Logikk og sammenhenger

BFØ 220Onsdag 19. september 2007

Reidar Mosvold

Oversikt

• Sammenhenger• Klassifisering• Nødvendig –

tilstrekkelig • Logiske slutninger• Uendelighet• Tenking og undring

Først litt om wikien

• Alle (?) har fått brukernavn/passord• Alle har fått prøvd seg fram litt

Nå er det opp til dere!

Forslag

• Legg inn forelesningsnotater• Legg inn praktiske tips og ideer• Legg inn lenker• Legg inn sammendrag fra lærebøkene• Strukturer på nytt etter emner og ikke kapitler• osv.

Forslag

– Legg inn forelesningsnotater– Legg inn praktiske tips og ideer– Legg inn lenker– Legg inn sammendrag fra lærebøkene– Strukturer på nytt etter emner og ikke kapitler– osv.

Fugler har vinger fordi...

Maria, snart fire år, er ute på tur i parken. Hun stanser for å se på noen spurver som tripper omkring

på bakken. Plutselig nærmer det seg en katt som gjør et raskt utfall mot fuglene. I samme øyeblikk

letter fuglene og flyr i sikkerhet. Maria ser fra katten til fuglene som har satt seg i en busk lengre borte. Så kommer det: «Mamma. Fugler har vinger fordi

det fins katter.»

Sammenhenger

• Barn:– Observerer– Resonnerer– Trekker slutninger– Leter etter mønstre– Ser sammenhenger

• Hvorfor oppleves ikke matematikk som meningsfullt?

• Er det ikke noen sammenheng mellom matematikk og logisk tenking?

• I hvilken grad lærer vi barna å tenke?

Fra Ole Brumms verden

Det var en dag Petter Sprett, Nasse Nøff og Ole Brumm hadde gått seg bort i skogen. De lette og lette etter veien hjem, men uansett hvordan de

forsøkte å finne fram, gikk de i ring og kom tilbake til den samme sandgropa. «Hvordan ville det være,» sa Brumm langsomt, «om vi prøvde å finne igjen denne

gropa så snart vi ikke ser den?» «Hva skulle det være godt for?» sa Sprett. «Jo,» sa Brumm, «Vi leter

etter hjem og finner det ikke, så tenkte jeg at dersom vi leter etter denne gropa, så kommer vi

kanskje ikke til å finne den, og det ville være en god ting, for da kunne vi kanskje finne noe som vi ikke leter etter og det kunne være det vi virkelig leter

etter.» «Jeg ser ikke mye fornuft i det,» sa Sprett.

Klassifisering

• Små barn betegner ofte alle dyr som vovov eller bææ. Hvorfor er det slik?

• Barn skiller mellom mennesker og dyr• Dyr kan skilles etter

– Antall bein– Om de har vinger– Hvilken farge de har

• Mange kriterier kan gjøre det vanskelig å klassifisere – jf. botanikk

• Vi skiller ofte mellom nødvendig og tilstrekkelig informasjon

Nødvendig – tilstrekkelig

• Er det nødvendig for en katt å ha fire bein?• Er det tilstrekkelig?• Det kan være vanskelig å finne de riktige

kriteriene for å beskrive en ting• Vi tar en liten test!

HELIKOPTER

Helikopter

• Hva er nødvendige kriterier?• Hva er tilstrekkelige kriterier?

Diskusjonsoppgave

• Summen av to positive hele tall skal være et partall– Er det nødvendig at begge tallene er partall?– Er det tilstrekkelig at begge tallene er partall?– Begrunn svarene!

Logiske slutninger

Håvard (2 år) er godt påkledd idet tante Kari kommer på besøk. «Mamma jeg vil ikke ut.» «Joda,

du må ut en tur nå som du har kledd på deg ...»Etter tre minutter ringer det på døra:«Mamma – det er en løve i hagen!»

Han insisterer på at mora må være med ut for å se.«Men Håvard, det er bare en stor katt.»

«Jammen du har jo sagt at løver er store katter!»

Håvards slutning

• Hvis det er slik at når jeg ser en løve, ser jeg en stor katt

• så er det også slik at når jeg ser en stor katt, ser jeg en løve

• Mer formelt:• Hvis A medfører B ( )• så er det også slik at• B medfører A ( )• Holder denne konklusjonen?

A⇒ B

B⇒ A

Eksempel

Hvis du vet at et fremmed eller ukjent tall er større enn 12, kan du da konkludere med at det også er

større enn 9?

Gjelder det omvendt?

Mer formalisert

x12 ⇒ x9

MEN følgende blir galt :

x9 ⇒ x12

Et nytt eksempel

x−1=2 ⇒ x−11=21 ⇒ x=3

x−1=2 ⇒ x=3

eller

A⇒ B

Et nytt eksempel

x−1=2 ⇒ x−11=21 ⇒ x=3

x−1=2 ⇒ x=3

eller

A⇒ B

A

B

Et nytt eksempel

Her gjelder også motsatt :

x=3 ⇒ x−1=3−1 ⇒ x−1=2

B⇒ A

Da har vi også atA⇔B

Slutninger - moteksempel

Ett moteksempel er nok!!!

Eksempel

Hvis alle vinklene i en firkant er 90˚, så er firkanten et kvadrat

Moteksempel

Uendelighet

• Hva er det største tallet i verden?• Hvor mye er uendelig?• Hva er størst: uendelig, eller uendelig pluss en?

Omvendt

Hva er det minste tallet i verden?

Vi leser litt mer fra «Talldjevelen»!

Tenking og undring

• Barn undrer seg• Barnelitteraturen er full av filosofiske

underfundigheter– Les for eksempel utdragene fra «Jim Knapp og

Lukas lokomotivfører» i læreboka!

«Tenk om alt var annerledes? Kan vi være sikre på at vi vet det vi tror vi vet? Virkeligheten er kanskje

når alt kommer til alt, helt annerledes enn vi forestiller oss ...»

(fra boka «Filosofi med barn» av Malmhester og Ohlsson, s. 17)

Utfordring

Hvorfor er det så lite undring og filosofering i mattebøker?

Hvordan kan vi som pedagoger endre på dette?

Fra «Alice i eventyrland»

«Vil du ha mer te?» spurte haren og var høflig.«Jeg har ikke fått noe te før,» svarte Alice

fornærmet, «så jeg kan ikke få mer!»«Du mener at du ikke kan få mindre,» sa Mathias.

«Det er svært lett å få mer enn ingenting.»

Diskusjonsoppgave

En katt har en hale mer enn ingen katt.Ingen katt har to haler.

Da må vel en katt ha tre haler, da...

Prøv å bevise at en katt har ni haler.

Ha en fortsatt fin dag!!!