EXERCICES D’ELECTROTECHNIQUE Prépa CAPES Physique

Luc Lasne, 29/10/2008 Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé Exercice 1 : Charge monophasée On considère la charge monophasée représentée sur la figure ci contre, placée sous une tension sinusoïdale de valeur efficace V=230 V et de fréquence 50 Hz.

1) Calculer la valeur efficace 1I du courant circulant dans la résistance 1R .

2) Calculer la valeur efficace 2I du courant circulant dans la résistance 2R .

3) Calculer la valeur efficace I du courant absorbé par l'ensemble de ce circuit. 4) Calculer la valeur des puissances active P, réactive Q et apparente S relatives à ce circuit. 5) En déduire la valeur du facteur de puissance de cette charge. Exercice 2 : Diviseur de courant Du circuit représenté ci-contre, on ne connaît que la valeur du courant total absorbé : I=2,5 A ainsi que les valeurs des impédances notées sur la figure. 1) Calculer la valeur de la tension efficace V appliquée à cette charge.

2) En déduire les valeurs de 1I et 2I . 3) Retrouver ces valeurs par l’application de la formule du diviseur de courant (les admittances seront

directement calculées à la calculatrice en calcul complexe). 4) Représenter l’intégralité des grandeurs sur un diagramme de Fresnel. 5) Ecrire l'expression littérale de la puissance active P et de la puissance réactive Q consommées par cette

charge. Faire l’application numérique. 6) Calculer les éléments du circuit le plus simple équivalent à cette charge. Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes Dans cet exercice, on s’intéresse à la détermination des grandeurs électriques relatives au récepteur monophasé représenté sur la figure ci-contre. Le générateur est une source de tension sinusoïdale idéale. La grandeur

complexe V représente ainsi une tension sinusoïdale de valeur efficace

V 130=V et de fréquence Hz 50=f .

7) Calculer la valeur numérique de l’impédance complexe BMZ équivalente aux deux branches de sommets B

et M.

8) Calculer alors l’impédance complexe AMZ équivalente à l’ensemble de la charge.

9) Calculer la valeur efficace du courant I .

10) Calculer ainsi les valeurs de la puissance active et réactive totales consommées par le circuit. NB : Ce calcul peut être mené de plusieurs manières différentes. Toutes les démarches seront acceptées à condition que le résultat soit juste.

11) Calculer le facteur de puissance global de ce récepteur (préciser si le déphasage est « arrière » ou « avant »).

12) En utilisant les question 1 et 3, calculer également la valeur efficace de la tension BMV .

13) En déduire les valeurs de 1I et 2I .

14) Peut on dire de façon générale que 21 III += ? Cette égalité est elle vérifiée ici ? Pourquoi ?

15) Ecrire l’équation de maille qui relie V , I et BMV .

16) Représenter alors sur un diagramme de Fresnel sans échelle particulière les vecteurs V , I , BMV , 1I et

2I .

V

I1

10 Ω

1/j0,002

I2 j.40 Ω

4 Ω I

V

I L=20mH

R2=10Ω R1=20Ω

V

30 Ω I

I2

j.15 Ω j.30 Ω

60 Ω

I1

2 Ω B

M

A

M

VBM

Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire On considère dans cet exercice un dipôle récepteur « non linéaire ». Alimenté sous la tension sinusoïdale du réseau électrique, il consomme un courant non sinusoïdal représenté sur la figure ci-contre. Les angles caractérisant l’allure de ce courant représentent la grandeur θ=ωt qui apparaît dans l’expression de la

tension du réseau électrique : )sin(.2. tVVr ω= (supposée à

l’origine des phases, avec V=230 V,ω=2π×50 rad/s). 17) Déterminer l’expression du courant et de la tension efficaces

consommés par ce récepteur. 18) En déduire l’expression de la puissance apparente S

associée. 19) Calculer l’expression littérale de la puissance active

consommée. 20) En déduire le « facteur de puissance » : k=P/S associé. Quel

peut être l’intérêt de ce facteur ? 21) A t’on alors intérêt de véhiculer des courants non sinusoïdaux sur les réseaux électriques ? Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive Un atelier monophasé est constitué de trois ensembles de machines, constituant les charges 1, 2 et 3, mises en parallèle sur la même tension sinusoïdale à 50 Hz de valeur efficace V=230 V. On récapitule dans le tableau ci-dessous les mesures faites sur chacune de ces charges.

Charge 1

kW201=P

kVAR151=Q

Charge 2

kVA452=S

AR6,0cos 2=ϕ

Charge 3

kVA103=S

kVAR53 −=Q

1) Calculer pour chaque charge l'ensemble des grandeurs électriques la caractérisant : courant absorbé,

puissances actives réactives et apparente, facteur de puissance. On notera ces grandeurs 1I , 2I , 3I , 1P , 2P , etc.

2) En déduire la valeur de la puissance active totale P et de la puissance réactive totale Q consommées par la charge totale. calculer également la puissance apparente totale S , le facteur de puissance global ainsi que le courant total absorbé : I.

3) Représenter dans le plan complexe les courants 1I , 2I , 3I et I . On réalisera un diagramme sans échelle

mais sur lequel les amplitudes et déphasages des vecteurs seront notés. On prendra comme référence de

phase la tension V .

4) Représenter la construction du triangle des puissances de l'ensemble de ces charges. 5) On désire, en plaçant un condensateur C' en parallèle sur l'installation relever le facteur de puissance à la

valeur : AR9,0'cos =ϕ . Calculer la valeur de C'.

6) Calculer également la valeur C'' d'un condensateur permettant d'obtenir un facteur de puissance AV9,0''cos =ϕ .

7) Le facteur de puissance ayant la même valeur dans les deux cas, quel condensateur choisit on en pratique ?

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

θ (deg)

i(t)

v(t)

I 0=10 A

Récepteur Non Linéaire v(t)

i(t)

Partie 2 : Circuits triphasés Exercice 1 : Triphasé , Charges Y et ∆∆∆∆ .

On considère une charge triphasée équilibrée constituée de trois impédances identiques 20.10. jeZZ j +== ϕ

câblées en étoile sur un système de tensions triphasées 230 V / 400 V. 1) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions simples

( 1V , 2V , 3V ) et les tensions composées (12U , 23U , 31U ).

2) Quelle relation relie les valeurs efficaces U et V de ces tensions ? 3) Calculer l'expression littérale et la valeur du courant efficace I absorbé par chaque phase. 4) Préciser la valeur du déphasage courant / tension sur chaque phase. Préciser alors les expressions et les

valeurs des puissances active et réactive consommées par cette charge.

On considère à présent trois impédances 60.30'.' ' jeZZ j +== ϕ câblées en triangle sur le même système de

tensions triphasées. On appellera J' le courant de phase efficace circulant dans les impédances 'Z . On appellera

I' la valeur efficace du courant de ligne. 5) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions composées

( 12U , 23U , 31U ).

6) Quelle relation relie I' et J' ? Calculer alors les expressions et les valeurs de I' et J'. 7) Préciser l'expression et les valeurs des puissances active et réactive absorbées par cette charge.

8) Ces résultats auraient ils pu être prévisibles étant donnés les valeurs de Z et 'Z ?

9) Représenter sur un diagramme de Fresnel les tensions simples ( 1V , 2V , 3V ), les tensions composées

( 12U , 23U , 31U ) ainsi que les trois courants de ligne : (1I , 2V , 3V ) . NB : Il n’est pas nécessaire de

respecter d’échelle précise mais en revanche de préciser sur le diagramme les grandeurs nécessaires à la compréhension.

Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés On considère le système triphasé 230/400 V représenté sur la figure ci contre. On donne la valeur des impédances :

)( 301 Ω= jZ , 102 jZ −= et 203 jZ = .

10) Le neutre étant relié, calculer rapidement les valeurs

efficaces des courants de ligne : 1I , 2I et 3I . 11) Représenter, sur un diagramme sans échelle dans le plan complexe, les tensions simples sur les charges

'1NV , '2NV et '3NV ainsi que les courants de ligne

complexes. A quel type de déséquilibre a t’on affaire (courant, tension , …) ?

12) Par accident le conducteur de neutre et la « phase 3 » sont rompus ; on représente le schéma correspondant sur la figure ci contre. Quelle relation relie alors les courants I1 et I2 ?

13) Ecrire la relation complexe qui relie la tension 12U au

courant I1.

14) Calculer alors la valeur efficace I1 ainsi que le déphasage de I1 par rapport à 12U .

15) Ecrire les expressions littérales complexes des tensions '1NV et '2NV en fonction du courant I1.

16) Calculer alors les valeurs efficaces '1NV et '2NV ainsi que leurs déphasages par rapport à 12U .

17) Représenter dans le plan complexe les grandeurs suivantes : 12U , 23U , 31U , '1NV , '2NV , 1I et 2I . Pour

cette question, on ne prendra pas d’échelle particulière, cela dit les angles remarquables devront être respectés et les amplitudes relatives à peu près respectées.

I1 Z1

V1

V2

V3

N N'

I2

I3

Z2

Z3

U12 V1N'

V2N'

V2N'

I1 Z1

V1

V2

V3

N N'

I2

Z2

Z3

U12 V1N'

V1N'

Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel Dans cet exercice on s’intéresse à l’installation électrique de la tour Eiffel qui, avec ses 5 ascenseurs, ses 10000 ampoules, son relais radio, ses restaurants et boutiques, représente un lieu important de consommation électrique. Pour en faire l’étude, on considère le schéma électrique simplifié, correspondant à l’installation triphasée, représenté sur la figure ci dessous. Attention : On considère dans l’exercice que toutes les charges sont équilibrées. Par ailleurs, les puissances indiquées correspondent au fonctionnement en plein régime des diverses charges. 1) Quelle relation relie la valeur efficace des tensions simples V à celle des tensions composées U ? Quelle est

alors la valeur des tensions composées U ? 2) Calculer les puissances active et réactive totales correspondant au fonctionnement simultané des 5

ascenseurs (de 100 kW chacun) : aP et aQ .

3) Les 3000 ampoules flash sont tributaires d’un facteur de puissance de 0,5. Calculer alors la puissance

réactive 2eQ qu’elles consomment en plein régime.

4) Calculer également les puissances réactives cdQ et rQ consommées respectivement par les circuits divers

(cosϕ=0,9) et par l’antenne Radio (cosϕ=0,7) en plein régime.

5) Calculer alors la puissance active totale tP et la puissance réactive totale tQ correspondant au

fonctionnement en plein régime de la tour Eiffel. 6) En déduire la valeur du courant de ligne I consommé en tête de l’installation et la valeur du facteur de

puissance global. 7) Calculer l’énergie (en kWh) consommée en une journée par cette installation en considérant les points

suivants (NB : 1 kWh = 1kW consommé pendant 1h.) : Eclairages : plein régime 8h/24h

Ascenseurs : plein régime 12h/24h

Circuits divers : plein régime 16h/24h

Antenne Radio/TV : plein régime 24h/24h

8) Calculer alors le prix d’une journée d’alimentation électrique sachant que 1kWh = 0,1€. En raison de la hauteur de l’édifice, les diverses charges sont distantes des transformateurs d’une distance moyenne de 150 m. Le schéma monophasé équivalent de l’ensemble de l’installation, représenté sur la figure ci contre fait alors apparaître une résistance R, équivalente aux câbles, qui s’interpose entre la tension d’EDF et la charge équivalente à l’installation. 9) Calculer le courant de ligne correspondant à la puissance en régime moyen MW1=P . Attention : cette

puissance est la puissance totale du système triphasé. 10) Calculer alors les puissances active et réactives produites par EDF dans ce cas. En déduire la valeur de la

tension produite par EDF permettant de fournir 230 V à la charge.

Charge équivalente

cosϕ=0,8

R=10mΩ

230V VEDF

I1

V1

V2

V3

V1=V2=V3=V=230V

N I2

I3

Moteurs

1

2

3

Eclairage 1 7000 ampoules

simples : Pe1=140 kW

U12 Triphasé équilibré fourni par

EDF Circuits

divers Antenne

Radio/TV

Eclairage 2 3000 ampoules

flash : Pe2=60 kW

cosϕ=0,5 AR

Ascenseurs 5 Ascenseurs

de 100kW cosϕ=0,8 AR

Circuits Divers Pcd=700 kW

cosϕ=0,9

Relais Radio/TV Pr=72 kW

cosϕ=0,7 AR

Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques On considère un tronçon de réseau électrique de 100 km de long reliant une centrale de production à une région de consommation. La centrale est représentée par un générateur triphasé équilibré direct (TED), supposé parfait, de tension entre phase 'U . La ligne est

modélisée par une résistance et une inductance à déterminer. L’ensemble des consommateurs est représenté par une « charge » supposée équilibrée consommant au maximum 300 MégaWatts. Le schéma électrique correspondant est représenté sur la figure ci contre. 1) La tension « entre phases » au niveau de la charge vaut : kV 400=U . En déduire la valeur des tensions

simples correspondantes : V .

2) La charge consomme, au maximum, les puissances MW 300=P et MVAR 001+=Q . Calculer les

valeurs correspondantes de la puissance apparente S et du facteur de puissance associés à cette charge. 3) Calculer alors la valeur du courant de ligne I consommé sur chaque phase par la charge. 4) La ligne présente, sur chaque phase, une résistance linéique de 0,05 Ω/km et une réactance linéique de 0,3

Ω/km. Calculer alors les valeurs de la résistance de ligne r et de la réactance de ligne ωl . NB : le terme « linéique » signifie « par unité de distance ».

5) En déduire, par un bilan de puissance, les valeurs de la puissance active totale tP et de la puissance réactive

totale tQ fournies par la centrale de production.

6) Calculer alors la valeur de la puissance apparente totale tS . En déduire la valeur de la tension simple 'V et

de la tension composée 'U que la centrale doit fournir.

7) Représenter le schéma monophasé équivalent de ce système triphasé (c’est à dire le circuit que représente une des phases). Préciser la relation de maille relative à ce schéma.

8) Réaliser alors un diagramme de Fresnel sans échelle représentant les vecteurs V , I , Ir . , Ilj .. ω et 'V (on

pourra organiser les différents vecteurs de façon à réaliser la construction vectorielle correspondant à la loi des mailles).

9) La puissance active consommée par la ligne de transport représente une perte. Calculer alors la valeur du rendement du système (on considèrera que la puissance utile est P ).

10) Calculer alors la valeur maximale de la longueur de la ligne permettant au rendement de rester supérieur à 90%.

Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs Exercice 1 : Circuit magnétique Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique très commun, représenté en coupe sur la figure ci contre, pouvant servir à réaliser des inductances ou des transformateurs monophasés. L’objectif de l’exercice est de déterminer le nombre de spires N à bobiner pour en faire une inductance

mH 20=L . On donne les dimensions et caractéristiques suivantes :

cm 301=l , cm 102=l , cm 303=l , cm² 20321 === SSS , perméabilité relative : 1500=rµ .

1) Que représente la grandeur notée ε sur le schéma équivalent ?

2) Donner les expressions et calculer les valeurs des réluctances 1ℜ , 2ℜ et 3ℜ .

3) Calculer la réluctance ℜ équivalente au circuit magnétique (on s’aidera du schéma équivalent représenté sur la figure 1).

4) Calculer alors le nombre de spires N à bobiner pour réaliser une inductance mH 20=L .

φ1

φ2

φ3

φ3 φ2

φ1

N

I ε

ℜ1

ℜ2 ℜ3 V

Charge P=300 MW

Q=100 MVAR

r jlω

r

r

Ligne (100km)

1

2

3

Centrale de production

U12

U23

1

2

3

U’ 12

I

jlω

jlω N N

V’ 1

V’ 3

Cette inductance est destinée à être utilisée en régime alternatif sinusoïdal, à la fréquence Hz 400=f On

cherche à déterminer le courant efficace maximal qu’elle pourra supporter sans saturer. 5) Enoncer la « relation Tension/Fréquence/Induction » qui relie la tension efficace V (aux bornes du

bobinage) à la valeur maximale maxB de l’induction et à la fréquence f .

6) Quelle relation relie la tension complexe V et courant complexe I ? En passant aux modules, quelle

relation relie alors V à la valeur efficace du courant I ? 7) En se servant des deux dernières questions calculer la valeur efficace du courant I permettant de ne pas

dépasser T 5,1max=B au sein du bobinage.

8) Pour pouvoir augmenter la valeur de ce courant, on pratique un entrefer d’épaisseur mme 1= dans la branche « 1 » du circuit magnétique. Calculer alors la nouvelle valeur de la réluctance équivalente.

9) Calculer ainsi la nouvelle valeur de l’inductance obtenue et le nouveau courant efficace maximal.

(permettant toujours de ne pas dépasser T 5,1max=B au sein du bobinage).

Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique homogène sur lequel sont bobinés deux enroulements.

Le bobinage 1 comporte 1N spires et est placé sous la tension

sinusoïdale 1v , le bobinage 2 comporte 2N spires et est

considéré comme ouvert dans un premier temps. Une coupe du circuit magnétique et la disposition des bobinage sont représentés sur figure ci contre. L’objectif de l’exercice est de déterminer les relations existant entre les tensions et les courants des deux bobinages. On donne les dimensions et caractéristiques suivantes : Longueur moyenne du circuit magnétique : l=50 cm, Section : S=20 cm², perméabilité relative : µr=1500 S.I. 1) Rappeler la formule « tension / induction / fréquence » énoncée dans le cours.

2) On souhaite placer le bobinage 1 sous une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace V 2301=V à la

fréquence Hz 50=f . Calculer le nombre minimal de spires 1N permettant de ne pas dépasser la valeur

d’induction maximale T 8,1max=B dans le matériau magnétique.

Dans toute la suite du problème on considèrera la valeur fixe : 3001=N spires.

3) Calculer la réluctance ℜ du circuit magnétique.

4) Ecrire l’expression du flux circulant dans le circuit magnétique : φ en fonction de ℜ , 1N et 1i .

5) Préciser l’expression et la valeur de l’inductance que représente le bobinage 1 : 1L . 6) Quelle relation vérifie cette inductance ? 7) Calculer l’expression et la valeur de l’inductance mutuelle M existant entre les deux bobinages sachant

qu’elle vérifie la relation : 12 .iMT =φ où T2φ est le flux total intercepté par le bobinage 2.

8) En écrivant la loi de Lenz pour chacun des bobinages, écrire les expressions des tensions 1v et 2v en

fonction de dtdi1

.

9) En déduire l’expression du rapport 1

2

vv . Calculer alors le nombre de spires 2N permettant à la tension 2v

de présenter une valeur efficace V 1272=V .

On considère maintenant que le bobinage 2 est connecté à une résistance Ω 50=R .

10) En supposant la tension 2v de valeur efficace V 1272=V , calculer la valeur efficace du courant 2i : 2I . 11) Représenter le schéma équivalent du circuit magnétique faisant apparaître la réluctance et les diverses forces

magnétomotrices. On portera une attention particulière aux sens conventionnels des flux et des « fmm ».

12) En écrivant la relation de maille sur ce schéma équivalent, écrire l’équation qui relie 1i , 2i et φ .

13) En supposant que le terme φℜ est négligeable dans cette relation, quelle est l’expression du quotient 1

2

ii ?

Quelle relation existe t’il entre les puissances instantanées 11.iv et 22.iv ?

φ

N1

i1

v1 N2 v2

i2

bo

bin

age 1

bo

bin

age 2

~

Exercice 3 : Transformateurs en cascade Un ensemble de distribution d'énergie électrique sous tension sinusoïdale à 50 Hz est représenté, en schéma monophasé équivalent, sur la figure ci dessous. Les transformateurs représentés sont considérés comme parfaits

et les rapports de transformations connus : 310.2 −=m et 100'=m .

Les éléments d'imperfection des transformateurs et de la ligne sont ramenés à la résistance r et à l'inductance l. La charge consomme, par phase, une puissance de 500 kW sous 230 V et avec un facteur de puissance 8,0cos =ϕ arrière.

1) Calculer la valeur du courant 2I .

2) En déduire la valeur du courant 1I et calculer la valeur de 1V . 3) Représenter un diagramme de Fresnel faisant apparaître toutes les grandeurs de la maille centrale.

4) Calculer alors la valeur de la tension 'V en faisant une hypothèse de colinéarité des tensions 1V et 'V .

5) En déduire la valeur de la tension V nécessaire à assurer 230 V en bout de ligne. 6) Reprendre les deux dernières questions en faisant un bilan de puissances actives et réactives. Conclure sur

l'hypothèse faite à la question 4.

V1

I1

V

r= 100 Ω lω=300 Ω

m'

V' ~

m

V2

I2 I

Charge Ligne Générateur

Partie 4 : Moteur à courant continu Exercice 1 : Moteur à excitation réglable On considère une machine à courant continu utilisée en moteur. Le bobinage inducteur est alimenté par la source de tension de 110 V qui alimente également l'induit, à la différence que le courant inducteur est limité par la

résistance 1eR . L'installation est représentée sur la figure ci dessous.

U

I C , N (tr/min)

Ie

U=110 V

Re1

On donne : Résistance de l'induit Ω 5,0=R , Résistance de l'inducteur : Ω 040=eR

1) Le moteur fonctionnant à vide consomme le courant A 2,1=I . Calculer alors la valeur des pertes

mécaniques mP . Calculer également la valeur de la force électromotrice interne E.

2) Toujours à vide, et pour 01=eR , le moteur tourne à la vitesse de 1620 tr/min. Calculer le couple de pertes

mécaniques mC .

3) En déduire le coefficient k tel que I.I.kC e= . Vérifier que ce coefficient vérifie également la relation

Ω.I.kE e= . 4) On charge à présent le moteur en le faisant entraîner une dispositif mécanique (treuil, roue, ou autre…) qui

représente un couple résistant de 10 Nm s'ajoutant au couple de pertes (supposé constant). Calculer alors le courant absorbé.

5) En déduire la valeur de la force électromotrice E et de la vitesse de rotation du moteur N (tr/min).

6) On souhaite que cette charge soit entraînée à 1800 tr/min. Calculer alors la valeur de la résistance 1eR permettant d'obtenir cette vitesse.

Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice Une machine à courant continu à aimants permanents est utilisée en génératrice, entraînée par un ensemble

mécanique à la vitesse tr/min0300=nN . La tension nominale de la génératrice est V 022=nU , la puissance

nominale kW 20=nP et le rendement nominal : 8,0=η .

1) Représenter un schéma équivalent de la génératrice et de sa charge (utiliser une convention adaptée). 2) Calculer la valeur du courant nominal de la génératrice. 3) En déduire la valeur de la résistance d'induit si on néglige les pertes mécaniques de la machine. 4) Calculer alors la valeur de la tension à vide et de la tension à demi-charge, c'est à dire pour une puissance

fournie 2nPP= .

5) Calculer le rendement de la machine à demi-charge.

Corrections Luc Lasne, 29/10/2008

Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé Exercice 1 : Charge monophasée

1) A 5 ,1120230

11 ===

RVI

2) A 5,19)²50210.20(²10

230)².(² 32

2 =××+

=+

=− πωLR

VI

3) Impossible ici d'ajouter les valeurs efficaces calculées. Il est nécessaire de calculer l'impédance équivalente :

28,6.306,125.200

)10010.20()1020())10010.20(10.(20

)//( 3

3

21jj

jj

jLRR ++=π×++

π×+=ω+ −

−

4) On en déduit : A 85,29

²28,6²30

²6,125²200230

)//( 21=

++

=+

=ωjLRR

VI

5) kW 44,6²5,1910²5,1120².². 2211 =×+×=+= IRIRP

6) kVAR 39,2²5,1910010.20². 32 =××== − πω ILQ d'où kVA 86,6²² =+= QPS

7) 93,0²²

cos =+

==ϕQP

PSP

Exercice 2 : Diviseur de courant 1) On calcule par exemple l’impédance équivalente au circuit :

2,43.8,11)10.40//())002,0/1.(4( jjjZeq +=+−= . Ainsi : V 1125,2²2,43²8,11. =×+== IZV eq .

2) A 22,0²500²4

1 =+

= VI , A 7,2²40²10

2 =+

= VI

3) La formule donne bien sur le même résultat… 4) Voir schéma.

5) W73².10².4 21 =+= IIP , VAR 267².40².500 21 =+−= IIQ

6) Cette charge est équivalente à un circuit R-L (Q>0) dont les valeurs sont : Ω 7,11²/ == IPR et

Ω 7,42²/. === IQLX ω .

Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes

1) si 15.30 jZ += , 10.20.32.2// jZZZZBM +=== 10.20 jZBM +=

2) 10.22 jZAM +=

3) A 38,5²10²22

130 =+

==AMZVI

4) W7,636².22 == IP et VAR 4,289².10 == IQ

5) 91,0cos ==SPϕ AR

6) V 3,12038,5²10²20. =×+== IZV BMBM

7) A 79,1²30²60

1 =+

= BMVI et A 58,3²15²30

2 =+

= BMVI

8) De façon générale il n’y a pas égalité. Ici ça marche car les deux courants sont en phase.

9) BMVIV += .2

10) Voir schéma ci dessus.

V

I L=20mH

R2=10Ω R1=20Ω

V I

2.I VBM

I1

I2

ϕ

V

I

I1

I2

ϕ

I1

Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire

1) VVeff = , 33

²..1)².(1 00

0

IIdiIeff === ∫ ππθθπ

π

2) 3.. 0IVIVS effeff ==

3) πθθπθθθππ

π

π2...sin.2..1).().(1 0

3/2

3/

0

0

VIdVIdivP === ∫∫

4) 78,06=== πSPk

5) On n’a pas intérêt a faire circuler les courants non sinusoïdaux sur le réseau car ils sont l’origine de mauvais facteurs de puissance. Ici, le courant n’est pas déphasé par rapport à la tension, malgré cela le facteur de puissance n’est pas unitaire. Ceci est du à une forme de puissance appelée « puissance déformante »…

Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive 1) On détaille dans le tableau 1.2 ci-dessous l'ensemble des grandeurs électriques pour chaque charge, les

valeurs données dans l'énoncé étant encadrées. Charge 1 Charge 2 Charge 3

kW 201=P

kVAR 151=Q

kVA 2521

211 =+= QPS

A 7,10811 ==

VSI

0Qcar AR 8,0cos1

11 >==

SPϕ

°= 8,362ϕ

kVA 452=S

AR 6,0cos 2=ϕ

kW 27cos. 222 == ϕSP

kVAR 36sin. 221 == ϕSQ

A 7,19522 ==

VSI

°= 1,532ϕ

kVA 103=S

kVAR 53 −=Q

kW 66,823

233 =−= QSP

A 5,4333 ==

VSI

0Qcar AV 86,0cos3

33 <==

SPϕ

°−= 7,303ϕ

2) kW 55,66321 =++= PPPP , kVAR 46321 =++= QQQQ , kVA 72,222 =+= QPS ,

77,0cos ==ϕSP , A 314==

VSI

3) On représente le tracé ci dessous

V : 230 V / 0°

I1 : 108 A / 36,8°

Im

Re

I2 : 197,7 A / 53,1°

I3 : 43,5 A / 30°

ϕ1

ϕ2

ϕ3

I= I 1+ I2+ I3

I1

I2

I3

4) Le triangle des puissances de l'ensemble de ces charges est représenté ci dessous : Réactif

Actif P1

P2

P3

P

Q2

Q3

Q1

Q

S

ϕ

5) Avant de placer le condensateur : ϕ=++= tan.321 PQQQQ . Après avoir placé le condensateur C',

cosϕ''=0,9 AR d'où : 'tan)'tan(.321 CC QPPQQQQQ +ϕ=ϕ=+++= .

6) On en déduit : )tan')(tan(²'' ϕ−ϕ=ω−= PPVCQC , d'où mF 2,1²

)tan')(tan(' =−−=

VP

C ωϕϕ

7) Si on désire un cosϕ arrière, le signe de la tangente de l'angle final change, on écrit donc :

8) mF 4,2²

)tan)''tan(('' =−−−=V

PC ω

ϕϕ

9) On choisit en pratique le condensateur de valeur la plus faible par économie et afin d'éviter un surdimensionnement inutile.

Partie 2 : Circuits triphasés Exercice 1 : Triphasé : Charges Y et ∆∆∆∆ . 1) Voir schéma étoile ci contre :

2) VU .3=

3) A 28,10²20²10

230 =+

==ZVI

4) °=== 63,4rad 107,11020tanArcϕ

W3172cos...3 == ϕIVP

VAR 6340sin...3 == ϕIVQ

5) Voir schéma triangle ci contre :

6) '.3' JI = et A 96,5²60²30

400'

' =+

==ZUJ ainsi :

A 3,10'.3' == JI

7) W3190²)96,5(303'².).3 =××== JZRe(P

VAR 6394²)96,5(603'².).3 =××== JZIm(Q

8) Les puissances associées aux charges sont les mêmes aux arrondis de calcul près. C’est normal car ces deux charges sont les équivalents étoile / triangle (Ztriangle = 3*Zétoile)

9) Voir schéma ci contre : Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés

1) Le neutre étant relié, on écrit : 111 .IZV = , 222 .IZV = et 333 .IZV = . En passant aux modules :

A 66,7301

1 === VZVI , A 23

1022 === V

ZVI et A 1,51

2033 === V

ZVI

2) On représente les tensions et les courants sur la figure ci contre. On notera que l'impédance de la phase 1 est une inductance, celle de la phase 2 un condensateur et celle de la phase 3 encore une inductance. Les déphasages entre les courants correspondants et les tensions simples sont alors immédiats. Déséquilibre en courant

3) 21 II −=

4) 1121221112 .20.)..(... IjIZZIZIZU =+=−=

5) AUI 2020

1 == I1 est déphasé de –90° par rapport à 12.U .

6) 1221

222'212

21

111'1 U... U. ..

ZZZ

IZVZZ

ZIZV NN +−==+== donc : 22'212'1 .

21.et

23. IZVUV NN ==

7) V1N’=600 V et V1N’=200 V les déphasages sont tous les deux nuls…

I1 Z

V1

V2

V3

N I2

I3

Z U12

Z

I1’

Z’

V1

V2

V3

N I2’

I3’ Z’

Z’ U12

J’

I1 10,28A / 63° par rapport à V1

V1

V2 V3

I2

I3

U31

U23

U12 ϕ

I1

V1

V2 V3

I2

I3

8) Voir figure. La charge 1 est en surtension, la charge 2 en

sous-tension Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel

1) V 400.3 == VU

2) kW 500=aP , kVAR 375tan. == ϕaa PQ

3) kVAR 9,103tan.22 == ϕee PQ

4) kVAR 339tan. == ϕcdcd PQ kVAR 4,73tan. == ϕrr PQ

5) kW 1472=tP kVAR 3,891=tQ

6) 3V.IkVA 1720²² ==+= tt QPS kA 49,23

==VSI 85,0cos ==

SPϕ

7) kWh 20528247216700125008)60140( =×+×+×+×+=E en une journée

8) Une journée représente : 8,2052 € d’alimentation électrique

9) 3V.IMW 25,1cos

=== ϕPS d’où : kA 81,1

3V== SI

10) MW 098,1²..3PEDF =+= IRP MVAR 75,0tan.PQ EDFEDF == ϕ MVA 32,1SEDF= , ainsi :

V 8,2443

SV EDFEDF ==

I

Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques

1) kV 2303

== UV

2) kVA 22,316²² =+= QPS d’où : AR 94,0cos ==SPϕ

3) IVS ..3= d’où : A 3,4583

==VSI

4) Ω 510005,0 =×=r et Ω 301003,0 =×=ωl

5) MW 15,303²..3 =+= IrPPt et MVAR 9,118²..3 =+= IlQQt ω

6) MVA 6,325²² =+= ttt QPS et IVSt '..3= d’où kV 8,236.3

' ==I

SV t et kV 2,410'.3' == VU

7) Voir schéma , Relation de maille : VIjlIrV ++= ω.'

r jlω

V

I

N V’

P/3 , Q/3

V ϕ I r.I

jlω.I

V’

8) Voir schéma

9) 98,0===ttotale

utile

PP

PPη

10) 9,0²..3

min =+=IrP

Piη d’où : ²..3)1

9,01( IrP =− et Ω 36,53)1

9,01(

².3max =−=

IPr d’où la longueur

maximale de la ligne : km 106705,0

maxmax == rl .

I1=- I2

V1

V2 V3

U12 U23

U31

V1N’

V2N’

Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs Exercice 1 : Circuit magnétique 1) ε : Force magnéto motrice. IN.=ε

2) 20

11 79577 ℜ===ℜ

Sl

rµµ , 265253=ℜ

3) 99470.32

321 =ℜ+ℜ

ℜℜ+ℜ=ℜ

4) 45.. =ℜ= LN spires

5) fSBNV ....44,4 max=

6) ILjV .. ω= càd ILV .ω=

7) A 76,4....44,4 max == ωLfSBN

I

8) 47746400

11 =+=ℜ

Se

Sl

r µµµ 497358.32

321 =ℜ+ℜ

ℜℜ+ℜ=ℜ

9) mH 4²=ℜ= NL et A 8,23....44,4 max == ωLfSBN

I

Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur

1) fSBNV ....44,4 max=

2) spires 2885010.208,1.44,4

2304min 1 =×××= −iN

3) 1-47 H 132629

10.2010.415005,0

.=××==ℜ −−πµ S

l

4) ℜ=⇒ℜ= 111 . .iNIN φφ

5) H 68,0132629

²300²11 ==ℜ= NL

6) Cette inductance vérifie la relation : 111 .. iLNT == φφ

7) ℜ== 11222

.. .iNNNT φφ comme 12 .iMT =φ on en déduit : ℜ= 12.NNM .

8) dtdiL

dtd

Nv 11

111 .. == φ

et dtdiM

dtd

Nv 1222 .. == φ

9) 1

2

11

2

NN

LM

vv == spires 166 55,0

230127

21

2

1

2

1

2 =⇒==== NNN

VV

vv

10) A 54,222 ==

RVI

11) Voir schéma.

12) φ... 2211 ℜ=− iNiN

13) 0... 2211 ≈ℜ=− φiNiN d’où 2211 .. iNiN = et 2

1

1

2

NN

ii = . Ainsi 1

2

1

1

2

1

2

1

2 =×=×NN

NN

ii

vv et 2211 .. iviv =

Exercice 3 : Transformateurs en cascade

1) La puissance consommée par phase par la charge s'écrit : ϕcos..kW 050 22 IVP == . D'où :

A 1727cos.2

2 == ϕVPI .

2) Les transformateurs sont considérés comme parfaits, c'est-à-dire qu'on peut écrire :

A 43,5271710.2. 321 =×== −ImI .

φ

N1.i1

ℜ

N2.i2

Par ailleurs les tensions son aussi reliées par le rapport de transformation :

kV 51123010.21.1

321 =×== −Vm

V .

3) Le courant 2I et la tension 2V sont déphasés de l'angle ϕ. Les transformateurs étant parfaits, les courants

et tensions primaires sont colinéaires aux courants et tensions

secondaires. On représente donc le courant 1I et la tension 1V

sur la figure ci contre. Par ailleurs, la loi de maille de la maille

centrale s'écrit : 111 ..' VIjlIrV ++= ω , d'où les autres vecteurs

complétant l'égalité vectorielle. 4) Les hypothèses classiques de la maille de sortie d'un

transformateur sont applicables ici et on néglige l'angle entre les vecteurs 1V et 'V . On écrit alors :

ϕωϕ sin..cos..' 111 IlIrVV ++= . L'application numérique donne : V 111164'=V .

5) On déduit la tension V du rapport de transformation VVm '100' == : V 4116

'' ==

mVV

6) On peut résoudre les deux questions précédentes sans 'approximation par un bilan de puissances :

La puissance active totale fournie par le générateur est : kW ,95502. 21 =+= IrPPtotal

La puissance réactive totale fournie par le générateur est : kVAR 48,383.tan. 21 =+= IlPQtotal ωϕ

Par ailleurs, la valeur du courant fourni par le générateur est : A 354'. 1== ImI . Il ne reste plus qu'à écrire

la puissance apparente S que représente le générateur : kVA ,69632²². =+== totaltotal QPIVS Ce qui

donne : V 6511==ISV . Ce résultat qui ne souffre d'aucune approximation autre que celles des décimales,

prouve le bien fondé de l'approximation réalisée à la question 4. Partie 4 : Moteur à courant continu Exercice 1 : Moteur à excitation réglable 1) Les pertes à vide se composent des pertes mécaniques et de la puissance dissipée dans la résistance d'induit.

Ainsi : W,3131²2,15,02,1110².. =×−×=−= IRIUPm . La relation de maille d'induit s'écrit, le moteur

étant en convention récepteur, EI.RU += . Ainsi : V 9,4102,15,0110. =×−=−= IRUE

2) Les pertes mécaniques s'écrivent : 60

2.. NCCP mmmπΩ == d'où : Nm 77,0

2.60 ==NPC m

m π .

3) Comme 01=eR , le courant inducteur vaut : A 752,0400110===

ee

RUI . A vide : IIkCC em ..== donc :

Nm/A² 33,2.

==II

Cke

m et par ailleurs : ENIkIk ee ≈== V 91060

2... πΩ .

4) En régime permanent : IIkCC em ..10 =+= . C'est à dire : A ,816275,033,277,010 =×

+=I .

5) V 1,6108,165,0110. =×−=−= IRUE et rad/s 58,61275,033,26,101

.=×==

eIkEΩ soit :

tr/min15142.60 == πΩN

6) On cherche ici la valeur de eI telle que la charge de 10 Nm tourne à N=1800 tr/min. On écrit donc :

602....

... NIkIk

IkCRUIRUE ee

e

πΩ ==−=−= . On en retire l'équation du second degré :

060

2².... =++− NIkkCRIU ee

π . Soit donc : 014,2.110².2,439 =+− ee II La résolution donne la valeur

V1 I1 r.I1

jlω.I1 V'

ϕ

(choisie naturellement dans l'ordre de grandeur le plus cohérent) : A 292,0=eI . La résistance 1eR à

choisir sera donc telle que : A 292,01

==+ eee

IRR

U D'où : Ω 3,801 =−= ee

e RIUR

Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice 1) On représente le schéma équivalent de la génératrice, naturellement en convention générateur, sur la figure

4.8.

U

I

R

E Charge Rch

Machine

2) La puissance nominale de la machine s'écrit : nnn IUP .kW 02 == . C'est à dire : A 09==n

nn

UPI .

3) Si on néglige les pertes mécaniques de la machine, les pertes représentées par la valeur du rendement 8,0=η sont dissipées dans la résistance de l'induit R.

On écrit donc : ηη

η−=−== 1.². nn

nnR PPPIRP

Soit donc : mΩ 7,61².

1. =−=n

nI

PR ηη

4) Pour calculer la tension à vide, qui est également la force électromotrice E , on écrit l'équation de maille au

point nominal : nn IREU .−= , c'est à dire: V ,55225. =+= nn IRUE

Pour calculer la tension à demi-charge, on écrit : IUPn .kW 012

== où U et I sont des inconnues.

La relation de maille s'écrit : U

PREIREU n

.2. −=−= c'est à dire : 0

2.² =+− nPRUEU

La résolution de ce polynôme du second degré en U donne : V 2,8222/ =nU

5) Avant de calculer le rendement, on calcule le courant à mi-charge : A ,844.2 2/

2/ ==n

nn

UPI .Le rendement

de la machine à mi charge s'écrit alors : 45,0².2/

2/2/

=+=nn

n

IRPPη