1

ベクトル解析（２）

3. 空間曲線

• 空間曲線、曲線長

• 接線、法線

4. 空間曲面

• 空間曲面

• 接平面、法線

• 曲面の面積

Today’s Point

2

Chap. 3 空間曲線

•空間曲線、曲線長

•接線、法線

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

dt

drr

単位接線ベクトル

接線ベクトル

r

rt

単位主法線ベクトル t

tn

ds

d

dt

d

tt

rr

:

:

単位従法線ベクトル

ntb

3

3. 空間曲線

点P：座標（x(t), y(t), z(t)）

変数t変化 －＞ 空間曲線C

点Pの位置ベクトル

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

曲線Cの方程式，変数tを媒介変数

3.1 空間曲線

)0( 0 ,sin ,cos aztaytax

例題1：半径aの円

jir tatat sincos)(

3

PQ

4

3.2 接線ベクトル

曲線Cの微分

0limt

d

dt t

r rr （ただし， ） 0r

点Pにおいて曲線Cに接する

変数tが時間を表すとき，r’(t)は各時刻tでの速度ベクトル

ベクトル関数r(t)とその導関数は連続（微分可能）

⇒ “曲線Cはなめらか”

P(t), Q(t+t)を曲線Cの2点とすると，ベクトル

r(t)=r(t+t) - r(t)

dt

drr

単位接線ベクトル

接線ベクトル

r

rt

4

5

3.3 曲線長

曲線Cを折れ線snで近似

弧ABの長さ：t→0とした時のsnの極限値s

t |||| rr

b

a

b

a

b

a

dtdt

dz

dt

dy

dt

dx

dtdt

ddts

222 )()()(

||||r

r

tsn |||| rr

空間曲線r=r(t)、区間a≦t≦bに対応する弧AB

5

例題1 半径aの円

jir tatat sincos)(

dt

drr

2)単位接線ベクトル

1)接線ベクトル

r

rt

3)曲線長

6

t

r

r

ji tata cossin -

atata - 22 )cos()sin(r

ji tt cossin -

2

0|| dts r全周

aadt 22

0

t

dttstat0

||)(: r位置 atadtt

0

7

3.4 曲線長による接線ベクトルの表現 b→t s(t):P(a)～P(t)間の弧長：

s=s(t)はtの関し増加関数

両辺をtで微分

t

a

t

adt

dt

dz

dt

dy

dt

dxdtts 222 )()()( ||)( r

0||||)(

dt

d

dt

tds rr

tr

rr

rrrr

||||//

dt

d

dt

ds

dt

d

ds

dt

dt

d

ds

d

ds： 曲線Cの線素

各点で曲線に接する単位ベクトル

7

ds

dr

r

rt

||

3.5 法線ベクトル

単位接線ベクトル t

0

02

1

ntn

tttt

tt

とすると法線

で微分　ds

ds

単位主法線ベクトル

曲線半径

曲率

:

/1:

//

t

t

tntn

単位従法線ベクトル

ntb

t

r

n

b 接平面

の張る平面とnt

8

// tn

ds

d

dt

d tt

rr : :) 注

例題1 半径aの円

jir tatat sincos)(

jit tt cossin -

)sincos(1

ji

tt

tta

ds

dt

dt

d

--

k

kji

ntb

--

-

0sincos

0cossin

tt

tt

ats

9

jit

tn

t

tt

a

sincos

/1

--

10

tbadtba

dtbtatats

t

t

22

0

22

0

222

)()cos()sin()(

-

)0( ,sin ,cos abtztaytax

例題2 常ら線

kjir bttatat sincos)(

kjir btatat - cossin)(

1)曲線長

t

a

t

adt

dt

dz

dt

dy

dt

dxdtts 222 )()()(||)( r

22222 )cos()sin()( babtatat -r

10

kjir

rt btata

ba-

cossin

1

|| 22

2)単位接線ベクトル

3)単位主法線ベクトル

)sin(cos ji

t

tn

tt -

4)単位従法線ベクトル

ds

dt

dt

d

ds

d ttt

2222

2222 sincos

ba

a

ba

tata

t

)cossin(1

0sincos

cossin1

22

22

kji

kji

ntb

atbtbba

tt

bttaba

-

--

-

11

22 badt

ds

2222

1sincos

baba

tata

--

ji

ji ttba

asincos

22

-

12

例題２ （５章）

kjir bttatat sincos)(

kjir btatat - cossin)(

kiir

rt

222222cossin

|| ba

bt

ba

at

ba

a

-

sincos22

jit

t ttba

a

dt

d

-

曲線半径曲率 : /1:

//

t

t

tntn

)sin(cos jit

tn tt -

Today’s Point

13

Chap. 4 空間曲面 dv

d

du

d rr

•空間曲面

•接平面、法線

•曲面の面積 dxdy

yxS

D

rr

),( vur

14

4. 空間曲面

点Pの位置ベクトルrが2つの変数u,vの関数r=r(u,v)

点Pの座標（x, y, z）：曲面S

r=r(u,v)

上式を曲面Sの方程式，変数u,vを媒介変数という

変数v固定，変数u変化させた場合の曲面S上の曲線⇒“u曲線”

変数u固定，変数v変化させた場合の曲面S上の曲線 ⇒ “v曲線”

u曲線とv曲線の接線ベクトルはそれぞれ ,

u v

r r

4.1 空間曲面

14

15

4.2 接平面

曲面S上の点Pを通り，点Pにおける と を含む平面はただ

一つ定まる。これを曲面Sの点Pにおける接平面という

0u v

r r条件： 曲面Sの各点で接ベクトル と

が平行でない

u

r

v

r

u

r

v

r

u v u v

r r r rn

15

このとき，単位ベクトル

接平面に垂直。

これを単位法線ベクトル

法線における接平面と単位上の点放物面 )5 ,2 ,1( 22 Pyxz

kjir )(),( 22 vuvuvu

接線 du

dr

144

)22(

/

22

--

vu

vu

dv

d

du

d

dv

d

du

d

kji

rrrrn

kjirr

dv

d

du

d

222 1)2()2( -- vudv

d

du

d rr

dv

dr

)2,1(

)5,2,1(

での単位法線ベクトル)5,2,1(P

)42(21

1kjin --

例題3

16

ki u2 kj v2

201

u kji -- vu 22

v210

P(1,2,5)での接平面の方程式

ルを通る平面上のベクト)5,2,1(P

kjiprt )5()2()1( ---- zyx

0nt

0542

0)5()2)(4()1(2

--

-----

zyx

zyx

P(1,2,5)での法線の方程式

)5(4

)2(

2

)1(-

-

-

-

-z

yx

17

6章 勾配grad (6.3:例題3参照)

p t

n

),,( zyxr

接平面

における上の点球面

単位法線ベクトルと

)1 ,1 ,1(3222 Pzyx

kjir223),( vuvuvu --

接線 ki

223 vu

u

---

---

---

22

22

31 0

30 1

vu

vvu

u

dv

d

du

d

kji

rr

dv

dr

で法線ベクトル)1,1,1(P

例

18

du

drkj

223 vu

v

---

kji --

-- 2222 33 vu

v

vu

u

kjirr

h dv

d

du

d3

3

3

1

1

1

dv

d

du

d

dv

d

du

d rrrrn / )(

3

1kjin

19

kjig )1()1()1(

)1,1,1(),,(

--- zyx

Pzyx を結ぶベクトルと平面上の点

p g

n

),,( zyxr

での接平面は従って )1,1,1(P

0hg

3

0)1( 1)-y( )1(

0)1(1 1)-y(1 )1(1

--

--

zyx

zx

zx

)0( ng

20

4.3 空間曲面の面積

曲面S上の4点を頂点とし，u曲線とv曲線で囲まれた微小図形PP1P2P3を考え，その面積を⊿Sとする

u,v→0とすると

は曲面上の微小面分PP1P2P3の面積を近似すると考えて，これを面積素という

uu

PuPPP

-

rrr )()(1

vv

PP

r3

vuvu

PPPPS

rr31

dudvvu

dS

rr

したがって，面積を⊿Sは，

20

21

曲面の面積

曲面Sの面積は微小面分の面積の総和

uv平面上の領域Dは曲面Sに対応

vuvu

rr

dudvvu

SD

rr

ベクトル面積素

dSは点Pで接平面に垂直

dudvvu

dSd

rrnS

u,v→0の極限をとると，曲面の面積Sは

dudvvu

dS

rr

vuyx

rrrrn /

21

微小面分PP1P2P3を近似的に点Pにおける接平面上の図形と見なし，その法単位ベクトルの方向を考慮して定義されるベクトル

22

221/

yx

yx

ff

ff

yxyx

--

kjirrrrn

dxdyffD

yx 221

kjirr

--

yx ff

yx

221 yx ffyx

rr

kir

xfx

kj

ryf

y

曲面の方程式

kjir ),(),( yxfyxyx

221 yx

yx

ff

ff

--

kjin dxdyffS

Dyx 221

例）曲面 ),( yxfz の単位法線ベクトルnとその面積S

で表されることを証明せよ。ただし、領域Dは曲面Sのxy平面上への正射影である。

),( yxfz

22

xとyを媒介変数として

dxdyyx

SD

rr

例題４

23

　面積？0)z0,y0,(x 24 -- yxz

a

kji

kji

ba

8816

402

042

-

-

641122

8

2

1 222 baS

)4,0,0(

z

x)0,0,2(

)0,4,0(

y

a

b

解法１）外積 )0,4,2()0,0,2()0,4,0( --

b

解法２）面積分 0)z0,y0,(x 24 -- yxz

yxyxf -- 24),(

kir

2-dx

dkj

r-

dy

d

kji

kjirr

-

- 2

110

201dy

d

dx

d

-2

0

24

06

x

dxdyS

kjir ) 24( yxyx --

)4,0,0(

z

x)0,0,2(

)0,4,0(

y

y

42 yxx

xy 24 -x)2(

6

1

114

2kji

kjin

24

DD

dxdydxdyyx

S 6rr

64]4[6)24(6 2

0

22

0-- xxdxx

25

例題5 2)z0,y0,(x 2 22 -- yxz

kjir )2( 22 yxyx --

kir

xdx

d2- kj

ry

dy

d2-

kji

kjirr

-

- xy

y

xdy

d

dx

d22

210

201

)22(144

1

144

22

2222kji

kjin

xy

yxyx

xy

D

dxdyyx 144 22

222),( yxyxf -- 2z

2

2

x

y

25

dxdy

yxS

D

rr

26

D

dxdyyxS 144 22

sin cos ryrx

14144 222 ryx

rr

r

yy

xxJ

rdrddrdJdxdy

r

r

-

cossin

sincos

であるので2

1

22

3

2

2

0

2

0

2

)14()14(12

1

414

rrrdr

d

rdrrdS

3

13]1)81[(

12

12)14(

12

14 2

32

0

2

0

2

3

2

-

rdS

2

2

x

y

222 yx

z

27

問題

を求めよ法単位ベクトル

球面

n

kjir )(cos)sin(sin)sin(cos),( .2 vavuavuavu

t

kjir

単位接線ベクトル

に至る曲線長から

曲線

)2

0)1

2)( .1

tt

teet tt

-