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Factorización de productos especiales Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Productos especiales
Cuando se multiplican dos binomios de la forma
(a – b)(a + b)
obtenemos como resultado,
a2 + ab – ab – b2
a2 – b2.
Este tipo de binomio se conoce como una diferencia de cuadrados.
Diferencia de cuadrados
La observación anterior nos permite
generalizar la factorización de una
diferencia de cuadrados.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Diferencia de cuadrados
2) Factorice: p2 – 25 =
3) Factorice: 49w2 – 100 =
(p – 5)(p + 5)
(7w – 10)(7w + 10)
1) Factorice: y2 – 9 = (y – 3)(y + 3)
OJO: Debemos identificar cuál es la
expresión que se cuadra en cada extremo
(7w)2 – (10)2
Diferencia de cuadrados
4) Factorice: 36y2 – 132 =
5) Factorice: 9z2 + 16 =
(6y)2 – 132
No es una diferencia de cuadrados.
Es una suma de cuadrados. La suma de
cuadrados NO factoriza.
No es una diferencia de cuadrados ya que
132 no es un cuadrado perfecto.
Sólo tiene factor común: 12(3y2 – 11)
Diferencia de cuadrados 6) Factorice: 100y2 – 81x2 =
7) Factorice: 128 – 18y2 =
= (10y – 9x)(10y + 9x)
(8 – 3y)(8 + 3y)
OJO: Luego, dejar a un lado el factor constante e identificar
cuál es la expresión que se cuadra en cada extremo de la
expresión que queda.
(8)2 – (3y)2 =
OJO: Primero, remover el factor común de 2.
= 2(64 – 9y2)
La factorización completa es: 2(8 – 3y)(8 + 3y)
OJO: Primero identificar cuál es la expresión que se cuadra
en cada extremo
(10y)2 – (9x)2
Trinomios cuadrados perfectos Ejemplo: Como elevar un binomio al cuadrado es
equivalente a multiplicarlo por sí mismo, tenemos
= x2 + 5x + 5x + 25
= x2 + 10x + 25
¿Cuáles observaciones podemos hacer?
(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5)
Trinomios cuadrados perfectos Ejemplo: Multiplique
= 9x2 –6x – 6x + 4
= 9x2 – 12x + 4
¿Cuáles observaciones podemos hacer?
(3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2) (3x – 2)2 = (3x – 2)(3x – 2)
Se llama
trinomio cuadrado perfecto
al polinomio de tres términos en el cual, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el producto doble de las bases de esos cuadrados.
Ejemplo:
4x2 + 4x + 1
Es un trinomio cuadrado perfecto porque
• 4x2 es el cuadrado de 2x
• 1 es el cuadrado de 1
• El doble de 2x y 1 es 4x
Trinomios cuadrados perfectos
Estas son las bases
de los cuadrados
(2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 = 4𝑥)
Trinomios cuadrados perfectos
Un trinomio cuadrado perfecto se
factoriza
a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a+b) = (a + b)2
Ó
a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a - b) = (a - b)2
Trinomios cuadrados perfectos Factorice los que son trinomios
cuadrados perfectos:
x2 – 4x + 25
x2 + 4x + 4
x2 + x + 1
x2 – 8x + 16
4x2 – 12x + 9
9x2 + 6x + 1
Metodos combinados
3x2 – 6x + 12
5x2 + 10x + 5
Lo que queda en paréntesis NO es un trinomio cuadrado perfecto.
No factoriza por el método AC por que NO existen factores de 4 que sumen -2.
= 3(x2 – 2x + 4)
= 5(x + 1)2
= 5(x2 + 2x + 1)
1) Factorice:
2) Factorice: OJO: Primero, remover
el factor común de 5.
OJO: Luego, reconocer que
es un trinomio cuadrado
perfecto.
Metodos combinados 3) Factorice: 3 – 12q2 =
3(1 – 4q2)
De primera intención, no parece ser una diferencia de cuadrados. Pero si removemos el factor común de 3 tenemos
(1 – 2q)(1 + 2q)
La factorización completa es:
3 – 12q2 =
No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.
(1 – 4q2) =
3 – 12q2 = 3(1 – 2q)(1 + 2q)
Metodos combinados 4) Factorice: 4x – x3 =
x(4 – x2)
Removemos el factor común de x tenemos
(2 – x)(2 + x)
La factorización completa es:
4x – x3 =
No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.
(4 – x2) =
4x – x3 = x(2 – x)(2 + x)
Metodos combinados 5) Factorice: 16y5 – y3 =
y3(16y2 – 1)
Removemos el factor común de y3 tenemos
(4y – 1)(4y + 1)
La factorización completa es:
16y5 – y3 =
No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.
( 16y2 – 1) =
16y5 – y3 = y3(4y – 1)(4y + 1)
Metodos combinados
6) Factorice: 81 – 16x4 = (9 – 4x2)(9 + 4x2)
No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.
(9 – 4x2)= (3 – 2x)(3 + 2x)
La factorización completa es:
81 – 16x4 = (9 + 4x2) (3 – 2x)(3 + 2x)
Práctica
• Factorice completamente.
1.
2.
3. 360 – 10x2 =
23 24 45x x
3 26 31 5x x x
23 8 15x x
3 5 3x x
26 31 5x x x
6 1 5x x x
10(36 – x2)
= 10(6 + x)(6 – x)