1

システム創成学基礎－ 動力学系モデルの定性的挙動 －

古 田 一 雄

自由システムの平衡状態

平衡方程式

平衡状態n 時間が経過してもそのまま維持されるような状態

平衡点n 状態空間において平衡状態に対応する点

=

==

),(

),(),(

22

11

ux

uxux

nn fx

fxfx

&M

&&

=

==

0)(

0)(0)(

2

1

x

xx

nf

ff

M⇒0x0u

==

&

2

平衡状態の例１－ 化学平衡（１） －

正逆両方向に進む化学反応

N2 + 3H2 D 2NH3正反応と逆反応の速度

両反応速度が等しいとき

2NH22

3HN11 322 , pkvppkv ==

2NH2

3HN1 322 pkppk =

Kkk

ppp

==2

13HN

2NH

22

3・・・ 平衡定数

平衡状態の例１－ 化学平衡（２） －

一般的な場合

αA + βB +… D µX + νY +…正反応と逆反応の速度

質量作用の法則

LL νµβα ]Y[]X[,]B[]A[ 2211 kvkv ==

LL νµβα ]Y[]X[]B[]A[ 21 kk =

Kkk

==2

1

]B[]A[]Y[]X[

L

Lβα

νµ・・・ 平衡定数

3

平衡状態の例２－ 放射平衡 －

放射性核種の崩壊系列

X → Y → Z原子数の時間変化

のとき

22112

111

NNdt

dN

Ndt

dN

λλ

λ

−=

−=

)( 21

1

12

012

01

tt

t

eeN

N

eNNλλ

λ

λλλ −−

−

−−

=

=⇒

)0)0(,)0(( 201 == NNN

21 λλ

4

平衡点近傍の挙動

安定平衡点 不安定平衡点

鞍点 安定中立点

１自由度系の定性挙動解析（１）

ロジスティック増殖（環境制約下での成長）

n N

5

１自由度系の定性挙動解析（２）

一定数の捕獲（駆除）がある場合

n 0

6

アイソクラインとシステム挙動

アイソクライン

超平面

片側で

反対側で

状態空間はアイソクラインで有限個の部分空間に分割

平衡点はすべてのアイソクラインの交点

0)(1 =xf0)(2 =xf

x2

x1

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Q

P0)( =xif

0)( >= xii fx&

0)(

7

位相空間解析の例１－ Lotka-Volterraモデル（２） －

x1 x1

x1

x2

x2 x2

ε2/λ2

ε2/µ2

ε2/λ2

ε2/λ2

ε2/µ2

ε1/λ1

ε1/λ1ε1/λ1ε2/µ2

ε1/µ1

ε1/µ1

ε1/µ1

x2ε2/λ2

ε2/µ2ε1/λ1

ε1/µ1

x1

位相空間解析の例２－ 被食者-捕食者だけのL-Vモデル（１） －

被食者‐捕食者だけのLotka-Volterraモデル

n アイソクライン

2

212

2

1

121

1

00

00

µεµε

==⇒=

==⇒=

xxdt

dx

xxdtdx

or

or

212222

211111

xxxdt

dx

xxxdtdx

µε

µε

+−=

−=

1

1

2

22

1

:

)0,0(:

µε

µε

,P

P

8

位相空間解析の例２－ 被食者-捕食者だけのL-Vモデル（２） －

x2

x1

11 / µε

22 / µε0

P2

x1 x2

t0 1000

2000

0

400

)0002.0,001.0,2.0,2.0(

21

21==

==µµ

εε

位相空間解析の例２－ 被食者-捕食者だけのL-Vモデル（３） －

被食者に環境制約があり、飽食効果がある場合

n 飽食効果

捕食者あたり捕食する餌の量が飽和

1

21222

2

1

211111

1

1

11

hxxxx

dtdx

hxxx

Kxx

dtdx

++−=

+−

−=

µε

µε µ1/h

1

11

1 hxx

+µ

x1

9

位相空間解析の例２－ 被食者-捕食者だけのL-Vモデル（４） －

被食者に環境制約があり、飽食効果がある場合

アイソクライン

平衡点

*1

22

212

2

1111

121

1

or00

))(1(or00

xh

xxdtdx

xKhxK

xxdtdx

=−

==⇒=

−+==⇒=

εµε

εµε

),(:P)0,0(:P

*2

*12

1

xx

x1 の２次関数

位相空間解析の例２－ 被食者-捕食者だけのL-Vモデル（５） －

被食者に環境制約があり、飽食効果がある場合

n 平衡点P2 は直線 x1=x1* と放物線の交点n ε2 のみを変えて他を一定とした場合

平衡点P2の安定性はその位置（ x1* ）による

安定共存 振動的共存 安定（捕食者絶滅）