ONEM 2011 (Fase 2 - Nivel 2) AMAUTAS (G 522-0933)- 1 -

VIII ONEM (2011) PER

Fase: II

SOLUCIONARIO

3 - 4 secundaria

Nivel IIhttp://www.amautas-peru.blogspot.com

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VIII Olimpiada Nacional Escolar de MatemticaSociedad Matemtica de Educacin

ONEM 2011

Segunda Fase - Nivel 219 de agosto de 2011

- La prueba tiene una duracin mxima de 2 horas.- No est permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de

esta prueba para realizar tus clculos.- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has

terminado con la prueba. En caso de empate se tomar en cuenta la horade entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DERESPUESTAS.EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NMERO ENTEROPOSITIVO.

Problema N 1.En un molino haba cierta cantidad de toneladas de harina y de stas sevendi la cuarta parte. Luego, se vendi la tercera parte del resto, quedandopor vender 24 toneladas. Cuntas toneladas de harina haba inicialmente?

Problema N 2.Un grupo de amigos desea entrar al cine y el monto total a pagar por lasentradas (que tienen el mismo valor), es 200 nuevos soles. Al momento depagar, cinco de ellos no tienen dinero para la entrada, por lo cual todos losdems deben aportar 2 nuevos soles ms de lo previsto. Cunto cuesta laentrada al cine?

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Problema N 3.Sea x la solucin real de la ecuacin: 2 - = 0. Halla x .2

Problema N 4.En la figura, ABCD es un cuadrado y los tringulos AED y CFD sonequilteros. Halla el valor de x + y.

Problema N 5.Se arrojan tres dados. El resultado del primer dado se multiplica por 7, luegose suma al resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por ltimo,se suma el resultado del tercer dado, obtenindose 136. Cul es la suma delos resultados de los tres dados?

Problema N 6.En cada casilla del siguiente tablero est escrito un nmero (algunos estnocultos), de tal forma que la suma de los nmeros escritos en 3 casillasconsecutivas (en la misma fila o en la misma columna) siempre es 6. Halla lasuma de los nmeros escritos en todas las casillas del tablero.

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Problema N 7.1 2 100 1 2Sea a ; a ; ........ ; a , una secuencia de 100 trminos donde a = 1, a = 1

3y a = 2 y en la cual se cumple que la suma de cuatro trminos consecutivoses igual a su producto. Halla la suma de todos los trminos de la secuencia.

Problema N 8.M y N son dos enteros positivos de 6 dgitos o menos. La suma de los dgitosde M y N son 31 y 37, respectivamente. Cuntos valores distintos puedetomar la suma de los dgitos de M+N?

Problema N 9.Doce caballeros estn sentados alrededor de una mesa redonda. Cadacaballero desconfa de los dos que estn sentados a sus lados, pero no de losotros nueve. Se debe formar un grupo de tres caballeros para ir a rescatar auna princesa, de tal modo que ninguno de ellos desconfe de alguno de losotros dos. De cuntas maneras se puede formar el grupo?

Problema N 10.La suma de m + n enteros positivos distintos es 2011, m de ellos son pares ylos otros n son impares. Halla el mayor valor que puede tomar 3m + 4n.

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SOLUCIONARIOSegunda Fase - Nivel 2

19 de agosto de 2011

- La prueba tiene una duracin mxima de 2 horas.- No est permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de

esta prueba para realizar tus clculos.- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has

terminado con la prueba. En caso de empate se tomar en cuenta la horade entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DERESPUESTAS.EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NMERO ENTEROPOSITIVO.

Problema N 1.En un molino haba cierta cantidad de toneladas de harina y de stas sevendi la cuarta parte. Luego, se vendi la tercera parte del resto, quedandopor vender 24 toneladas. Cuntas toneladas de harina haba inicialmente?

Resolucin: Sea x el total de harina.Del enunciado: Qued:1ra. Venta

2da. Venta = 24

Simplificando: = 24 x = 48

4 8

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Problema N 2.Un grupo de amigos desea entrar al cine y el monto total a pagar por lasentradas (que tienen el mismo valor), es 200 nuevos soles. Al momento depagar, cinco de ellos no tienen dinero para la entrada, por lo cual todos losdems deben aportar 2 nuevos soles ms de lo previsto. Cunto cuesta laentrada al cine?

Resolucin: Sean n los amigos que pagan x soles por cada entrada.Del enunciado: nx = 200 .... (1)5 no tienen dinero para la entrada, ... los dems deben aportar 2 nuevos solesms de lo previsto. (n - 5)( x + 2) = 200 nx + 2n - 5x - 10 = 200 200 + 2( ) - 5x - 10 = 200 400 - 5x - 10x = 02

80 - x - 2x = 02

x + 2x - 80 = (x - 8)(x + 10) = 02

Finalmente: x -8 = 0 x = 8 8

Problema N 3.Sea x la solucin real de la ecuacin: 2 - = 0. Halla x .2

Resolucin: Restricciones:

1 - x $ 0 1 $ x 8 - 2x $ 0 4 $ x

En la ecuacin:2 - = 0

2 = Elevando al cuadrado:

- 8 -

4(1 - x) = 8 - 2x -2x = 4 x = -2 cumple las restricciones.Finalmente: x = (-2) = 4 2 2

4

Problema N 4.En la figura, ABCD es un cuadrado y los tringulos AED y CFD sonequilteros. Halla el valor de x + y.

Resolucin: Completamos el grfico con los datos del enunciado.ABCD es un cuadrado AD = CD AED y CFD son equilteros ED = AD = DF = CF

En el tringulo equiltero CDF: x + y = 60 6 0

Problema N 5.Se arrojan tres dados. El resultado del primer dado se multiplica por 7, luegose suma al resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por ltimo,se suma el resultado del tercer dado, obtenindose 136. Cul es la suma de

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los resultados de los tres dados?

Resolucin: Sean x, y, z los nmeros obtenidos al arrojar los dados, en ese orden.Donde: x, y, z 0 {1, 2, 3, 4, 5, 6}Del enunciado:

7( 7x + y) + z = 136 7( 7x + y) = 136 - zExpresemos como mltiplo de 7. 7( 7x + y) = 7(19) + 3 - zPara que se cumpla la igualdad: z = 3 7x + y = 19 7x = 19 - ySe verifica cuando: 7(2) = 19 - 5Luego: x = 2; y = 5; z = 3Nos piden: x + y + z = 2 + 5 + 3 = 10

1 0

Problema N 6.En cada casilla del siguiente tablero est escrito un nmero (algunos estnocultos), de tal forma que la suma de los nmeros escritos en 3 casillasconsecutivas (en la misma fila o en la misma columna) siempre es 6. Halla lasuma de los nmeros escritos en todas las casillas del tablero.

Resolucin: Completamos las casillas en ternas que sumen 6.

El tablero quedara como sigue:

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Del primer tablero:d + 5 + 2 = 6 d = -1Tambin: 3 + d + N = 6 3 - 1 + N = 6 N = 4

Piden la suma total de los nmeros del tablero.Observemos el segundo tablero y las ternas sombreadas y en blanco. 6(16 ternas) + 4 = 6(16) + 4 = 96 + 4 = 100

100

Problema N 7.1 2 100 1 2Sea a ; a ; ........ ; a , una secuencia de 100 trminos donde a = 1, a = 1

3y a = 2 y en la cual se cumple que la suma de cuatro trminos consecutivoses igual a su producto. Halla la suma de todos los trminos de la secuencia.

Resolucin: 1 2 3Datos: a = 1, a = 1 y a = 2

Del enunciado: 1 2 3 4 1 2 3 4a + a + a + a = (a )(a )(a )(a )

4 4 1 + 1 + 2 + a = 2(a )4 a = 4

2 3 4 5 2 3 4 5Luego: a + a + a + a = (a )(a )(a )(a )5 5 1 + 2 + 4 + a = (2)(4)(a )

5 a = 1, anlogamente:6 a = 1

La sucesin ser:1; 1; 2; 4; 1; 1; 2; 4; .......; 1; 1; 2; 4

Son 100 trminos que se repiten en 25 grupos de 4 elementos (1 + 1 + 2 + 4= 8)

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Piden la suma de todos los trminos de la secuencia:1 2 100a + a + ........ + a = 25 (8) = 200

200

Problema N 8.M y N son dos enteros positivos de 6 dgitos o menos. La suma de los dgitosde M y N son 31 y 37, respectivamente. Cuntos valores distintos puedetomar la suma de los dgitos de M+N?

Resolucin: Del enunciado: La suma de los dgitos de M y N son 31 y 37,respectivamente. M y N son dos enteros positivos de 6 dgitos o menos.

M NLa suma de los dgitos de M (S = 31) y N (S = 37)

MPara obtener S = 31, como mnimo se debe tener 4 dgitos, pues si M = 9994M S = 9 + 9 + 9 + 4 = 31

NAnlogamente para S = 37, como mnimo se debe tener 5 dgitos, pues si N= 99991

NS = 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 37

Criterio de divisibilidad por 3: M = + 1; N = + 1

Luego: M + N = ( + 1) + ( + 1) = + 2(M + N)21 < S < 36

(M + N) S = {23, 25, 29, 32, 35}

La suma de los dgitos de M+N tomar 5 valores distintos.

Ejemplos: N = {256789, 346789, 166789}M = {98761, 98752, 98743 }

(M+N)S = 23

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N = {256789, 346789, 166789}M = {9994, 9995, 9996}

(M+N)S = 32 5

Problema N 9.Doce caballeros estn sentados alrededor de una mesa redonda. Cadacaballero desconfa de los dos que estn sentados a sus lados, pero no de losotros nueve. Se debe formar un grupo de tres caballeros para ir a rescatar auna princesa, de tal modo que ninguno de ellos desconfe de alguno de losotros dos. De cuntas maneras se puede formar el grupo?

Resolucin: Problema: Los caballeros del Rey Arturodel lib ro D e cuntas form as?Combinatoria. N. Vilenkin, pg. 43. Ed.MIR, 1972.Grafiquemos la distribucin circular.Al existir caballeros enem istados(desconfan entre s), se rompe el crculo(continuidad) y podemos reducirlo al casoen que los caballeros estn sentados enfila.

Para esto tomemos al caballero N. Todaslas distribuciones escogidas de caballeros se dividen en dos clases: enalgunas de ellas participa N, y en otras, no. Calculemos las distribuciones quehay en cada clase.Caso I: Si N conforma el grupo de rescate, sus vecinos de la derecha y de laizquierda no irn. Quedan 9 caballeros, de los cuales hay que escoger a 2acompaantes para N. La eliminacin de N y de sus dos vecinos rompi lacadena de caballeros, y se puede considerar quo stos no estn sentados enuna mesa redonda, sino en una fila. En este caso se pueden elegir 2caballeros de entre 9, en la forma exigida, de:

= = = 28 formas.

Caso II: Como N no participa en la expedicin, se lo puede eliminar de

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inmediato del nmero de caballeros de la mesa redonda. Entonces la cadenade caballeros y de sus interrelaciones se rompe nuevamente, quedando 11caballeros dispuestos en fila. De ellos hay que escoger 3 participantes de laexpedicin de manera que entre los elegidos no haya dos que estuviesensentados juntos. Esto se puedo efectuar de:

= = = 84 formas.

De esta forma, el nmero total de maneras de formar los grupos de rescate esigual a:

28 + 84 = 112 maneras 112

En general, si a la mesa redonda hay sentados n caballeros y hay que escogerk de ellos de modo que entre ellos no haya ningn par de vecinos, esto sepuede efectuar de:

+ maneras.

Problema N 10.La suma de m + n enteros positivos distintos es 2011, m de ellos son pares ylos otros n son impares. Halla el mayor valor que puede tomar 3m + 4n.

Resolucin: Como el nmero de posibles grupos de enteros positivos que suman 2011 esfinito, almenos uno de ellos debe alcanzar el mximo.

1 2 3 k-1 kSupongamos que a ; a ; a ; .... ; a ; a , nmeros consecutivos, donde m deellos son pares y los otros n son impares, es decir:

m + n = k

donde k debe ser el mayor posible entre los grupos de enteros positivos talesque:

1 2 3 ka + a + a + ...... + a = 2011

k 1 1Luego: a = a + (k - 1), de donde 2011 = ka +

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Entonces 2011 $ >

2011 > k -1 < ,

y al ser 64 = 4096 > 4022 > 3969 = 63 ,2 2

resulta que < 64, con lo que k -1 < 64 k < 65.m + n < 65Mximo valor entero de m + n = {64, 63, 62, .... }

Piden hallar el mayor valor que puede tomar 3m + 4n Si m = 35 y n = 29 k = 35 +29 = 64 3m + 4n = 3(29) + 4(35) = 221.

Si m = 31 y n = 32 k = 31 +32 = 63 3m + 4n = 3(31) + 4(32) = 221.

221

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En la Olimpiada Nacional Escolar de Matemtica 2011debern participar todos los estudiantes de Educacin Bsica Regular,del Nivel de educacin Secundaria, de las Instituciones Educativaspblica y privadas del pas.

Niveles de participacin:

a) NIVEL 1: Primero y Segundo grados.b) NIVEL 2: Tercero y Cuarto grados. c) NIVEL 3: Quinto grado.

Categoras de participacin:a) ALFA: Estudiantes de instituciones educativas pblicas.b) BETA: Estudiantes de instituciones educativas privadas.

Modalidades de participacin:a) Presencial: en la Primera, Segunda y Cuarta Etapas. b) Virtual: en la Tercera Etapa.

ETAPAS Y CLASIFICACINLa Olimpiada se realizar en cuatro etapas y una prueba de

comprobacin:

Etapa mbito F ech a d e la p ru eb a(2011)

Primera Instituciones Educativas 30 de junio

Segunda UGEL 19 de agosto

Tercera Direcciones Regionales de Educ. 30 de setiembre

Cuarta Final Lima 06 de noviembre

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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemtica Sociedad Matemtica de Educacin ONEM 2011Segunda Fase - Nivel 2Segunda Fase - Nivel 2Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: Resolucin: