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10 Teorías de los invariantes

del campo electromagnético

Cuando los sistemas físicos definidos por una lagrangiana, son invariantes ante determinadas operaciones de transformación o simetrías, siempre existen unas magnitudes físicas asociadas que se conservan.

Noether demostró que cualquier transformación infinitesimal de las variables independientes respecto de un parámetro continuo que deje la lagrangiana inalterada, conduce siempre a una cierta ecuación de conservación. Esas transformaciones en general forman un grupo. Sin embargo, las simetrías de invarianza siempre están relacionadas con magnitudes conservativas, pero el reciproco no siempre es cierto.

Por ejemplo, según Noether, la conservación de la energía tiene su origen en las translaciones invariantes en el tiempo, la conservación del momento lineal procede de la invarianza ante translaciones en el espacio ordinario, y la conservación del momento angular del campo corresponde la invarianza ante las rotaciones tridimensionales.

Veremos que la integral de movimiento del centro de energía corresponde a las rotaciones invariantes de Lorentz en un plano , , lo que da también lugar a un tensor simétrico de energía-momento cuya divergencia es nula en un sistema cerrado. Además, la simetría del tensor energía-momento garantiza la equivalencia del momento y la energía, así como la ley de inercia por la cual el centro de energía del campo se mueve en línea recta a velocidad constante. En el caso de fuentes veremos que lo que se conserva es el momento total del campo y de la materia.

Los significados del campo electromagnético

y sus transformaciones históricas. 2ªed.

334

La conservación del momento angular de espín clásico del campo electromagnético es una propiedad nueva que aparece que no tiene similitud con los sistemas mecánicos discretos.

Algunas de estas propiedades ya fueron deducidas a partir de la forma vectorial de las ecuaciones de Maxwell, sin embargo, con la teoría de invariantes, aparece una justificación de como se originan los principios de conservación, así como algunas propiedades nuevas del campo electromagnético, que no se pueden deducir directamente partir de las ecuaciones de Maxwell.

Veremos que las tensiones o fuerzas del campo electromagnético deben aparecer siempre como una integral de superficie, que es un resultado ya conocido por el tensor de Maxwell. Esta forma de actuar del campo electromagnético a través de un tensor es lo que hace que las acciones del campo electromagnético puedan ser evaluadas a distancia, a través del concepto de fuerza a distancia como la fuerza de Lorentz y que, además su actuación siga una ley lineal que admite un principio de superposición lineal en sus acciones, lo que justifica muchos de los modelos mecanicistas que se aplican en la interacción del campo con partículas materiales.

Veremos también que una consecuencia de la simetría del tensor energía impulso es la equivalencia de la energía con la masa y la ley de inercia, por la cual el centro de energía se mueve en línea recta a velocidad constante.

En este capítulo, estudiaremos en detalle el origen de los principios de conservación y la relación que hay entre ellos para el campo electromagnético.

Simetrías y principios de conservación en sistemas discretos

Ya hemos visto en el capítulo de teorías canónicas que la lagrangiana de un sistema discreto, como el de una partícula en un campo electromagnético externo, viene representada por una expresión de la forma

, , ,

y que la acción definida como la integral de la lagrangiana en el tiempo a lo largo una curva entre dos puntos fijos y que pasa por los instantes y

, , ,

Aquí actúa como un parámetro de integración.

10 Teorías de los invariantes del campo electromagnético

Enrique Larrea Bellod

335

La variación en este caso se hace de forma que a la curva en cada instante fijo se le suma una pequeña perturbación que se anula en los tiempos extremos de la curva, siendo es un parámetro infinitesimal

, , 0

Puesto que en la variación se mantiene fijo

,

La variación de la acción será entonces

, , , , , , ,

,,

, ,0

Donde se ha integrando por partes el segundo término de la integral, y teniendo en cuanta que se anula en la frontera, se llega a las ecuaciones de Euler-Lagrange que determinan la curva que hacen estacionaria a la acción

,0

Hemos visto también, que la forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange se mantiene ante una transformación de las coordenadas generalizadas si ` ` , `, ,

, , , , o lo que es lo mismo, el vector de Euler se transforma como un vector covariante.

Además, la lagrangiana debe ser una ecuación homogénea de grado 1 en , , ya que si se hace la transformación la integral de la acción debe ser invariante y por tanto debe verificarse

, ,

,, , , , ,

Por esta condición de homogeneidad se debe verificar la relación

,, · , 0



336

Por tanto el vector de Euler es normal a la tangente a la curva que pasa por un punto determinado del espacio de las coordenadas generalizadas.

Como ya vimos, a la lagrangiana se le puede sumar derivada total respecto al tiempo de una función arbitraria , , ,

sin que las ecuaciones dinámicas de Euler-Lagrange se vean modificadas, ya que al hacer la variación de la acción la contribución de esta función se anula en la frontera de integración.

Se dice que la lagrangiana es cuasi invariante covariante cuando se cumple la condición

` , , , , , , ,

Es importante observar que la prima sobre las funciones significa que la forma de dependencia funcional sobre las variables puede ser distinta después del cambio de variables.

En el caso de una transformación del tipo general

` ` , ` ` ,

la invarianza canónica de la forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange ante un cambio de coordenadas general está garantizada si la integral de la acción es invariante y por tanto se verifica

` ` , `, `, ` ` , , ,

Sin embargo esto no garantiza que las ecuaciones de Euler-Lagrange den lugar a un conjunto de ecuaciones que tengan la misma cuando se hace una transformación covariante de las coordenadas.

Para exigir que las leyes naturales de la física tenga la misma forma se debe también exigir que se cumpla el principio invarianza de la forma en la lagrangiana ante una transformación general de coordenadas

` , , , , , ,

Reuniendo estas dos condiciones de invarianza canónica y de forma, la condición invarianza covariante que se debe exigir a la lagrangiana y a la acción es



337

` , `, `, ` `

`

`

, , ,

Veremos que estas dos condiciones condicionan la estructura de las leyes físicas.

En la variación se hace a un instante fijo , siendo 0. Consideremos ahora que y pueden variar, o lo que lo mismo que la variación de ya no se hace a un instante fijo, sino que puede depender de

` `

` ` `

Las variaciones y ` se relacionan de forma que

``

1`

``

` , ` , , , ` , `

Operacionalmente, esto se pude representar como

` `

La variación ` de la acción será

` ` , `, `, ` `

`

`

, , ,

Desarrollando la anterior ecuación, se obtiene

` ` ` ` ` `

`, ,

`, ,



338

` `, ,

` , `,

, ,, `

,` , `

` ` , `

Obteniéndose finalmente

` ` , ` | ` ` |

Si ` corresponde a una transformación de simetría que deja invariante el sistema y por tanto ` 0, se verificará entonces la relación

` ` ` , ` 0

que se puede interpretar una ecuación de conservación.

Para las trayectorias extremales en que 0, será entonces

0

y ` ` es una magnitud que se conservará en el tiempo. A se le denomina generador de la transformación invariante.

Si el sistema es invariante ante una transformación de translación de la coordenada entonces el momento canónico será una constante de movimiento.

Mayor interés tiene las magnitudes conservadas de las invarianzas ante las transformaciones del tipo debidas a rotaciones espaciales o de Lorentz analizadas con detalle en el capítulo de teorías geométricas.

Si es una coordenada cíclica, es decir no depende explícitamente de ella, entonces, la transformación ` deja invariante el sistema, por lo que el correspondiente momento conjugado será una constante de movimiento.

Como en mecánica clásica, para la invarianza ante una translación espacial en una dirección se conservará el momento lineal total en esa dirección, y para la invarianza ante la rotación alrededor de un eje se conservará la proyección del momento angular



339

sobre dicho eje. Si el sistema no depende del tiempo y es invariante ante una variación ` , entonces se conservará , que en general coincidirá con la energía del sistema.

Como hemos indicado a la lagrangiana se le puede añadir una diferencial total de una función arbitraria , no afecta a las curvas extremales variaciones. Si hacemos que ` sea una transformación que liga dos puntos próximos de la curva extremal, que representaremos por ∆`, entonces ` ` , `, `, ` y , , , deben representar las mismas curvas extremales, y la covarianza indica que ambas lagrangianas deben diferir solo en la diferencial total el tiempo de una función

` , , , , , ,,

y ` será

∆` ` , `, `, ` `

`

`

, , ,

` ` , `, `, `` , `` `

`

`

, , ,` , `` `

`

`

,| , |

Restando de la anterior ecuación obtenida tenemos

∆` ∆` ∆` , ∆` 0

Esta relación es general, y no se han utilizado en su deducción las ecuaciones de movimientos de las curvas extremales, desempeñando aquí dela función generatriz del movimiento.

Vemos que las transformaciones de simetría están estrechamente relacionadas también con los cambios de la forma funcional de la lagrangiana, y que la variación de las variables dinámicas en una trayectoria extremal se puede asociar a una transformación de simetría continua.



340

Teorema de Noether para sistemas discretos. Simetrías, invarianzas y magnitudes conservativas

Ya vimos en teorías geométricas, que la invarianza ante determinados grupos continuos de transformaciones de la isometría paramétrica euclidiana y galileana implicaba la conservación de determinadas magnitudes físicas. Veremos ahora, que el teorema de Noether establece que si la integral de la acción que representa un sistema físico es invariante ante un grupo continuo - paramétrico de transformaciones, entonces, existen r magnitudes que son constantes a lo largo de las curvas extremales que satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, y que pueden ser interpretadas como leyes físicas de conservación.

Para representar un grupo de transformaciones continuas dependiente de un parámetro basta con analizar la transformación con una variación infinitesimal de dicho parámetro respecto a la transformación unidad, Por ello, supondremos que un sistema físico depende de parámetros continuos donde 1,2 … , y cuya variación infinitesimal da lugar a la transformación

` , , ` , ,

Evidentemente será ` y ` cuando 0, que representa la transformación identidad.

La condición de invarianza covariante de la acción y de la lagrangiana se puede rescribir como

` , `, `, ``

, , ,

Como hemos supuesto que el sistema es invariante ante una transformación de los parámetros, entonces la anterior ecuación debe ser independiente ante una

variación infinitesimal independiente de dichos parámetros. Por ello, los términos del desarrollo de la anterior ecuación respectos a cada uno de los en el entorno de

0 se deben anular

` , `, `, ``

, , , 0

Desarrollando la derivada obtenemos

` `

,

`, ` ` `0



341

Teniendo en cuenta identidades

`

` 0

`

`

`

` 0

` 1

`

`

`

Además a lo largo de cualquier curva se verifica

`1

`, ,

`` ,

` ``

` ` `

` ` `

Si se deriva las dos últimas ecuaciones respecto a respecto a , después de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene

`

`` ,

Sustituyendo las anteriores expresiones en la condición de invarianza se obtiene

,, 0

La anterior expresión puede ser rescrita en la forma

,, , 0

Si de definimos

,,



342

tenemos la ecuación de conservación para sistemas discretos

, 0

La anterior ecuación se la conoce como relaciones de Noether, y a como la carga de Noether.

Observemos que la anterior ecuación es válida para cualquier trayectoria en el espacio de configuración de las coordenadas generalizas, incluidas las trayectorias virtuales. Sin embargo, en una trayectoria extremal real, el vector de Euler se anula 0, por lo que será

0 0

y por tanto, la carga de Noether es una magnitud que se conserva a lo largo de la trayectoria real.

El teorema de Noether se puede resumir diciendo que, si una lagrangiana es covariante respecto a un grupo de simetrías que depende de parámetros continuos que no dependen del tiempo, entonces, existen combinaciones linealmente independientes de las ecuaciones de Euler-Lagrange cada una de las cuales son la derivada respecto al tiempo de una cantidad llamada carga de Noether, la cual se conserva a lo largo de una trayectoria real que hace estacionaria la acción.

En el caso de la cuasi invarianza, las anteriores ecuaciones se modifican añadiendo a la carga de Noether el término

Λ

Estas simetrías pueden verse también de otra forma. Se ` es la variación de la lagrangiana sobre las trayectorias extremales, pero permitiendo ahora que la condiciones de frontera puedan variar

`, ,

,, , ,

En vez de podríamos utilizar cualquier otro parámetro de integración cualquiera, siempre que normalizáramos la lagrangiana para que la integral de la acción sea invariante.



343

Teorema de Noether para campos continuos. Simetrías, invarianzas y magnitudes conservativas

Conviene ahora volver hacer la demostración completa de las ecuaciones de Euler-Lagrange, para un sistema cuya densidad de lagrangiana depende de un campo de funciones vectoriales ).

Sea Ω el volumen cuadrimensional cuya frontera Ω suponemos fija

Ω y

Recordamos las notaciones abreviadadas

,

Supondremos mientras no se diga lo contrario que , , y no depende explícitamente de las coordenadas .

En adelante, siempre que sea posible, reservaremos el índice para designar las funciones de campo .

La variación se hace de forma que para cada fijo se añada a una variación

El principio variacional, para condiciones de frontera fijas, establece que

Ω Ω0

Puesto que las coordenadas se mantienen fijas, los operadores de derivadas conmutaran las variaciones

por lo que se verificará

,

Aplicando el teorema de Gauss se obtiene

Ω Ω Ω0



344

Como se anula en la frontera Ω, que suponemos por el momento fija, y además sus variaciones son independientes y se anulan en la frontera, se llega a las ecuaciones de Euler-Lagrange

0

Tiene un interés especial tiene cuando las variaciones incluyen cambios en la frontera de integración cuando esta ya no es fija. Este tipo de variación se denominará a diferencia de con frontera fija.

Supongamos el cambio de coordenadas

`

` `

Es importante comentar que la prima sobre las funciones ` indica que la dependencia funcional sobre las nuevas variables ` transformadas, puede ser distinta de la dependencia funcional de las respecto a las originales.

Se debe destacar que la transformación activa ` se refiere a un mismo punto físico , por lo que la transformación inducirá un cambio en dependiendo de su naturaleza escalar, vectorial, o espinorial.

También ` ` , se refieren al mismo punto en los dos sistemas de coordenadas.

Se define la siguiente notación y para las variaciones para el campo

` ` ` ` ,

donde se han despreciado los términos infinitesimales de orden superior a 2.

La variación compara en un mismo punto la función de campo transformada con la inicial, mientras que la variación compara la función transformada con la original.

En el caso de campos escalares será ` ` , y si son campos vectoriales o espinoriales cambiaran según la ley que se establezca para dicha transformación. Si las

son un campo vectorial

` ` ` ` ` o ` ` ` `

Las variaciones se pueden relacionar con el operador simbólico



345

Obsérvese que la variación se toma siempre en un mismo punto, y por tanto conmuta con el operador en ese mismo punto

De forma general obtenemos que el elemento de volumen se transforma como

Ω``

Ω Ω 1 Ω o Ω Ω

El gradiente que es una operación que compara la variación entre dos puntos próximos, se transforma como

`` ` ` `

De esta última ecuación se sigue que

` `

La variaciones para las derivadas serán

, ` `

`

` ` ` ` `

``

`

obteniéndose finalmente

En forma de operador simbólico

La invarianza canónica de la forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange ante un cambio de coordenadas general está garantizada si la integral de la acción es un invariante escalar numérico, y por tanto se verifica



346

` ` , ` , ``

, ,

Sin embargo esto no garantiza que las ecuaciones de Euler-Lagrange den lugar a un conjunto de ecuaciones físicas que tengan la misma forma cuando se hace una transformación covariante de las coordenadas.

Para que las ecuaciones de las leyes naturales de la física tengan siempre la misma forma, se debe también exigir que se cumpla el principio invarianza de la forma en la lagrangiana ante una transformación general de coordenadas

` ` , ` , ` ` , ` , `

Reuniendo ambas condiciones, el principio de la invarianza de la forma covariante de las ecuaciones de las leyes físicas exige que deba cumplirse la condición

` , ` , ``

, ,

Determinemos ahora las condiciones para que el campo extremalice la acción en primer orden de y de forma que se verifique

` ` 0

Observemos que la condición de invarianza covariante lo que se debe exigir es la anulación de la invarianza 0

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ , ,

ΩΩ

0

Expresando en función de obtenemos

ΩΩ

Para condiciones de contorno fijas volvemos a recuperar la condición extremal 0 de las ecuaciones de Euler-Lagrange para el principio de Hamilton.

Si suponemos que la acción es invariante ante un cambio simultáneo de las coordenadas y de las funciones de campo , se deberán verificar las relaciones de Noether

0



347

Es importante observar, que estas relaciones son válidas tanto para trayectoria extremas estacionaria 0, como para las trayectorias virtuales.

Un método de análisis alternativo es el empleado por Barut, considerando la transformación del sistema como una transformación activa, a diferencia del anterior método que se puede considerar como una transformación pasiva.

Al transformarse las coordenadas la frontera Ω pasa a ser Ω` y el recinto de integración pasa de a `, por lo que se verificará

Ω Ω Ω` Ω Ω

y por tanto

Ω Ω

que es equivalente a la deducción anterior, en que en la variación de la integral se han transformado directamente las variables empleando el jacobiano de su transformación.

Si las cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange 0, y 0 para una determinada transformación, entonces se verificará

Ω Ω, 0

Aplicando el teorema Gauss cuadrimensional se obtiene

Ω , 0

Ω

lo que nos da las ecuaciones de Euler-Lagrange con fronteras móviles

, 0

o de forma equivalente

0

que es una ecuación del tipo de conservación local, que analizaremos en detalle, y que se cumple sólo cuando la lagrangiana no depende de las coordenadas explícitamente. Además, si la lagrangiana es hermítica entonces las corrientes son reales.



348

Para una transformación invariante 0 sobre un campo extremal, como el campo y sus derivadas se anulan en el espacio al tender al infinito, en el espacio cuadrimensional, podemos escoger dos hiperplanos y perpendiculares al eje del tiempo en y . Entonces por el teorema de Gauss

Ω

Ω, 0

Se define como el generador de la transformación invariante a

,

y será una constante de movimiento que no varía con el tiempo

0

Al integrando del generador de una transformación invariante siempre se le puede añadir la divergencia de un campo que se anule en el infinito

Si una transformación de con 0 deja invariante la acción 0, entonces se conservara el momento asociado

0

Analizaremos más adelante, distintos tipos de transformaciones físicas y las magnitudes conservativas a las que dan lugar

Corrientes y cargas de Noether conservativas

Si suponemos que la transformación deja invariante la acción, se puede representar por un conjunto de parámetros continuos de la forma



349

entonces la ecuación de continuidad de Noether, toma la forma

· 0

donde es la densidad de carga de Noether y en la densidad de corriente de Noether.

Podemos reescribir la ecuación de Noether en función de las variables canónicas de la forma

, , ,

, , ,

siendo

, ,

En el caso cuasi covariante, a la densidad de lagrangiana se le puede sumar una divergencia nula , ya que esto no altera el sistema como se ha comentado. Si

, entonces las ecuaciones de las cargas y corriente de Noether se modifican añadiéndoles el término .

Evidentemente, si se integra la ecuación de continuidad sobre un volumen suficientemente grande que encierre al sistema y sobre cuya superficie los campos y sus derivadas se pueden considerar nulos, tenemos entonces

· 0

y por tanto, la carga total de Noether correspondiente a una transformación que deja invariante un sistema físico, es una constante que no varía en el tiempo

Tenemos por tanto, cargas de Noether que son las magnitudes conservativas asociadas a la transformación invariante dependiente de parámetros continuos.

En el caso de un sistema electromagnético, la presencia de los términos de la densidad hamiltoniana en la densidad de carga de Noether, y de la densidad de momento

en las densidades de corrientes, ya nos indican que las magnitudes totales del sistema que se conservarán serán, la energía, y los momentos lineal, angular y del centro de masa, cuando este sea invariante ante las transformaciones galileana. Sin



350

embargo, las ecuaciones de conservación de Noether son generales, y pueden dar lugar a otros tipos de magnitudes conservativas cuando el sistema posee otros tipos de simetrías internas que no afectan a las coordenadas como veremos.

Debe observarse también que las ecuaciones del electromagnetismo son invariantes ante una inversión de paridad, por lo la lagrangiana debe ser un escalar propio también invariante ante la paridad

Todo esto también se puede interpretar de otra forma. Hemos visto, que si el sistema posee una simetría

` `

que deja invariante la acción ante una transformación del tipo ,será entonces nula la variación y se verificará

0Ω

,

y el generador de la transformación invariante es también una constante de movimiento

0

Para un campo extremal, en que existe una transformación de simetría para la que la variación es nula, por el teorema de Gauss, se verifica también la ecuación de conservación local para las cargas y corrientes de Noether ya analizada

, 0

A esta ecuación se conoce también como la ecuación fundamental de las leyes de conservación.

Comentemos que, si a la Lagrangiana se le suma una divergencia nula , esto no altera el sistema como ya se ha comentado, lo representa cambiar sólo el valor de

en una constante.

Si, además, una transformación que deja invariante la variación de la acción cumple la condición adicional



351

` ` 0

que es una característica de las transformaciones de los campos escalares, entonces se verifica

0Ω

, Ω

, Ω

y la ecuación de continuidad que define las corrientes de conservación de Noether toma la expresión

, 0

Esto nos indica que existe un tensor de energía momento

, ,

cuya divergencia es nula

0

Otras transformaciones de interés son las simetrías internas cuando solo se transforman las variables de campo de la forma

0 y

Entonces la corriente de Noether

será una corriente conservativa que cumplirá con la ecuación de continuidad de conservación local

0

Esto último puede comprobarse directamente de las condiciones de escalaridad y covarianza de la densidad lagrangiana.

` , , , , , ,

` , , , , , `,

En la física clásica, la acción de la integral de la densidad lagrangiana, es la que determina las ecuaciones de movimiento, porque las simetrías deben dejar invariante



352

tanto la densidad lagrangiana como a la acción. Sin embargo, en mecánica cuántica también contribuyen las trayectorias virtuales en un entorno de la trayectoria que hace extremal la acción que cumplen

| |

por lo que en una aproximación cuasiclásica, a las corrientes de Noether también contribuyen el vector de Euler , ya que no se anula en las trayectorias virtuales.

Simetrías del tensor de energía momento del campo

Se define el tensor canónico de energía-momento del campo por

,

, ,

Para un sistema aislado veremos que su divergencia será nula

0

Obsérvese que esto se cumple solo si 0, lo que no es válido en las rotaciones si tiene una condición de transformación diferente.

El tensor canónico así definido no es simétrico, por lo que no se conservaría el momento angular y no sería tampoco gauge invariante, condiciones no son físicamente aceptables para un sistema aislado y cerrado.

Para obviar esta dificultad es necesario llevarlo a una forma simétrica , lo que es posible mediante una transformación adecuada del tipo

donde es una función antisimétrica , que se determina haciendo nula la parte antisimétrica de , con lo que se obtiene la ecuaciónque una vez integrada, nos da una función que hace simétrico a , por lo que se verificará

y 0

Ya hemos visto que, para medios continuos, el cálculo variacional establece que, si existe unas funciones de campo ) que hace extremal (máximo o mínimo) a la integral de la acción con unas condiciones fijas en la frontera del contorno Ω del volumen integración cuadrimensional Ω



353

, ,Ω

entonces, ) verifica el conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange

, 0

donde es la función densidad de Lagrange, que suponemos depende de ) y

, ⁄ y α 0,1,2,3 con la denominación de coordenadas

, , , , ,

y se ha abreviado con la notación ⁄ .

Con letras griegas se designa siempre los índices cuadrimensional 0,1,2,3 , y con índices latinos se refiere a los índices espaciales 1,2,3 .

Supongamos primero que la lagrangiana no depende explícitamente de las coordenadas. Se verificará entonces

, ,

, , ,

, ,

La anterior ecuación nos indica que es nula la divergencia del tensor canónico energía-momento del campo

0

Que la cuadridivergencia de en este caso sea nula, se debe a que la lagrangiana no depende de las coordenadas explícitamente.

Si la densidad lagrangiana dependiera de las coordenadas sería entonces

lo que nos indicaría también que el campo no es un sistema cerrado.

Para el campo electromagnético específicamente, las funciones de campo son los potenciales con

, ,

00

00

4 2



354

El tensor canónico del campo electromagnético libre será entonces

,, , 4

Para simetrizar el tensor vemos que si le sumamos el tensor

entonces el tensor resultante es simétrico y además su divergencia es nula

El tensor energía impulso del campo libre simetrizado, adopta la expresión

Además simetrizado de esta forma es también gauge invariante y por tanto un observable medible. Vemos también que y están relacionado por

El que la lagrangiana electromagnética sea hermítica e invariante ante las transformaciones de Lorentz, implica como veremos más adelante, que también sea invariante ante la conjugación de la carga, así como también lo sea el tensor de energía momento.

El tensor del campo electromagnético simetrizado tiene las siguientes componentes

Densidad espacial de energía

Vector Poynting flujo de energía

1

Densidad de momento del campo

Tensor de Maxwell



355

De la ecuación de divergencia nula 0, se obtiene separando sus componentes temporal y espacial las siguientes ecuaciones

0

0

que expresan la ecuación de continuidad de la conservación local de la energía y del momento, que ya se obtuvieron a partir de las ecuaciones vectoriales de Maxwell.

Para no recargar la notación omitiremos a veces el subíndice cuando no haya confusión de distinguir cuando nos referimos al campo libre.

La componente temporal 0 de la espacial en la ecuación 0 se puede escribir como

Integrando en un volumen del espacio tridimensional obtenemos

donde es la superficie que cierra el volumen y es es la normal exterior en la superficie.

La anterior ecuación puede reescribirse de la forma

que es una ecuación de conservación local, que nos dice que la pérdida de encerrado en un volumen por unidad de tiempo es igual a la cantidad que sale a través de la superficie que encierra el volumen. Más adelante se comentará en detalle el significado físico de estos términos.

A se le llama a veces carga de Noether y a corriente de Noether, por la similitud con la ecuación de la conservación de la carga.

Como veremos, la carga es magnitud aditiva que se conserva, e independiente del sistema de referencia de observación y medición. Todo ello es debido al teorema de Noether en relación con la simetría de invarianza gauge.



356

Simetrías y principios de conservación del campo electromagnético

En el caso de una translación más una rotación infinitesimal se genera la transformación de coordenadas

∆ ∆

donde ∆ es un vector infinitesimal constante que representa la translación y ∆ es la matriz antisimétrica de una rotación infinitesimal.

Las componentes de un campo vectorial (como es el caso del potencial electromagnético) suponemos que se transforman de acuerdo con la relación

∆

Definamos ahora los tensores de tercer orden del momento orbital , del espín clásico , y de momento angular total

,

,, ,

De la ecuación fundamental de la conservación

0

se deduce que se verifica

0

y que además

Cuando el se simetriza, las ecuaciones para y se desacoplan y se cumple

0 0

conservándose el momento angular y de espín separadamente.

El generador de la transformación invariante vendrá dado



357

,

∆ ∆ ∆

∆ ∆

Puesto que

∆ ∆

212 ∆

tendremos entonces

12 ∆ ∆

12 ∆ ∆

12 ∆ ∆

Puesto que

será

12 ∆ ∆

Definiendo

1

1

podemos reescribir como

12

es el cuadrivector generador de las translaciones, que corresponde con el cuadrivector energía-momento lineal.



358

es el tensor generador correspondiente a las rotaciones, que se corresponde con el momento cinético.

En el caso de simetría ante translaciones y rotaciones, vemos que dichos generadores son unas constantes invariantes ante dichas transformaciones.

Si es una constante de movimiento, por el teorema de la divergencia, volvemos a obtener que la divergencia del tensor energía-momento es cero 0.

Si consideramos solo las translaciones, haciendo como antes la integración en el hipervolumen comprendido entre dos hiperplanos, y perpendiculares al eje del tiempo en y , obtenemos aplicando en teorema de Gauss cuadrimensional

01

Volvemos a comprobar que el generador no depende del tiempo, por lo que se conserva el cuadrivector total

1

donde ahora la integral se extiende a todo el espacio tridimensional.

Desarrollando la ecuación de la cuadrivergencia nula de en su parte temporal y espacial, obtenemos:

Cuando el volumen de integración se extiende a todo el espacio, la superficie tiende al infinito y la última integral se anula al anularse allí los campos, por lo que se conserva

0

La penúltima ecuación también puede interpretarse como una ecuación de conservación, en que la variación en el tiempo de contenido en un volumen , es igual al flujo de que sale a través de la superficie que encierra dicho volumen.

Por tanto, si , , representa el momento lineal total, y la energía total contenida en el espacio.

Las componentes del tensor electromagnético una vez simetrizado, se pueden interpretar de la siguiente forma



359

í 1

· í é

1

Para el campo electromagnético del densidad de momento y el momento total se

suelen representar por y .

Para un campo electromagnético en el vacío sin interacciones

indicándonos que las tensiones o fuerzas del campo electromagnético aparecen como una integral de superficie, lo que reproduce el resultado ya conocido por el

tensor de Maxwell, que se identifica con .

Esta forma de actuar del campo electromagnético a través de un tensor, que proviene de las ecuaciones de conservación por la invarianza ante las translaciones cudrimensionales simultaneas en el espacio y el tiempo, es lo que hace que las acciones del campo puede ser evaluadas a distancia, y es así como veremos que aparece el concepto de fuerza a distancia, como la fuerza de Lorentz. Vemos además que su actuación sigue una ley lineal, por lo que admite un principio de superposición en sus acciones.

Para las transformaciones de Lorentz, que representan rotaciones cudrimensionales en el espacio-tiempo, debido a que el tensor de momento angular verifica que su divergencia es nula 0, haciendo un análisis similar al efectuado, llegamos a que no depende del tiempo y se conserva el tensor antisimétrico

1 1

Además, se verifica que



360

que es una ecuación similar a la del momento angular, pero cuadrimensional. Separando la parte temporal de la espacial obtenemos

1

que se puede reescribir como

La anterior ecuación se corresponde con la conservación del centro de energía

0

Este resultado es equivalente al de la mecánica relativista para partículas analizado en el capítulo de teorías geométricas, pero que aquí se aplica a los campos.

También esto se puede interpretar como que el momento es igual a la energía/ por la velocidad del centro de energía, que es equivalente a la definición dinámica de Newton.

Según Planck, la equivalencia de la energía con la masa es una consecuencia directa de la simetría del tensor energía-momento. Si / y fueran distintos, entonces la conservación de la masa y de la energía tendrían leyes diferentes y el principio de equivalencia de masa energía sería distinto. La simetría del tensor energía impulso garantiza la ley de inercia por la que el centro de energía se mueve en línea recta a velocidad constante.

De la parte espacial de la anterior ecuación obtenemos

0

que es equivalente a

lo que nos dice que se conserva el momento angular total del campo

siendo

12



361

Que el campo electromagnético tenga un momento angular propio, es un hecho llamativo. Feynman ha analizado las paradojas en que se incurre cuando se ignora.

Del análisis efectuado se concluye que la energía del campo posee un momento dado por ⁄ y, por tanto, el campo electromagnético se comporta de forma similar a una partícula relativista sin masa.

Veremos más adelante que realmente el campo electromagnético está formado por partículas de fotones de masa cero o, para ser más precisos, las cargas eléctricas interaccionan a través de un campo de fotones.

La demostración de que la luz estaba formada por un quantos de fotones, con energía y momento, fue la razón de la concesión del Premio Nobel a Einstein.

Aplicaremos también el mismo análisis al llamado espín clásico. A partir de la ecuación de continuidad 0 que ya estudiamos anteriormente, se define el tensor de segundo orden antisimétrico conservativo independiente del tiempo

1

Para las componentes espaciales de este tensor definimos

12

y para el campo electromagnético será

que representa la conservación del espín clásico.

Para la componente la temporal obtenemos

que nos da la conservación del centro de la energía para un campo electromagnético estacionario sin interacción con la materia.

Otras transformaciones de interés son las simetrías internas cuando solo se transforman las variables de campo de la forma

0 y



362

Entonces, el generador de la transformación que deja invariante la acción y que es también una constante de movimiento será

y la corriente de Noether

por el teorema de la divergencia, la corriente de Noether verificará la ecuación de continuidad de conservación local

0

Un caso especial de simetría interna son las transformaciones gauge de los potenciales

∆

por lo que en este caso la ecuación de conservación toma la expresión

∆ 0

El generador será

∆ ∆ ∆

∆ ∆ · ∆

y como es también una constante de movimiento, tendremos será

por lo que la carga total del sistema será una constante en el tiempo.

La invarianza del campo electromagnético ante una transformación implica que la carga electromagnética total de un sistema se mantiene constante en el tiempo.

Puesto que las contantes de movimiento son también el generador de una transformación invariante, el anterior razonamiento se puede invertir, y como observa Garay, la ley de Gauss también se puede considerar como el generador de los potenciales vectores. Esto refuerza la conclusión de que la ley de Gauss es una ecuación de restricción, ya que como vimos en el capítulo de teorías canónicas, el



363

momento canónico del potencial escalar es nulo y existe en ecuación dinámica para él.

En el caso de que la lagrangiana dependa explícitamente de las coordenadas no siendo invariante ante una translación de estas, entonces en la variación de aparece un término adicional ⁄ , de forma que la divergencia de tensor energía-momento será

con lo que la energía y el momento lineal el campo electromagnético no se conserva, lo que indica que no es un sistema cerrado

Sin embargo el momento angular si se conserva, ya que se sigue verificando

0

Conservación de la energía, momento, y momento angular en las interacciones electromagnéticas

En el caso de presencia de materia, vimos que la densidad lagrangiana con el término de interacción electromagnética viene dada por

4

y en este caso el tensor energía-momento derivado por las ecuaciones de campo toma la expresión

,

siendo el tensor del campo electromagnético libre simetrizado

habiéndose tenido en cuenta para su obtención las ecuaciones de Maxwell

y 0

Las divergencias de y ya no son nulas si la lagrangiana depende de las

coordenadas, verificándose entonces



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Subiendo los índices tenemos podemos rescribir la anterior ecuación como

siendo una densidad de fuerza que actúa sobre las cargas corrientes de la materia debidas a la interacción con el campo electromagnético, que analizaremos en detalle en otro capítulo, y cuyas componentes están relacionadas con la fuerza de Lorentz y la energía cedida por el campo electromagnético a la materia.

En este caso, la función del momento tampoco es constante en el tiempo, ya que se verificará

1

donde es una fuerza de Minkowsky, que analizaremos mas adelante.

Si definimos como el tensor energía impulso de la materia, la fuerza que actúa

sobre será

De forma que se verifique la ecuación de continuidad

0

que nos indica que la fuerza total para un sistema asilado y cerrado es nula. Esta ecuación también nos dice, que hay un intercambio de energía y momento entre el campo electromagnético y la materia, de forma que la cantidad total se mantiene constante.

El signo negativo en la ecuación de continuidad del tensor electromagnético procede de la forma su definición, y es también habitual en la literatura definirlo con el signo cambiado. La fuerza que ejerce sobre la materia el campo es la derivada del tensor electromagnético por signo de la componente de energía , independientemente de cuál sea su definición. El tensor de la materia en función de la densidad lagrangiana de la materia se define habitualmente como

,

de forma que la densidad de fuerza que actúa sobre la materia es



365

por lo que se conserva el cuadrivector de momento energía total de la materia y el campo.

El que el momento angular del campo electromagnético se conserve es debido a que las ecuaciones son invariantes ante las rotaciones de Lorentz en el espacio-tiempo.

Desde el punto de vista de Noether todo lo anterior se interpreta de la siguiente forma:

Si la acción integral del campo es invariante con respecto a transformaciones de grupo no homogéneo de Lorentz, entonces los diferentes subgrupos que se incluyen en este grupo corresponden a las leyes de conservación.

La conservación de la energía corresponde al subgrupo de las translaciones invariantes por un vector temporal.

La conservación del momento lineal del campo corresponde al subgrupo de las translaciones invariantes en el espacio ordinario tridimensional.

La conservación del momento angular del campo corresponde al subgrupo de de las rotaciones invariantes tridimensionales.

La integral de movimiento del centro de energía corresponde a las rotaciones invariantes en el plano , , que además da lugar a un tensor simétrico de energía impulso cuya divergencia es nula en ausencia de fuentes.

La simetría del tensor energía-momento garantiza la equivalencia del momento y la energía, así como la ley de inercia, por la cual el centro de energía del campo se mueve en línea recta a velocidad constante.

La simetría del tensor energía-momento hace también que se conserven separadamente el momento angular y de espín, y de que haya un intercambio de energía y momento entre el campo y la materia, de forma que la cantidad total se mantenga constante.

En el caso de fuentes de corriente se conserva el momento total lineal del campo y de las corrientes.

La conservación del momento angular de espín es una propiedad nueva que aparece que no tiene similitud con los sistemas mecánicos discretos. Veremos su significado más detalladamente cuando se discretice el campo en componentes de ondas planas.

Algunas de estas propiedades ya fueron deducidas a partir de la forma vectorial de las ecuaciones de Maxwell, sin embargo, con la teoría de invariantes aparece una justificación de como se originan los principio de conservación, así como algunas



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propiedades nuevas del campo electromagnético, que no se pueden deducir directamente a partir de las ecuaciones de Maxwell.

La existencia de un tensor simétrico de energía-momento, que es un efecto relativista, garantiza la existencia de la fuerza a distancia y del principio de superposición debido a su interacción lineal.

La ecuación de inercia del movimiento lineal del centro de energía, así como la conservación de del momento y la energía, son también la consecuencia de la simetría del tensor de energía impulso.

El que la energía del campo se propague de forma similar a una partícula sin masa con un momento proporcional a la energía del campo, y que además, el campo electromagnético actúe a través de un tensor lineal que hace que las acciones del campo puede ser evaluadas a distancia mediante una fuerza como la Lorentz, es el origen de que algunos modelos mecanicistas del campo electromagnético hayan tenido tanto éxito en sus aplicaciones prácticas.

El éxito de estas analogías mecánicas entre las que se incluye la propagación ondulatoria, han hecho que se olvide los límites de su aplicación y las aproximaciones implícitas efectuadas.

Las simetrías relativistas de las transformaciones Lorentz parece que son las únicas capaces de dar origen a un tensor simétrico de energía impulso, que es el que da la coherencia conocida a las leyes de nuestro mundo físico. Todo parece estar regulado con un orden subyacente en el que prima el principio de causalidad que es la fuente de la relatividad.

Invariantes del campo electromagnético

Invariantes escalares: Los únicos invariantes que se pueden formar con el tensor electromagnético para las transformaciones de Poincaré en un espacio de Minkowski, son como hemos visto el capítulo de las teorías de los sistemas móviles

12

14 ·

12

14 ·

12 · ·

12 · ·



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La densidad lagrangiana electromagnética vendrá dada por

12

12 · ·

estas magnitudes, respecto a cualquier sistema inercial con movimiento relativo

uniforme, mantienen invariante su valor. Si es · 0 o en un sistema, serán también perpendiculares o conservarán su igualdad en cualquier otro sistema de inercia, tal como sucede en la propagación de las ondas electromagnéticas. Si

0 en un sistema, entonces existe un sistema en que ` 0 y solo existe

campo magnético. De igual forma, si 0, entonces existe un sistema en

que ` 0 y solo exista campo eléctrico. Sin embargo si 0, siempre existe un sistema.

Conjugación de la carga : Las ecuaciones de movimiento de una carga en un campo electromagnético

Permanecen invariantes cuando se invierte el signo de , ya los potenciales , y por tanto , también cambian el sigo. Por tanto, el sistema electromagnético es invariante ante la transformación de conjugación de la carga

Inversión temporal : Las ecuaciones de movimiento de una carga en un campo electromagnético son invariantes si se hacen simultáneamente las transformaciones

o lo que es equivalente

Por tanto, una trayectoria de una carga en un campo electromagnético puede ser también recorrida en sentido inverso si se invierte el signo del campo magnético o e potencial vector. En este sentido, se dice que las ecuaciones del electromagnetismo admiten la inversión temporal.

Evidentemente las ecuaciones del electromagnetismo son invariantes ante la transformación .



368

Conservación de la carga: De la relación de conservación de la corriente

0

en el espacio cuadrimensional, escogiendo dos hiperplanos y perpendiculares al eje del tiempo en y , por el teorema de Gauss se verificará

0 ΩΩ

SΩ , ,

por tanto, larga total es un invariante independiente del tiempo

y 0

La carga total es además, una magnitud que se conserva en las transformaciones de Poincaré. Como la carga actúa como fuente y constante de acoplamiento en las interacciones clásicas electromagnéticas de una forma lineal, esto lleva al principio de superposición de la electrodinámica clásica. En la física clásica las fuentes son independientes de los campos generados, a diferencia de la mecánica cuántica en que están acoplados, y por tanto, las relaciones son no lineales.

La única transformación admisible en la física clásica para la carga es la conjugación de la carga. Sin embargo, la electrodinámica es una teoría de interacciones relativistas, con la forma más simple de fuentes con una carga, que es invariante ante unas simetrías de reflexión y de paridad covariante.

La conservación de la carga está relacionada con el teorema de Noether para la acción de la electrodinámica clásica, y veremos que también es una consecuencia de las simetrías internas gauge de la mecánica cuántica. Sin embargo, también veremos, que se puede imponer la conservación de la carga como un postulado general a priori, lo que junto con el principio de causalidad, determina toda la estructura de las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.

La conservación de la carga, como un invariante relativista que es independiente del sistema inercial en movimiento, es una restricción muy fuerte que condiciona la estructura de las ecuaciones de Maxwell. Esto difiere de la interacción del campo gravitatorio, que viene determinado por un cuadrivector de energía momento, cuyas componentes dependen del sistema inercial considerado, y en que el campo contiene energía y a su vez la energía es una fuente del campo, por lo que el sistema gravitatorio es un sistema no lineal. La conservación de la carga es una ley de la naturaleza, que la experiencia hasta el presente ha confirmado.

f10 r0f teorías de los invariantes

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