中心的単純環の理論と中心的斜体に関する種々の問...

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中心的単純環の理論と中心的斜体に関する種々の問題について

長谷川　寿人

自然科学研究科数理物質科学専攻博士前期課程 2 年

2017年 2月 9日

長谷川寿人 (博士前期課程 2 年) 中心的単純環の理論と種々の問題について 2017 年 2 月 9 日 1 / 19

イントロダクション

.研究テーマ........体 kが与えられたとき，k上の非可換体K はどのくらいあるのか？

−→ その中でも最も非可換性の高いものについて研究している(k上の中心的斜体)

−→ kのブラウアー群Br(k)がその情報をもっている！

.例 (ブラウアー群の例)..

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k = C : 複素数体

Br(C) = {[0]} = {[C]} (自明群) (← C上の中心的斜体は Cのみ)

k = R : 実数体Br(R) = {[R], [H]} ≃ Z/2Z (← R上の中心的斜体は R,Hのみ)({1, i, j, k} : Hの R上の基底)

k = Fq : 有限体

Br(Fq) = {[Fq]} (自明群) (← Fq 上の中心的斜体は Fq のみ)

k = Qp : p進体

Br(Qp) ≃ Q/Z (無限群)

k = Q : 有理数体

Br(Q) ≃

(a, xp) ∈ Z/2Z⊕⊕p:素数

∣∣∣∣∣∣ a2 +∑p:素数

xp = 0

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k = Fq : 有限体

k = Qp : p進体

Br(Q) ≃

∣∣∣∣∣∣ a2 +∑p:素数

xp = 0

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k = Fq : 有限体

k = Qp : p進体

Br(Q) ≃

∣∣∣∣∣∣ a2 +∑p:素数

xp = 0

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k = Fq : 有限体

k = Qp : p進体

Br(Q) ≃

∣∣∣∣∣∣ a2 +∑p:素数

xp = 0

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k = Fq : 有限体

k = Qp : p進体

Br(Q) ≃

∣∣∣∣∣∣ a2 +∑p:素数

xp = 0

発表の流れ

...1 準備

...2 中心的単純環の理論Wedderburnの構造定理ブラウアー群分解体相対ブラウアー群とコホモロジーの関係

...3 中心的斜体に関する種々の問題と今後の研究課題同型問題巡回性問題

1. 準備

以下，k : 体とする．

Mn(k) : k上の n次正方行列, K : kの拡大体H : ハミルトンの四元数体 (k = R): k上の多元環 (

def⇔ k上の線形空間で積が定義されているもの)

A : k上の多元環とする．(以下，有限次元のものだけを扱う).定義 (中心的単純環)..

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Aが k上の中心的単純環def⇔ Z(A) = k (k上中心的)

Aの両側イデアルは {0}とAのみ (単純)

一般に，中心的単純環の k上の次元は必ず平方数になる．.定義 (次数)..

......deg(A) =√

dimk(A) : Aの次数

2. 中心的単純環の理論

2.1 Wedderburnの構造定理

D : k上の斜体 (def⇔ k上の多元環で 0以外の元が逆元をもつもの)

.例........D上の行列環Mn(D)は k上の単純多元環である．

逆に，単純多元環に対し次が成り立つ．.定理 (Wedderburnの構造定理, 1907)..

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単純多元環Aに対し，

A ≃ Mn(D) (∃D : k上の斜体).

さらに，上の斜体Dは同型を除き一意的に定まる．

とくに，A : 中心的単純環 =⇒ Dは中心的斜体

2.2 ブラウアー群

A, B : k上の中心的単純環=⇒ A ≃ Mn(DA), B ≃ Mm(DB) (

∃DA, DB : k上の中心的斜体)

.定義 (ブラウアー同値)..

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k上の中心的単純環に対し，同値関係∼を

A ∼ Bdef⇔ DA ≃ DB

で定める．このとき，AとBはブラウアー同値であるという．

.定義 (ブラウアー群Br(k))..

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Br(k) = {k上の中心的単純環全体 }/ ∼とし，演算を

[A] + [B] = [A⊗B]

としてを定めると，Br(k)はこの演算に関し可換群の構造をもつ．この Br(k)を体 kのブラウアー群という．単位元は [k]，[A]の逆元は [A◦]である．

(A◦ : Aの逆多元環 def⇔ Aに積を a ◦ b = baで定義しなおしたもの)

.注意........A, B : 中心的単純環 =⇒ A⊗B : 中心的単純環

→ Br(k)は k上の中心的斜体がどのくらいあるかを表している．

.定義 (ブラウアー群Br(k))..

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Br(k) = {k上の中心的単純環全体 }/ ∼とし，演算を

[A] + [B] = [A⊗B]

としてを定めると，Br(k)はこの演算に関し可換群の構造をもつ．この Br(k)を体 kのブラウアー群という．単位元は [k]，[A]の逆元は [A◦]である．

(A◦ : Aの逆多元環 def⇔ Aに積を a ◦ b = baで定義しなおしたもの)

.注意........A, B : 中心的単純環 =⇒ A⊗B : 中心的単純環

→ Br(k)は k上の中心的斜体がどのくらいあるかを表している．

.例 (Rのブラウアー群)..

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k = R : 実数体Br(R) = {[R], [H]} ≃ Z/2Z

このとき，[H]の位数が 2であるから，

[H] + [H] = [H⊗H] = [R] = [0] (単位元)．

これは，

H⊗H ≃ M4(R)

となることを表している．

2.3 分解体

A : k上の中心的単純環，K : kの拡大体

⇒ A⊗K : K 上の中心的単純環

.定義 (分解体)..

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A⊗K ≃ Mn(K) となるとき，K はAの分解体であるという．( ⇔ [A⊗K] = [0] )

K : kの拡大体が分解体になるかはブラウアー同値類に対して決まる．

2.4 相対ブラウアー群とコホモロジーの関係

.定義 (相対ブラウアー群Br(K/k))..

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K : kの拡大体

Br(K/k) = {[A] ∈ Br(k) | AがK で分解する } : 相対ブラウアー群

一般に，k上の中心的単純環は k上のある有限次ガロア拡大で分解する

−→ Br(k) =∪

K/k : 有限次ガロア拡大

Br(K/k)

K/k : 有限次ガロア拡大, G = Gal(K/k)とする．.定理 (相対ブラウアー群Br(K/k)とコホモロジー群H2(G,K×))..

...... Br(K/k) ≃ H2(G,K×)

3. 中心的斜体に関する種々の問題と今後の研究課題

3.1 同型問題

.問題 (同型問題)..

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D1, D2 : n次の k上の中心的斜体このとき，D1とD2が同型かをD1, D2の情報を使って判定できるか？

以下，D : k上の中心的斜体, deg(D) = nとする．一般にDの部分体K ⊃ kに対して次のことが成り立つ．.命題..

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以下は同値である．(1) [K : k] = nである．(2) K はDの極大部分体である．(3) K はDの分解体である．とくに，Dは必ず k上 n次の部分体を含む．

.予想..

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D1, D2 : n次の中心的斜体このとき，D1 ≃ D2 ⇐⇒ D1, D2が同じ極大部分体の族をもつ．

=⇒が成り立つことはよい．

この予想について知られている結果 :

n = 2のとき : kが代数体のときは Yes(∵ Albert-Brauer-Hasse-Noetherの定理, 1932)しかし，一般の kに対しては No(Rost, McKinnie, Wadsworth, Schacher, Goldstein etc., 1980s～)

n ≥ 3のとき : kが代数体のときでも No

.予想..

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n = 2のとき : kが代数体のときは Yes(∵ Albert-Brauer-Hasse-Noetherの定理, 1932)

しかし，一般の kに対しては No(Rost, McKinnie, Wadsworth, Schacher, Goldstein etc., 1980s～)

.予想..

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.予想..

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.予想..

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どうして成り立たないのかを考えてみる．D : 中心的斜体 =⇒ D◦もDと同じ極大部分体をもつ．

すると，予想が正しい =⇒ D ≃ D◦

=⇒ [D] = [D◦]=⇒ [D] = −[D]=⇒ 2[D] = [0].

つまり，[D]の位数が 2でなくてはならないことがわかる．

.予想..

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どうして成り立たないのかを考えてみる．D : 中心的斜体 =⇒ D◦もDと同じ極大部分体をもつ．すると，予想が正しい =⇒ D ≃ D◦

=⇒ [D] = [D◦]=⇒ [D] = −[D]=⇒ 2[D] = [0].

つまり，[D]の位数が 2でなくてはならないことがわかる．

.予想..

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.今後の課題..

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D1, D2 : n次の中心的斜体, [D1], [D2]の位数は 2とする．このとき

D1 ≃ D2 ⇐⇒ D1, D2が同じ極大部分体の族をもつ

が成り立つか？

3.2 巡回性問題

＜巡回多元環＞A : k上の中心的単純環, deg(A) = nとする．

.定義 (巡回多元環)..

......Aが巡回多元環def⇔ A ⊃ ∃K ⊃ k : Aの部分体 s.t. K/k : n次巡回拡大

.例 (k = R)..

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H : R上の中心的単純環, deg(H) = 2

R2⊂ C ⊂ Hより，H : 巡回多元環

.問題 (巡回性問題)........n次の中心的斜体Dは巡回多元環になるか？

この問題について知られている結果 :

n = 2のとき : Yes (∵ Dは k上 2次の部分体を含む)

n = 3のとき : Yes (Wedderburn, 1921)

n = 4のとき : No (Albert, 1933)

n = 5のとき : ？ (未解決)

.定理 (Rowen-Saltman, 1982, Proc. Amer. Math. Soc.)..

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n : 奇数，k ∋ ζn (ζn : 1の原始 n乗根)とする．このとき，Dがガロア群Dn(位数 2nの二面体群)の拡大で分解する⇒ Dは巡回多元環である．

証明の方針：

n乗して初めて kの元となるDの元 xをみつける

=⇒ k(x) ⊂ Dは k上 n次の巡回拡大体である (∵クンマー理論 )

=⇒ Dは巡回多元環である．

とくに n = 5の場合，k ̸∋ ζ5の場合も成り立つことが示されている．(E. Matzri, 2008, Proc. Amer. Math. Soc.)

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証明の方針：n乗して初めて kの元となるDの元 xをみつける

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.今後の課題..

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一般の奇数 nに対し k ∋ ζnの仮定が外せるか？

F : 1の n乗根を含まない体� �2

F (ζn)⊃F (ζn + ζ−1n ) ⊃ F

−→ 最初の段階として “k ∋ ζn”を “k ∋ ζn + ζ−1n ”にゆるめられるか？

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