Fakultet prometnih znanostiSveučilište u Zagrebu

IZMJENIČNE STRUJE I

ELEKTROTEHNIKA

IZMJENIČNE STRUJE

Izmjeni čne struje su vremenski promjenljive struje kojima se pored jakosti mijenja

i smjer strujanja naboja.

Trenutna vrijednost izmjeni čne veli čine iznos izmjenične veličine u određenom trenutku

Označavanje promjenjivih veli čina malim slovima u(t), i(t)

Periodi čki promjenjive veli čine nakon vremenskog intervala T [s] (PERIOD) ponavlja se “slika”

promjenjive veličine

Frekvencija f izmjenične veličine broj cijelih promjena (“slika”) te veličine u jedinici vremena:

== HzsT

f11

Izmjeni čne sinusoidalne veli čine

AmplitudaIm – maksimalna vrijednost

Kutna brzina ωωωω(kružna frekvencija) :

)(sin)(0 tIti m ⋅⋅= ω

mI

(kružna frekvencija) :

Fazni pomak (faza) ββββ

)(sin)( 22 βω −⋅⋅= tIti m

⋅⋅=s

radfπω 2

[ ]radt αω =

)(sin)( 11 βω +⋅⋅= tIti m

Srednja vrijednost izmjeni čne struje

Srednja vrijednost izmjenične struje u vremenskom intervalu Tdefinirana je izrazom:

Za sinusoidalnu izmjeničnu struju

∫ ⋅=T

sr dttiT

I0

)(1

Za sinusoidalnu izmjeničnu struju srednja vrijednost jednaka nuli.

Elektrolitska srednja vrijednost izmjenične struje Kod elektrolize bitna elektrolitska srednja vrijednost

Definira se:

Za sinusnu struju:

∫ ⋅=T

el dttiT

I0

)(1

2Za sinusnu struju:mmel III ⋅=⋅= 637,0

2

π

Efektivna vrijednost izmjeni čne struje

RMS value (root-mean-square value):

efektivna vrijednost, srednja kvadratna vrijednost.

Efektivna vrijednost Ief

izmjenične struje i(t) odgovara onoj vrijednosti konstantne istosmjernestruje I koja na otporniku otpornosti R proizvede istu količinu toplinekao ta izmjenična struja u istom vremenu na istom otporniku.

∫T T

mm

T

m

T

ef II

dttIT

dttiT

I ⋅===⋅=⋅= ∫∫ 707,02

.........sin1

)(1

0

22

0

2 ω

∫ ⋅⋅=⋅⋅=T

dtRtiWiTRIW0

22 )( ∫ ⋅=⋅⋅T

dttiRTRI0

22 )(

∫ ⋅=T

ef dttiT

I0

2 )(1

Omjerni faktori Instrumenti nisu baždareni na istu srednju vrijednost, pa se

moraju preračunati s pomoću omjernih faktora. Faktor oblika je omjer efektivne i elektrolitske srednje

vrijednosti izmjenične veličine.

Tjemeni faktor je omjer maksimalne i efektivne vrijednosti

11,1222

2 =⋅

=⋅= π

π

ξm

m

I

I

Tjemeni faktor je omjer maksimalne i efektivne vrijednosti izmjenične veličine.

Srednji faktor je omjer elektrolitske srednje i maksimalne vrijednosti izmjenične veličine.

414,12

2

===m

m

IIσ

637,02

2

==

⋅

=π

πζm

m

I

I

KOMPLESKNI RA ČUN I VEKTORSKA ANALIZA

Račun sa vremenski promjenjivim veličinama u vremenskoj domeni je složen

najednostavnije operacije zahtjevaju složen izračun

)(sin)( 111 βω +⋅⋅= tUtu m

)(sin)( 222 βω +⋅⋅= tutu m

)()()( 211 tututu +=

SINUSODALNE VELIČINE mogu se preslikati u kompleksno podru čje u toj drugoj domeni nema komponente vremena u kompleksnom području napravi se izračun a zatim se rezultat može vratiti u vremensku domenu

)()()( 211 tututu +=

)()()( 211 tututu ⋅=

Prikaz sinusoidalne veličine FAZOROM

Kompleksni broj (realni i imaginarni dio – dvodimenzionalna veličina - vektor) Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja (vektora)

Eksponencijalni prikaz kompleksnog broja

jbajU +=+= ImRe

ϕjUeU =

22 ImRe +=U

Re

Imarctg=ϕU – apsolutna vrijednost

kompleksnog broja (modul)

Simbolički prikaz

Projekcija vektora U na imaginaranu os

UeU =

ϕ∠= UU

Rearctg=ϕ

ϕsinIm UU =

kompleksnog broja (modul)

Prikaz sinusoidalne veličine FAZOROM

ako se u kompleksnom broju nalazi i komponenta vremena t

vektor koji rotira – FAZOR

ωωωω - kutna brzina rotiranja fazora [rad/s]

ϕϕϕϕ - početni kut (faza) [rad]

Vremenski promjenjiva sinusoidalna veličina

( )ϕω +⋅= tjeUU

Vremenski promjenjiva sinusoidalna veličina odgovara projekciji FAZORA na

imaginarnu os

( )ϕω += tUU sinIm

Ako fazori rotiraju istim kutnim brzinama može se iz razmatranja ukloniti vrijeme – relativni odnosti ostaju

isti što za posljedicu ima da se električke veličine promatraju kao

dvodimenzionalni vektori (koji ne rotiraju)

222

111

ϕϕϕ

∠=∠=∠=

UU

UU

UU

Izračun električkih veličina: potrebno poznavati račun sa kompleksnim brojevima pretvorba iz jednog oblika u drugi zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje

333 ϕ∠= UU

Prijelaz iz vremenske domene u kompleksnu primjer:

U kompleksnom području rabe se EFEKTIVNE VRIJEDNOSTI NAPONA I STRUJA (amplituda se dijeli sa drugim korijenom iz dva), a faza se prepiše

)(sin)( 111 θω +⋅⋅= tUtu m

1111

12

θθ ∠=∠= UU

U m

Um1 – amplitudaU1 – efektivna vrijednost

Prilikom vraćanja u vremensku domenu efektivna vrijednost množi se sa korijenom iz dva, a vraća se kružna frekvencija i vrijeme; npr:

NAPOMENA: oznake : točka ili crta iznad slova

)(sin)(sin2)( 22222 ψωψω +⋅⋅=+⋅⋅= tItIti m

222 ψ∠= II

IIUUZZ &&& ,,,,,

Izmjenični naponski izvor (sinusoidalan napon)

Električki element koji na svojim stezaljkama daje izmjenični sinusoidalni napon neovisno o ostalim prilikama u strujnom krugu

Oznake: e(t), često se označava i sa u(t);E

)sin()( max θω +⋅= tEte

θ∠= EEEmax – amplituda elektromotorne sileE – efektivna vrijednosti

IMPENDANCIJA Trošila koja se priključuju na izmjenični izvor karakterizirana su

IMPENDANCIJOM (“kompleksni otpor”) oznaka za impendanciju

impendancija je kompleksna veličina

zapis u trigonometrijskom obliku

[ ]Ω Z

ImRe jZ +=

zapis u eksponenc. (simboličkom) obliku

pretvorba iz simboličkog u trigonometrijski

pretvorba iz trigonometrijskog u simbolički

ϕ∠= ZZ

22 ImRe +== ZZRe

Imarctg=ϕ

ϕϕ

sinIm

cosRe

⋅=⋅=

Z

Z

Pravila koja vrijede za spajanje otpornika vrijede i za impendancije; npr.

serijski spoj impendancija

paralelni spoj impendancija

21 i ZZ

21 ZZZuk +=

21

111

ZZZuk

+=

21 i ZZ

Veličina obrnuto proporcionalna IMPENDACIJI naziva se ADMINTANCIJA

analogno vezi otpora R i vodljivosti G u krugu istosmjerne struje

ADMITANCIJA je također kompleksna veličina

[ ]S 1

ZY =

21 ZZZuk

Za izmjenične strujne krugove vrijedi isti zakoni kao i za istosmjerne strujne krugove, ali u kompleksnom obliku Ohmov zakon I Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon

OHMOV ZAKON ZA IZMJENIČNI STRUJNI KRUG

Z

UI =

ϕθψ

∠∠=∠

Z

UI

Z

UI = ϕθψ −=

Polaritet pada napona na impendanciji Z

Z ϕ∠Z ZI,U – efektivne vrijednosti

ZIU ⋅= ϕψθ ∠⋅∠=∠ ZIU ZIU ⋅= ϕψθ +=

Z

I + UZ-

POJEDINAČNA OPTEREĆENJA IZVORA IZMJENI ČNE STRUJE

čisto djelatno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga;

čisto induktivno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga;

čisto kapacitivno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga.

Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu

Omski otpor – otpor na protjecanje istosmjerne struje

Djelatni (aktivni) otpor – otpor na protjecanje izmjeni čne struje Djelatnim otporom u obzir se uzimaju i gubici pri pretvorbi energije

Za frekvencije manje od 300 [Hz], omski otpor približno je jednak djelatnom Gradska mreža je na 50 [Hz].

Uzrok povećanja aktivnog u odnosu na omski otpor izmjenično elektromagnetsko polje izaziva vrtložne struje koje smanjuju izmjenično elektromagnetsko polje izaziva vrtložne struje koje smanjuju

efektivni vodljivi presjek vodiča Istosmjerna struja je ravnomjerno raspoređena po poprečnom presjeku

vodiča. Kod izmjenične gustoća struje raste prema prema površini - skin učinak.

Istosmjerna struja

Izmjeni strujačna

S

lR ρ=

''

S

lR ρ=

RRSS >⇒< ''

Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu

Izračun struje - vremenska domena

prikaz valnih oblika struje i napona

tUtu m ωsin)( ⋅=

tItR

U

R

tuti m

m ωω sinsin)(

)( ⋅=⋅==

Napon i struja su u fazi.

Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu

Izračun struje – kompleksno podru čje

impendancija je ovdje radni otpor

tUtu m ωsin)( ⋅=°∠=∠= 0

2U

UU m θ

°∠= 0RZ

°= 0θ

Ohmov zakon za strujni krug

Vektorski (fazorski) prikaz: Napon i struja su u fazi.

°∠=°−°∠=°∠°∠=

∠∠=∠ 0)00(

0

0

R

U

R

U

R

U

Z

UI

ϕθψ °= 0ψ

Induktivitet u izmjeni čnom strujnom krugu

Svitci (zavojnice) bez jezgre ili s magnetskom jezgrom Služe za

- generiranje induciranih napona (bobina, transformator),- generiranje magnetskih polja gdje će djelovati magnetska sila

(elektromotor, relej),- filtriranje signala,- filtriranje signala,- skladištenje magnetske energije i dr.

Prolaskom promjenjive električne struje kroz zavojnicu dolazi do induciranja napona samoindukcije zavojnica se opire promjeni struje –tj. postoji INDUKTIVNA

REAKTANCIJA (“induktivni otpor”)

Induktivitet u izmjeni čnom strujnom krugu

Izračun struje – vremenska domena

napon izvora inducirani napon

na zavojnici dt

tdiLteind

)()( ⋅−=

0)()( =+ tetu ind

∫ ⋅= dttuL

ti )(1

)(ω

ω 1)cos()( ⋅−⋅= t

L

Uti m

tUtu m ωsin)( ⋅=

0)()( =+ tetu ind

)()( tute Lind =

konačno rješenje

∫L ωL)

2sin(cos

πωω −=− tt

)2

sin()(πω

ω−⋅= t

L

Uti m

mI

0)()( =+ tetu ind

uz

Struja kasni za naponom za kut π/2 radijana

- amplituda struje

Induktivitet izmjeni čnom strujnom krugu

INDUKTIVNA REAKTANCIJA X L

INDUKTIVNA REAKTANCIJA je kompleksna veličina (mora se uzeti u obzir i fazni pomak koji unosi)

[ ]Ω== LjjXX LL ω

L

UI m

m ω= INDUKTIVNA

REAKTANCIJA

[ ]Ω°∠=°∠= 9090 LXX LL ω

Izračun struje – kompleksno podru čje

tUtu m ωsin)( ⋅=

LX

UI =

°∠= 0UU

°−∠=°−°∠=°∠

°∠=∠ 90)900(90

0

L

U

L

U

X

UI

L ωωψ

Vektorski prikaz: Napon prethodi struji za kut π/2 radijana

Kapacitet u izmjeni čnom strujnom krugu

Funkcija kondenzatora odvajanje istosmjerne od izmjenične komponente struje, kratko spajanje izmjeničnih napona, filtre i rezonantne krugove, pohranu električne energije i generiranje vremenskih kašnjenja i dr.

Struja fizički ne prolazi kroz dielektrik kondenzatora, Struja fizički ne prolazi kroz dielektrik kondenzatora, Izmjenična struja je struja punjenja i pražnjenja kondenzatora, a

zatvara se preko polariziranih naboja u dielektriku.

Kondenzator predstavlja KAPACITIVNU REAKTANCIJU (“kapacitivniotpor”) izmjeničnoj struji

Kapacitet u izmjeni čnom strujnom krugu

Izračun struje – vremenska domena

konačno rješenje

dt

tduCti

)()( ⋅=

tCUti m ωω cos)( ⋅⋅⋅= )2

sin(cosπωω += tt

tUtu m ωsin)( ⋅=

uz

konačno rješenje

)2

sin(1

)(πω

ω

+⋅= t

C

Uti m

C

UI m

m

ω1

=

mI - iznos amplitude struje

KAPACITIVNA REAKTANCIJA

Struja prethodi naponu za π/2 radijana

KAPACITIVNA REAKTANCIJA X C

KAPACITIVNA REAKTANCIJA je kompleksna veličina (unosi i fazni pomak između struje i napona)

Izračun struje – kompleksno podru čje

[ ]Ω−=−=C

jjXX CC ω1[ ]Ω°−∠=°−∠= 90

190

CXX CC ω

tUtu m ωsin)( ⋅= °∠= 0UUtUtu m ωsin)( ⋅=

CX

UI =

°∠= 0UU

°∠=°+°∠=°−∠

°∠=∠ 901

)900(190

0

C

U

C

U

X

UI

C

ωω

ψ

Vektorski prikaz: Struja prethodi naponu za kut π/2 radijana

Ovisnost impendancije (reaktancija, otpora) o frekvenciji

Po iznosu R ne ovisi o frekvenciji (ako se promatra idealni radni otpor)

XL=ωωωωL - raste sa porastom frekvencije XC= 1/ωωωωC – pada sa porastom frekvencije

NEKI SERIJSKI SPOJEVI na izmjeničnom izvoru napona RL RC

Serijski spoj R i L Impendacija – kompleksni broj

Izračun struje

LL jXRXRZ +=+=

ϕ∠= ZZ

Simbolički zapis (eksponencijalni)

R

Xarctg L=ϕ22

LXRZ +=

Izračun struje

Vektorski prikaz (struja i napona)

kod crtanja vektorskog dijagrama ako je struja zajednička zgodno je staviti kut struje ψ=0

Z

UI = ϕθ

ϕθψ −∠=

∠∠=∠

Z

U

Z

UI

LR UUU +=

RIUR ⋅=

LL XIU ⋅=

Serijski spoj R i C Impendacija – kompleksni broj

Izračun struje

CC jXRXRZ −=+=

ϕ∠= ZZ

Simbolički zapis (eksponencijalni)

R

Xarctg C=ϕ22

CXRZ +=

Izračun struje

Vektorski prikaz (struja i napona)

kod crtanja vektorskog dijagrama ako je struja zajednička zgodno je staviti kut struje ψ=0

Z

UI = ϕ

θψ∠∠=∠

Z

UI

CR UUU +=

RIUR ⋅=

CC XIU ⋅=