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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS.
PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO II
INTEGRAIS DEFINIDAS
1. NOTAÇÃO DE SOMAÇÃO E ÁREA
Quando estudamos integral definida utilizamos somas de muitos números. Para
expressar tais somas de maneira compacta, usamos a notação de somação.
Notação de somação: 1 2
1
n
k n
k
a a a a
Onde k é o domínio e ka é a imagem
Exemplo: Calcule a soma 4
2 2 2 2 2
1
1 1 1 2 1 3 1 4 1j
j
1 1 4 1 9 1 16 1
2 5 10 17 34
Teorema. 1 1
n
k
c nc
Teorema. 2 Se n é um inteiro positivo arbitrário e 1 2, , , na a a e 1 2, , , nb b b são
conjuntos de números reais, então
i 1 1 1
n n n
k k k k
k k k
a b a b
ii 1 1
n n
k k
k k
ca c a
para todo real c.
iii 1 1 1
n n n
k k k k
k k k
a b a b
Teorema. 3
i.
1
11 2
2
n
k
n nk n
2
ii. 2 2 2 2
1
1 2 11 2
6
n
k
n n nk n
iii.
2
3 3 3 3
1
11 2
2
n
k
n nk n
2. Cálculo de áreas de uma região R em um plano coordenado.
Se n é um inteiro positivo arbitrário, dividamos o intervalo ,a b em n subintervalos, todos
do mesmo comprimento b a
xn
. Podemos obter isto escolhendo números 0 1, , , nx x x ,
com 0a x , nb x e 1k k
b ax x x
n
, para k = 1, 2, ....,n conforme indicado na figura
abaixo. Note que 0a a , 1x a x , 2 2x a x , 3 3x a x , ....., kx a k x , ... ,
nx a n x
Fonte: Swokowski, 1994, p. 331
Logo, a área polígono regular inscritoPIA é a soma das áreas dos n retângulos, isto é,
1 2PI nA f u x f u x f u x , usando a notação de somação, podemos escrever.
1
n
PI k
k
A f u x
, onde kf u é o valor mínimo de 1 em ,k kf x x
Se n é muito grande e x muito pequeno então a soma das áreas dos retângulos deve se
aproximar – se da área da região R. Daí podemos intuitivamente escrever.
0 0
1
lim limn
PI kx x
k
A A f u x
e a diferença 1
n
k
k
A f u x
é o erro decorrente da
utilização da área do polígono regular inscrito para aproximar A.
3
Definição. Seja f contínua e não-negativa em ,a b . Sejam A um número real e kf u o
valor mínimo de 1 em ,k kf x x . A notação 0
1
limn
kx
k
A f u x
significa que para todo
0 existe um 0 tal que se 0 ,x então, 1
n
k
k
A f u x
Pode-se obter a área A também por meio de retângulos circunscritos como do tipo da figura
abaixo.
Fonte: Swokowski, 1994, p. 333
1
n
PC k
k
A f v x
. PCA é a área de um polígono retangular circunscrito, onde kf v é o
valor máximo em 1,k kx x . Note que 1 1
n n
k k
k k
f u x A f v x
.
Exemplo.
Sejam 216f x x , e R a região sob o gráfico de f de 0 a 3.
Obtenha uma aproximação da área de R, utilizando.
(a) um polígono regular inscrito com 1
2x
(b) um polígono regular circunscrito com 1
2x
Solução: (a). 1
n
PI k k
k
A f u x
Fonte: Swokowski, 1994, p. 334
4
1 1 1 3 1 1 5 1 1
. 1 . . 2 . . 3 .2 2 2 2 2 2 2 2 2
PIA f f f f f f
63 1 1 55 1 1 39 1 1. 15. . 12. . 7.
4 2 2 4 2 2 4 2 2PIA
29336,625
8PIA
(b) 1
n
PC k
k
A f v x
Fonte: Swokowski, 1994, p. 334
1 1 1 1 3 1 1 5 1
0 . 1 . . 2 . .2 2 2 2 2 2 2 2 2
PCA f f f f f f
1 63 1 1 55 1 1 39 116. . 15. . 12. .
2 4 2 2 4 2 2 4 2PCA
32941,125
8PCA
Se 216f x x , determine a área da região sob o gráfico de f de 0 a 3
Fonte: Swokowski, 1994, p. 334
Solução: Dividindo-se o intervalo 0,3 em n subintervalos iguais, o comprimento de
cada subintervalo é 3
n, logo
3x
n .
5
3k k
kx k x x
n
2 2
2
3 3 916 16k
k k kf u f
n n n
2 2
2 21 1 1
9 3 3 916 16
n n n
k
k k k
k kf u x
n n n n
2
2 21 1 1
1 2 13 9 3 916 16
6
n n n
k
k k k
n n nf u x k n
n n n n
21
1 2 1948
2
n
k
k
n nf u x
n
20 01
1 2 19lim lim 48
2
n
kx x
k
n nf u x
n
=
01
9lim 48 2 39
2
n
kx
k
f u x
Assim, a área da região é 39
Exercícios.
I. Calcule a soma
1. 4
2
1
1j
j
2. 5
1
1k
k k
3. 5
1
1k
k k
4. 4
0
2 3k
k k
II. Expresse a soma em termos de n.
5. 2
1
3 5n
k
k k
6. 2
1
3 2 1n
k
k k
7. 3 2
1
2 4n
k
k k k
8. 3
1
3n
k
k k
III. Determine a área sob o gráfico da função dada de 0 a bf usando retângulos
inscritos e circunscritos.
9. 29 3f x x b 10. 34 2f x x x b
3. A INTEGRAL DEFINIDA
No estudo anterior restringimos e xf para calcular o 0
1
limn
k kx
k
f w x
como segue:
1. A função f é contínua no intervalo ,a b .
2. f x é não – negativa para todo x em ,a b .
3. Todos os subintervalos 1,k kx x têm o mesmo comprimento x .
4. O número kw é escolhido de modo que kf w seja sempre o mínimo ( ou o máximo )
de -1 em ,k kf x x .
Há muitas aplicações que envolvem este tipo de limite, em que nem todas as condições acima
são satisfeitas. Assim é conveniente introduzir as seguintes modificações:
5. A função f pode ser descontínua em alguns pontos de ,a b .
6. f x pode ser negativa para algum x em ,a b .
7. Os comprimentos dos subintervalos 1,k kx x podem ser diferentes.
8. O número kw pode ser qualquer número -1 em ,k kx x .
6
Introduziremos uma terminologia e notação novas. Uma partição P de um intervalo ,a b é
qualquer decomposição de ,a b em sub intervalos da forma.
0 1 1 2 2 3 1, , , , , , , ,k kx x x x x x x x para um número inteiro n e números kx tais que
0 1 2 1n na x x x x x b
O comprimento mok subintervalo será denotado por kx ; isto é, 1k k kx x x
A figura abaixo ilustra uma partição de ,a b . O maior dos números 1 2, , , nx x x é a
norma da partição P e se denota por P .
Fonte: Swokowski, 1994, p. 340
Exemplo: Os números 1;1,7;2,2;3,3;4,1;4,5;5;6 determinam uma partição P do intervalo
1,6 . Determine os comprimentos 1 2, , , nx x x dos subintervalos em P e a norma da
partição.
Solução: 1k k kx x x 1 1 0x x x 1 1,7 1 0,7x
2 0,5x 3 1,1x ; 4 0,8x ; 5 0,4x ; 6 0,5x ; 7 1,0x
3 1,1P x
Definição. Seja f definida em um intervalo fechado ,a b , e seja P uma partição de ,a b .
Uma SOMA DE RIEMANN de f ( ou f x ) para P é qualquer expressão R da forma.
k-1
1
, onde está em x , e 1,2,3, ,n
p k k k k
k
R f w x w x k n
Com esta definição de kf w , não é necessário um máximo ou um mínimo de f em
1,k kx x . Se construirmos um retângulo de comprimento kf w e largura kx , conforme
ilustrado na figura (i), o retângulo pode não ser nem inscrito nem circunscrito. Alem disso,
como f x pode ser negativa também ou podem ser certos termos da soma de Riemann pR .
Conseqüentemente, pR nem sempre representa uma soma de
áreas de retângulos.
Fonte: Swokowski, 1994, p. 341
7
Fonte: Swokowski, 1994, p. 341
Figura (i) Figura (ii)
Na figura (ii) a soma de Riemann admite a seguinte interpretação geométrica. Para cada
subintervalo 1,k kx x , construamos um segmento horizontal pelo ponto ,k kw f w ,
obtendo assim uma coleção de retângulos. Se kf w é positiva, o retângulo está acima do
eixo – x, e produto k kf w x é a área deste retângulo. Se kf w é negativa, o retângulo está
abaixo do eixo – x, e produto k kf w x é a área deste retângulo. pR é a soma das áreas dos
retângulos que estão acima e abaixo do eixo – x.
Exemplo. Sejam 218
2f x x e P a partição de 0,6 nos cinco subintervalos
determinados por 0 1 2 3 4 50, 1,5, 2,5, 4,5, 5, 6x x x x x x . Determine a norma da
partição e a soma de Riemann pR se 1 2 3 4 51, 2, w 4,5, 5, 5,5w w w w
Solução. A figura abaixo esboça o gráfico de f
1 2 3 4 51,5, 1, x 2, 0,5, 1x x x x
A norma P da partição é 3 2x
5
1
p k k
k
R f w x
Fonte: Swokowski, 1994, p. 342
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5pR f w x f w x f w x f w x f w x Fonte: Swokowski, 1994, p. 340
1 1,5 2 1 3,5 2 5 0,5 5,5 1pR f f f f f
8
7,5 1,5 6 1 1,875 2 4,5 0,5 7,125 1pR
11,625pR
Nem sempre especificaremos o número n de subintervalos em uma partição P de ,a b . A
soma de Riemann escreverá p k k
k
R f w x , e admitiremos que os termos da forma
k kf w x devem ser somados sobre todos os subintervalos 1,k kx x na partição P.
A partir daí, definimos. 0
lim k kP
k
f w x L
para um número real L.
Definição. Sejam f definida em um intervalo fechado ,a b e L um número real. A
afirmação 0
lim k kP
k
f w x L
significa que, para todo 0 , existe um 0 tal que se P
é uma partição de ,a b com P , então
k k
k
f w x L para qualquer escolha do números kw nos subintervalos 1,k kx x de P.
O número L é um limite de somas ( de Riemann )
Definimos a seguir a integral definida como o limite de uma soma, onde kw e kx tem o
mesmos significados da definição acima.
Definição. Seja f definida em um intervalo fechado ,a b . A integral definida de
, de a ,f a b denotada por ,b
af x dx é
0
limb
k ka p
k
f x dx f w x
desde que o limite exista.
Exemplo. Expresse o limite de somas como uma integral definida no intervalo 3,8 :
3
01
lim (5 4n
k k k kP
k
w w sen w x
.
Solução. 35f x x x sen x logo o limite pode ser expresso como a integral definida.
8
3
35x x sen x dx
Definição. (i) Se , então d c
c dc d f x dx f x dx
9
(ii) Se existe, então 0a
af a f x dx
Teorema. Se f é integrável e 0f x para todo x em ,a b , então a área A da região sob o
gráfico de f de a e b é 0b
aA f x dx
Se uma partição regular de ,a b contém n subintervalos então b a
xn
logo 0P e
equivalente a 0 ou x n e a integral definida toma a forma.
0
1
limnb
k ka n
k
f x dx f w x
Teorema. Se f é integrável e 0, f x para todo x em ,a b então a área A da região sob
o gráfico de f de a e b é.
b
aA f x dx
Exemplo. Calcule 4
2
13
2x dx
4
2
13
2x dx
=
12 5 .6 21
2
Fonte: Swokowski, 1994, p. 346
Calcular. 4
2
416 x dx
Solução. Se 216f x x então o gráfico de f é o
semicírculo da figura ao lado, logo
4
2
416 x dx
= 21
4 82
Fonte: Swokowski, 1994, p. 347
10
Exercícios.
Expresse cada limite como uma integral definida no intervalo dado ,a b
1. 2
01
lim 3 2 5 -1,2n
k k kP x
k
w w x
2. 2
01
lim 4 2,3n
k kP x
k
w x
Dada 4
1
14
3xdx , Calcule a integral
1. 1
4xdx 2.
4
1sds
Expresse a área da região na figura como uma integral definida
Fonte: Swokowski, 1994, p. 350
Calcule a integral definida encarando-a como a área sob o gráfico de uma função
1. 2
32 6x dx
2.
2
17 3x dx
3. 3
01x dx 4.
4
1x dx
4. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
(i) Se c é uma constante real, então.
Fonte: Swokowski, 1994, p. 351
11
Exemplo: Calcula 3
27dx
Solução.
3
27 7 3 2 7.5 35dx
(ii) Se f é integrável em ,a b e c é um número real arbitrário, então cf é
integrável em ,a b e b b
a acf x dx c f x dx
Se f e g integráveis em ,a b , então e f g f g são integráveis em ,a b e
(iii) b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
(iv) b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
Fonte: Swokowski, 1994, p. 354
Se a c b e se f é integrável tanto em ,a c como em ,c b , então f é integrável em
,a b e
(v) b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO.
Se f é contínua em um intervalo fechado ,a b , então existe um número z no intervalo
aberto ,a b tal que.
b
af x dx f z b a
O número z não é necessariamente único; o que o teorema garante, entretanto, é que existe ao
menos um número que dá o resultado desejado.
12
O Teorema do Valor Médio admite uma interpretação geométrica interessante, se 0f x
em ,a b . Nesse caso, b
af x dx é a área sob o gráfico de de a f a b . Se traçarmos uma
reta horizontal pelo ponto ,P z f z , conforme figura abaixo, então a área da região
retangular delimitada por esta reta, o eixo - x e as retas e é x a x b f z b a ; tal
área, de acordo com o Teorema do Valor Médio, é a mesma área sob o gráfico de
de a f a b .
Fonte: Swokowski, 1994, p. 357
Exemplo.Ache um número z que verifique a conclusão do teorema do valor médio. Ache o
valor médio de f em ,a b .
32
03 27x dx
Solução: 3
2
03 3 0 27x dx f z
3 27f z 23f z z
9f z 29 3z
3z 3 9f
13
6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Suponha que f é contínua em um intervalo fechado ,a b .
Se F é antiderivada de f em ,a b , então b
af x dx F b F a
Se f é contínua em ,a a
(i) Se f é uma função par,
0
2a a
af x dx f x dx
(ii) Se f é uma função ímpar,
0a
af x dx
Seja f é contínua em um intervalo fechado ,a b . Se ,a c b então, para todo x em ,a b ,
x
xc
D f t dt f x
Exemplo: Se 1
1x
G x dtt
e 0x , calcule 'G x
Solução: 1
1 1'
x
xG x D dtt x
7. ÁREAS
Se uma função f é contínua e 0f x em ,a b , então, a área sob o gráfico de
de a f a b é dada pela integral definida b
af x dx . Nesta seção, consideraremos a região
que está entre os gráficos de duas funções.
Se e f g são contínuas e 0f x g x para todo x em ,a b , então a área da região R
limitada pelos gráficos de , , e f g x a x b ver figura 1. pode ser calculada subtraindo – se
a área da região sob o gráfico de g da área da região sob o gráfico de f , como segue.
b b b
a a aA f x dx g x dx f x g x dx
Esta fórmula também é válida se ou f g é negativo
para algum em ,x a b . Para verificar escolhemos um
número negativo d inferior ao valor mínimo de g em
,a b , como vemos na figura 2. Em seguida, consideremos
as funções 1 1 e f g , definidas como segue:
1f x f x d f x d
1g x g x d g x d
figura 1. Fonte: Swokowski, 1994, p. 388
14
figura 2. figura 3. Fonte: Swokowski, 1994, p. 388
Os gráficos de 1 1 e f g , podem ser obtidos deslocando-se verticalmente os gráficos de
e f g de uma distância d . Se A é a área da região na figura 3. então
1 1
b
aA f x g x dx
b
aA f x d g x d dx
b
aA f x g x dx
Teorema:
Se e f g são contínuas e f x g x para todo em ,x a b , então a área A delimitada
pelos gráficos de , , e f g x a x b é
b
aA f x g x dx
8. Diretrizes para achar a área de uma região xR
1. Esboçar a região, designando por y f x a fronteira superior, e por y g x a
fronteira inferior. Achar o menor valor x a e o valor x b dos pontos ,x y na
região
2. Esboçar um retângulo vertical e designar por dx a sua largura.
3. Expressar a área do retângulo da diretriz 2 como f x g x dx
4. Aplicar o operador limite de somas b
a à expressão na diretriz 3 e calcule a integral.
Exemplo.
Estabeleça uma integral que possa ser usada para determinar a área da região sombreada.
15
a)
Fonte: Swokowski, 1994, p. 398
2
2
21 2x x dx
4
16 x x dx
Fonte: Swokowski, 1994, p. 398
1
2 3
23 4y y dy
Fonte: Swokowski, 1994, p. 398
8
2/3
12y y dy
Fonte: Swokowski, 1994, p. 398
16
Calcule:
1. Calcule a área da região limitada pelas retas 0x , 1x , 2y e pelo gráfico de 2y x
2. Calcule a área da região limitada pelas retas 1x , 3x , pelo eixo 0x e pelo gráfico de 3y x
3. Calcule a área da região limitada pelas retas 1x , 4x , 0y e pelo gráfico de y x
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do
Brasil, 1994.
ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman
2000