ノノ画像の格子点も一緒に描いている。図1 (a) は順変換を図1 (b)...

連続講座・断層映像法の基礎第25回: 篠原広行、他

断層映像法の基礎第25回

ベクトル表現を利用した逆変換

篠原広行1)、藤堂幸広1)、軽部修平1) 、小島慎也1)、橋本雄幸2)

。首都大学東京人間健康科学研究科放射線科学系

2) 横浜創英短期大学情報学科

はじめに

第24回では、 2次元の平行移動と回転、さらに拡大

縮小の画像変換について、ベクトルで表現する方法

を解説した。さらに、非線形変換を含めた一般化に

ついても考えた。今回は、平行移動、回転、拡大縮小

の変換がベクトル表現として粗いサンプリングで

分かつているときに、それをもとに変換前の画像に

戻す方法と、どの程度の精度で戻るかを検証する。

また、非線形の変形が伴った場合に、同様の方法を

用いて、どの程度の精度で戻るかを検証する。

1. ベクトル表現からの逆変換

1- 1 粗いサンプリングの変換ベクトル

1-2 最近傍補間

1-3 線形補間

1- 4 3次多項式補間

2. ベクトル表現からの逆変換の検証

2-1 平行移動

2・2 回転移動

2-3 拡大縮小

3. 非線形変換と逆変換

1. ベクトル表現からの逆変換

1 ・1 粗いサンプリングの変換ベクトル

何らかの移動変換をした2次元画像g (x ， y) を、

もとの画像f (x ， y) に戻すことを考える。その際、

変換ベクトルが得られる方法として次の2つのこと

が想定される。

①変換ベクトルが画像の格子点よで得られている場合

②変換ベクトルが画像の格子点上で得られているとは

限らない場合

①の代表的な変換ベクトルを図1 (a) 、 (b) に示す。

)

hu

(

a

F〆

FJFJJ

P〆

PJP/

PJP

J

,J

図1. 変換ベクトルカず画像の格子点上に得られている場合

(a) 格子点上からの順変換ベクトル。

(b) 格子点上への逆変換べ‘クトル。

別刷請求先. 干 116-8551 東京都荒川区東尾久7-2-10

首都大学東京人間健康科学研究科放射線科学系篠原広行

TEL : 03 -38 19-1 211 FAX: 03 .38 19- 1406

///J

fdfJFJ

Fdr

d

Fd

)

hu

(

)

a

( I II

I / /

I / J

I I I

/ノノノ I I

図2. 変換ベクトルが画像の格子点上に得られていると

は限らない場合

(a) ある点からの順変換ベクトル。

(b) ある点への逆変換ベクトル。

122-( 40 ) 断層映像研究会雑誌第35巻第2号

画像の格子点も一緒に描いている。図1 (a) は順変換

を図1 (b) は逆変換を表しているが、単純にベクトル

の向きが逆になっているだけなので、どちらかが得

られていれば問題ない。このように画像の格子点上

に粗いサンプリングで変換ベクトルが得られている

場合は、画像上の変換ベクトルが存在していない

部分を通常の補間で埋めることができる。もとの

画像上で変換ベクトルを作成することで、変換後の

画像からもとの画像を計算することができる。②の

代表的な変換ベクトルを図2 (a) 、 (b ) に示す。画像の

格子点も一緒に描いている。図2 (a ) 、 (b ) は順変換と

逆変換のペアを示している。これは、画像の任意の

特徴点をもとに移動ベクトルを作成するような場合

に生じる。この場合、画像の格子点上にベクトルが

求められてないので、もとの画像の格子点上に変換

ベクトルを作成するためには、バラバラのサンプリング

!(x_ ,oY, IJ. J ¥"'OV2 1. J ,.... 1 V 2l .

)lf(xooY,>. ! (x ,oY,)!J

• (x, y)

)1!(xo oY o) !(x ,oYo) 1J

!(x_ ,oY,

!(x_,oYo)

X _1 Xo X X 1 -1 ~o X 2

!(x_ ,oY_,)J (xooY_ ,) !(x， J勺)了(x，oY_ ，)

2008年9月10 日

連続講座・断層映像法の基礎第25回:篠原広行、他

位置から補間して求めなければならない。よって、

通常の補聞ができなくなる。

今回は、 ①の場合について考える。①の場合に

用いることができる補間方法のうち、最近傍補問、

線形補間と 3次多項式補聞の利用方法について

それぞれ1-2節、 1-3節、 1-4節で述べる。

1 ・2 最近傍補間

粗いサンプリングの変換ベクトルが格子状に並んで

いる場合、最も単純な補間方法は最近傍補間である。

最近傍補聞は、変換ベクトルが存在していない

部分を最も近くにある変換ベクトルで代用する方法

である。図3 (a) 、 (b ) に模式図を示しているが、図3

(a) に示す1 次元の場合は、左右のデータで近い方

を選び、図3 (b ) に示す2次元の場合は、近接4点の

うち一番距離の短いデータを選ぶ。

(X,oY,) )

hu

(

)

nM

(

(巧oY， )図 5. 3次多項式補間

(X,oYo)

(a) 1 次元の3次多項式補問。左右2つずつの4つの値から3

次多項式を算出し、その曲線上の値を代表値とする。

(b) 2次元の3次多項式補問。機方向で3次多項式補間を用

いて4つの白丸の点の値をそれぞれ算出し、 4つの白丸の点

の値から3次多項式補聞を用いて目的の代表値を求める。

1 次元の3次多項式補聞を5回用いることになる。

123・ (41)


(3)

XI - X _ YI - Y wω= 一一一一一・ 4ー一一ー

X I- XO YI - YO X-Xo YI - Y

WIO = ・XI-XO YI - YO

XI - X _ Y-Yo WOl = 一一一一一一一・

XI - XO YI-YO

X - XO Y - Yo Wll= 一一一一一一一・ -一一-

XI - XO YI - YO

1-3 線形補間

粗いサンプリングの変換ベクトルが格子状に並ん

でいる場合、単純でより有効な補間方法は線形補聞

を用いる方法である。画像が2次元の場合、 X方向と

y方向]の2方向が存在するので線形補間もそれぞれ

2方向で行なう。これを双線牙分前間と呼ぶ。 I次元で

考えると、図4 (a) に示すように、 f (XO) と f (Xl) の

間にあるf(X) の値は、 XoくXく Xl とするときとなる。このように比較的近い点から単純に計算す

ることができるので、特に2次元以上の補間では多く

の場合に利用されている。

1 ・4 3次多項式補間

より正確に補聞を行なう方法が3次多項式補間

である。 1次元で考えると、図5 (a) に示すように、

f (XO) と f (Xl) の間にあるf(X) の値は、 f (X-l ) と f (X2)

の値も利用して、 X_l<XO<Xく Xlくむとするとき

)

'EA

's・、

となる。 2次元の場合は図4 (b ) に示すように、 f (XO.

Yo) 、 f (Xl.YO) 、f(xo・Yl) 、 f (Xl.Yl) の4点に固まれた

f (x.Y) の値は、 XO<X<Xl 、 Yo<yくれとするとき

f(叫= 去三 f(xo) +手ま f(Xl)

(2) f(x.y)= Wωf(xo.Yo) + WIO ・ f(Xl .YO)

+ WOl . f(XO .Y l) + Wll ・ f(Xl.Y l)

(4) f(x) = w-1f (x-l) + wof(xo) + w 1f(Xl ) + w2f(X2) となり、ここで

となり、ここで

ィ二子

X成分

補間した変換ベクトル

ムUv

小jil

小11

小Ila-A

E

ー

ホll

糸lIAla

小

A

A--Al

小

AAV

A

l

A'

A

A

v

w

v

am

<

vvlv

tJV

AVψ1ψllv

Vψ

svlψ1

1ψ

iwvfιwat-wv 変換ベクトル

間補

図6. 粗いサンプリングの変換ベクトルを用いた逆変換の手順

逆変換ベクトルが求まっている場合、変換ベクトルをx成分とy成分に分けて、それぞれで・補聞を行ない間の成分を算出する。補聞を

行なった変換ベクトルを用いて、函像の逆変換を行なう。画像の逆変換の際も補聞を用いることになる。

断層映像研究会雑誌第35巻第2号124- (42)

qh

2

トの)

一し

F-E

且

“い

Jiq

一

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mh

一h

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uul+

二「

(+H

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x

一X

-

6EE-

-

一i

Jt

一Jt=

I

一11

τ1

11

一6ド

=

=

=

=

-A0

・a

内4

w

w

w

w

となる。 2次元の場合は図5 (b) に示すように、周り

の16点の値からX方向とy方向にそれぞれ3次多項

式補聞を行なって、聞のf (x.y) の値を求める。一般

式は省略するが、各方向に順番に行なう場合、 1つ

目の方向 (例えばx方向) に4回行ない、 2つ目の方向

(例えばy方向)に1回行なえば値が求まる。

2. ベクトル表現からの逆変換の検証

ベクトル表現からの逆変換の方法は、図6に示すよ

うに、変換ベクトルが粗いサンプリングで求まって

図7. MRI画像の原画像

叩

ヌ月?I ;巧万万万万

万月月?f ;守月万月

，.71?f.7f，.71/1.;噌?I?f

?f月万万月万万月

万?f ;巧万万万万月

?1?1?1/1/'1/'1?1?1

?I ?I ，，;方月月万月?f

J勾月万万/1 ?1 ;堵月

生グ ". ". .グ ~ IC ~ J!グ

". ".ι~ K' l:.グ ι~ K' 1::.グ

I! K' JC J.ど". ".".ど

~JC K'K'iCK'1!1C

企~ I! JC JC JC JC JC iC

企， ".ι， .グ ι~ JC JC ιr

'" ". ".どどどどど

JCJCJCJCJCJC ι， '"

図8. 平行移動したMRI画像とベクトル画像

(a) 図7の画像をx方向に15画素、 y方向に10函素平行移動

した画像。

(b ) 平行移動の順変換ヘクトルの画像。

(c) 平行移動の逆変換ベクトルの画像。

2008年9月 10 日

連続講座・断層映像法の基礎第25回 : 篠原広行、他

いる状態から、それをX方向の成分とy方向の成分に

分ける。それぞれの成分で、 1章で述べた補間方法を

用いて、サンプリングの聞のX成分と y成分をそれ

ぞれ求める。細かく求まった変換ベクトルから逆変

換を行なう。逆変換をする際にも、画像の値に補聞

を用いて逆変換後の画像を求める。画像の補聞には

2次元の3次多項式補聞を用いた。

図7に示す256 x 256画素のMRI画像に対して、

それぞれの節で示す移動を行なった画像に対して

逆変換を行ない、どの程度戻すことができるかを

検証する。その際、戻した画像と図7の原画像との

差分画像を示して、逆変換の誤差を視覚的に見る

ことにする。

(5)

2-1 平行移動

図7の画像をX方向lこ 15画素、 y方向に10画素平行

移動した画像を図8 (a) に示す。また、もとの画像の

格子上に求めた順変換ベクトルと逆変換ベクトルを

同阿

図9. 変換ベクトルの補間した成分と逆変換したMRI

画像と原画像との差分画像

(a) 粗いサンプリングの変換ベクトルから補間したx成分 (上

半分)とy成分 (下半分)の画像。

(b ) 逆変換した画像。

(c) 図7で示した原画像と (b ) の画像との差分画像。

125- (43 )


図10. 回転移動したMRI画像とベクトル画像

(a) 図7の画像を時計回りに20度回転移動した画像。

(b ) 回転移動の順変換ベクトルの画像。

(c ) 回転移動の逆変換ベクトルの画像。

それぞれ図8 (b) 、 (c) に示す。変換ベクトルは8x8

個のみ既知であるとする。その8x8倒の変換ベクト

ルを用いてもとの画像を作成する逆変換を行なう。

もとの画像上で求められている図8 (c) の逆変換ベク

トルから最近傍補聞を利用して変換ベクトルを補間

市

図11. 回転移動の変換ベクトルを最近傍補聞を用いて

聞を埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルσ)x成分 (上半分) とy成分 f下半分)。

(b) 逆変換した画像。

(c) 原画像との差分画像。

126. (44 )

したベクトルのx成分と y成分の値を画像で、図9 (a)

に示す。図9 (a) に示した画像は、上半分がx成分の

値で、下半分がy成分の値になっている。平行移動の

場合、変換ベクトルのX成分とy成分は画像上で、それ

ぞれ一定の値になるので、補間方法にはよらずどの

方法でも同じ結果になる。逆変換を行なった画像と、

原画像との差分画像を図9 (b) 、 (c) に示す。差分画像

を見ると分かるように、きれいに逆変換されている。

平行移動の場合は、他の補間方法でも同じ結果にな

るので、結果は省略する。

2-2 回転移動

図7の画像を時計回りに20度回転した画像を図10

(a) に示す。また、もとの画像の格子上に求めた順変換

ベクトルと逆変換ベクトルをそれぞれ図10 (b) 、 (c)

に示す。図10 (c) の逆変換ベクトルから最近傍補聞

を利用して変換ベクトルを補間したベクトルのX成

分とy成分の値を図11 (a) に示す。回転移動の場合、

変換ベクトルのx成分とy成分は異なる方向に線形的

に変化する。よって最近傍補間の場合、変化がモザ

イク状になる。その変換ベクトルを用いて逆変換を

行なった画像と、原画像との差分画像を図11 (b) 、 (c)

川戸

図12. 回転移動の変換ベクトルを双線形補聞を用いて

聞を埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルσ)x成分 L上半分) とy成分 (下半分)。



断層映像研究会雑誌第35巻第2号

に示す。変換ベクトルがモザイク状になっているため、

画像の変換もうまくいかなくなる。

図10 (c) の逆変換ベクトルから双線形補聞を利用

して変換ベクトルを補間したベクトルのx成分とy成

分の値を図12 (a) に示す。回転移動の場合、変換ベ

クト jレのX成分とy成分は線形的に変化しているの

で、線形補間を用いれば精度よく補間できることに

なる。よって双線形補聞の場合、きれいに変換ベク

トルを再現できている。その変換ベクトルを用いて

逆変換を行なった画像と、原画像との差分画像を

図12 (b) 、 (c) に示す。差分画像を見ても分かるように、

逆変換の誤差が小さい。

図10 (c) の逆変換ベクトルから3次多項式補聞を

利用して変換ベクトルを補間したベクトルのX成分

とy成分の値を図13 (a) に示す。線形補間と同様に

補間できているように見える。その変換ベクトルを

用いて逆変換を行なった画像と、原画像との差分画

像を図13 (b) 、 (c) に示す。差分画像を見ると上下

左右の端の方で査みが生じている。これは、 3次多項

式補聞が近接16点を用いているので、今回のような

8x8点の粗いサンプリングの場合、画像からはみ

出た補間用の点が内側に景タ響しているために歪みが

同戸

図13. 回転移動の変換ベクトルを3次多項式補聞を用い

て聞を埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルのx成分 (上半分) とy成分 f下半分)。



2008年9月 10 日

連続講座・断層映像法の基礎第25回 : 篠原広行、他

生じてしまう。中央付近では、良好な補間精度を

示しているので、もっとサンプリングの点が多けれ

ば歪みはなくなり、全体的にも良い補間精度になる

と考えられる。

ノピノKJz←tFEヘヘヘ

〆ピど守

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ヘ

rdv，uvub4e

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bnb町、骨、

SiveψLVιトふ小

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、UW町、過多今万戸例/

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\ヘ'\ t t /'ノ/\K、 " .炉供ガ〆方/

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-.... ~ιA 台、参~

同」川

/~ "ψ 」初、、当、、

/〆，; ~ \，、、\

/ I / I ¥ ¥ ¥ ¥

図14. 縮小したMRI画像とベクトル画像

(a) 図7の画像を0.8倍した画像。

(b) 縮小の順変換べ.クトルの画像。

(c) 縮小の逆変換ベクトルの画像。

川戸

図15. 縮小の変換ベクトルを量近傍補聞を用いて聞を

埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルのx成分 (上半分) とy成分 (下半分) 。



127- (45 )


2-3 拡大縮小

図7の画像を 0.8倍した画像を図14 (a) に示す。

また、もとの画像の格子上に求めた順変換ベクトル

と逆変換ベクトルをそれぞれ図14 (b) 、 (c) に示す。

図14 (c) の逆変換ベクトルから最近傍補聞を利用し

て変換ベクトルを補間したベクトルのX成分とy成分

の値を図15 (a) に示す。拡大縮小の場合、変換ベク

トルのx成分はx方向に線形的に変化し、 y成分はy方

向に線形的に変化する。よって最近傍補間の場合、

変化がそれぞれの成分で縞模様になる。その変換

ベクトルを用いて逆変換を行なった画像と、原画像

との差分画像を図15 (b) 、 (c) に示す。変換ベクトル

が縞模様になっているため、画像の変換もうまく

いかなくなる。


して変換ベクトルを補間したベクトルのX成分とy成

分の値を図16 (a) に示す。拡大縮小の場合、変換

ベクトルのX成分とy成分はその方向に線形的に変化

するので、線形補聞を用いれば精度よく補間できる

ことになる。よって双線形補間の場合、きれいに

変換ベクトルを再現できている。その変換ベクトル

図16. 縮小の変換ベクトルを双線形補聞を用いて聞を

埋めた場合

(a) 補間した変換ベクトルのx成分 (上半分) とy成分 (下半分)。



128 -(46 )

を用いて逆変換を行なった画像と、原画像との差分

画像を図16 (b) 、 (c) に示す。差分画像を見ても分か

るように、逆変換の誤差が小さい。


利用して変換ベクトルを補間したベクト jレのX成分

とy成分の値を図17 (a) に示す。その変換ベクトル

を用いて逆変換を行なった画像と、原画像との差分

画像を図17 (b) 、 (c) に示す。差分画像を見ると回転

移動のときと同様に上下左右の端の方で歪みが生じ

ている。これは、回転移動のときと同じ理由である

と考えられる。

移動、回転、拡大縮小の変換は、変換ベクトルのx成

分とy成分で、考えると、いず、れも線形的な変化にとどま

るので、サンプリングの粗い変換ベクトルを補間する

場合は、線脇市聞を用いれば十分であることが分かる。

3. 非線型変換と逆変換

非線型変換であっても変換ベクトルが格子状に

並んでいる場合は、線形補間と 3次多項式補聞を

用いることができる。非線型変換の変換ベクトルを

川一同

図17. 縮小の変換ベクトルを3次多項式補閣を用いて

聞を埋めた場合

(a) 補間した変換ベクトjレのX成分 (上半分) とy成分 (下半分)。





ル成分である。図18 (c) に示した8x8個の逆変換

ベクトルを用いて逆変換を行なう。

図18 (c) の逆変換ベクトルから最近傍補聞を利用

して変換ベクトルを補間したベクトルのX成分とy成

分の値を図19 (a) に示す。今回の非線形変換の場合、

最近傍補間では、変化が幅の異なる縞模様になる。

その変換ベクトルを用いて逆変換を行なった画像と、

原画像との差分画像を図19 (b) 、 (c) に示す。変換

ベクトルが縞模様になっているため、画像の変換も

うまくいかなくなり、途中で不連続点が生じる。


して変換ベクトルを補間したベクトルのx成分とy成

分の値を図20 (a) に示す。線形補間では、割ときれ

いに再現されているが、値の直線状の変化しか表現

できない。その変換ベクトルを用いて逆変換を行なっ

た画像と、原画像との差分画像を図20 (b) 、 (c) に

示す。差分画像を見ても分かるように、線形変換に

比べ逆変換の誤差は大きい。


利用して変換ベクトルを補間したベクトルのX成分

とy成分の値を図21 (a) に示す。 3次多項式補間では、

( 作一 128)x(x,y) = 10 x sin(2 π ・~一 )(6)

Vy (x,y) =10 x sin(4π ・位二旦里) ) Y'~'J , ~... ，. .. 256

として非線型変換を行なった画像と変換ベクトルを

それぞれ図18 (a) 、 (b) 、 (c) に示す。ここで、 Vx (x. y)

はx方向のベクトル成分で、Vy (x ，y) はy方向のベクト

"" ;::f " '" ,.. t'I' ~ It-, .方 4 ト令駅.

司法浩司ル 4包~ "

"'1 :, " "1 ，.. ・'" ~ '" '司方方， .京駅ト

... ，込~ 41 ... A包~ "

ト守で守守 . , . 方，

ト駅~ .司. . ,

同戸

ト守守電守ト 4 方方，

. .守府，... .... ';If " ""

図18. 非線形変換を行なった画像とそのベクトル画像

(a) 図7の画像を非線形変換した画像。

(b) 非線形変換の順変換ベクトルの画像。

(c) 非線形変換の逆変換ベクトルの画像。

山戸

同」川

図20. 非線形変換の変換ベクトルを双線形補聞を用いて

聞を埋めた場合

(a) 補間した変換ベクトルのX成分 (上半分) とy成分 (下半分) 。



図19. 非線形変換の変換ベクトルを震近傍補聞を用いて

聞を埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルのx成分 (上半分) とy成分 (下半分) 。

(b ) 逆変換した画像。


12 9.(47) 2008年9月 10 日


値の曲線状の変化も表現されている。その変換ベク

トルを用いて逆変換を行なった画像と、原画像との

差分画像を図21 (b) 、 (c) に示す。差分画像を見ると

上下左右の端の方で線形移動の時に見られた歪み

が生じているが、中央付近では線形補間よりも補間

精度が上がっている。サンプリングの数には左右

されるが、非線形変換の場合は、線形補間よりも3次

多項式補聞を用いた方がより正確に再現できると

考えられる。

謝辞:本研究で使用したプログラムの開発は平成

17年度~平成20年度首都大学東京共同研究費(富士

フィルムRIファーマ株式会社)、および平成20年度

首都大学東京傾斜的配分研究費によるものである。

130 -(48)

同一同

図21 回非線形変換の変換ベクトルを3次多項式補聞を

用いて聞を埋めた場合(a) 補間した変換ベクトルのx成分 (上半分)とy成分(下半分)。


(c ) 原画像との差分画像。


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ノノ画像の格子点も一緒に描いている。 図1 (a) は順変換 を図1 (b)...

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ノノ画像の格子点も一緒に描いている。図1 (a) は順変換を図1 (b)...