factor de amortiguamiento

8/16/2019 Factor de Amortiguamiento

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Pontificia Universidad Católica del Ecuador

Facultad de Ingeniería

Escuela de Sistemas

Nombre: Elizabeth Zambrano Nivel: Cuarto nivel 1

1. Tema: El factor de amortiguamiento

2. Resumen

El algoritmo del factor de amortiguamiento es una modificación delmétodo de Gauss-Newton que altera levemente a la diagonal en

las ecuaciones normales.

El algoritmo provee una solución numérica al momento de ajustarcon mínimos cuadrados lineales y no lineales de una funcióndefinida en un intervalo.

3. Palabras claves

a. Gauss-Newton

b.

Levenberg-Marquardt

c. Matriz Jacobiana

d. Lambda 4. Introducción

Al realizar mínimos cuadrados en el ajuste de curvas, se producenproblemas de cálculo, sin embargo, para resolver estacomplicación se implementará el algoritmo de Levenberg-

Marquardt, para el cual se debe proporcionar una aproximacióninicial para el vector de parámetros el que permite converger almínimo global solamente si la estimación inicial ya es algoaproximado a la solución final.

5. Metodología

Para la implementación del algoritmo se utiliza la siguientefórmula:





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() ∑[ − (,)]

=1

Donde á En cada iteración el vector se sustituye por la nueva estimativa + Para determinar (, + ), que son funcionesaproximadas. ( , + ) ≈ ( , ) + donde:

(, )

Es la pendiente de F con respecto a

En el mínimo de la suma de cuadrados tenemos

( + ) ≈ ∑[ − ( , ) − ]=1

O en notación vectorial

( + ) ≈ ‖ − () − ‖ Haciendo la derivada con respecto a tenemos

(

)

[ − ()]

Donde es la matriz jacobiana; estas ecuaciones lineales pueden

ser disipadas por .

La contribución que realiza Levenberg es una versión amortiguadarepresentada

( + ) [ − ()] Donde

es la matriz identidad, con incremento

en el vector de

parámetros





Escuela de Sistemas

El factor de amortiguamiento, , se ajusta con cada iteración. Si la

reducción de es rápida, el valor más pequeño se puede utilizar,

con el algoritmo de Gauss-Newton, mientras que, si la iteración dauna reducción insuficiente en el residual, se puede aumentar,dando aproximación al descenso de la pendiente.

Considerando que el gradiente de con respecto a tenemos:

−2( [ − ()])

Sin embargo, el algoritmo de Levenberg tiene una desventaja

notable en la cual si es mayor

+

no es utilizado.

Marquardt reemplaza la matriz Identidad por la diagonal de la

matriz resultante de

para que finalmente quede el algoritmoLevenberg-Marquardt

( + ( )) [ − ()]

6. Resultados

Se generan los datos sintéticos a partir de la función: () + ()

Donde: a y b son parámetros a determinar. Se tomó x=0,0.1,…,6.2 Obtenemos que el valor de a=100 y b=102

Se les aplica ruido a estos datos y aplicamos el método L-M aestos nuevos datos. Obteniendo que a=100.101 y b=101.861.

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