ξ q/(ε1ε2)2


Zrk=1 も Heisenberg代数のWhittakerベクトルと関係する。

• Zrk=1(q; ε1, ε2) = exp(q/ε1ε2).

• H: Heisenberg代数, [an, am] = nδn+m,0.

• πλ = C[a−1, a−2, ...] |λ⟩: Fock表現,a0 |λ⟩ = λ |λ⟩.

• deg a−n = n, deg |0⟩ = 0.

• Whittakerベクトルw(ξ) = |0⟩+

∑n≥1 ξ

n/2wn, deg(wn) = n,

a1wn = wn−1, akwn = 0 (k > 1).

• w(ξ) = |0⟩ +ξ1/2 a−1 |0⟩ +ξ2/2 12a

2−1 |0⟩ + · · ·

= exp(a−1ξ1/2) |0⟩.

• w∗(ξ) = ⟨0| exp(a1ξ1/2).• w∗(ξ) · w(ξ) = ⟨0| exp(a1ξ1/2) exp(a−1ξ

1/2) |0⟩= exp([a1a−1]ξ) = exp(ξ).

• よって w∗(ξ) · w(ξ) = Zrk=1(q; ε1, ε2), ξ = q/ε1ε2


一般の rkの場合

• W(slr)代数が Hr := ⊕d≥0HT∗(M(r, d))loc に作用。

• その作用について Hr と Verma加群が同型。• その同型のもとで Shapovalov形式と交叉形式が同値。• 更にその同型で

∑d≥0 q

d/2[M(r, d)]がWhittakerベクトルに写る。

その系として「Zr = Whittakerベクトルのノルム」が得られる。


• Nekrasov分配函数と Virasoro代数には共に q類似がある。• K理論的 Nekrasov分配関数

Nekrasov (2003)

中島・吉岡 Transform. Groups 10 (2005)

• 変形 Virasoro代数白石・久保・粟田・小竹 (1996)

• AGT予対応にも q類似があるはず。粟田・山田 (2010), arXiv:0910.4431


K理論的Nekrasov分配函数

T同変 K群に関する次の可換図式を思い出す。

KT(M(r, d))loc(ι∗)

−1

∼//

π∗

��

KT(M(r, d)T)loc = ⊕−→YR

∑−→Y

��

KT(UdSU(r))loc

(ι0∗)−1

∼ // KT((UdSU(r))

T)loc = R

同変パラメータ

t1 = eε1 , t2 = eε2 , eα = eaα ∈ R(T).

定義

ZK(q; t1, t2,−→e ) =

∑d≥0

qdZKd (t1, t2,

−→e )

:=∑d≥0

qd(ι0∗)−1π∗OM(r,d).


• 固定点定理から

ZKd (t1, t2,

−→e ) =∑

−→Y ∈Y(r,d)

1∏1≤α,β≤r N

−→Yα,β

,

N−→Yα,β :=

∏□∈Yα

(1− exp[ℓYβ(□)ε1 − (aYα(□) + 1)ε2 − aβ + aα)]∏■∈Yβ

(1− exp[−(ℓYβ(■ + 1)ε1 + aYα(■)ε2 − aβ + aα])

• (q, ti, eα) = (ℏ2rq′, eℏεi , eℏaα) で ℏ→ 0とすれば

ZK(q; t1, t2,−→e )→ Z(q′; ε1, ε2,

−→a )

• (ι0∗)−1 = chT （群 Tの指標）から

ZKd (t1, t2,

−→a ) =∑i

(−1)i chT Hi(M(r, d),OM(r,d)).


• ホモロジー版と同様に、rk = 1の時は簡単で

ZKrk=1(q; t1, t2) = exp

(∑n≥1

qn

n(1− tn1)(1− tn2)

)

• rk = 2の場合にも退化 AGT関係式の類似があるはずと予想したのが粟田・山田 (2009).ホモロジー版の時は Virasoro代数が現れた。K群だと分配関数はその乗法類似、ないし q類似に置き換わっていたので、代数の方もq類似をとる必要がある · · ·


変形Virasoro代数

• Macdonald対称函数を量子可積分系として研究する目的で、白石・久保・粟田・小竹 (1996)が導入。

• q, t ∈ C, generic, p := qt−1

• Virq,t:結合代数

生成元 : Tn(n ∈ Z)

関係式 : [Tn, Tm] = −∞∑ℓ=1

fℓ(Tn−ℓTm+ℓ − Tm−ℓTn+ℓ)

−(1− q)(1− t−1)

1− p(pn − p−n)δn+m,0

但し∞∑k=0

fkzk = exp

( ∞∑n=1

(1− qn)(1− t−n)

1 + pnzn

n

)• 見つけ方: T(z) =

∑n Tnz−n の関係式が構造函数

f(z) =∑

k≥0 fkzk で

f(w/z)T(z)T(w)− f(z/w)T(w)T(z) = c(δ(pw/z)− δ(w/pz))と書けるとして、結合則が成立するように f(z)を決定する。


• Vir の q変形？t = eβℏ, q = eℏ, ℏ→ 0の limitで T(z) =

∑n Tnz−n を

T(z) = 2 + βℏ2(L(z) +(1− β)2

4β) + O(ℏ4)

と展開すると、L(z) =

∑Lnz−n に現れる {Ln}が Vir c の関係式を満たす.

但し c = 13− 6(β + 1/β).


Whittakerベクトル

• h ∈ C generic

• M(h): Virq,t の Verma加群• Tn |h⟩ = 0 (n > 0), T0 |h⟩ = h |h⟩となる最高ウェイト元 |h⟩で生成される Virq,t 加群。

• deg Tn = −nで次数付けできてM(h) = ⊕n≥0M(h)n.

• 双対 Verma加群M(h)∗ と最高ウェイト元 ⟨h|も同様。• Shapovalov形式 · : M(h)∗ ×M(h)→ C も同様に定義できる。

定義 (M(h)のWhittekerベクトル)

wq,t(ξ) = |h⟩+∑

n≥1 ξn/2wn, wn ∈ M(h)n,

T1wn = wn−1, Tkwn = 0 (k ≥ 2)

双対ベクトル wq,t(ξ)∗ も同様に定義


K理論的AGT対応

wq,t(ξ)∗ · wq,t(ξ) = ZK

rk=2(q; t1, t2,−→e )

Virq,t Nekrasov

q t−11

t t2h e1e

−12 + e−1

1 e2ξ q


• 一般の rkの場合、W(slr)代数の q類似である変形W(slr)代数が⊕dKT

∗(M(r, d))loc に作用して、Whittaker条件等を満たすはず。• コホモロジー版の時の方針を思い出すと「correspondenceで代数を作って、それが欲しい代数であることをチェックする。」

• correspondenceによる、⊕dKT∗(M(1, d))loc に作用する代数の構

成は、Schiffmann-Vasserotと Feigin-Tsymbaliukによって（時期的には AGTと前後して、別の動機で）なされていた：gl1 量子トロイダル代数（Ding・庵原・三木代数）


gl1量子トロイダル代数

• Burban-Schiffmann (arXiv:math/0505148)により楕円曲線上のHall代数の Drinfeldダブル (elliptic Hall algebra) として導入される。

• 三木 (2007 出版年)により “(q, γ)-analog of W1+∞”という名前で導入される。

• 2009年の春頃、3つのグループによって研究される。Schiffmann-Vasserot, arXiv:0905.2555B.Feigin-Tsymbaliuk, arXiv:0904.1679B.Feigin・橋爪・星野・白石・Y, arXiv:0904.2291,

“Ding・庵原代数”

• B.Feigin-E.Feigin・神保・三輪・Mukhin (2010)”quantum continuous gl∞”


幾何学的アプローチ

• (C2)[n] の correspondenceの作り方を思い出すと · · ·• Zn,n+i = {(I, J) ∈ (C2)[n] × (C2)[n+i] | J ⊂ I}.• K群の場合は i = ±1, 0のものだけから生成元を作る。• τn,n±1: Zn,n±1 の “普遍束” （(C2)[n] × (C2)[n±1] 上のもの.• τn: (C2)[n] の普遍束。• τn,n:τn の (C2)[n] × (C2)[n] ↠ (C2)[n] による引き戻し。• K := ⊕d≥0K

T((C2)[d])loc 上の作用素として

u−1,k := −t−1/21

∏n≥0 τ

⊗k−1n,n+1 ,

u1,k := t−1/22

∏n≥0 τ

⊗kn+1,n (k ∈ Z),

u0,l :=∏

n≥0 ∧lτn,n − (1− t−l1 )−1(1− t−l

2 )−1 (l > 0),

u0,−l := −∏

n≥0 ∧lτ∗n,n + (1− tl1)

−1(1− tl2)−1 (l > 0).

定義

Ut1,t2(gl1) := ⟨u−1,∗, u0,∗, u1,∗⟩C(t1/21 ,t

1/22 )


• Ut1,t2(gl1)には次のような生成元の取り方もある。Ut1,t2(gl1) = ⟨ui,j | (i, j) ∈ Z2 \ {(0, 0)}⟩

• 更にこの Z2 分の生成元の関係式は（概ね）SL(2,Z)不変。

i

j

u−1,ju1,ju0,j


Macdonald対称函数からのアプローチ

• Heisenberg Fock空間 πα = Q[a−1, a−2, ...] |α⟩をa−n 7→ pn = xn1 + xn2 + · · · (n次べき和対称函数)

で対称函数の空間 ΛQ と同一視する。an 7→ n∂pn .

• {Pλ(q, t) | λ : 分割 }: Macdonald対称函数: ΛQ(q,t) の基底。• ”差分作用素”の同時固有関数: E1Pλ(q, t) = Pλ(q, t) · (

∑qλit−i)

• E1 は次のような表示を持つ。

E1 = (η0 − 1)/(t− 1) with η(z) =∑

ηnz−n,

η(z) := exp(∑

n>0

1− t−n

na−nz

n)exp

(−

∑n>0

1− qn

nanz

−n)


• 次のような問題を考えてみる:「η(z)を含むような量子群はあるだろうか？」

• 取り合えず η(z)同士の関係式を調べると

η(z)η(w) =(1− w/z)(1− qt−1w/z)

(1− t−1w/z)(1− qw/z)◦◦η(z)η(w)◦◦

から

G−(w/z)η(z)η(w) = G+(z/w)η(w)η(z),

G±(x) := (1− q±1x)(1− t∓1x)(1− q∓1t±1x)

• 実は Ding・庵原の Hopf代数（族）の一部になっている。


定義 ([FHHSY] )

構造函数は

G±(x) := (1 − q±1x)(1 − t∓1x)(1 − q∓1t±1x), g(x) := G+(x)/G−(x).

生成元は

x±(z) =∑n∈Z

x±n z−n, ψ±(z) =∑

±m≥0

ψ±m z−m, γ±1/2 (central)

関係式は

ψ±(z)ψ±(w) = ψ±(w)ψ±(z), ψ+(z)ψ−(w) =g(γ+1w/z)

g(γ−1w/z)ψ−(w)ψ+(z),

ψ+(z)x±(w) = g(γ∓ 12w/z)∓1x±(w)ψ+(z),

ψ−(z)x±(w) = g(γ∓ 12w/z)±1x±(w)ψ−(z),

[x+(z), x−(w)] =(1 − q)(1 − 1/t)

1 − p

×(δ(γ−1z/w)ψ+(γ1/2w) − δ(γz/w)ψ−(γ−1/2w)

)(p := q/t),

G∓(w/z)x±(z)x±(w) = G±(z/w)x±(w)x±(z).


定理 ([Feigin-Hasizume-Hoshino-Shiraishi-Y.])

Fock空間 π1 は Uq−1,t(gl1)加群の構造がある。特に x+(z)→ η(z)。

定理 ([Schiffmann-Vasserot, Feigin-Tsymbaliuk])

• ⟨x±n ,ψ±m | n ∈ Z, m ≥ 0⟩ (γ±1/2 = (t/q)±1/4) は Uq−1,t(gl1)と

x±n 7→ un,±1, ψ±n 7→ u±n,0 で “同型”。

• Uq−1,t(gl1)加群として π1 と Kは同型。


テンソル表現と変形W代数

• Uq,t−1(gl1)には余積∆がある。n階余積を∆(n) と書く。• {bn | n ∈ Z}を ψ± の次のような展開で定義する:

ψ±(z) = ψ±0 exp

(±

∑n>0 bnγ

n/2z∓n),

これは次の交換関係を満たす.

[bm, bn] =1

m(1− q−m)(1− tm)(1− (q/t)m)(γm − γ−m)γ−|m|δm+n,0.

• 更に

t(z) := α(z)x+(z)β(z).

α(z) := exp(−

∑n>0

b−nzn

γn − γ−n

), β(z) := exp

(∑n>0

bnz−n

γn − γ−n

).

• 最後に Q(q, t)内の次の級数を導入する.

fk(z) := exp( ∞∑

n=1

(1− qn)(1− t−n)(1− (q/t)(k−1)n)

1− (q/t)knzn).


定理

∆(n)(t(z)) =∑n

i=1 Λi(z)と書けて、これらはWq,t(sln)の関係式のうち知られているもの全てを満たす. 特に

fn(w/z)Λi(z)Λj(w) = ◦◦Λi(z)Λj(w)◦◦ ×

1 i = j,

γ+(w/z; q, t) i < j,

γ−(w/z; q, t) i > j.

但し γ±(x; q, t) :=(1− q∓1x)(1− qt∓1x)

(1− x)(1− t∓1x).


WhittakerベクトルとMacdonald対称函数

• 粟田・山田が K群版 AGT対応を予想した際に、wq,t(ξ)の明示公式も予想している。

• まず変形 Virasoro代数の自由場表示を考える。

T(z) = Λ1(z) + Λ2(z),

Λ1(z) = p1/2t exp[−∞∑n=1

1− tn

1 + pna−n

nt−np−n/2zn]

× exp[−∞∑n=1

(1− qn)an

npn/2z−n]

Λ2(z) = p−1/2t−1 exp[∞∑n=1

1− tn

1 + pna−n

nt−npn/2zn]

× exp[∞∑n=1

(1− tn)an

np−n/2z−n]


• これで Fock空間 πα が Virq,t 加群と思える。genericな q, t, hについて

M(h) ≃ πα, h = p1/2qα + p1/2q−α

• この同型で wq,t(ξ) ∈ M(h)[[ξ1/2]]を πα[[ξ1/2]] ≃ Λ[[ξ1/2]]の元と思える。

定理 (Y.)

wq,t(ξ) =∑λ

ξ|λ|/2Pλ(q, t)

×∏

(i,j)∈λ

(q/t)1/2tα

1− qj+1t2α−i−1

qλi−j

1− qλi−j+1tλ′j −i

この明示式は前節説明した Uq,t−1(gl1)のテンソル表現による Virq,t の実現を使うと証明できる。

コホモロジー的 agt 対応と k群類似yanagida/20161029.pdf ·...

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