菅沼秀夫（京大理）

「強相関量子多体系としてのハドロン・クォーク物質」 2012年9月15日, 京都大学

カラーの閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れ

References:

“Gauge-Invariant Formalism with a Dirac-mode Expansion for Confinement and Chiral Symmetry Breaking”, S. Gongyo, T. Iritani, H.S., Phys. Rev. D83 (2012) 034510 (11 pages).

“Relevant Gluonic Momentum for Confinement and Gauge-Invariant Formalism with Dirac-mode Expansion”, H. S., S. Gongyo, T. Iritani, A. Yamamoto, PoS (QCD-TNT11) 044 (2011).

国広さんと出会ったのは１９８７年

M1のとき。すぐに親しくなりまして・・・

「君、３フレーバーのNJL模型を用いて UA(1)アノマリーのQCD真空やハドロンへの

効果とかの研究をやらないか？」

「（面白そうだな・・・）」

「いやもうフォーマリズムや式計算はできているから あとは数値計算をするだけなんだよ」

「・・・・・」

以来、今日に至るまで国広さんとは

共同研究をしていません・・・

Chiral Symmetry Breaking

南部陽一郎博士，2008年ノーベル物理学賞受賞

LQCD=－ ー tr (GμνGμν) + q (iγμD

μー m) q

ＱＣＤにおけるカイラル対称性 _

1

2

質量項を除くと LQCD は、大域的なカイラル変換 に対して不変

U(Nf)L x U(Nf)R ＝SU(Nf)L x SU(Nf)R x U(１)V x U(1)A

exact に成立 ～クォーク数保存

ゲージ場とcoupleする フェルミオンの path integral measure

により顕わに破れる ~ U(1)A アノマリー

ZQCD=∫DqDqDA e iSQCD[q,q,A]

qR → exp(iθRaTa)qR

qL → exp(iθLaTa)qL

ベクトル型のSU(Nf)V にまで自発的に破れる

(T a : フレーバーSU(Nf)の生成子)

SU(Nf)L x SU(Nf)R

フレーバー対称性

※ mu, md =2~6MeV ≪ ΛQCD = 200~300MeV u, d クォークに関してはカイラル対称性は良い

Witten-Veneziano 関係式 22

2

f

Nm

f

トポロジカル感受率→η’の質量

カイラル対称性の自発的破れ

u, d クォークの有効質量は 300MeV 程度

パリティ２重項 の縮退がとける

パリティ２重項 として存在

π

σ

Wigner-Weyl 相 Nambu-Goldstone 相

π(140) σ (600) ρ (770)

σ , π

π

σ

Hadrons

Quarks

u, d のカレントクォーク質量 は数 MeV

カイラル対称性な相 カイラル対称性が自発的に破れた相

ρ,a1 a1(1260)

MeV6~2, du mm MeV400~300, du MM

QCDの非摂動的現象：カイラル対称性の自発的破れ

クォーク クォーク

クォーク 核子

ＱＣＤ に現れる アップ・ダウン クォーク の質量は数MeV

ハドロンを構成するアップ・ダウン クォークの質量は350MeV程度

⇒ ↑

電弱統一理論での ヒッグス場との相互作用

により生じる

（ダークマター等を除くと） この世界の質量の大部分は ＱＣＤの相互作用により生じている

QCDの非摂動的相互作用 カイラル対称性の自発的破れ

QCD

低エネルギー領域での強結合性 ↓

非摂動的現象：摂動論を超えた現象～真空が変質 カイラル対称性の自発的破れ～=－(250MeV)3

Banks-Casher 関係式

VV Vqq )0(lim

k

k )()( ：QCD Dirac operator の固有値密度

Dirac operatorのゼロ固有値密度 ⇒ カイラル凝縮

QCDとカイラル凝縮との対応関係

Unbroken Symmetry について

思考実験： Nf 種類のクォークの質量が大きく かつ 縮退している

場合を考える。

もし、SU(Nf)フレーバー対称性が自発的に破れると、南部・ゴールド

ストーンの定理により、質量ゼロのボゾンが必然的に現れる。

しかし、これは、大きな質量のクォーク対から

“ゼロ質量の束縛状態”が生じることになり、物理的には考えにくい

～ 質量持続条件（persistent mass condition）

伝播関数に対する考察からのより厳密な証明（Vafa-Witten）

自発的に破れ得るのはU(Nf)Aカイラル対称性の部分のみ

ベクトル型の対称性、U(Nf)フレーバー対称性は自発的に破れない

・QCDが解析的には解けない以上、NJL模型などの有効模型 を用いた強相関多体系の解析的な研究は有用な方法 〔80年代中頃、国広・初田らが先駆〕

カイラル対称性の自発的破れに基いた有効模型とカイラル相転移

T. Kunihiro and T. Hatsuda,

“A Self-consistent Mean Field Approach to the Dynamical Symmetry Breaking: The Effective Potential of the Nambu-Jona-Lasinio model”, PTP 71 (1984) 1332. T. Hatsuda and T. Kunihiro,

“Possible Critical Phenomena Associated with the Chiral Symmetry Breaking”, Phys. Lett. B145 (1984) 7.

“Critical Phenomena Associated with Chiral Symmetry Breaking and Restoration in QCD”, Prog. Theor. Phys. 74 (1985) 765. “Fluctuation Effects in Hot Quark Matter: Precursors of Chiral Transition at Finite Temperature”, Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 158.

〔80年代中頃、宮村ら、Satz・松井らが先駆〕

閉じ込め力の消失に伴うチャーモニウムの性質の変化

“Mass Shift of Charmonium Near Deconfining Temperature and Possible Detection in

Lepton Pair Production”, T. Hashimoto, K. Hirose, T. Kanki and O. Miyamura, Phys. Rev. Lett. 57

(1986) 2123.

“J/psi Suppression by Quark-Gluon Plasma Formation”, T. Matsui and H. Satz Phys. Lett. B178 (1986) 416.

「国広・初田の研究を聴いたときは この分野が大きく変わるような昂揚感を感じました」

宮村修先生

南部・ジョナラシニオ模型

・カイラル対称性の自発的破れ：Yes

・カラーの閉じ込め：No

1980年代後半の研究室での評価はというと・・・

玉垣先生「国広君のNJL模型はクォークの閉じ込め が入っておらんからなあ・・・」

・・・と必ずしも高い評価とは言えないのが驚きでした

「君、“Manohar-Georgi”って知ってるか？」

国広さんに閉じ込めの欠如についてお尋ねすると・・・

Manohar-Georgi の描像

“カイラル対称の自発的破れのスケール (1GeV)”と

“閉じ込めのスケール(ΛQCD≒200MeV)”が大きく異なる可能性

⇒ Massive Quark 模型の理論的基礎づけ

“Chiral Quarks and the Nonrelativistic Quark Model”, A.Manohar and H.Georgi, Nucl.Phys. B234 (1984) 189.

1GeV 200MeV

Massive Quark Model

で記述可能 pQCD

(massless quark & gluon)

Color-singletの Hadron で記述

「NJL模型はこの領域を記述するのだ！」

その後 世界的には国広・初田の有効模型による解析は

この分野の大きな潮流の１つへと発展していきました・・・

クォーク質量関数 M(q2)に対する格子ＱＣＤ計算

Leinweber et al.

ユークリッド計量で ランダウ・ゲージ（∂μA

μ = 0）の場合

低エネルギー領域 高エネルギー領域

強結合的

低エネルギー領域で 300MeV 程度のクォーク有効質量の生成

弱結合的

[GeV]

)(

)()(

2

2

qMq

qZqSF

300MeV→

←0MeV

カイラル凝縮に対する格子QCD計算

くりこみ乗数を施して得られるMS scheme での計算値：

Overlap fermion での格子QCD計算 → カイラル極限近傍の現実世界でのカイラル凝縮 Σ ≡ |＜qq＞|= [240(2)(6) MeV]3 at mq=3MeV (Eucl, lattice bare value)

－

－

H. Fukaya et al. PRL98 (2007) 172001.

The relation between

Confinement and CSB is not yet known

directly from QCD.

Color Confinement and Chiral Symmetry Breaking (CSB)

are Two of most important phenomena of

Nonperturbative QCD

Confinement and Chiral Symmetry Breaking

カラーの閉じ込めとカラー・フラックス・チューブの形成

quark anti-quark

カラーの電気力線の１次元的な squeezing

クォーク間に線形の 閉じ込めポテンシャル ⇒クォークの閉じ込め

グルーオンからなるカラー電束も 空間的に閉じ込められている

ｃｆ QEDでは電気力線は空間的に 拡がっており、遠方で観測可能

e+ e-

Correlation between Confinement and CSB is suggested by

Simultaneous Phase Transition of

Deconfinement and Chiral Restoration.

F. Karsch, Lect. Notes Phys. (2002)

Chiral Condensate＜qq＞ - Polyakov Loop＜P＞ Color Confinement Chiral Symmetry Breaking

Lattice QCD results at finite temperature

Also, similar Coincidence between Deconfinement and Chiral Restoration

is found in Finite-Size lattice QCD.

In fact, Simultaneous Phase Transitions occur according to the Box Size.

More on correlation between Confinement and Chiral Sym Breaking

Deconfinement

Chiral Restoration

Confinement

Chiral Sym.

Breaking

Of course, Finite-Temperature Phase transition is also a kind

of Finite-Size effect of Euclidean Lattice in temporal direction.

Small Volume Lattice Large Volume Lattice

simultaneous

Phase Transitions

The close relation between Confinement and CSB has been indicated

in terms of Monopoles appearing in Maximally Abelian Gauge in QCD.

By removing the Monopoles from the QCD vacuum,

the confinement property and chiral symmetry breaking

are simultaneously lost.

[e.g. Dual GL theory: H.S. S.Sasaki and H. Toki, NPB (1995),

LQCD : O.Miyamura, PLB (1995), R.Woloshyn, PRD(1995). ]

O. Miyamura

More on correlation between Confinement and Chiral Sym Breaking

Important role of Monopole to Chiral Sym Breaking (Lattice QCD)

O. Miyamura, PLB (1995) :

First Lattice QCD Study to reveal Important role of Monopoles to CSB

Quark Condensate plotted against b in SU(2) QCD on163x 4 lattice

Monopole part (including only monopole) : Chiral sym breaking

Photon part (after removing monopole) : Chial Symmetric

If Monopoles are removed from

the QCD vacuum, No CSB occurs

Photon part

(after removing monopoles)

In confinement phase, CSB occurs

QCD QCD in

MA gauge

MA gauge fixing

Monopole

projection

Photon

projection

Monopole part

Photon part

Important Role of Monopoles to Nonperturbative QCD

Monopole current

Only with monopole/vortex

Confinement ,

Chiral Sym Breaking, Instanton are reproduced

After removing monopole/vortex

No Confinement, No Chiral Breaking

Hodge

decomposition

Relation between Confinement and Chiral Symmetry Breaking

The lattice QCD studies indicate an important role of monopoles to

both Confinement and CSB, and these two nonperturbative phenomena

seem to be related through the monopole.

Chiral Symmetry

Breaking Confinement

We would like to know the relation between

Confinement and CSB in more direct manner.

Monopoles

in MA gauge

Stack-Neiman-Wensley

PRD (1994),…. O.Miyamura, PLB (1995),

R.Woloshyn, PRD(1995), …

So, we investigate Confinement using the Dirac-mode expansion,

because the essential modes for CSB are Low-lying Dirac modes.

)0(limlim0

Vm

qq

k

kV

)(1

)( ：QCD Dirac operator eigenvalue density

Zero-eigenvalue density ρ(0) of Dirac operator

gives Chiral Condensate.

⇒ The essential modes for Chiral Sym Breaking are Low-lying Dirac modes.

※ The non-zero spectrum is symmetric due to 0},{ 5 D

)()( 55 nnnnnn DD

Banks-Casher Relation

mnnm xxxdnm

)()(4

nnUD n ][lat

4

1

ˆ,ˆ,

lat

xy ])()([2

1

xyxy xUxU

aD

:Dirac eigen-value, Dirac eigen-state

:Lattice Dirac operator

:normalization

)()(][lat xyUD nny

nxy :Dirac eigen-function ψn(x)

)()]ˆ()()ˆ()([2

1 4

1

xxxUxxUa

nnnn

Gauge trans. property: )ˆ()()()(

xVxUxVxU

)()()( xxVx nn

Explicit form of eigen-value equation in lattice QCD

Eigen-mode of Dirac operator in Lattice QCD

same as quark field

apart from an irrelevant

phase factor

To keep the gauge symmetry manifestly,

we take the following “operator formalism”.

・Link-variable operator is defined by the matrix element of

・Wilson Loop operator is defined as the product of along a rectangular loop:

yxxUyUx ,ˆ)(ˆ

Û

Ŵ

01

L

k

kFor loops

LkUUUUW

L

k

ˆˆˆˆˆ

21

1

Û

rectangular loop

・Wilson Loop operator: Lk

UUUUWL

k

ˆˆˆˆˆ

21

1

Functional Trace of Wilson Loop operator is proportional to

ordinary vacuum expectation value of the Wilson loop

1Tr

)()()()(tr

ˆ||ˆˆtr

ˆˆˆˆtr

ˆˆˆtrˆtrˆTr

1

1

2

11

1

1

2

111

,...,,

1433221

321

21

21

321

21

W

xUxUxUxU

xUxxUxxUx

xUxxUxxUxxUx

xUUUxxWxW

x

L

kk

kk

x

L

kk

kk

xxx

L

xx

L

L

L

L

L

・Functional Trace of Wilson Loop operator:

tr :trace over SU(3) color index Tr : functional trace

Dirac-mode matrix elements of Link-variable operator:

)ˆ()()(ˆˆˆˆ xxUxnxxUxxmnUm n

x

m

x

Huge matrix elements :calculable & Gauge Invariant

Gauge invariance of the Dirac-mode matrix element

nUmxxUx

xxVxVxUxVxVx

xxUxnUm

n

x

m

x

nm

n

x

m

ˆ)ˆ()()(

)ˆ()ˆ()ˆ()()()()(

)ˆ()()(ˆ

Gauge transformation:

)ˆ()()()( xVxUxVxU

)()()( xxVx nn

)()(][lat xyUD nny

nxy

nUm ˆ

(same as quark field)

apart from an irrelevant phase factor

Dirac-mode expansion and projection

Am An

P nnUmmPUPU ˆˆˆˆˆ

An

nnP̂Projection operator

m n

nnUmmU ˆˆ

1n

nn :completeness of the Dirac-mode basis

PP ˆˆ 2 PP ˆˆ

⇒ Projected Link-variable operator

In this projection, the Dirac-mode sum is done within a subset A.

e.g. IR-cut

Dirac-mode expansion

IR|| NnAn

We define Projection operator which restricts the Dirac-mode space.

・Wilson Loop operator: Lk

UUUUWL

k

ˆˆˆˆˆ

21

1

・Dirac-mode projected Wilson Loop operator:

1132211

,...,,

1

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

21

121

2121

LLL

Annn

PPPPL

k

P

nnUnnUnnUnn

PUPPUPUPUUUUW

L

L

LLk

・Dirac-mode projected Wilson Loop:

13221

,...,,

1

ˆˆˆtr

ˆˆˆˆˆˆˆˆTrˆˆˆTrˆTrˆTr

21

21

2121

nUnnUnnUn

PUPPUPUPUUUUW

L

L

LLk

L

Annn

PPPPL

k

P

Gauge Invariant !

Its Gauge Invariance is also checked in lattice QCD calculation.

tr: color index

Dirac-mode projected Wilson Loop

13221

,...,,1

ˆˆˆtrˆTrˆTr21

21

nUnnUnnUnUWL

L

k L

Annn

PL

k

P

Based on this expression, we investigate the role of specific Dirac modes to

the area law of the Wilson loop. In fact, if some Dirac modes are essential to

reproduce the area law or the confinement property, the removal of the

coupling to these modes leads to a significant change on the area law.

The original Wilson loop

couples to all the Dirac modes. The projected Wilson loop

couples to restricted Dirac modes.

Dirac-mode projected Inter-Quark Potential

Dirac-mode projected Wilson Loop

13221

,...,,1

ˆˆˆtrˆTrˆTr21

21

nUnnUnnUnUWL

L

k L

Annn

PL

k

P

⇒ corresponding Potential

TRWT

RV PT

P ,ˆTrln1

lim)(

cf Trace of Wilson Loop operator is proportional to

ordinary vacuum expectation value of the Wilson loop

1TrTr WŴ

const.irrelevant,ln1lim,ˆTrln1lim)(

TRWT

TRWT

RVTT

Unprojected case: ordinary inter-quark potential is obtained

As a caution, some

non-locality appears.

Eigen-value distribution of QCD Dirac operator

b=5.6 (a=0.25fm for lattice spacing), 64 lattice

Low-lying Dirac modes are responsible to Chiral Symmetry Breaking

(cf. Banks-Casher relation)

Eigen-value distribution of QCD Dirac operator

b=5.6 (a=0.25fm for lattice spacing), 64 lattice

By Removing the Low-lying Dirac modes,

Chiral Condensate is Largely Reduced.

(cf. Banks-Casher relation)

Chiral Condensate after removing low-lying Dirac modes

Chiral Condensate is largely reduced (only 2%!)

after removing the low-lying Dirac modes.

02.0qq

qqIR

IRn

m

mqq

nIR

22

2

for mq~5 MeV

Physical region

qq

qqIR

Wilson Loop after removing low-lying Dirac modes

Lattice QCD result of

Wilson Loop and Inter-Quark Potential

after removing low-lying Dirac modes

Wilson Loop obeys the Area law with the same slope

even after removing the low-lying Dirac modes,

which are responsible to chiral symmetry breaking.

Wilson Loop Potential

Without

low-lying Dirac modes

Without low-lying

Dirac modes original

original

Dirac-mode projected Polyakov Loop and Z3 Center Symmetry

Dirac-mode projected Polyakov Loop

14342241

,...,,

4ˆˆˆtr)ˆ(TrˆTr

21

nUnnUnnUnUP TAnnn

TPP

T

Dirac spectral density

Without IR-Dirac modes Polyakov Loop

Even after removing the low-lying Dirac modes, Polyakov loop remains to be

zero, which means confinement phase and unbroken Z3-center symmetry.

on periodic lattice

UV-cut case of Dirac modes

Wilson Loop obeys the Area law with the same slope

after removing the UV Dirac modes.

Wilson Loop Potential Dirac spectral density

Intermediate-cut cases of Dirac modes

Wilson Loop Potential Dirac spectral density

Wilson Loop obeys the Area law with the same slope

after removing various Dirac modes.

Summary and Concluding Remarks

With the gauge-invariant Dirac-mode expansion, we analyze

relation between confinement and CSB in SU(3) lattice QCD.

Even after removing the low-lying Dirac modes,

which are responsible to chiral symmetry breaking,

Wilson loop obeys the Area law with the same slope parameter,

and Polyakov loop remains to be zero, which means

the confinement phase and unbroken Z3-center symmetry.

These indicate that one-to-one correspondence does not hold

for between confinement and chiral symmetry breaking in QCD.

Wilson loop Polyakov loop

“Potential”

Low-lying Dirac mode を （人工的に）取り除いたQCD系

・カイラル対称性の自発的破れ：No

・カラーの閉じ込め：Yes

南部・ジョナラシニオ模型

・カイラル対称性の自発的破れ：Yes

・カラーの閉じ込め：No

⇔ 逆だあ

カイラル対称性の自発的破れ ≠ カラーの閉じ込め

閉じ込めの Essential Mode のみ を （人工的に）取り除いたQCD系

QCDに基いたNJL模型の定式化

・カイラル対称性の自発的破れ：Yes

・カラーの閉じ込め：No ⇒

かもね

カイラル対称性の自発的破れ ≠ カラーの閉じ込め

国広さん、物理にもノーベル賞が ありますから、 これからも頑張って下さいね！

国広さん「僕は学生時代、 物理よりも化学の方が得意でね、 化学に進んでいたらノーベル賞を 取っていたんじゃないかなあ」