facultad de ciencias exactas fisicas y naturales ciclo de ... · pdf filefundamentos de...

Matemática – Ciclo Nivelación Página 1 de 31

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FISICAS Y NATURALES

CICLO DE NIVELACIÓN

2008


PROGRAMA DE MATEMÁTICA


UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

República Argentina

Programa de:

Matemática

Ciclo Nivelación

Código:

Carrera: IME Escuela: IME Departamento: Ciclo de Nivelación. Materia nº: 01

Plan: 2005 Carga Horaria: 29 hs. Semestre: Ingreso Carácter: Obligatoria Bloque:

Puntos: 1,5 Hs. Semanales: 6.87 Año lectivo: 2007

Objetivos:

1. Utilizar una metodología adecuada para el estudio de la Matemática. 2. Alcanzar destreza operativa con números reales y complejos, polinomios, relaciones y funciones, ecuaciones de primer

y segundo grado y trigonometría. 3. Aplicar los conceptos básicos del Álgebra y la Trigonometría a situaciones problema.

Programa Sintético:

1. Número reales y complejos. 2. Polinomios. 3. Relaciones y funciones. 4. Ecuaciones de primer y segundo grado. 5. Trigonometría.

Programa Analítico: de foja 2 a foja 2. Programa Combinado de Examen (si corresponde): de foja a foja . Bibliografía: de foja 3 a foja 3. Correlativas Obligatorias: Correlativas Aconsejadas:

Secundario

Rige: 2004 Aprobado HCD, Res.: Fecha:

Modificado / Anulado / Sust. HCD Res.: Fecha:

El Secretario Académico de la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (UNC) certifica que el programa está aprobado por el (los) número(s) y fecha(s) que anteceden. Córdoba, / / .

Carece de validez sin la certificación de la Secretaría Académica:


PROGRAMA ANALITICO

Contenidos Temáticos: UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Los números reales, operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales. Números complejos, operaciones en forma binómica. Representación trigonométrica de un número complejo. Producto y cociente de números complejos en forma trigonométrica. UNIDAD 2: POLINOMIOS Polinomios, grado. Operaciones con polinomios; divisibilidad; valuación. Teorema del resto. Raíz de un polinomio, orden de multiplicidad. Descomposición factorial de un polinomio. Factorización. UNIDAD 3: RELACIONES Y FUNCIONES Conjuntos y subconjuntos. Operaciones. Par ordenado. Producto cartesiano. Correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Relación y sus representaciones. Funciones, su representación gráfica. Funciones lineal y cuadrática. UNIDAD 4: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuación de segundo grado con una incógnita. Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. UNIDAD 5: TRIGONOMETRÍA Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición. Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales. Fórmulas de adición. Resolución de triángulos.

METODOLOGÍA DE DESARROLLO Exposición dialogada. Resolución de ejercicios y problemas.

EVALUACION Condiciones para aprobar la materia: Aprobar el examen final con nota mayor o igual a cuatro (4) en alguna de estas fechas:

Dos fechas de examen en el turno febrero-marzo. En la primera fecha se exige la condición de regular, que se alcanza con un mínimo de 80% de asistencia a las clases teórico-prácticas, o bien ser alumno de años anteriores. Una fecha de examen en julio. Una fecha de examen en diciembre.

REGULARIDAD Para regularizar la materia el alumno debe cumplir un mínimo de 80% de asistencia a las clases teórico - prácticas.

LISTADO DE ACTIVIDADES PRACTICAS Y/O DE LABORATORIO Se pretende que en cada unidad el alumno desarrolle habilidades en el planteo y la resolución de problemas que involucren herramientas y modelos provistos por el Álgebra y !a Trigonometría básicas, como así también que adquiera precisión en sus razonamientos. Para lograr estos objetivos se dispone de una Guía de Estudio de Matemática que contiene: El desarrollo de los conceptos básicos con ejemplos, y un conjunto de ejercicios de complejidad creciente, de aplicación de los algoritmos estudiados, que tiene como fin que el alumno adquiera destreza en su manejo. En todos los casos se cuida que sean de simplicidad numérica. Se tiene previsto su realización por los alumnos en las clases prácticas con la presencia del docente que sirve como guía.


Un conjunto de problemas sencillos vinculados a las Ciencias Aplicadas cuya resolución implica la utilización de herramientas y modelos provistos por el Álgebra y la Trigonometría básicas. Se trata de incentivar la creatividad del alumno en el planteo y resolución de problemas. Se realiza una prueba espejo por unidad y una final integradora, todas de carácter no vinculante, las mismas permiten conocer la situación para que tanto docentes como alumnos tomen medidas correctivas y familiariza al estudiante con el examen final.

DISTRIBUCION DE LA CARGA HORARIA

ACTIVIDAD HORAS

TEÓRICO 7,5

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 15

CONSULTAS 5

EXAMEN FINAL 1,5

TOTAL 29

BIBLIOGRAFIA Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973. Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2007. Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000. Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison Wesley Longman. México. 1999. Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México. Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice Hall. 1998.


UNIDADES 1 A 5

SINTESIS DE UNIDADES

GUIA DE EJERCICIOS

EVALUACIONES ESPEJOS


Unidad 1 Lógica Simbólica. Números reales y números complejos Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:

• Operar con proposiciones simples para obtener proposiciones compuestas mediante operadores lógicos.

• Identificar tautologías, implicaciones lógicas y equivalencias lógicas • Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. • Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.

Contenidos 1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Cálculo de predicados. 1.2 Números reales. Operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números; reales. 1.3 Números complejos. Operaciones en forma binómica. Esquema conceptual

Introducción En esta unidad se presenta una introducción a la lógica simbólica y se revisan los conceptos necesarios para trabajar las principales operaciones en el campo de los números reales y complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media.

LÓGICA SIMBÓLICA

REALIDAD MENSURABLE

SISTEMA NUMÉRICO

NÚMEROS REALES

NÚMEROS COMPLEJOS

ÁLGEBRA


Orientación del aprendizaje Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente. Bibliografía de la unidad

• Allendoerfer, Cari y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Tercera edición. McGraw-Hill. México. 1973.

• Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y

Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2007.

• Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

• Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison

Wesley Longman. México. 1999.

• Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México.

• Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice Hall. 1998.


UNIDAD 1 - Guía de ejercitación Resuelva:

1) =

−+

−−+

+−− 3

52

31

3

328

6

81

2

91

2)

( )=+

−

−

+−− 3

213 343

1

564

1

1

31

1

3) =

+−⋅

−−

+

−

−−−

2

133

2

212

2

61

3

15

3

12

4) =⋅

⋅⋅

+

−

−

34

1

33

6

1

3

2

16

91

5) =−⋅−⋅

++ 3 1

64

6336,01

5

13,025,0

6) ( )

=

−−−⋅

+−

÷+

−

5

2,03

784,01

4

1

2,0

4,03

2

3

2

3

Resuelva las siguientes sumas o restas de números complejos: 1) ( ) ( ) =−++ ii 863 2) ( ) ( ) =+−−+− ii 7334 3) ( ) =−+ ii 131114 Resuelva los siguientes productos de números complejos: 1) ( ) ( ) =+−⋅+ ii 352

2) ( ) ( ) =−⋅+ ii 77 3) ( ) ( ) =+⋅ ii 637 Resuelva los siguientes cocientes de números complejos: 1) ( ) ( ) =++ ii 34/23 2) ( ) ( ) =+−⋅+− ii 2326 3) ( ) =+ ii 45/3


Resuelva: 1) ( ) ( ) ( )[ ] =−−+⋅− 13122 iii

2) ( ) ( ) ( )

( )=

−

+⋅−⋅+21

21232

i

iii

3) =−+−

++15105

1694

2 iii

iii


Evaluación Espejo – Unidad Nº 1 – Números Reales y Complejos Tiempo: 30 minutos

1)

15 1 1 1 12

1 3 14 3 6 2 15

11

2

−

+ − − + − + =

+

2) =−+−

−

)21()2(

)22( 2

ii

i


Unidad 2 Polinomios. Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:

• Identificar polinomios. • Efectuar correctamente las operaciones con polinomios en una

indeterminada. • Determinar si un polinomio A es divisor de un polinomio B. • Determinar el orden de multiplicidad de la raíz de un polinomio. • Factorizar polinomios.

Contenidos

o Polinomios. Grado. o Operaciones con polinomios: adición, multiplicación y división. o Divisibilidad. Valuación. Teorema del Resto. o Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad. o Descomposición factorial de un polinomio.

Esquema conceptual

Introducción Una expresión de la forma n

n XaXaa ⋅++⋅+ ........10 recibe el nombre de polinomio en la indeterminada X. Este tipo de expresión aparece frecuentemente en diversas ramas de la matemática, como el algebra, la geometría y el análisis, por lo que estudiaremos sus propiedades y operaciones. Orientación del aprendizaje Consideraremos los polinomios como entes abstractos, definiendo operaciones entre ellos y estudiaremos sus propiedades básica. Bibliografía de la unidad


POLINOMIOS

ADICION SUSTRACCION

MULTIPLICACION DIVISION

FACTORIZACION RAIZ - ORDEN DE MULTIPLICIDAD

OPERATORIA


• Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2007.

• Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar

la realidad. Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000.

• Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison Wesley Longman. México. 1999.


• Sobel, Max y Norbert Lemer. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice

Hall. 1998.


UNIDAD 2 - Guía de ejercitación Efectúe las operaciones indicadas:

1) ( ) ( )=−+−+−−+ 129753 2324XXXXXX

2) ( ) ( )=++−−+−−− 312693

18284

2

1 23234 XXXXXXX

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅−⋅−−⋅−+−⋅++−⋅ 1132122557 2232XXXXXXXX

Encuentre el cociente y el resto de la división de P por Q:

3) ( )4532 234 −+−−= XXXXP ( )123 +−= XXQ

4) ( )35 7243 XXXP +−+=

−+= XXQ 2

2

1 3

Encuentre el cociente y el resto de la división de P por Q aplicando la regla de Ruffini:

5) ( )525 234 +−−+= XXXXP ( )2−= XQ

6) ( )323 245 −−+−= XXXXP ( )1+= XQ

7) Determine el polinomio de tercer grado, cuyas raíces son los números: 2; -1 y 3 y tal que el coeficiente de X3 es el número 1.

8) Determine el polinomio de cuarto grado cuyas raíces son los números: 1;

-1; 2 y 5, y tal que f(0)=6.

9) Determine si el número 2 es raíz del polinomio XXXXP 485 234 −+−= . En caso afirmativo, dé su multiplicidad y, si es posible, las demás raíces.

Calcule todas las raíces de f(x)

10) 22)( 23 +−−= XXXxf . Dato: una raíz es: -1 11) 23)( 234 +−−+= XXXXxf Dato: una raíz es 1 con orden de

multiplicidad 2.


Evaluación Espejo – Unidad Nº 2 – Polinomios - Tiempo: 30 minutos

1) Verificar si el número 2 es raíz del polinomio 16812102)( 234 +−−+−= xxxxxP De ser cierto, dar el orden de

multiplicidad de la misma, y las demás raíces. 2) Expresar el polinomio como producto de factores primos.


Unidad 3 Funciones. Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:

• Operar con conjuntos. • Comprender la correspondencia entre puntos de la recta y números reales. • Aplicar el concepto de intervalo en las relaciones y funciones. • Comprender el concepto de función. • Utilizar las funciones de primer grado, de segundo grado, exponencial y

logarítmica en situaciones de problema. Contenidos

o Conjuntos y subconjuntos. o Operaciones de conjuntos. o Par ordenado. Producto cartesiano. o Correspondencia entre puntos de una recta y números reales. o Pares ordenados de números reales. o Conjuntos de puntos. Intervalos. o Relación y sus representaciones. o Funciones. Definición. o Funciones de primer y segundo grado. o Las funciones exponencial y logarítmica.

Esquema conceptual

Introducción

En esta unidad se considera el concepto de conjunto y sus operaciones. El producto cartesiano con la noción de par ordenado. La correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Los intervalos, como conjuntos de puntos. Las relaciones y sus distintas representaciones. El concepto de función como caso particular de una relación y las funciones de primer grado, de segundo grado, exponencial y logarítmica. Orientación del aprendizaje Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente..

REALIDAD FISICA

LENGUAJE MATEMATICO

FUNCIONES


Bibliografía de la unidad


• Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias

Exactas, Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2007.






Hall. 1998.


UNIDAD 3 - Guía de ejercitación 1) Determine la función ( )f x y a x b= = + , que tiene por representación

gráfica la recta indicada en cada figura:

2) Represente gráficamente las siguientes funciones:

a) 2+= xy

b) 23

2+= xy

c) 53 +−= xy d) xy −= e) 3−=y f) xy =

3) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos: (1;2) y (-2;-3).

Calcule su intersección con los ejes coordenados. 4) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;4) y es

paralela a la recta 54 += xy .

5) Represente las funciones:

a) 2xy =

b) 32 2 += xy

c) 42 +−= xy

d) 652 +−= xxy e) ( )( )312 −+= xxy

f) ( )21−= xy

6) Determine la ecuación de la parábola que tiene su vértice en (-3;1) y pasa por el punto (0;10).

7) Determine la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos

(0;0) , (-2;-2) , (-3;0).


8) Represente gráficamente la función 463 2 ++−= xxy expresándola

previamente en la forma ( ) tsxay +−=2 . Indique además dominio e

imagen.

9) Determine en cada caso la función cbxaxy ++= 2 , cuya representación gráfica es:

a=1/2


Evaluación Espejo – Unidad Nº 3 – Funciones - Tiempo: 30 minutos

Ejercicio Nº1:

3) Graficar la función 43

2−+−= xy

4) Indicar dominio e imagen.

Ejercicio Nº2: a) Representar gráficamente la función 463 2 ++−= xxy , expresándola

previamente en la forma tsxay +−= 2)( b) Indicar dominio e imagen.


Unidad 4 Ecuaciones Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:

• Resolver ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas. • Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. • Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer y

segundo grado. • Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. • Trasladar al lenguaje algebraico relaciones de igualdad expresadas en el

lenguaje ordinario. • Adquirir una metodología adecuada para resolver problemas.

Contenidos

o Ecuaciones de primer grado con una incógnita. o Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. o Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. o Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. o Reconstrucción de la ecuación de segundo grado con una incógnita

conocidas sus raíces. o Sistemas mixtos. o Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Esquema conceptual

Introducción

En esta unidad se consideran distintos tipos de ecuaciones y la operatoria correspondiente para obtener la solución de cada una de ellas. Agruparemos estas ecuaciones para obtener sistemas de ecuaciones y detallaremos la metodología conveniente para resolverlos. También plantearemos problemas de

ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO EXPONENCIALES LOGARITMICAS

FUNCIONES


distintas naturaleza que se expresaran matemáticamente por una o más ecuaciones.

Recuerde: aprender a calcular con exactitud y operar símbolos con facilidad es un gran objetivo. Pero poder resolver problemas fáciles y difíciles, prácticos y abstracto, es una proeza suprema. Orientación del aprendizaje Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente.. Bibliografía de la unidad









Hall. 1998.


UNIDAD 4 - Guía de ejercitación

1) Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique la solución encontrada.

a) 2266 −=+ xx

b) 64

5

4

3

2=−− xx

x

c) 052 2 =+x d) 0342 =+− xx

2) Resuelva analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas:

a)

−=+

=−

32

42

yx

yx

b)

=+

=+

822

2

yx

yx

3) Encuentre los puntos de intersección entre la recta: 12 +−= xy y la

parábola: 152 ++= xxy .

4) Encuentre los puntos de intersección entre la recta: 3+−= xy y la

parábola: 322 ++−= xxy .

5) Para construir un canal una empresa compró palas y picos. Si cada pala costó $10 y cada pico $15 y se gastaron $280 por 22 de esos elementos. ¿Cuántas palas y cuántos picos se compraron?.


Evaluación Espejo – Unidad Nº 4 –Ecuaciones - Tiempo: 30 minutos

5) Para construir un canal una empresa compró palas y picos. Si cada pala costó $10 y cada pico $15 y se gastaron $280 por 22 de estos elementos. ¿Cuántas palas y cuántos picos se compraron?

6) Resolver por sustitución:

=−

=⋅

32

2

yx

yx


Unidad 5 Trigonometría Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:

• Comprender el concepto de ángulo y su medición. • Comprender el concepto de función trigonométrica. • Definir y graficar las funciones trigonométricas. • Resolver triángulos rectángulos. • Comprender los teoremas del seno y del coseno. • Resolver triángulos oblicuángulos. • Comprender las formulas de adición.

Contenidos

o Longitud de un arco de circunferencia. o Ángulos y su medición. o Funciones trigonométricas. o Resolución de triángulos. o Formulas de adición.

Esquema conceptual

Introducción

En esta unidad se considera la longitud de un arco de circunferencia. El concepto de ángulo y su medición en grados sexagesimales y en radianes. El concepto de funciones trigonométrica y la definición y estudio de las funciones trigonométricas. La resolución de triángulos rectángulos. Los teoremas del seno y

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNSFERENCIA

ANGULO EN RADIANES

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

FORMULA DE ADICION


del coseno y su aplicación en la resolución de triángulos oblicuángulos. Las fórmulas de adición. Orientación del aprendizaje Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente.. Bibliografía de la unidad









Hall. 1998.


UNIDAD 5 - Guía de ejercitación

1) Calcule el área y el perímetro de los siguientes triángulos:

2) Calcule h.

3) Calcule a

7 2

a) b)

8

3 c)

12 12

12

7

60°

60°

d) e)

10

30°

90º

90º

30º

h

10

a

60° 30°

10


Evaluación Espejo – Unidad Nº 5 – Trigonometría - Tiempo: 30 minutos

Ejercicio Nº1: Calcular el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la figura:

Ejercicio Nº2: Calcular el área y el perímetro del triángulo de la figura:

A

C

B

b a

c=10m

β=60º α

30º 120º

b c

a = 10m


MODELOS DE EXAMEN


Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales-U.N.C. Ciclo de Nivelación 2007-Examen de Matemática Apellido y Nombre:................................................................................Acta:….................... Carrera:....................................Grupo:.....................D.N.I..:...................................... Ejercicio 1 2 3 4 5 Total Puntaje máximo 2 2 2 2 2 10 Puntaje obtenido Docente

1. Calcule:

( )

2

30 3

1

2

36 3.

125 6 8 72

1 45 . 11 515

i

i

−

−

−

−+ − + + =

−

− +

2. Resuelva la siguiente ecuación:

2

4 2 4 2

2 2 4

x x x

x x x

+ + −− =

+ − −

3. Dado el polinomio 4 3 2( ) 2 2 8 8P x x x x x= + − − y 2( ) 4Q x x= −

a)Determine si Q(x) divide exactamente a P(x). Si es así: b)Indique todas las raíces de P(x) y su respectivo orden de multiplicidad c)Exprese el polinomio P(x) como producto de polinomios primos en ℜ.

4. Determine analíticamente la ecuación de la recta que pasa por el punto

(2,-1/2) y por el punto dado por la intersección de las rectas 1y x= − e 1y x= − +

b)Grafique la recta obtenida en un sistema de ejes coordenados cartesiano. 5. Calcule el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la figura.

BD = 6 m A C D

30°

B

Ayuda: sen 30°=2

1 sen 45°=

2

2 sen 60°=

2

3

En todos los ejercicios debe justificar la respuesta. No se permite uso de calculadora.

Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen


Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales-U.N.C. Ciclo de Nivelación 2007-Examen de Matemática- Apellido y Nombre:.......................................................................Acta:..................................... Carrera:.........................................................Grupo:....................D.N.I.:.................................... Ejercicio 1 2 3 4 5 Total Puntaje máximo 2 2 2 2 2 10 Puntaje obtenido Docente

1. Calcule:

1 22

3

0

1 2 3 1.2

6 3 4 2 1

2 11 42

i

i

−

− −

+ + =

+

2. Resuelva la siguiente ecuación:

2

4 22

4 2

x x

x x= −

− +

3. Dado el polinomio 3 2( ) 2 8 2 8P x x x x= − − + , se pide que

a)Determine si 2( ) 1Q x x= − divide exactamente al polinomio P(x). Si es así: b)Indique todas las raíces de P(x) y su respectivo orden de multiplicidad y c)Exprese el polinomio P(x) como producto de polinomios primos en ℜ.

4. a)Determine analíticamente la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y por el punto dado por la intersección de las rectas 2 2y x= − e 2 2y x= − + .

b)Grafique la recta obtenida en un sistema de ejes coordenados cartesiano.

5. Calcule el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABD de la figura. BC = 4 m B

60° A D C

Ayuda: sen 30°=2

1 sen 45°=

2

2 sen 60°=

2

3

En todos los ejercicios debe justificar la respuesta. No se permite uso de calculadora.

Los teléfonos celulares deben permanecer apagados durante el examen

facultad de ciencias exactas fisicas y naturales ciclo de ... · pdf filefundamentos de...

Documents