Дятлук ЕН., Милосердова...
TRANSCRIPT
Тамбовский областной институт повышения квалификации работников образования
Дятлук Е.Н., Милосердова Л.А.
Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»
для учащихся 10-11-х профильных классов
Учебно-методическое пособие
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
Актуальность курса. Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным эк-
заменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учиты-вая уровень его математической подготовки. Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредото-чено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, яв-ляются одними из самых сложных для выпускников. Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного тестирования. Цели курса: -повышение уровня математической культуры учащихся, - формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и развитие их математических способностей; -формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов. Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач: - углубить теоретические знания учащихся по теории обратных тригонометрических функций; -сформировать представление о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержа-щих обратные тригонометрические функции; -развитие исследовательских умений и навыков учащихся. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследова-тельской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестан-дартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точ-ный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для реше-ния задач.
Требования к уровню усвоения курса.
По окончанию изучения курса учащиеся должны уметь: выполнять построения графиков обратных тригонометрических функций; применять теорию к преобразованию выражений с аркфункциями; решать уравнения и неравенства с аркфункциями; владеть: методами исследования свойств обратных тригонометрических функций; различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями. В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объясни-тельно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процес-се решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности уча-щихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).
Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения: - коллективные, индивидуальные и групповые; - взаимного обучения, самообучение, саморазвитие. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразно-сти – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу. Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: - математический диктант; - срезы знаний и умений в процессе обучения; - итоговый контроль. Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы. Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся. Курс рассчитан на 16 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенно-сти школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать кон-кретные формы занятий.
Примерный учебно-тематический план (16 ч)
№ п/п Тема занятия Теоретические
занятия Практические занятия
1. Функции у=arcsinx y=arccosx y=arctgx
y=arcctgx.
2 2
2. Операции над обратными тригонометриче-скими функциями.
4
3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.
2
4. Уравнения с аркфункциями. 2
5. Неравенства с аркфункциями. 2
6. Контрольная работа. 2
Итого: 2 14
ВСЕГО: 16
В результате изучения данного курса учащийся должен овладеть следующими общеучеб-
ными и коммуникационными компетенциями: -приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику,
-уметь точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и применять их, излагая собственные рассуждения при решении задач, -свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении задач, -уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата), -творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца, искать оригинальные решения, -уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам веде-ния диалога, -уметь самому убеждать и доказывать, приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать выводы.
Содержание курса
Занятие 1 (2 ч). Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Цель: полное освещение данного вопроса. I.Функция y = arcsin х.
Рассмотрим функцию y = sin x. Так как область определения этой функции - вся ось Ох, а область изменения значений - отрезок [-1; 1], то об обратной функции (по отношению к функции y = sin x) имеет смысл говорить только на отрезке [-1; 1] оси Оу. Пусть, например, известно, что у = sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1. Сколько значений х можно найти из последнего уравнения? На рис. 1 вид-но, что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем свой-ством, что
<Рисунок 1> sin xi = a, где i = 1, 2, ... .
Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = sin x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси Ох, на котором функция y = sin x или монотонно возрастает, или монотонно убывает. Функция y = sin x монотонно возрастает от -1 до +1, на-
пример, на отрезке −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, и вообще на любом отрезке вида − + +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
ππκ
ππκ
22
22, , где k = 0, ± 1,
± 2, ... . Она монотонно убывает от +1 до -1 на любом отрезке вида π πκ π πκ2
2 32
2+ +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
, , где k =
0, ± 1, ± 2, ... На всей оси Ох функция y = sin x обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же
из отрезков монотонности функция y = sin x имеет обратную функцию. Остается теперь зафикси-ровать какой-либо из этих отрезков. В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается
функция y = sin x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, . Итак, рассмотрим
функцию y = sin x на отрезке −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, . На этом отрезке функция y = sin x монотонно возрастает,
принимая все значения от -1 до +1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдет-
ся, и притом только одно, значение х0 из отрезка −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, оси Ох такое, что у0 = sin х0, т.е. для
функции y = sin x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арксинусом и обозначать так: х = arcsin y.
Меняя, как обычно, обозначения, пишут y = arcsin x. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов.
<Рисунок 2>
Свойства функции y = arcsin x.
1)Область определения: отрезок [-1; 1].
2)Область значений: отрезок −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, .
3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x.
4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая на [-1; 1] от −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, .
5)Функция y = arcsin x отрицательна на [-1; 0) и положительна на (0; 1], аrcsin 0 =0.
Перечисленные свойства вытекают из свойств функции y = sin x на отрезке −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, .
ОПР. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, , синус которого равен а.
Пример 1. Найти α = arcsin 12
. Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой
аргумент α, лежащий в пределах от − π2
до π2
, синус которого равен 12
.
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен 12
, например:
π π π π6
56
136
76
, , ,− и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
, . Таким аргументом будет π6
. Итак, arcsin 12 6=π .
Пример 2. Найти α = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟arcsin 3
2.
Решение. Рассуждая так же, как и в примере 1, получим arcsin −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
32 3
π .
Устные упражнения.
Найти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin 12
, arcsin (− 12
), arcsin 32
, arcsin (− 32
), arcsin 22
, arc-
sin (− 22
), arcsin 0.
Образец ответа: arcsin −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
32 3
π , т.к. − ∈ −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π π3 2 2
; , sin −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= −
π3
32
.
Имеют ли смысл выражения: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
32arcsin ; arcsin 1,5; ( )203arcsin − ?
Расположите в порядке возрастания:
а)arcsin π6
, arcsin (-0,3), arcsin 0,9; б) arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin 8π .
II. Функция y = arccos x. Функция y = cos x определена на всей оси Ох и изменяется в отрезке [-1, 1] оси Оу. Если поставить вопрос об определении тех х, при которых y = cos x = a, где -1 ≤ а ≤ 1, то увидим, что эта задача решается неоднозначно. На рис. 3
<Рисунок 3>
видно, что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем свойством, что cos xi = a, где i = 1, 2, ... . Для того, чтобы мы могли ввести функцию, обратную по отношению к функции y = cos x, нам нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она или монотонно возрастает, или монотонно убывает. Функция y = cos x монотонно возрастает от -1 до +1 на любом отрезке вида ( )[ ]2 1 2κ π πκ− ⋅ , , где k = 0, ± 1, ± 2, ... ; она монотонно убывает от +1 до
-1 на любом отрезке вида ( )[ ]2 2 1πκ κ π, + , где k = 0, ± 1, ± 2, ... В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция y = cos x и обратная к ней
функция, обычно берут отрезок [0, π]. На этом отрезке функция y = cos x монотонно убывает, при-нимая все значения от +1 до -1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдется, и
притом только одно, значение х0 из отрезка [0, π] такое, что у0 = cos х0, т.е. для функции y = cos x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арккосинусом и обозначать так: х = arccos y.
Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arccos x. График функции y = arccos x симметричен с графиком функции y = cos x относительно
биссектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arccos x вытекают из соответствующих свойств функции y = cos x на
отрезке [0, π] и видны из графика на рис. 4.
<Рисунок 4> Перечислим эти свойства: 1) Область определения: отрезок [-1; 1]. 2) Область значений: отрезок [0, π]. 3) Функция y = arccos x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество arccos (-x) = π - arccos x. 4) Функция y = arccos x монотонно убывающая на [-1; 1] от π до 0.
5) График пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке 02
,π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
.
6) Функция y = arccos x положительна на [-1, 1), arccos 1 = 0. ОПР. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0, π], косинус которого равен а.
Пример 1. Найти α = arccos −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
32
.
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
лах от 0 до π, косинус которого равен − 32
.
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен − 32
, напри-
мер: 56
76
56
76
π π π π, , ,− − и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрез-
ке [0, π]. Таким аргументом будет 56π . Итак, arccos −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
32
56π .
Пример 2. Найти α =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟arccos 2
2.
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arccos 22 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
π .
Устные упражнения.
Найти: arccos 1, arccos 0, arccos 32
, arccos −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
32
, arccos −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
, arccos 22
.
Имеют ли смысл выражения: arccos 5 , arccos 23
, arccos π, arccos ( )− 3 ?
Расположите в порядке возрастания:
а)arccos 0,4; arccos (-0,2); arccos (-0,8); б)arccos 0,9; arccos (-0,6); arccos 5π ;
III. Функция y = arctg x.
Рассмотрим функцию y = tg x. Область определения этой функции - вся ось Ох, за
исключением точек вида ( )x nn = ⋅ +π2
2 1 , где n = 0, ± 1, ± 2, ... , и область изменения значе-
ний - вся ось Оу. Об обратной функции (по отношению к функции y = tg x) можно уже говорить для всей оси Оу. Задача нахождения х из уравнения tg x = a и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис.5 видно,
<Рисунок 5>
что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, ...), таких, что tg xi = a, где i =
1, 2, ... . Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = tg x, доста-точно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно возраста-
ет. Функция y = tg x монотонно возрастает от - ∞ до + ∞, например, на интервале −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, и во-
обще на любом интервале вида − + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ππκ
ππκ
2 2, , где k = 0, ± 1, ± 2, ... В качестве интервала оси
Ох, на котором рассматривается функция y = tg x и обратная к ней функция, берут обычно интер-
вал −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, .
На этом интервале функция y = tg x монотонно возрастает, принимая все значения от - ∞ до + ∞.
Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение х0
из интервала −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, такое, что у0=tg х0, т.е. для функции y = tg x на указанном интервале суще-
ствует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так: х = arctg y.
Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arctg x. График функции y = arctg x симметричен с графиком функции y = tg x относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = tg x на
интервале −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, и видны из графика на рис. 6.
<Рисунок 6> Перечислим эти свойства: 1) Область определения: х - любое действительное число.
2) Область значений: интервал −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, .
3) Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x. 4) Функция y = arctg x монотонно возрастающая на R. 5) arctg x < 0 на (- ∞; 0) и arcctg x > 0 на (0; + ∞), arctg 0 = 0.
6) Прямые y = π2
и y = −π2
- горизонтальные асимптоты графика.
ОПР. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, , тангенс которого ра-
вен а.
Пример 1. Найти α = arctg 33
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
лах от − π2
до π2
, тангенс которого равен 33
.
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен 33
, напри-
мер: π π π6
76
56
, , − и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π2 2
, . Таким аргументом будет π6
. Итак, arctg 33 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
π .
Пример 2. Найти α = arctg (-1).
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arctg( )− = −14π .
Устные упражнения.
Найти: arctg 33
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , arctg (-1), arctg 0, arctg 3 .
Расположите в порядке возрастания: а) arctg 100, arctg (-5), arctg 0,7; б) arctg (-95), arctg 3,4, arctg 17. IV. Функция y = arcctg x.
Функция y = сtg x определена на всей оси Ох, за исключением точек вида хn = πn, где n = 0, ± 1, ± 2, ... Областью изменения ее значений является вся ось Оу. Существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, ...), для которых сtg xi = a, где i = 1, 2, ... (рис. 7).
<Рисунок 7> В качестве интервала оси Ох, на котором определяется обратная функция по отношению к
функции y = сtg x, берут обычно интервал (0, π). На этом интервале функция y = сtg x монотонно убывает, принимая все значения от + ∞ до - ∞. Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение х0 из интервала (0, π) такое, что у0 = сtg х0, а это и зна-чит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют арккотангенсом и обозначают так: х = arcсtg y.
Меняя обозначение, пишут: y = arcсtg x. График функции y = arcсtg x симметричен с графиком функции y = сtg x относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arсctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = сtg x на ин-тервале (0, π) и видны из графика на рис. 8.
<Рисунок 8>
Перечислим эти свойства: 1) Область определения: х - любое действительное число. 2) Область изменения: интервал (0, π). 3) Функция y = arсctg x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество arсctg (-x) = π - arсctg x. 4) Функция y = arcсtg x монотонно убывающая на R.
5) График пересекает ось Оу в точке 02
,π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
. К оси Ох при х → + ∞ он приближается асимптоти-
чески (ось Ох является для него горизонтальной асимптотой при х → + ∞ ). Прямая у = π также служит асимптотой графика (при х → - ∞). 6) arcсtg x > 0 при любых x. Нулей функции нет. ОПР. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0, π), котангенс которого ра-вен а.
Пример 1. Найти α = arсctg −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
.
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
лах от 0 до π, котангенс которого равен − 13
.
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен − 13
, на-
пример: − −π π π6
56
76
, , и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интерва-
ле (0, π). Таким аргументом будет 56π . Итак, arctg −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
13
56π .
Пример 2. Найти α = arcсtg 1.
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим 4
1 π=arcctg .
Устные упражнения.
Найти: arcсtg 33
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , arcсtg (-1), arcсtg 3 .
Расположите в порядке возрастания: а) arcсtg 1,2, arcсtg р, arcсtg (-5); б) arcсtg (-7), arcсtg (-2,5), arcсtg 1,4. Примечание: исследование функции y = arcctg x и построение ее графика может быть задано на дом.
V. Домашнее задание.
1.Вычислите arcsin 23 +2 arctg 3
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ - arсcos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
21 +arcctg (-1). Ответ:
43π .
2.Найти функцию, обратную к функции y = sin x на множестве G = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23;
2ππ .
Решение. Так как функция y = sin x монотонно убывает от -1 до 1 на множестве G = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23;
2ππ , то
для каждого а∈Н= [ ]1;1− уравнение sin t = a имеет единственное решение t∈G. По формулам при-ведения получаем sin t = sin (р-t).
Для t∈ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23;
2ππ имеем р-t ∈ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
2;
2ππ . Поэтому по определению арксинуса имеем, что для
t∈ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23;
2ππ единственным решением уравнения sin (р-t) = а, а∈ [ ]1;1− будет р-t = arcsin а,
т.е. t = р - arcsin а. Значит, искомая функция имеет вид f-1 (x) = р – arcsin х, х∈ [ ]1;1− .
Занятие 2 ( 2 ч). Тема: Обратные тригонометрические функции, их графики.
Цель: на данном занятии необходимо отработать навыки в определении значений тригоно-
метрических функций, в построении графиков обратных тригонометрических функций с исполь-зованием D(у), Е (у) и необходимых преобразований.
Наряду с проверкой домашнего задания уместно провести математический диктант
I ВАРИАНТ II ВАРИАНТ 1. Для каких чисел определен арксинус?
2. Найти а) arcsin( ) arcsin− +1 32
;
б) arccos arcsin−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
32
32
.
1. Для каких чисел определен арккосинус?
2. Найти а) arcsin arcsin0 12
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
;
б) arccos( )− +1 3arctg .
3.Расположите в порядке возрастания
arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin π8
.
аrcсos 0,9, arcсos (-0,6), arсcos π5
.
4.Постройте график функции (схематически)
y = ⎮arcsin x⎮
y =⎮arctg x⎮
На данном уроке выполнить упражнения, включающие нахождение области определения и
области значения функций типа: y = arcsin x2
, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 12x
.
Пример. Найти область определения и множество значений функции у = arccos х .
Решение. Очевидно, что D(у) найдется из условий ⎩⎨⎧
≤≤−
≥
11
,0
х
х. Решая эту систему, получим
D(у) = [ ]1;0 . Из монотонного убывания функции арккосинус следует, что при изменении х от 0 до
1 рассматриваемая функция будет принимать все значения между у(0)= arcсos 0 = 2π и у(1) =
arcсos 1 = 0. Поэтому Е(у) = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2;0 π .
Следует построить графики функций:
а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin 12
x ; г) y = arcsin 1x
; д) y = arcsin 12x
;
е) y = arcsin 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ; ж) y = ⎪arcsin 1
x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎪.
Пример. Построим график y = arccos 12x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1. Д (у): 12x
≤ 1 или х2 ≥ 1, т.е. xx≤ −≥
⎡
⎣⎢
11
,.
2. Е (у): 02
;π⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
, т.к. 1 02x> .
3. Функция четная, т.к. у (-х) = у (х). 4. Точки пересечения: с Оу (х = 0) график не может пересекаться, т.к. функция определена толь-
ко при ⎮х⎮ ≥ 1; с Ох (у = 0) график пересекается в (-1; 0) и (1; 0), т.к. 12x
= 1 лишь при х = ±1.
5. В силу четности достаточно ее исследовать для х ≥ 1.
Если х = 1, то у(1) = arccos 1 = 0. Если х → + ∞, то 12x
→ 0 ( 12x
> 0).
Значит, arccos 12x
→ π2
, причем arccos 12x
< π2
. Наименьшее у = 0 при х = ± 1, наибольшего
нет.
6. Функция в области определения неотрицательна, т.е. arccos 12x
≥ 0.
7. Дополнительные точки ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≈
4;19,124 π ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ≈
3;41,12 π .
<Рисунок 9>
В домашнее задание можно включить следующие упражнения: построить графики функ-
ций: y = arccos 1x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, y = 2 arcctg x, y = arccos ⎮x⎮.
Г р а ф и к и о б р а т н ы х ф у н к ц и й
<Рисунок 10>
Занятие №3 (2 ч). Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.
Цель: Расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности
с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотно-шений для обратных тригонометрических функций.
Материал для занятия Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрически-
ми функциями: sin (arcsin x) = x , ⎪x⎪ ≤ 1; cos (arсcos x) = x , ⎪x⎪ ≤ 1; tg (arctg x)= x , x ∈ R; ctg (arcctg x) = x , x ∈ R.
Упражнения.
а) tg (1,5 π + arctg 5) = - ctg (arctg 5 ) = − = −1
515tg arctg( )
.
ctg (arctg x ) = 1x
; tg (arcctg x ) = 1x
.
б) cos (π + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = α , sin α = 0,6;
- cos α = − − = − − = −1 1 0 36 0 82sin , ,α
cos (arcsin x ) = 1 2− x ; sin (arccos x) = x x− 2 .
Замечание: Берем перед корнем знак “+” потому, что α = arcsin x удовлетворяет −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
; .
в) sin (1,5 π + arcsin 513
).Ответ: − 1213
;
г) ctg (π + arctg 3).Ответ: 13
;
д) tg (π – arcctg 4).Ответ: − 14
.
е) cos (0,5 π + arccos 1213
) . Ответ: − 513
.
Вычислить: a) sin (2 arctg 5) .
Пусть arctg 5 = α , тогда sin 2 α = 21
2 51 25
5132
tgtgαα+=
⋅+
= или sin (2 arctg 5) = 2 51 5
5132
tg arctgtg arctg
( )( )+
= ;
б) cos (π + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28.
в) arctg 34
+ arctg 3 37
.
Пусть α = arctg 34
, β = arctg 3 37
,
тогда tg (α + β) = tg tgtg tgα βα β
α βπ+
− ⋅=
+
− ⋅= ⇒ + =
1
34
3 37
1 34
3 37
33
.
г) sin (arcsin 1213
+ arcsin 513
).
д) Доказать, что для всех x ∈ [-1; 1] верно arcsin x + arccos x = π2
.
Доказательство:
arcsin x = π2
– arccos x
sin (arcsin x ) = sin ( π2
– arccos x)
x = cos (arccos x ) x = x
Для самостоятельного решения: sin (arccos 45
), cos (arcsin 12
) , cos (arcsin (− 23
)), sin (arctg (- 3)),
tg (arccos 14
) , ctg (arccos 15
).
Для домашнего решения.
1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0). Ответ: 235 26
2) arcsin 15
+ arcsin 110
. Ответ: π4
3) ctg (π – arccos 0,6). Ответ: - 0,75
4) cos (2 arcctg 5). Ответ: − 1213
5) sin (1,5 π – arcsin 0,8). Ответ: - 0,6
6) arctg 0,5 – arctg 3. Ответ: − π4
Занятие № 4 (2ч). Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями. Цель: на данном занятии показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений.
Материал для занятия. После проверки домашнего задания можно предложить следующие упражнения:
УСТНО: а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8); б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5); в) sin (arctg -3),
cos (arcсtg(− 12
)); г) tg (arccos 14
), ctg (arccos( 15
)).
ПИСЬМЕННО:
1) cos ( arcsin 45
+ arcsin 513
+ arcsin 1665
).
Пусть: arcsin 45
= α , arcsin 513
= β, arcsin 1665
= γ , причём α, β, γ ∈ I ч, тогда
сos (α + β + γ) = cos ((α + β) + γ) = cos α cos β cos γ – sin α sin β cos γ – sinα cos β sin γ +
cos α sin β sin γ = 1 1625
1 25169
1 256625
45
513
6365
45
1213
1665
35
513
1665
0− ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
0 8 11 5
0 6 1 5 0 8 126
0 6 1 11 5
0 8 126
0 6 2526
195 262
22,
( ), cos ( ) , ,
( ), ,
++ − = + −
+= + ⋅ =
tg arctgarctg
tg arctg
3) tg (π - arcsin 0,6 ) = - tg (arcsin 0,6 ) =− = −−
= −1
0 61
10 6
1
34
2ctg(arcsin , )
sin (arcsin , )
4) arctg 35
417
+ arccos
cos arccos cos sin sin arccosarctg arctg arctgtg arctg
35
417
35
417
35
417
1
1 35
4172
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟⋅ − ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −
− − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− = ⋅ − −+ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ⇒ + =1 35
1 1617
2534
417
1 1
1 35
117
22
35
417 4
2
2cos arccosarctg
tg arctgarctg π
Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения материала
B – I B – II
1) tg (arctg 2 – arctg 1213
) 1922
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2) cos(π - arctg2) −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
55
3) arcsin 45
+ arccos 150
34π⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
1) cos ( arcsin 35
+ arcsin 817
) 3685
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2) sin (1,5π - arctg 3) −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
310
3) arcctg3 – arctg 2 −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π4
Для домашнего задания можно предложить:
1) ctg (arctg 13
+ arctg 14
+ arctg 29
);
2) sin2 (arctg 2 – arcctg (− 13
));
3) sin (2 arctg 34
+ tg ( 12
arcsin 513
));
4) sin (2 arctg 34
);
5) tg ( 12
(arcsin 512
)).
Занятие № 5 (2ч).
Тема: Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функция-ми.
Цель: сформировать представление учащихся об обратных тригонометрических операциях
над тригонометрическими функциями, основное внимание уделить повышению осмысленности изучаемой теории.
При изучении данной темы предполагается ограничение объема теоретического материала, подлежащего запоминанию.
Материал для занятия:
Изучение нового материала можно начать с исследования функции y = arcsin (sin x) и по-
строения ее графика. 1. ОДЗ: R
2. Е(y): −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
; .
3. Каждому x ∈ R ставится в соответствие y ∈ −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
π π2 2
; , т.е. − π2
≤ y ≤ π2
такое, что
sin y = sin x. 4. Функция нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x). 5. T = 2π 6. График y = arcsin (sin x) на [0; π]:
a) 0 ≤ x ≤ π2
имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и − π2
≤ y ≤ π2
.
б) π2
≤ x ≤ π получим y = arcsin (sin x) = arcsin (π - x) = π - x, ибо
sin y = sin (π – x) = sinx , 0 ≤ π - x ≤ π2
.
Итак, y xx x
x x= =
≤ ≤
− ≤ ≤
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
arcsin(sin ), ,
, .
02
2
π
π π π
<Рисунок11>
Построив y = arcsin (sin x) на [0; π], продолжим симметрично относительно начала координат на [-π; 0], учитывая нечетность этой функции. Используя периодичность, продолжим на всю
числовую ось. Затем записать некоторые соотношения:
arcsin (sin α) = α , если − π2
≤ α ≤ π2
;
arccos (cos α) = α , если 0 ≤ α ≤ π;
arctg (tg α) = α, если − π2
< α < π2
;
arcctg (ctg α) = α, если 0 < α < π. и выполнить следующие упражнения:
a) arccos(sin 2).Ответ: 2 - π2
;
б) arcsin (cos 0,6).Ответ: - 0,1π; в) arctg (tg 2).Ответ: 2 - π; г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 π;
д) arccos (cos ( π2
- 2)) = arccos (cos (2 - π2
) = 2 - π2
.
е) аrcsin (sin ( π2
- 0,6)). Ответ: π2
- 0,6;
ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - π)). Ответ:2 - π;
з) аrcctg (tg 0,6) = arcctg( ctg ( π2
– 0,6) = π2
- 0,6 ≈ 0,9π.
и) аrcsin (cos (2 arctg ( 2 + 1))).
1) cos2 11
2
2α αα
=−
+
tgtg
cos( ( )) ( )( )
2 2 1 1 2 11 2 1
22
2
2arctg + =− +
+ += −
2) arcsin(cos 2α ) = arcsin(− 22
) = − π4
.
Для самостоятельного решения можно предложить аналогичные задания:
arccos (sin 0,5).Ответ: 0,5π - 0,5
arctg (ctg 23π ). Ответ: − π
6
arcsin (sin 1); arcsin (sin3); arcsin (sin4); arcsin (sin5); arcsin (sin6); Построить график y = arctg (tg x).
<Рисунок 12> Домашнее задание. Предложить любые задания из приложения.
Занятие № 6 (2ч).
Тема: Уравнения с аркфункциями.
Цель: сформировать представление учащихся об уравнениях, содержащих обратные три-гонометрические функции, и о методах их решения.
С целью проверки достижения учащимися обязательных результатов обучения можно в на-
чале занятия провести математический диктант.
I ВАРИАНТ II ВАРИАНТ 1.Найдите значение выражения
аrcsin ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
23 - arccos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
22 .
1.Найдите значение выражения
аrcsin (-1) - arccos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
21 .
2.Укажите область определения функции у = аrcsin (2х-5).
2.Укажите область определения функции у = arccos (1-х2 ).
3.Укажите область значений функции
у = 23−
π arccosх.
3.Укажите область значений функции у = р - 2 аrcsinх.
4.Найдите значение выражения аrcsin 0,3 + arсcos 0,3.
4.Найдите значение выражения аrcsin 0,8 + arсcos 0,8.
5.Известно, что аrcsin х =8π . Найдите arccosх. 5.Известно, что аrccos х =
10π . Найдите arcsin х.
6.Известно, что sin(аrcsin х) = -31 Найдите х. 6.Известно, что cos(аrccos х) = -
61 Найдите х.
7.Известно, что arсcosх =5π .
Найдите arсcos(-х).
7.Известно, что arсcos (-х) =5
3π .
Найдите аrсcos х.
8.Вычислите ctg(arctg 32 ). 8.Вычислите tg(arсctg
54 ).
Материал для занятия.
При решении уравнения с аркфункциями от обеих частей равенства )()( xx βα = придется брать некоторую тригонометрическую функцию f . Для того чтобы получить после этого уравнения с тем же множеством решений, что и исходное, удобно брать в качестве f функцию монотонную на пересечении областей значения функции )(xα и )(xβ . Пример 1. Решить уравнение arcctg x =arccos x. Решение. Областью определения уравнения будет отрезок [ ]1;1− ,при этом E(arcctg x)∩E(arcсos x)=(0; )π . Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо котангенс, либо косинус. Имеем x = ctg(arccos x). Вычислим ctg(arcсos x). Пусть arccos x =α . Тогда 0<α <π при x 1≤ и соsα = x.
Отсюда sinα = 21 x− . Следовательно, получаем x=21 x
x
−⇔ x = 0.
Ответ: 0.
Пример 2. Решить уравнение π=+−3134
xxarctg .
Решение. Представим уравнение в виде43
13 π=
+−
xxarctg . Возьмем тангенс от обеих частей уравне-
ния 1313=
+−
xx , 3х-1=х+3, х=2.
Ответ: 2. Пример 3. Решите уравнение arcsin 2x = 3 arcsin x.
Решение. Область определения уравнения есть отрезок ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
21;
21 и при этом
E(arcsin 2x)∩E(3 arcsin x)⊂ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2;
2ππ . Следовательно,
arcsin 2x = 3arcsin x ⇔ 2x = sin(3arcsinx).Но sin 3α = sinα (3-4 sin 2 α ).
Следовательно, arsin 2x = 3 arcsin x ⇔ 2x = x (3-4x 2 )⇔ ⎢⎢⎢
⎣
⎡
−===
5,0,5,0
,0
ххх
Ответ: 0; 0,5; -0,5. Заметим, что уравнения с аркфункциями можно решать, преобразовывая их так, чтобы не терялись решения. Но тогда обязательна проверка найденных результатов на предмет отсеивания лишних корней. Пример 4. Решите уравнение arcsin 2x + arctg 3х = р.
Решение. Так как 2
2arcsin2
ππ≤≤− x и
23
2ππ
pp xarctg− , то –р < arcsin 2x + arctg 3х < р.
Следовательно, уравнение не имеет решение.
Пример 5. Решите уравнение arctgx
x 1− = 2 arctg (x-1).
Решение. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения. Тогда x
x 1− =tg(2arctg(x-1)) или с учётом
формулы тангенса двойного угла 2)1(1)1(21
−−−
=−
xx
xx . Отсюда x=1 или x=0. Значение x=0 отсеивает-
ся по очевидным причинам. Подставим значение x=1 в исходное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0=2 arctg 0, так как arctg 0=0. Ответ: 0. Пример 6. Решите уравнение: 2arcsin 2х = arccos 7x. Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:
Возьмем косинус от обеих частей уравнения . Так как
и тогда
. С учетом О.Д.З. получаем
. Для самостоятельного решения предложить следующие уравнения. №1. arcsin(2x+1) = arcсos x. Ответ: 0.
№2. arccos(x 3 )+ arccos x = 2π . Ответ: 0,5
№3. arcsin x1 =
2π - arcsin x−1 . Ответ: 1
№4. arcsin 2x + arcsin x = 3π . Ответ:
1421
№5. arcsin (1-x)- 2 arcsin x = 2π . Ответ: 0
№6. 2 arctg x +3 arcctg x = 2π . Ответ: Ш
№7. arcsin x + arccos (x+1) = 2π . Ответ: Ш
№8. arctg (х+х2) + arctg (х2 – х) = 4π
Ответ: 2
15 −±
№9. arcsin х = 6π + arccos x. Ответ:
23
№10. arcsin5
3х + arcsin 5
4х = arcsin х.
Ответ: 0; 1; -1.
№11. arcсos│х│= arcsin 2х. Ответ: 55
№12. arctg хх +2 + arcsin 12 ++ хх =2π .
Ответ: -1; 0. Домашнее задание. Предложить задания из приложения.
Занятие № 7 (2ч). Тема: Неравенства с аркфункциями.
Цель: сформировать умение решать простейшие неравенства, содержащих обратные три-гонометрические функции; сформировать представление о более сложных неравенствах с арк-
функциями и о методах их решения. Материал для занятия.
Простейшими неравенствами с аркфункциями являются следующие соотношения: аrcsin x ≥ α , arcsin x < α , arcsin x > α , arcsin x α≤ и такие же неравенства, левая часть в ко-торых заменена на arccos x , arctg x, arcctg x. Рассмотрим решение неравенств, содержащих arcsin x. 1.arcsin x≥ α .
Если 2πα −≤ , то в силу определения arcsin x решением неравенства будет отрезок -
1 1≤≤ x . Если 22παπ
≤≤− , то беря от обеих частей неравенства синус и учитывая, что sin t воз-
растает на множестве ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2;
2ππ , получим в качестве решения отрезок sin 1≤≤ xα . Наконец, если
2πα f , то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. х∈Ш.
2.arcsin x >α .
Если 2πα −p , то решением неравенства является отрезок [ ]1;1− . Если
22παπ
≤≤− , то снова вы-
числяя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток
sinα < х ≤ 1. Наконец, если 2πα ≥ , то x∈Ш, так как по определению arcsin x не может быть боль-
ше, чем 2π .
3. arcsin x α≤ . Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на -1 и вос-пользуемся нечетностью arcsin x: - arcsin x α≥ ⇔ arcsin(-x) α−≥ . Если теперь обозначить:-x = y, - βα = , то получим знакомое неравенство arcsin y β≥ . Опираясь на него, запишем сразу ответ для нашего неравенства:
-если 2πα −p (т.е.
2πβ f ), то x∈Ш,
-если 22παπ
p≤− (т.е. 22πβπ
≤− p ), то -1≤ х < sin α ,
-если 2πα ≥ (т.е.
2πβ −≤ ), то -1≤х≤1.
4.arcsin x < α . Результат получается аналогично предыдущему случаю:
-если 2πα −≤ то x∈Ш,
-если 22παπ
≤− p , то -1≤ х < sin α ,
-если 2πα f , то -1≤х≤1.
5.Неравенства arccos x ≥ α , arccos x >α , arccos x <α , arccos x ≤α сводятся к предыдущим нера-
венствам, если учесть, что arcsin x + arccos x = 2π .
Примечание: предложить учащимся самостоятельно решить все простейшие неравенства с арк-функциями.
Рассмотрим решение более сложных неравенств с аркфункциями. Здесь придется брать от обеих частей неравенства синус (косинус) или тангенс (котангенс). Чтобы при этом множество решений исходного неравенства не менялось, надо, чтобы обе части неравенства лежали внутри или совпадали с промежутком монотонности sin t, cos t, tg t, ctg t соответственно. Если множество значений обеих частей неравенства не укладывается в один и тот же промежуток монотонности основной тригонометрической функции, то неравенство следует тождественно преобразовать или выделить промежуток монотонности и решать неравенство отдельно на каждом таком промежут-ке.
Пример 1. Решить неравенство arctg (x+1) + arctg (1-x) ≥4π .
Решение. Левая часть неравенства принимает значения на интервале (-р; р), на котором ни одна из основных функций sin t, cos t, tg t, ctg t не является монотонной. Поэтому преобразуем неравенство
к виду arctg (x+1) ≥4π - arctg (1-x) (*). Функция arctg (x+1) ограничена. Следовательно, неравенст-
во (*) надо рассматривать лишь при тех х, при которых
2114
)1()1(42
pfff xxxarctgxarctg ⇔−−⇔−−⇔−−πππ . При этом условии обе части нера-
венства (*) принимают значения внутри отрезка ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2;
2ππ , и от обеих частей можно взять тангенс:
222
,2
2
,2
1
2
,)1(1)1(11 2
≤≤−⇔⎩⎨⎧ ≤
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥+
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−−
≥+х
хх
хх
хх
хххх
ppp
.
Ответ: х [ ]2;2−∈ Пример 2. Решите неравенство сos(arсcos(х2 – 50)) < arсcos(cos50) Решение. Типичной ошибкой при решении данного неравенства является переход к неравенству х2 – 50 < 50, которое не является равносильным данному. На самом деле, допустимые значения исходного неравенства определяются условием │х2 – 50│≤ 1 и только для них сos(arсcos(х2 – 50)) = х2 – 50. Далее, учитывая, что 0≤16р-50≤р, имеем arсcos(cos50)= arсcos(cos(16р-50))=16р-50.
Поэтому исходное неравенство равносильно системе ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
−−
.150
,5016502
2
х
х πp
Отсюда ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−≤− .5149,16
,1501,16
2
2
2
2
хх
хх ππ pp
Так как 16р<51, то 49≤х2<16р и, значит, 7≤│х│< 4 π ,
т.е. ( ] [ )ππ 4;77;4 ∪−−∈х . Ответ: ( ] [ )ππ 4;77;4 ∪−−∈х Пример 3. Решите неравенство 16 arctg x arcctg x ≥ р2.
Решение. Так как arcctg x = 2π - arctg x, то 16 arctg x ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − arctgx
2π ≥ р2. Отсюда,
16 arctg2 х - 8р arctg x + р2 ≤ 0, т.е. (4 arctg x – р) ≤0. Это возможно при 4 arctg x – р =0, т.е.
arctg x = 4π , х∈ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
2;
2ππ и, значит, х = tg
4π =1.
Ответ: 1.
Для самостоятельного решения предложить следующие неравенства.
№1. arcsinπх2 ≥
2π
− . Ответ: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2;
2ππ .
№2.(arcsinх)2 ≤ 1. Ответ: [-sin1; sin1]. №3. arcsin (log2 x) > 0. Ответ: (1;2].
№4. arcsin х < arсcos х. Ответ: ⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤−
22;1 .
№5. arcsin (р arctg х) > 0. Ответ: ⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
π1;0 tg .
№6. arcsin (х2 – 0,5х -1,5) < -6π .
Ответ:⎢⎢⎣
⎡⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤−
−∪⎟⎟
⎠
⎞+21;
4171
4171;1 .
№7. arсcos х < arcsin 2х. Ответ: ⎥⎦⎤
⎜⎜⎝
⎛21;
51 .
№8. π≥+ xx arccosarcsin Ответ:22 .
№9. р arсcosх > (arсcos(-х))2 – р2. Ответ: )[ 1;1− .
Домашнее задание. Предложить задания из приложения.
Занятие № 8 (2ч). Контрольная работа.
ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.
1.Вычислить а) ctg ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
174arccos
21 ;
б)2arcsin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
21 +
23arccos
21 + 3arсcos0 -
2arсcos ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
23 - arсtg ( )3− + 2 arсcos
21 .
1.Вычислить а) sin ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
43
21 arcctg ;
б)2arcsin ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
23 + arсtg(-1) + arсcos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
22 +
21 arсcos(-1) + 3 arсctg ( )3− - arсcos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
21
2.Упростить tg(arctg х + arctg у). 2.Упростить sin (arcsin х - arcsin у). 3.Найти область определения функции
у = arcsin 2
15 +х .
3.Найти область определения функции
у = arсcos 3
13 −х .
4.Определить знак числа а, если а = arсcos (-0,6) – arсcos (-0,75).
4.Определить знак числа а, если а = arсsin 0,3 – arсsin 0,2.
5.Построить график функции а) у = │arсctg х│; б) у = 2 arсcos х.
5.Построить график функции а) у = │arсsin х│; б) у = 0,5 arсcos х.
6.Решить уравнение сos(arсcos(х+2))=х2 6.Решите уравнение sin(arcsin(4х-1))=3х2
7.Решить уравнение 6 arctg2
1+х =2р 7.Решите уравнение 2 arсctg(2х-3) = р
8.Решить неравенство arcsin х < arсtg х 8.Решите неравенство arcsin х < arссtg х
ПРИЛОЖЕНИЕ. №1.Найти область определения:
а) y=arcsin 12
x ; б)y= arctg 2x; в)y= arctg x ; г)y= arccos x ; д)y=arctg 12 − x
; е)y= arcctg x − 4 ;
ж) y= arcsinx . №2.Построить графики функций:
a) y = arccos 2x; б) y = 2 arccos x; в) y = arccos (cosx); г) y = arctg (ctgx); д)у =arctgxarctgx
.
№3.В каких границах заключены дуги:
а) 2 arcsin x; б) 2 arccos х; в) 12
arctg x; г) π - arctg x; д) arccos x2 2−π ; е) arctg x2 - π.
№4.Построить: а) arctg (- 0,3); б) arccos 34
; в) arcsin −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
23
; г) arcctg (-1,5).
№5.Вычислить:
а) arccos (sin 2); б) sin arcsin 35
5+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
arctg ; в) arcsin 15
+ arcsin 110
; г) sin (π + 2 arcsin 45
);
д) arctg 34
+ arctg 3 37
; е) arctg 12
– arctg3; ж) tg (π – arcsin 35
); з) arctg 35
+ arccos 417
.
№6. Вычислить:
а) cos (2 arcsin 22
); б) tg (arccos 12
); в) sin (arcctg 3 ); г) ctg (arctg(-1));
д) cos (2 arcsin (− 22
)); е) sin (arcsin 12
+ arccos 12
); ж) cos (arccos (− 32
) + 12
arcsin 32
);
№7.Вычислить:
а) sin(2 arctg 34
) + tg ( 12
arcsin 513
); б) 12
– cos2 ( π2
– 12
arcsin 35
);
в) tg (2 arcsin 126
– arccos 513
); г) arcctg (tg (arcctg 19
+ arcctg 45
)).
№8.Вычислить:
1) arcsin (sin 700); 2) arcsin (sin 2100); 3) arcsin (sin 94π ); 4) arccos (cos 1700); 5) arccos (cos 6π);
6) arctg (tg 25π ).
№9.Решить уравнения: 1) 2 arctg x +3 arcctg x = 5. Ответ: ctg 5.
2) arcsin2 х + arccos2 х = 36
5 2π . Ответ: 23;
21
3) arcsin 2x = 2 arcsin x. Ответ: 0. 4) 3 arcsin х -р = 0. Ответ: 0,75. 5) 2 arcsin х + arсcos (1-х) = 0. Ответ: 0. 6) 6 arcsin (х2 – 6х + 8,5) = р. Ответ: 2; 4.
7) tg(3 arctg x) = ctg (3 arctg x). Ответ: 1;125;
12±±±
ππ tgtg .
8) arcsin х = arccos x. Ответ: 22 .
№10.Решить неравенства: 1) arcsin х < arcsin 2х. Ответ: (0;0,5]. 2) arcsin х2 ≥ 1. Ответ: [-1;- sin1]∪ [ sin1;1].
3) arсcosх < arcсtg 2x. Ответ: ]⎜⎜⎝
⎛∪⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 1;
230;
23 .
4) (arctg x)2 - 4 arctg x + 3 > 0. Ответ: ( )1;tg∞− .
5) arсcos(х2 – х -2)< 4π . Ответ: ]3;
2121
2121;1 ⎜⎜
⎝
⎛++∪
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞+−− .
6) arсcos(х-1) ≤ 2 arсcosх. Ответ: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈
21;0х .
Литература.
1.Азаров А.И., Булатов В.И., Федосенко В.С., Шибут А.С. Тригонометрия. Тождества, уравне-ния, неравенства, системы: Учеб.пособ. Минск, 1999. 2.Зив Б.Г., Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа. Геометрия. 10-11 кл.:Уч.-метод.пособие.-М.:Дрофа, 1999. 3.Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч.математики.-М.:Просвещение, 1995. 4.Мерлин А.В, Мерлина Н.И. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. Чебок-сары, 1998. 5.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные заадчи по математике: Справ.пособ. М., 1992. 6.Шахно К.У. Как готовиться к приемным экзаменам в вуз по математике. Минск, 1970.