ゲージ理論とα-接続

埼玉大学大学院 理工学研究科数理電子情報部門 情報領域

田中 勝

ゲージ理論と微分幾何学との対応

接続 ゲージポテンシャル

曲率 ゲージ場

F dA A ∧ A

主ファイバー束のファイバーの座標変換

ゲージ変換

A ′ gAg−1 gdg−1

F′ gFg−1

x, x,′ x, g

構造群 ゲージ群

セクション 物質場

G g | g exp−ie

物質場とゲージ場の相互作用をminimal couplingで導入する（共変微分を定義する）．物質場に局所ゲージ変換を施し，ある量（理論＝Lagrangean density）が不変になる

ようにゲージポテンシャルの変換性を決める．

ゲージ理論

ℒ iD − m − 14 FF

j 0 j

−j 00

0 00 −0

†0 D ∂ − ieA F ∂A − ∂A

′ exp−ie

A′ A − ∂

F′ F

Minimal coupling

ゲージ場ゲージポテンシャル

ゲージ変換：

D′ ′ exp−ieDこのとき となるようにしたい．

ゲージポテンシャルが次のように変換されればよい：

このとき

p pX,

u 2 p

∂i ∂∂i

ui ∂ iu 1p ∂ip p ∂ i logp

確率密度関数：

確率振幅：

α-接続のゲージ理論的導出

gij E∂ i logp∂ j logp dx uiujFisher計量：

はベクトル場ui

ui exp − 2 f ui

f f X,

dx ui #

uj dx ui

−uj gij

Fisher計量を不変にする：

ゲージ変換：

ただし，

α-共役： # −

Djui ∂ jui − Γjik uk

Γjik Γji

k − 2 Aji

k

共変微分：

ゲージ変換後の接続が次のように変換すると仮定する：

Ajik Aji

k

∂ℓgij gℓkΓjik gℓk Γji

k # gℓkΓji

k gℓkΓji−k

双対性（自動的に満たされる）：

Γijk 12 ∂kgij接続：

Djui

exp − 2 f Djui

Ajik uk ∂j f ui

以下のように Ajik を決定する：

Djui

∂ jui − Γji

kuk

exp − 2 f Djui

− 2 exp − 2 f ∂ j f ui − Aji

k uk

ゲージ変換後の共変微分：

を決定すれば，α-接続を導いたことになるAjik

dx uℓ Ajikuk Aji

k dx uℓuk Ajikgℓk Ajiℓ

Ajiℓ dx uℓ ∂ j f ui

uℓ をかけて，確率変数 で積分するとx

したがって，

∂j f ∂f∂u uj

Ajiℓ dx ∂f∂u uℓujui

Γjik Γji

k − 2 Aji

k Γjik −

2 gkℓ dx ∂f∂u uℓujui

確率振幅 を通して 微分を考えると， に対する適当な仮定の下でu

これで を決定することができたので，ゲージ変換後の接続は次のようになる：Ajiℓ

f

上記のようにα-接続は期待値をとった後で定義されるので，ゲージ場（曲率）の

ゲージ変換の下での変換性を通常の通りに考えることはできないことに注意する

p exp 1x 2x2 − − 1412

2 − 12 log−2 1

2 log

1 2 2 − 1

22

例： 正規分布の場合

f log u2

4 logp ∂f∂u 2

u 1p

A111 0

A112 12

122

A122 − 1

23

A222 3212

24 −1

23

例1．（シャノン-タイプ）

α-ダイバージェンスから得られるα-接続と一致する

f 11 − q

u2

21−q− 1 1

1 − q p1−q − 1

∂f∂u u

21−2q

p−q 12

例2．（β-タイプ：q = 1 のときにはシャノン-タイプに一致する）

積分が収束するための条件： 0 q 2

この場合は，以下で示すように non-conjugate symmetric equiaffine model になっている

A111 0

A112 14

q−1q 12 − q

52

1−2

3q2

A122 12

q−1q 12 − q

52

1

−25q2

A222 34

q−1q 12 − q

52

12

−27q2

18

q−1q3 − 3q2 9q 12 − q

72

1−2

5q2

α-Riemann tensor：

R1212

q−1q 1q3 − q2 7q − 3642 − q6

1−2 q2

2

− q−12 q − 1q2 − 4q − 11

322 − q72

1−2

q52

− 18

1−2 3

R2112 −

q−1q 1q3 − q2 7q − 3642 − q6

1−2 q2

2

− q−12 q − 1q2 − 4q − 11

322 − q72

1−2

q52

18

1−2 3

α-Riemann tensor (続き)：

R1221 −

q−1q 1q3 − q2 7q − 3642 − q6

1−2 q2

2

q−12 q − 1q2 − 4q − 11

322 − q72

1−2

q52

18

1−2 3

R2121

q−1q 1q3 − q2 7q − 3642 − q6

1−2 q2

2

q−12 q − 1q2 − 4q − 11

322 − q72

1−2

q52

− 18

1−2 3

α-Riemann tensor (続き)：

R2212 −

q−12 q − 1q2 − 4q − 11

162 − q72

1

−2 q72

R2221

q−12 q − 1q2 − 4q − 11

162 − q72

1

−2 q72

Conjugate symmetric ではない

他はすべて０

α-Ricci tensor：

R11

q−1q 1q3 − q2 7q − 3322 − q6

1−2q 2

− q−12 q − 1q2 2q 7

162 − q72

1−2

q12

− 14

1−2

R22

q−1q 1q3 − q2 7q − 3322 − q6

1 2 − 2

−22q 2

− q−12 q − 1q2 2q 7

162 − q72

12 2

−2 q52

− 1412 − 2

−2 3

α-Ricci tensor （続き）：

equiaffine である

R12

q−1q 1q3 − q2 7q − 3322 − q6

1

−2 1q 2

− q−12 q − 1q2 2q 7

162 − q72

1

−2q32

− 14

1

−22

R21

q−1q 1q3 − q2 7q − 3322 − q6

1

−2 1q 2

− q−12 q − 1q2 2q 7

162 − q72

1

−2q32

− 14

1

−22

R q−1q 1q3 − q2 7q − 3

82 − q6 −2 1−q2 − 1

q 3 10 − 1

2

3 ≃ 0. 4442398183 R −1のとき，

α-Ricci scalar 曲率：

2 2 2 − q3

q−1q 1q3 − q2 7q − 31

−21−q2

R 0 となるのは，

（αの値に依らない）

α-Ricci scalar 曲率 (続き)：

まとめ

α-共役の下で，ゲージ変換 を施すとui exp − 2 f ui

Γjik Γji

k − 2 Aji

k仮定：

要請： Djui

exp − 2 f Djui

Γjik Γji

k − 2 Aji

k Γjik −

2 gkℓ dx ∂f∂u uℓujui

α-接続が に応じて得られる：f

Fisher計量は不変であり，

双対性も保たれる

∂ℓgij gℓkΓjik gℓk Γji

k # gℓkΓji

k gℓkΓji−k

Conjugate symmetric になるかどうかはα-接続の与え方（ ）で決まるf