7/26/2019 fetrans

1/22

38

2. MECNICA DOS FLUIDOS

2.1. DEFINIES e PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

2.1.1. DEFINIO DE FLUIDO

Fluido uma substncia que no possui forma prpria ( assume o formato do recipiente ) e que, se em

repouso, no resiste a tenses de cizalhamento ( deforma-se continuamente ).

Tenso de Cizalhamento a razo entre a o mdulo da componente tangencialda fora a rea da superfcie sobre a qual a fora est sendo aplicada.

A

Ft= presso :

A

FP n=

!A Experincia das Placas

Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa superior em umdado instante passe a se movimentar sob a ao de uma fora tangencial

A fora Ft, tangencial ao ao fluido, gera uma tenso de cizalhamento. O fluido adjacentes placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princpio da aderncia ) As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distncia da placa

superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Tambm pelo princpio da aderncia, a velocidade dofluido adjacente placa inferior zero. Como existe uma diferena de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrer ento uma deformao

contnua do fludo sob a ao da tenso de cizalhamento.

2.1.2. VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINMICA

A definio de viscosidade est relacionada com a Lei de Newton :

A tenso de cisalhamento diretamente proporcional variao da velocidade ao longo da direo normal splacas

dydv

A relao de prporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem equao 2.1 ( Lei de Newton ).

dy

dv.= ( eq 2.1 )

A viscosidade dinmica ( ) o coeficiente de proporcionalidade entre a tenso de cizalhamento e o gradientede velocidade. O seu significado fsico a propriedade do fluido atravs da qual ele oferece resistncia stenses de cizalhamento. Os fluidos que apresentam esta relao linear entre a tenso de cizalhamento e a taxade deformao so denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos.

O valor da viscosidade dinmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta vicosidadedepende muito da temperatura. Os gases e lquidos tem comportamento diferente com relao dependncia datemperatura, conforme mostra a tabela 2.1 :

F

Ft

Fn

A

Ft Ft

v

= 0

v

= 0 v

= 0

v= v0

x

y

7/26/2019 fetrans

2/22

39

Tabela 2.1. Comportamento dos fluidos com relao viscosidadeFluido Comportamento Fenmeno

Lquidos A viscosidade diminui com atemperatura

Tem espaamento entre molculas pequeno e ocorre a reduoda atrao molecular com o aumento da temperatura.

Gases A viscosidade aumenta com atemperatura

Tem espaamento entre molculas grande e ocorre o aumentodo choque entre molculas com o aumento da temperatura.

!Anlise dimensional da viscosidade ( sistema [F][L][T] ):

2

2. === LF

L

F

A

F 1

1

== TL

LT

dy

dv

21

2 ...

L

TF

T

LF

dydvdy

dv====

Portanto, as unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns so :

CGS : [ ] poisecm

sdina=

=

2 { poise = 100 cetipoise (cp) }

Mtrico Gravitacional ( MK*S ) : [ ]2m

skgf=

Sistema Internacional ( SI ) : [ ] sPam

sN=

=

2 )(11{

2 PascalPa

m

N=

!Simplificao Prtica : a velocidade varia linearmente com y ( para distncias entre placas pequenas )

e

v

e

v

dy

dv 00

0

0=

=

Neste caso, a equao 2.1 fica assim :

e

v0.= ( eq.2.2 )

2.1.3. MASSA ESPECFICA e PESO ESPECFICO

Massa Especfica ( ) a massa de fluido contida em uma unidade de volume do mesmo :

V

m

=

=

=

=

=

3

*

3

3

3

][:

][:

][:

][

m

utmSMK

mkgSI

cm

gCGS

LM

( eq 2.3 )

Peso Especfico ( ) o peso ( G ) de uma unidade de volume de um fluido

V

gm

V

G .== ! g.=

=

=

=

=

=

3

*

3

3

33

2

][:

][:

][:

][

m

KgfSMK

m

NSI

cm

dinaCGS

L

F

L

TLM

( eq 2.4 )

Ft

v

= 0

v= v0

x

ye < 4 mm

7/26/2019 fetrans

3/22

40

Densidade a relao entre o peso especfico de uma substncia e o peso especfico da gua a uma determinadatemperatura. A densidade no depende do sistema de unidades

OH

r

2

= ( eq 2.5 )

2.1.4. VISCOSIDADE CINEMTICA

frequente, nos problemas de mecnica dos fluidos, a viscosidade dinmica aparecer combinada com a massaespecfica, dando origem viscosidade cinemtica.

=

=

=

=

=

=

s

mSMK

s

mSI

ststokes

cmCGS

T

L

LM

TLM

2*

2

2

2

3

11

][:

][:

)(][:

][

( eq 2.6 )

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Exerccio R.2.1.1. A massa especfica de um combustvel leve 805 kg/m3. Determinar o peso especfico e adensidade deste combustvel. ( considerar g=9,8 m/s2)

).(78898,9805.2323 s

mkgN

m

N

s

m

m

kgg ====

A massa especfica da gua aproximadamente 1000 kg/m3. Portanto, o peso especfico ser :

32398008,91000.

2 m

N

s

m

m

kggOH ===

A densidade calculada a partir da relao :

805,09800

7889

2

===OH

r

Exerccio R.2.1.2 Um reservatrio graduado contm 500 ml de um lquido que pesa 6 N. Determine o pesoespecfico, a massa especfica e a densidade do lquido ( considerar g=9,8 m/s2)

33105,05,0500 mlmlV ===

33300012

105,0

6

m

N

m

N

V

G=

==

32

32

2

3

5,12248,9

/).(6

/8,9

/12000.

m

Kg

sm

msmkg

sm

mN

gg =====

22,1/9800

/120003

3

2

===mN

mN

OH

r

Exerccio R.2.1.3. A viscosidade cinemtica de um leo leve 0,033 m2/s e a sua densidade 0,86. Determinara sua viscosidade dinmica em unidades dos sistemas Mtrico.

A peso especfico da gua aproximadamente 1000 kgf/m3.

33860100086,0

2

2m

kgf

m

kgfOHr

OH

r ====

7/26/2019 fetrans

4/22

41

====

34

2

2

3 .75,87

/8,9

/860.

m

utm

m

sKgf

sm

mkgf

gg

24

22 .86,2

.75,87033,0.

m

skgf

m

skgf

s

m====

Exerccio R.2.1.4. Duas placas planas paralelas esto situadas a 3 mm de distncia. A placa superior move-secom velocidade de 4m/s, equanto que a inferior est imvel. Considerando que um leo (= 0,15 stokes e =905 kg/m3) ocupa o espao entre elas, determinar a tenso de cizalhamento que agir sobre o leo.

s

m

cm

m

s

cmscmstokes

25

2

24

22 105,11015,0/15,015,0 ====

2

5 0136,0905105,1m

sN===

Pam

N

m

sm

m

sN

e

v1,181,18

003,0

/40136,0.

220 ==

==

Exerccio R.2.1.5.Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, comvelocidade constante, e se apoia sobre uma pelcula de leo de 1 mm de espessura e de = 0,01 N.s/m2. Se opeso da placa 100 N, quanto tempo levar para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado.

mSS

o 205,0

101030sen ==

= 22045 mA ==

NGF oT 505,010060cos. ===

e

v0.= eA

FT= , ento :A

F

e

v To =.

smA

eFv To /25,001,020

001,050

.

.=

==

stsm

m

v

St

t

Sv

o

o 80/25,020 ===

=

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.1.1. A massa especfica de um fluido 610 kg/m3. Determinar o peso especfico e a densidade.Respostas : 5978 N/m3 e 0,610

Exerccio P.2.1.2. A viscosidade cinemtica de um leo o,028 m2/s e sua densidade 0,9. Determinar aviscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :2,58 Kgf.s/m

Exerccio P.2.1.3. Um tanque de ar comprimido contm 6 kg de ar a 80 oC, com peso especfico de 38,68N/m2. Determine o volume do tanque.Resposta :1,52 m3

Exerccio P.2.1.4.O peso de 3 dm3de uma substncia 2,7 Kgf. A viscosidade cinemtica 10 -5m2/s. Se g 10 m/s2, determine a viscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :9 x 10-4Kgf.s/m2

Exerccio P.2.1.5. Uma placa quadada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma pelcula de leo emplano inclinado de 300. A velocidade da placa constante e igual a 2 m/s. Qual a viscosidade dinmica doleo se a espessura da pelcula 2 mm ?Resposta :0,01 N.s/m2

10 m

30o

FT

S

60o

G

7/26/2019 fetrans

5/22

42

2.2.ESTTICA DOS FLUIDOS

2.2.1. CONCEITO DE PRESSO

planodorea

planoaolarperpendicuaplicadaForaP=

== Pa

m

N

cm

Kgf

A

FP N

22;

2.2.2. TEOREMA DE STEVIN

V

G= ! VG =

basebase A

V

A

GP

==

como hAV base= , temos :

base

base

AhAP = ! hP =

% A presso em um ponto do fluido diretamente proporcional profundidade deste ponto e ao pesoespecfico do fluido

P1 = P2 = P3

!Diferena de Presso entre 2 nveis :

2211 hPhP ==

( )121212 hhhhPPP ===

hP =

% A diferena de presso entre dois pontos de um fluido igual ao produto do peso especfico do fluido pela

diferena de cotas entre os dois pontos

2.2.3. LEI DE PASCAL

A presso aplicada em um ponto de um fluido incompressvel ( lquidos ) em repouso transmitidaintegralmente a todos os pontos do fluido.

2

2

1

1

A

FP

A

FP ==

==

1

212

2

2

1

1

A

AFF

A

F

A

F

F

A

fluido

Abase

.P

h

P2 P3P1...

P1

P2.

.h1

h2h

A1

F1

A2

F2

. .P P

7/26/2019 fetrans

6/22

43

2.2.3. ESCALAS DE PRESSO

Patm = ar. har

Har: altura da camada atmosfrica

!Experincia de Torricelli

A carga de presso ( h =760 mm ) da coluna de mercrio, multiplicada pelo peso especfico do mercrio ( Hg),equilibra a presso atmosfrica.

Patm= Hg . hHg Como Hg = 13600 Kgf/m3 e hHg= 760 mm = 0,76 m

Patm= 13600 . 0,76 = 10330 Kgf/m2= 1,033 Kgf/cm2

Patm= 1 atm = 760 mmHg = 101234 N/m2= 1,033 Kgf/cm2= 10,33 m.c.a. ( m de coluna dgua )

% Escala de presso absoluta! aquela que adota como referncia a presso do vcuo ( Pv= 0 )% Escala de presso efetiva! aquela que adota como referncia a presso atmosfrica ( Patm= 0 )

Pabs = Pef + Patm

2.2.5. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSO

a) Piezmetro

PA= . h ( Patm = 0 )

Desvantagens : No serve para depresses No serve para gases No serve para presses elevadas

b) Manmetro com tubo em U

PA= 2. h2 - 1. h1

Se o fluido&for gs : PA= 2. h2

d) Manmetro Metlico ( Tubo de Bourdon )

Pm= Pi- Pe

Pi: presso internaPe: presso atmosfricaPm: presso do manmetro

Geralmente : Pe= 0 ( escala efetiva ), ento :

Pm= Pi

TERRA

har

mercrio

760 mmPatm

2

1

P1 ef

P2 abs

P2 efP1 abs

PA

h

PA

h2

h1

Pi

Pe

7/26/2019 fetrans

7/22

44

A figura abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manmetro metlico.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Exerccio R.2.2.1.A figura mostra um tanque de gasolina com infiltrao de gua. Se a densidade da gasolina

0,68 determine a presso no fundo do tanque ( H2O= 9800 N/m3).

P = H2O. h1 + g. h2P = H2O. h1 + dg. H2O. h2P = 9800 x 1 + 0,68 x 9800 x 5

P = 43120 N/m2= 43,12 KPa = 4,4 m.c.a.

Exerccio R.2.2.2. O Edifcio Empire State tem altura de 381 m. Calcule a relao entre a presso no topo ena base ( nvel do mar ), considerando o ar como fluido incompressvel (Ar= 12,01 N/m

3).

P2= Patm= 101234 N/m2

P2 P1= Ar.( h2 h1)P1 = P2- Ar.( h2 h1)

( )955,0

101234

38101,121

.1

2

12

2

1=

=

=

P

hh

P

PAr

Exerccio R.2.2.3. A gua de um lago localizado em uma regio montanhosa apresenta uma profundidademxima de 40 m. Se a presso baromtrica local 598 mmHg, determine a presso absoluta na regio maisprofunda (Hg= 133 KN/m

3).Pfundo= Po+ H2O. hlago onde, Po= Hg.hHg a presso na superfcie do lagoPfundo= Hg.hHg + H2O. hlago = 133 (KN/m

2) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m2) x 40 (m)

Pfundo=472 KN/m2= 472 KPa ( abs )

Exerccio R.2.2.4. Um tanque fechado contm ar comprimido e um leo que apresenta densidade 0,9.O fluido utilizado no manmetro em U conectado ao tanque mercrio ( densidade 13,6 ). Se h1=914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manmetro localizado no topo dotanque.

P1= Parcomp + Oleo . (h1+ h2)P2 = Hg . h3P1= P2 ! Parcomp + Oleo . (h1+ h2) = Hg . h3Parcomp = Hg . h3- Oleo . (h1+ h2)Parcomp = dHg.H2O.. h3 - dOleo.H2O . (h1+ h2)Parcomp = 13,6 x 9800 x 0,229 - 0,9 x 9800 x (0,914 + 0,152 )Parcomp = 21119 N/m

2= 21,119 KPa

Gasolina

gua

h2=5 m

h1= 1m

P1

P2

h3

h2

Ar

leo

& #

h1

7/26/2019 fetrans

8/22

45

Exerccio R.2.2.5.No piezmetro inclinado da figura, temos 1= 800 Kgf/m2e 2= 1700 Kgf/m

2, L1= 20 cme L2 = 15 cm , = 30

oC. Qual a presso em P1?

h1 = L1.sem h2 = L2.sem

P1= h1.1+ h2.2 = L1.sem .1 + L2.sem .2P1= 0,20 x sen 30

ox 800 + 0,15 x sen 30ox 1700

P1= 207,5 Kgf/m2

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.2.1. A presso do ar preso no tanque da figura 41,4 kPa. Sabendo eu a massa especfica daglicerina 1260 kg/m3, calcule a presso no fundo do tanque.

Resposta : 79 kPa

Exerccio P.2.2.2. A figura mostra um tanque fechado que contm gua. O manmetro indica que a presso doar 48,3 kPa. Determine :a) a altura h da coluna aberta;b) a presso relativa no fundo do tanquec) a presso absoluta do ar no topo do tanque se a presso atmosfrica for 101,13 kPa

Respostas: 5,53 m ; 60 kPa ; 149,4 kPa

Exerccio P.2.2.3.No manmetro da figura, o fluido A gua ( peso especfico de 1000 Kgf/m3) e o fluido Be mercrio (peso especfico de 13600 Kgf/m3). As alturas so h1= 5 cm, h2= 7,5 cm e h3= 15 cm. Qual apresso P1

Resposta: 1335 kgf/m3

Exerccio P.2.2.4. Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm,calcular :a) A presso efetiva do Gs 2b) A presso efetiva do Gs 1, sabendo que o manmetro metlico indica uma presso de 15000 N/m2

c) A presso absoluta do Gs 1, considerando que a presso atmosfrica local 730 mmHg

Dados : oleo = 8000 N/m3 Hg= 133280 N/m

3 agua = 9800 N/m3

L1

L2

P1

h2

h1

Ar

Glicerina

P1

h3

h2h1

Arh

0,6 m

0,6 mgua

3,05 m

7/26/2019 fetrans

9/22

46

Resposta: 32970 N/m2 17970 N/m2 115265 N/m2

Exerccio P.2.2.5.No dispositivo da figura o manmetro indica 61600 N/m2 para a diferena depresso entre o Gs 2 e o Gs 1. Dados gua = 9800 N/m3 e Hg = 133000 N/m3 , determinar :a) A presso do Gs 2

b) A distncia x na figura.

Resposta: 1233200 N/m2

; 0,5 m

Exerccio P.2.2.6. O sistema da figura est em equilbrio e o peso do porquinho 200 N. Sabendo quea altura h 50 cm, determinar a presso do Gs 2.Dados/Informaes Adicionais:% Hg= 133280 N/m

3

% Desprezar o peso do pisto e da plataforma.

Resposta: 106,64 kPa

h4h

Gs 2

leo

& #

h

Gs 1

Hg

H2O

h3

Gs 2

Gs 1 Hg

guaguaHg

1,0 m

x

Gs

Gs

h

Hg

A= 50

7/26/2019 fetrans

10/22

47

2.3. CINEMTICA DOS FLUIDOS

2.3.1. VAZO EM VOLUME

Vazo em Volume o volume de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

== scm

h

m

s

l

s

m

t

V

tempo

seopelapassouquevolume

Q

333

,,,

vAt

xA

t

xAQsAV ..

..como ====

AvQ .=

onde, v a velocidade mdia do fluido A a rea da seo

2.3.2. VAZO EM MASSA

Vazo em Massa a massa de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

=

s

utm

h

utm

h

kg

s

kg

t

mQm ,,,

VmV

m.como == , portanto : Q

t

V

t

VQm ..

.

===

QQm .= e como AvQ .= , temos :

AvQm ..=

2.3.3. VAZO EM PESO

Vazo em peso o peso de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

=

s

Kgf

h

Kgf

h

N

s

N

t

GQG ,,,

AvQQggQgQt

gmQgmG mG ........

..como ======= , portanto :

AvQG ..=

2.3.4. EQUAO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE

No regime permanente a massa em cada seo a mesma

constante21 == mm QQ em qualquer seo( ) kAv =.. ( equao da continuidade )

222111 .... AvAv =

Fluido incompressvel : No caso em que o fluido incompressvel, como a sua massa especfica constante, a equao da continuidade poder ento ser escrita :

222111 .... AvAv = , como .. 21 =

2211 ... AvAv = constante21 ==QQ em qualquer seo

A

x

&

7/26/2019 fetrans

11/22

48

Portanto, se o fluido incompressvel a vazo em volume a mesma em qualquer seo. A partirdesta equao pode-se obter a relao de velocidades em qualquer seo do escoamento.

2

1122211 ...A

AvvAvAv ==

Portanto, a velocidade maior nas sees de menor rea.

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

Exerccio R.2.3.1.Na tubulao convergente da figura, calcule a vazo em volume e a velocidade na seo 2sabendo que o fluido incompressvel.

smA

AvvAvAv

QQ

/105

10.5...

2

1122211

21

====

=

A vazo em volume :

( ) slsdmsmcmmcm

smAvQ /5/5/10.510.10.5. 333

2

242

111 ===

==

Exerccio R.2.3.2. Ar escoa em um tubo convergente. A rea da maior seo do tubo 20 cm2e a damenor seo 10 cm2. A massa especfica do ar na seo (1) o,12 utm/m3enquanto que na seo (2) 0,09 utm/s. Sendo a velocidade na seo (1) 10 m/s, determinar a velocidade na seo (2) e a vazoem massa.

Como o ar um fluido compressvel, a equao da continuidade :

=21mm QQ 222111 .... AvAv =

( )

( )sm

cmm

utm

cms

m

m

utm

A

Avv /7,26

10.09,0

20.10.12,0

.

..

2

3

2

3

22

1112 =

==

( )s

utm

cm

mcm

s

m

m

utmAvQm

3

2

242

311110.4,210.20.10.12,0.. =

==

Exerccio R.2.3.3.No tanque misturador da figura 20 l/s de gua ( = 1000 Kg/m3) so misturadoscom 10/s de um leo ( = 800 Kg/m3) formando uma emulso. Determinar a massa especfica e avelocidade da emulso formada.

(1) (2)

v1= 5 m/s

A2= 5 cm2A1= 10 cm

2

1 2

A=30 cm2

gua leo

7/26/2019 fetrans

12/22

49

slQQQ oae /301020 =+=+=

ooaaee

o

m

a

m

e

m QQQQQQ +=+= ..

=

+

=

33333,93310.80020.100030.

m

kg

s

l

m

kg

s

l

m

kg

s

lee

( )

=

= 2

2

42

3

3 10.30.10.30.cmmcmv

lm

slAvQ eee

smve /10=

Exerccio R.2.3.4.Os dois tanques cbicos com gua so esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulaoindicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da gua na seo A, supondo desprezvel avariao de vazo com a altura.

Qt1+ Qt2= Qtubo

( )

smv

mvs

m

s

m

Avt

V

t

V

/32

10.45.500

4.4.4

500

2.2.2.

2433

21

=

=

+

=+

EXERCCIOS PROPOSTOS:

Exerccio P.2.3.1. gua descarregada de um tanque cbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm dedimetro localizado na base. A vazo de gua no tubo 10 l/s. Determinar a velocidade de descida da

superfcie livre da gua do tanque e, supondo desprezvel a variao de vazo, determinar o tempo queo nvel da gua levar para descer 20 cm.Respostas : 4. 10-4 m/s ; 500 s

Exerccio P.2.3.2. Dois reservatrios cbicos de 10 m e 5 m de aresta, so enchidos por guaproveniente de uma mesma tubulao em 500 s e 100 s, respectivamente. Determinar a velocidade dagua na tubulao sabendo que o seu dimetro 1,0 m.Resposta :4,13 m/s

Exerccio P.2.3.3. O avio esboado na figura voa a 971 km/h. A rea da seo frontal de alimentaode ar da turbina igual a 0,8 m2 e o ar, neste local, apresenta massa especfica de 0,736 kg/m3. Um

observador situado no avio detecta que a velocidade dos gases na exausto da turbina igual a 2021km/h. A rea da seo transversal da exausto da turbina 0,558 m2 e a massa especfica dos gases 0,515 kg/m3. Determine a vazo em massa de combustvel utilizada na turbina.

Resposta :2,51 kg/s

4 m2 m

45 cm

A

7/26/2019 fetrans

13/22

50

2.4. EQUAO DE BERNOULLI

2.4.1. PRINCPIO DE CONSERVAO DA ENERGIA

Premissas Simplificadoras :

Fluido ideal ( = 0 , escoa sem perda de energia )

Regime permanebte Fluidos incompressveis ( lquidos )

!Formas de Energia Mecnica

% Energia Potencial de Posio ( EPPo )

Energia ( trabalho ) = Fora x Deslocamento

EEPo = G . z , como G = m . g

alturazgravidadedaaceleraogmassamondezgmEEPo :::,..=

% Energia Potencial de Presso ( EPPr )

Energia ( trabalho ) = Fora x Deslocamento

EPPr = G . h

especficopesopressoPpesoGondeP

GEE :::,.Pr

=

% Energia Cintica ( Ec )

velocidadevmassamondevmEc ::,..2

1 2=

!Energia Total ( E )

E = EPPo + EPPr + Ec

No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante

E1= E2

EPPo1+ EPPr1+ Ec1= EPPo2+ EPPr2+ Ec2

E1

E2FluidoIdeal

z

h

P

PhhP == .

7/26/2019 fetrans

14/22

51

22

22

21

11 ..2

1.....

2

1... vm

PGzgmvm

PGzgm ++=++

2.4.1. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL

Pelo princpio de conservao da energia, temos :

2

....

2

....

222

2

211

1

vmPGzgm

vmPGzgm ++=++

Como, G = m.g , temos :

g

vGPGzG

g

vGPGzG

.2

...

.2

...

222

2

211

1 ++=++

Dividindo ambos membros por G, temos :

g

vPz

g

vPz

.2.2

222

2

211

1 ++=++

ou H1 = H2

onde,

(m)velocidadedecarga2.gv

(m)pressodecarga

P

(m)posiodecargaz

2

Exerccio R.2.4.1.O tanque da figura tem grandes dimenses e descarrega gua pelo tubo indicado.Considerando o fluido ideal, determinar a vazo em volume de gua descarregada, se a seo do tubo 10 cm2.

Para aplicar a equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie livre da gua e (2) a sadado tubo. Portanto, temos que :

H1 = H2

g

vPz

g

vPz

.2.2

222

2

211

1 ++=++

Como adotamos a escala efetiva de presso, as presses P1e P2so nulas pois so iguais pressoatmosfrica. Em relao ao plano de referncia, temos que :

10 m

2 m

(1)

(2)

7/26/2019 fetrans

15/22

52

z1 = 5 e z2= 2

Como o tanque tem grandes dimenses, a velocidade da superfcie livre da gua pode ser considerada

desprezvel. Portanto :

v1 = 0

Logo, a equao de Bernoulli fica reduzida :

g

vzz

.2

2

221 += ! ( ) ( )( )m

s

mzzgv 2108,92..2

2212

== ! smv 5,122=

A vazo em volume ser :

( ) smms

mAvQ 32422 0125,010105,12. =

== ! slQ 5,12=

2.4.2. O TUBO VENTURI

O venturi consiste de uma tubulao cuja seo varia at um minmo e, novamente, volta a ter a

mesma seo inicial. Este tipo de estrangulamento denominado de garganta. A equao de Bernoulli

aplicada entre as sees (1) e (2) na figura abaixo fornece :

21

2

1

2

2

2

222

2

111

222

PP

g

vv

g.

vPz

g.

vPz

=

++=++

Como v2> v1, temos que P1 > P2, pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferena de presso

entre as sees (1) e (2). Portanto, conhecendo-se as reas da sees, pode-se medir a vazo com este

dispositivo, pois pela equao da continuidade, temos :

2211 A.vA.vQ ==

Exerccio R.2.4.2.No Venturi da figura gua escoa como fluido ideal. A rea na seo (1) 20 cm2

enquanto que a da seo (2) 10 cm2. Um manmetro cujo fluido manomtrico mercrio ( Hg=13600 kgf/m3) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvel h de 10 cm. Pede-se a vazo

em volume de gua ( H2O= 1000 kgf/m3)

h

(1)(2)

Hg

x

(a) (b)

(1)(2)

7/26/2019 fetrans

16/22

53

H1= H2

g

vPz

g

vPz

.2.2

222

2

211

1 ++=++

Como os centros geomtricos das sees (1) e (2) esto na mesma altura : z1 = z2, portanto :

g

vvPP

g

v

g

vPP

g

vP

g

vP

.2.2.2.2.2

21

2221

21

2221

222

211 =

=+=+

&

Como A2< A1! v2> v1 ( energia cintica aumenta )!energia de presso diminui ( P2< P1)

A presso em (a) igual a presso em (b) : Pa= Pb , ou :

P1 + H2O. x + H2O . h = P2+ H2O. x + Hg. h

P1 P2= ( Hg- H2O) . h = ( 13600 1000 ) . 0,10 = 1260 kgf/m2

Substitundo#em&, temos :

2

221

22

21

22

21

2221

21

2221 7,24

8,921000

1260

.2.2 s

mvv

vv

g

vvPP

g

vvPP=

=

=

=

#

Pela equao da continuidade, temos :

( )( ) 220

10.... 212

2

21

221221121

vv

cm

cmv

A

AvvAvAvQQ ===== "

Substitundo"em#, temos :

smvv

v /7,57,242 2

2

222 ==

Portanto, a vazo em volume ser :

3422 107,510107,5.

=== AvQ

slQ /7,5=

2.4.3. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO

Mquina qualquer elemento, introduzido no escoamento, capaz de fornecer ou retirar energia dofluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos :

- Bomba: qualquer mquina que fornece energia ao fluido- Turbina: qualquer mquina que retira energia do fluido

Consideremos um escoamento de um fluido. Se no houver mquina no escoamento, sabemos que :

7/26/2019 fetrans

17/22

54

gvPz

gvPz

.2.2

2

222

2

111 ++=++

ou H1 = H2

Caso haja uma mquina no escoamento, teremos o seguinte

a) Se for bomba : H1 + HB = H2 ( H1 < H2 )

onde , HB= carga manomtrica da bomba ( m )

a) Se for turbina : H1 + HT = H2 ( H1 > H2 )

onde , HT= carga manomtrica da turbina ( m )

Portanto, a equao de Bernoulli ficar assim :

H1 + HM = H2 oug.

vPzH

g.

vPz M

22

2

222

2

111 ++=+++

onde HM= +HB ( se bomba ) ou HM= -HT ( se turbina )

Potncia Retirada ou Fornecida e Rendimento

Da definio de trabalho, temos :

Trabalho = Fora x Deslocamento

MHGW = como :

VGVG == , ento :

MHVW =

dividindo pelo tempo, obtemos :

t

HV

t

W M=

como :

t

VQe)potncia(

t

W== , obtemos :

MHQ =

Unidades de Potncia :

(1) (2)

(1) (2)

M

7/26/2019 fetrans

18/22

55

Sistema Internacional$ [ ] Ws

J

s

mNm

s

m

m

N==

==

3

3

Sistema Mtrico$ [ ] )s

kgmCV(

s

kgm

s

mkgfm

s

m

m

kgf751

3

3 ==

==

O Rendimento( ) definido como :

fornecidarealmentepotncia

tilpotncia=

No caso da bomba a potncia til fornecida ao fluido menor que a potncia da mquina, assim :

Na Bomba :B

B

B

B

=

=

onde B o rendimento da bomba.

No caso da turbina a potncia til da mquina menor que a potncia fornecida pelo fluido, assim :

Na Turbina : TTT

T =

=

onde T o rendimento da turbina.

Exerccio R.2.4.3.O reservatrio de grandes dimenses da figura descarrega gua pelo tubo a uma

vazo de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a mquina instalada bomba ou turbina e

determinar sua potncia se o rendimento for de 75%. A rea da seo do tubo 10 cm2.

A velocidade na sada do tubo pode ser obtida atravs da vazo

( )( )

smm

sm

A

QvAvQ /10

1010

/1010.

24

33

22 =

===

Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.

H1 + HM = H2g

vPzH

g

vPz M

.2.2

2

222

2

111 ++=+++

Como as presses P1e P2so nulas pois so iguais presso atmosfrica, temos que :

20 + 0 + 0 + HM = 5 + 0 +8,92

102

! Hm = - 9.9 m

Como no sentido do escoamento o HMficou negativo, ento a mquina uma turbina. A potncia :

MHQ = ( ) Ws

J

s

mNm

s

m

m

N2,9702,9702,9709,910109800

33

3 ==

==

Nem toda potncia posta em jogo pelo fluido aproveitada pela turbina, assim :

WTTT

T 6,72775,02,970 ===

=

20 m

5 m

(1)

(2)

M

7/26/2019 fetrans

19/22

56

2.4.4. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO

Se o fluido no for ideal, devido ao efeito do atrito, ocorrer uma dissipao da energia do fluidoentre as sees (1) e (2).

Neste caso, temos que : H1 > H2

Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portanto,a equao de Bernoulli ficar assim :

H1 = H2 + HP

Onde, HP= energia dissipada entre (1) e (2) ou perda de cargaLevando em conta a presena de uma mquina no escoamento, teremos :

H1 + HM = H2 + HP ou PM Hg.

vPzH

g.

vPz +++=+++

22

222

2

211

1

Exerccio R.2.4.4.Na instalao da figura a mquina uma bomba e o fluido gua. A bomba tempotncia de 3600 W e seu rendimento 80%. A gua descarregada na atmosfera a uma velocidadede 5 m/s pelo tubo, cuja rea da seo 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as sees (1) e (2).

A vazo de gua pelo tubo :( ) smAvQ /005,010105. 34 ===

A altura manomtrica da bomba obtida considerando que :

BHQ = eQ

Hou BBBBBB

B

==

=

mHB 8,58005,09800

80,03600=

=

Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.

H1 + HM = H2 + HP ou ( ) PB Hg

vPzH

g

vPz +++=+++

.2.2

222

2

211

1

mHH PP 5,628,92

5

008,58005

2

=+++=+++

(1) (2)

Energia dissipada

5 m

(1)

(2)

B

7/26/2019 fetrans

20/22

57

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.4.1.Uma caixa dgua de 1,0 m de altura est apoiada sobre uma lage de 4,0 m dealtura e alimenta a tubulao de um chuveiro. Considerando que o dimetro da tubulao prximo aochuveiro na seo (2) polegada e que esta seo est a 2,0 m do solo, determinar para fluido ideal:a) A vazo em volume de gua;

b) A vazo em volume de gua considerando que a altura da lage 10 m.

Respostas :0,97 l/s ; 1,7 l/s

Exerccio P.2.4.2.Em uma indstria de engarrafamento de gua mineral, a gua de um reservatrio degrandes dimenses situado no piso inferior, deve ser recalcada, conforme mostra a figura, paralimentar a linha de engarrafamento. O dimetro da tubulao de recalque 1,6 cm. Considerando quea altura manomtrica ( HB ) da bomba 13 m e que a gua se comporta como um fluido ideal,determine :

a) a vazo de gua recalcadab) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

Respostas :12,52 m/s ; 454 garrafes

1 m

4 m

2 m

(1)

(2)

5 m

B

Patm15 m

7/26/2019 fetrans

21/22

58

Exerccio P.2.4.3.No Venturi da figura querosene ( densidade: r = 0,85 ) escoa como fluido ideal.

A rea na seo (1) 24 cm2 enquanto que a da seo (2) 12 cm2. As velocidades mdias do

querosene nas sees (1) e (2) so 4,5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Um manmetro cujo fluido

manomtrico mercrio ( = 133280 N/m3 ) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvel

h. Pede-se desnvel h indicado.

Resposta :0,206 m

Exerccio P.2.4.4. A gua contida em um reservatrio elevado, de grandes dimenses, alimenta por

gravidade a linha de engarrafamento, em uma fbrica de gua mineral gasosa, conforme mostra afigura. O reservatrio pressurizado e o manmetro no topo indica uma presso de 50 kPa. O

dimetro da tubulao de descarga 1,6 cm. Considerando a gua um fluido ideal, determine :

a) a velocidade da gua mineral na sada da tubulao de descarga

b) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

Resposta :506 garrafes

Exerccio P.2.4.5.Na instalao da figura a mquina uma turbina e o fluido gua. A turbina tem

potncia de 500 W e seu rendimento 85%. A gua descarregada na atmosfera a uma velocidade de

3 m/s pelo tubo, cuja rea da seo 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as sees (1) e (2).

Resposta :14,5 m

h

(1)(2)

Hg

x

(a) (b)

querosene

11 m

1 m

5 m

(1)

(2)

B

7/26/2019 fetrans

22/22

59

Exerccio P.2.4.6.gua escoa atravs da instalao esboada na figura. A canalizao que conduz agua tem um dimetro interno de 10 cm.a) Dado que a vazo de gua 126,33 litros/s, determinar a potncia fornecida ( ou recebida ) pelagua pela mquina M, indicando se uma bomba ou uma turbina.

b) Determine a potncia da mquina se o seu rendimento for 65%.

Dados/Informaes Adicionais: O tanque da figura tem grandes dimenses

Resposta :7675,93 W ( bomba ) ; 11809,12 W

Exerccio P.2.4.7. Em um pequeno edifcio, uma bomba utilizada para recalcar gua de umreservatrio subterrneo para uma caixa dagua situada no topo do edifcio. A tubulao de recalque,conforme mostra a figura, tem dimetro de ( 0,5 polegadas ) e a vazo de gua 3 litros/s.Considerando a gua um fluido ideal, determine :a) a altura manomtrica da bomba

b) a potncia da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento 65%

Dados/Informaes Adicionais reservatrio subterrneo tem grandes dimenses e est aberto para a atmosfera g= 9,8 m/s 1=2,54 cm 1 HP =745,7 W

Resposta : 46,7 m ; 2,8 HP

M

5 m

2 m

B

23 m

5 m