アルキメデス による 円周率 の計算 (平成 12 年) -...
TRANSCRIPT
- -1
アルキメデスによる円周率の計算(平成12年)
はじめに1.アルキメデスは,紀元前200年頃に活躍した大天才である.彼が求めた円周率
は,小数第2位,3 14 まで正しく計算されていた. 彼の死後,1 400年も. ,の間,これを凌ぐ円周率が出現することはなかった.
夏休みを使って,彼の計算を検証してみた.計算機を使用しないで,複雑な計算
をした彼の計算力と忍耐力に驚嘆し 、コンピュータの有り難さをしみじみ感じた.,
引用した文献は,文章,図版の右肩に 印を付した.
アルキメデスが使ったと考えられる不等式2.
古代ギリシャでは, の値を求めるとき, と変形
して,この不等式を利用して計算したものと考えられている.
(証明) とおくと,
だから
……………………①
よって,
だから
a ± 2a ± 1b
< a2 ± b < a ± 2ab
(複号同順)…………(*)
A = a2 ± b ( b > 0 )1), 2), 3)
a2 ± b = a ± c (a:正の整数 c:正の小数)
a2 ± b = a2 ± 2ac + c2 > a2 ± 2ac
∴ ±b > ±2ac
∴ ± 2ab
> ±c
a2 ± b = a ± c < a ± 2ab
a2 ± b = a ± c 2 = a2 ± 2ac + c2
a2 ± b < a2 ± 2ac + c = a2 ± c 2a ± 1
a > 0
0 < c < 1 c2 < c
A
n)
- -2
は正の整数だから
①と②より,
( ) , .注 古代バビロニアでは 次の近似方法が知られていたと言われている
(証明)
ただし,等号は のとき成り立つ.
アルキメデスによる開平近似計算3.アルキメデスがどのように開平計算を行ったのか,その方法は明らかでない.歴史
家の推測では,不等式(*)を用いて計算したものと考えられている.
実際に,その計算を検証してみると次のようになる.
( ) の計算1( )a
で , の近似値を として, と 変 形2
して,不等式(*)を用いると,
∴ ±b < ±c 2a ± 1
a 2a ± 1 > 0
よって, a ± 2a ± 1b
< a ± c = a2 ± b …………………………②
∴ ± 2a ± 1b
< ±c
a ± 2a ± 1b
< a2 ± b < a ± 2ab
(複号同順)
1)
a2 + b ≒ a +2ab
a2 + b = a ×a2 + b
a (相乗平均)
≦
a +a2 + b
a2
(相加平均)
= a +2ab
b = 0
3 1), 3)
1 < 3 < 4 3 3 = 22-1
53
< 3 <74
1) ,2) ,3)
- -3
( )b
より,分母を払って
の近似値を として と変形して,不等式(*)を5 ,
用いると,
( ) …………………………c
より,分母を払って
の近似値が として と変形し,不等式(*)26 ,
を用いると,
(注)近似を左右交互に行っている.
2 - 2×2-11
< 22-1 < 2 - 2×21
1911
< 3 <2615
53
< 3 <74 5 < 27 <
214
5 +2×5 + 1
2< 52 + 2 < 5 +
2×52
5711
< 3 3 <265
∴1911
< 3 <2615
265153
< 3 <1351780
(a)
1911
< 3 <2615
28511
< 675 < 26
675 675 = 262-1
26 - 2×26-11
< 262 -1 < 26 - 2×261
132551
< 15 3 <135152
∴265153
< 3 <1351780
27
∴53
< 3 <74
27 = 52 + 2
- -4
と小数第4位まで正しく計算している.
( ) …………………………2
(注) よ り を選んでいる.
( ) …………………………3
( )4
…………………………
1.7320261 < 3 < 1.732052
349452 > 59118 (b)
349452 = 5912 + 169
> 591 +2×591 + 1
169
= 591 +1183169
= 59117
> 59118
17
18
13739433364
> 117218
(c)
13739433364
=18
87932385
=18
93772 + 4256
>18
9377 +2×9377 + 1
4256
=18
9376 +2301118755
> 117218
5472132161
> 233914 (d)
- -5
(注) を選んでいる.
注 を選んでいる.( )
5472132161
=14
87554113
=14
93572 + 664
>14
9357 +2×9357 + 1
664
=14
9356 +1937918715
> 233914
(5) 9082321 < 301334 …………………………(e)
9082321 = 30142-1875
< 3014- 2×30141875
= 3014-14
= 301334
3380929 = 18392-992
< 1839- 2×1839992
= 183826863678
< 1838119
14 より
34
34 より 11
9
= 3014-18756028
(6) 3380929 < 1838119
…………………………(f)
- -6
( ) …………………………7
( ) …………………………8
1018405 < 100916
(g)
1018405 = 10092 + 324
< 1009 +2×1009
324
< 100916
4069284361
< 201714 (h)
4069284361
=16
146494225
=16
121022 + 35821
<16
12102 +2×12102
35821
=16
12102 +3582124204
<16
12102 +32
= 201714
- -7
円周率の計算4.
「 」アルキメデスの著述で現存するものが15巻ある. その中に 円の測定
と題する論文がある.その中で,彼は次のように述べている 「すべての円周は,その.
直径の3倍に,その直径の7分の1より小さくて,71分の10より大きい超過分を加
えたものである と となり,円周率を小数第2位まで正し.」 ,
く求めていることが分かる.
(注)
( ) 計算の概要1円 に外接する正6角形をつくり,次々とその辺数を2倍して,円に外接するO正12,24,48,96多角形を作っていく.それらの周の長さは,順次に小さ
くなり,円の直径の になる.
同様に,円 に内接する正6角形を作り,次々とその辺数を2倍して,円に内接Oする正96角形まで作る.それらの周の長さは,順次大きくなり,円の直径の
に至る.
以下,彼の計算方法を見てみよう.
( ) 計算の実際2( ) 外接正96角形についてi
O OB B , , ,中心 ,半径 とする円に,円周上の点 で円に外接する正61224
4896角形の一部分を次に示す.,
即ち, ,31071
< p < 317
31071 ≒
3.1408, 317 ≒
3.1428
317
31071
よって, 31071 ×(円の直径)
< p ×(円の直径)< 317 ×(円の直径)
となり, 31071
< p < 317 と結論する.
1),2),3),4)
- -8
は正3角形の半分だから,△A1OB
A1BBO
= 3 >265153
,A1OA1B
= 2 …………………………① (a)より
A
A
A
A
A
1
2
3
4
5
B
B
B
B
B
…
…
…
…
…
外接正6角形の一辺の半分
外接正12角形の一辺の半分
外接正24角形の一辺の半分
外接正48角形の一辺の半分
外接正96角形の一辺の半分
1)
- -9
の二等分線だから
一般に,次のことが成り立つ.
OA1は∠A1OB
(・)A1OBO
=A1A2
A2B∴
A1O + BOBO
=A1A2 + A2B
A2B(合比の理)
∴ A2BBO
=A1O + BO
A1B
=A1OA1B
+A1BBO
(:)A2OA2B
2
=
=
A2B2 + BO2
A2B2
1 +A2BBO 2
(三平方の定理) (注) ∠A
cos h
12 = h とすると,
2
= 1 + tan2 h
(・)AnBBO
=An~1OAn~1B
+An~1BBO
(:)AnOAnB
2
= 1 +AnBBO 2
(・)A2BBO
=A1OA1B
+A1BBO
>265153
+ 2 ①より
=571153
(:)A2OA2B
2
= 1 +A2BBO 2
> 1 +571153
2
=349450
1532
- -10
∴A2OA2B
>349450153
>591
18
153(b)より
∴A2BBO
>571153 ,
A2OA2B
>591
18
153 …………………………②
(:)A3OA3B
2
= 1 +A3BBO 2
(・)A3BBO
=A2OA2B
+A2BBO
>591
18
153+
571153
②より
=1162
18
153
> 1 +1162
18
153
2
=137394
3364
1532
∴A3OA3B
>137394
3364
153
>1172
18
153(c)より
∴A3BBO
>1162
18
153 ,A3OA3B
>1172
18
153 …………………………③
- -11
(・)A4BBO
=A3OA3B
+A3BBO
>1162
18
153+
117218
153 ③より
=2334
18
153
(:)A4OA4B
2
= 1 +A4BBO 2
> 1 +2334
14
153
2
=5471632
161
1532
∴A4OA4B
>
5471632161
153
>2339
14
153(d)より
∴A4BBO
>2334
14
153 ,A4OA4B
>2339
14
153 …………………………④
(・)A5BBO
=A4OA4B
+A4BBO
>
2339 14
153+
233414
153④より
=
4673 12
153
- -12
外接正96角形の周の長さLは、次のようになる。
円周の長さは, だから,
( ) 内接正96角形についてii
中心がO,半径 とする円に,点 で内接する正612244896角形OB B , , , ,の一部分を次に示す.
∴ A5B <4673
12
153BO …………………………⑤
L = 2×A5B×96
< 2×4673
12
153OB×96 ⑤より
= 313359347 ×
(2BO) < 317×
(2BO)
p×(2BO)
p×(2OB) < 317×
(2OB)
∴ p < 317 …………………………(**)
- -13
①②より、
一般に,次のことが成り立つ.
は正3角形だから
∴A2CA2B
=A1DA1C
=A2DA2B
…………………………①
△A1DCと△BCDにおいて、DCが∠Cの2等分線だから
A1CBC
=A1DBD
∴ A1DA1C
=BDBC
…………………………②
A2CA2B
=A1DA1C
=BDBC
…………………………③
(・)A2CA2B
=A1D + BDA1C + BC
(加比の理)
=A1C + BC
A1B
(:)A2BBC 2
=A2B2 + A2C2
A2B2 = 1 +A2CA2B
2
(注) ∠A
cos h1
2 = h とすると、2
= 1 + tan2 h
(・)AnCAnB
=An-1CAn-1B
+An-1BBC
(:)AnBBC 2
= 1 +AnCAnB
2
△A1BO
A1CA1B
= 3 <13517801
,A1BBC
= 2 …………………………④
A
A
A
A
A
1
2
3
4
5
B…
B…
B…
B…
B…
内接正6角形の一辺
内接正12角形の一辺
内接正24角形の一辺
内接正48角形の一辺
内接正96角形の一辺
△A2BC∽△A1DC∽△A2BD
- -14
(・)A2CA2B
=A1CA1B
+A1BBC
<1351780
+ 2
=2911780
(:)A2BBC 2
= 1 +A2CA2B
2
< 1 +2911780
2
=9082321608400
∴A2BBC
=9082321
780
<3013
34
780(e)より
A2CA2B
<2911780 , A2B
BC<
301334
780 …………………………⑤
(・)A3CA3B
=A2CA2B
+A2BBC
<2911780
+3013
34
780
=1823240
(:)A3BBC 2
= 1 +A3CA3B
2
< 1 +1823240
2
=3380929
2402
- -15
∴A3BBC
<3380929
240
<
1838119
240(f)より
A3CA3B
<1823240 , A3B
BC<
1838119
240 …………………………⑥
(・)A4CA4B
=A3CA3B
+A3BBC
<1823240
+
1838119
240
=100766
=3661
119
240
(:)A4BBC 2
= 1 +A4CA4B
2
< 1 +100766
2
∴A4BBC
<1018405
66
A4CA4B
<100766 , A4B
BC<
1009 16
66 …………………………⑦
<1009
16
66(g)より
=1018405
662
- -16
内接正96角形の周の長さ は,次のようになる.
=2016
16
66
(・)A5CA5B
=A4CA4B
+A4BBC
<100766
+1009
16
66
(:)A5BBC 2
= 1 +A5CA5B
2
< 1 +2016
16
66
2
=4069284
361
662
∴A5BBC
<4069284
361
66
<2017
14
66(h)より
∴66×BC
201714
= A5B
p×BC = A5B×96
>2017
14
6336BC
p×BC
- -17
(**)(***)より,
参考図書
) アルキメデスを読む 上垣 渉 著 1999 日本評論社1
) 円周率の歴史 平山 諦 著 1990 大阪教育図書2) ギリシャ数学史Ⅰ Ⅱ 平田 寛 訳 1959 共立出版3 ,
T. L. Heath, A MANUAL OF GREEK MATHEMATICS 1931 OXFORD) ギリシャの数学 彌永 昌吉著 1979 共立出版4
31071
< p < 317
=2017
14
6336BC
= 311378069
BC
> 31071
BC
∴ p > 31071 …………………………(***)