fakulta životního prostředí katedra informatiky a geoinformatiky
DESCRIPTION
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky. Přednáška 02 Množiny, relace [email protected]. Matematika I. KIG / 1MAT1. O čem budeme hovořit:. Rovnost a inkluse množin Operace s množinami Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Přednáška 02 Množiny, relace
Matematika I. KIG / 1MAT1
O čem budeme hovořit:
• Rovnost a inkluse množin
• Operace s množinami
• Vlastnosti množin
• Vázané kvantifikátory
• Kartézský součin množin
• Binární relace v množinách
Rovnost a inkluse množin
Co to jsou množiny?
Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to:
soubor určitých objektů, u kterého je možné rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do souboru patří či nepatří.
Příklady:
• Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků: například { 1; a; # }.
• Množinu můžeme určit charakteristickou vlastností jejích prvků:
například { x; x > 100 }.
Kdy se dvě množiny sobě rovnají?Kdy jsou ve vztahu inkluse?
Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se skládat z týž prvků, tedy definujeme:
A = B (x) x A x B
Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být každý prvek množiny A také prvkem množiny B, proto definujeme:
A B (x) x A x B
Věta o rovnosti množin
Inklusi si představíme snadno:fakt, že množina A je „částí“ množiny B, přesněji množina A je podmnožinou množiny B, znázorníme takto:
A B B A A = B
Zřejmě platí tato věta:
Jak jí dokážeme?
AB
Operace s množinami
Průnik množin
Průnik množin A, B bude budeme označovat
A B .Je to množina takových prvků, které náleží oběma těmto množinám.
Definice x A B x A x B
A B = { x ; x A x B }
A B V
Sjednocení množin
Sjednocení množin A, B bude budeme označovat
A B .Je to množina takových prvků, které náleží alespoň jedné z těchto množin.
A B V
Definice x A B x A x B
A B = { x ; x A x B }
Rozdíl množin
Rozdíl množin A, B bude budeme označovat
A B .Je to množina takových prvků, které náleží první množině, ale zároveň nenáleží druhé množině.
A B V
Definice x A B x A x B
A B = { x ; x A x B }
Univerzální třída a prázdná množina
Definice
x V x = x x x x
V = { x ; x = x } = { x ; x x }
Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se označuje V a nazývá se univerzální třída . Množina, která neobsahuje žádný prvek, se označuje a nazývá se prázdná množina .
Doplněk množiny
Rozdíl V A budeme nazývat doplňkem množiny A a označovat A .Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do původní množiny nepatří.
Definice x A x A
A = { x ; x A }
A V
Vlastnosti množin
Jak dokazovat věty o vlastnostech množin?
Dokažme například větu:
A ( B C ) ( A B ) ( A C )
Máme dvě možnosti.1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii: (x) x A ( B C ) x ( A B ) ( A C )
atd.
2) Užijeme tzv. Vennovy diagramy:
A B
C
V
Důležité věty o vlastnostech množin
A B = B A ( A B ) C = A ( B C )A B = B A ( A B ) C = A ( B C )
( A B ) C = ( A C ) ( B C )( A B ) C = ( A C ) ( B C )
A = A A = A A = A V = A = A
( A B ) = ( A ) ( B ) ( A B ) = ( A ) ( B )
A B A A A B A B B B A B
A B A B = A A B A B = B
Vázané kvantifikátory
Vázané kvantifikátory
V matematice často používáme nejenom formule (x) (x) nebo (x) (x) ale také formule tvaru (xA) (x) nebo (xA) (x) . Jejich význam je tento:
(xA) (x) (x) xA (x) (xA) (x) (x) xA (x) Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory!Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči některým logickým spojením „distributivní“!
Kartézský součin množin
Uspořádané dvojice
V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic bodů v rovině.)
Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme z nich vytvářet uspořádané dvojice, například:
a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd.
V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým členem dvojice.
Kartézský součin tříd (množin)
Definice:
Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich kartézský součin A B takto:
A B = { a;b ; aA bB }
Příklad:
Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2} jsou kartézské součiny tohoto tvaru:
K L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }L K = { 1;a; 1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c }
Představa kartézského součinuZ množin K = {a;b;c}, L = {1;2}
je vytvořen kartézský součin:
K L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }
K
KxLL
a b c
1
2
Důležité věty o kartézském součinu
A B B A
K ( A B ) = (K A) (K B)K ( A B ) = (K A) (K B)K ( A B ) = (K A) (K B)
K = K =
A B K A K B
Binární relace v množinách
Binární relace v množinách A, B
Definice: Množinu R nazýváme binární relací v množinách A, B právě tehdy, když R A B .
Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo kartézskými grafy.
xa
yb
z
BA
x
a
y
b
z
B
A
Úmluvy o zápisech
Jestliže platí x R y , zapisujeme to x y R .
Příklady:
Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2 3 < .
Protože platí 5 5 , zapisujeme to 5 5 .
Protože platí 3 9 , zapisujeme to 3 9 . Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8 3 < .
Protože neplatí 4 7 , zapisujeme to 4 7 .
První a druhý obor relace R
Definice: Nechť je dána relace R A B .
Prvním oborem relace R nazýváme množinu
⃞R = xA (yB) x R y , druhým oborem relace R nazýváme množinu
R ⃞ = yB (xA) x R y . Jak určíme oba obory z grafů relace R ?
xa
yb
z
BA
x
a
y
b
z
B
A
Inverzní relace R-1 k relaci R
Definice:x R-1 y platí právě tehdy, když y R x .
Tedy x y R-1 právě tehdy, když y x R .
Z toho plyne, že je-li R A B , pak R-1 B A .
Příklady: Binární relace > je inverzní k binární relaci < .
Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární relaci „být násobkem“ .
Jak vypadají grafy inverzní relace?
Doplňková relace –R k relaci R
Definice:x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y .
Tedy x y (–R) právě tehdy, když x y R .
Příklad: Binární relace je doplňková k binární relaci > .
Jak vypadají grafy doplňkové relace?
Relace složená z dvou relací R a S
Definice:Nechť jsou dány relace R a S. x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z z S y.
Příklad: Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je
složená relace z binárních relací „být matkou“ a „být otcem“ .
Jak zkonstruovat grafy složené relace?
Co je třeba znát a umět?
• Vztahy rovnosti a inkluse množin,
• definice a vlastnosti množinových pojmů (průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk),
• důkazy vlastností pomocí logických tautologií či Vennových diagramů,
• vázané kvantifikátory,
• kartézský součin množin a jeho vlastnosti,
• pojem binární relace v množinách,
• spojnicový a kartézský graf relace,
• obory relace,
• inverzní, doplňkové a složené relace.
Děkuji za pozornost