Понятие о бифуркации. Дифференциальные уравнения динамических системчасто зависят не только от фазовых переменных, но и от дополнительных парамет-ров. В этом случае уравнения можно записать в виде

x = f(x, α), x ∈ Rn, α ∈ Rm, (1)

где x – фазовый вектор, α - набор параметров. Здесь и далее будем считать, чтосистема автономна. В некоторых случаях варьирование параметров приводит к ка-чественным изменениям – перестройкам – в поведении фазовых траекторий системы,причем при достижении параметрами определенных значений перестройка происхо-дит при их бесконечно малом варьировании. Такая перестройка фазовых траекторийсистемы называется бифуркацией, а соответствующие значения параметров – бифур-кационными.

Основы теории бифуркаций были заложены в начале XX века. В настоящее вре-мя теория бифуркаций представляет собой достаточно обширную область теориидинамических систем. Цель данного материала – ознакомить читателя с основнымипредставлениями теории бифуркаций, не претендуя на общность изложения, ограни-чиваясь бифуркациями положений равновесия, и попутно дать некоторые представ-ления о понятиях нелинейной динамики, которые появляются естественным образомв процессе изложения. Приводимые примеры намеренно выбраны максимально про-стыми чтобы громоздкие выкладки не отвлекали от сутевых моментов. Читатель,желающий получить более полные представления о предмете, может дополнительноизучить, например, [1]-[5].

Простейшая ситуация: одномерная система. Наиболее простая и нагляд-ная ситуация реализуется в одномерном случае, когда x, α, f(x, α) – скаляры. Поло-жения равновесия находятся из уравнения

f(x, α) = 0,

задающего на плоскости параметров (x, α) кривую в параметрическом виде, называ-емую кривой равновесий. Кривая равновесий может состоять из множества ветвей.Например, для системы x = x2 − α2 она состоит их двух ветвей x = ±α. Далее рас-смотрим кривую равновесий, также состоящую из двух ветвей и имеющую форму,изображенную на рис. 1.

Кривая равновесий делит плоскость на области, в которых функция f сохраня-ет знак. В простейшей и наиболее распространенной ситуации в соседних областях,граничащих по кривой равновесий, знаки функции f различаются. На рис. 1 про-ведена расстановка этих знаков. Предположим, что в "нижней" области функция fположительна, что обозначено на рис. 1. знаками "+". При переходе через кривуюфункция f становится отрицательной, что обозначено на рис. 1 знаками "−".

Линеаризация функции f по x в окрестности произвольной точки x∗ на кривойравновесий дает следующую систему линейного приближения:

δ = fx · δ, δ = x− x∗, fx =∂f

∂x

∣∣∣∣x=x∗

.

Замечание. Здесь и далее для обозначения частных производных будут ис-пользоваться компактные обозначения в виде нижних индексов, например:

fx =∂f

∂x, Πqiqj =

∂2Π

∂qi∂qj.

1

Рис. 1: Кривая равновесий.

Таким образом, характер устойчивости определяется знаком производной fx, кото-рая в типичных случаях отлична от нуля. Если при увеличении x при переходе черезкривую равновесия знак функции f меняется с "+" на "−", то fx < 0 и положениеравновесия x∗ асимптотически устойчиво по теореме Ляпунова об устойчивости полинейному приближению. Наоборот, при переходе от "−" к "+" производная fx > 0 ипо той же теореме положение равновесия неустойчиво. Таким образом, ветви кривойравновесий состоят из устойчивых и неустойчивых положений равновесия. Устой-чивые ветви кривой равновесий отмечены на рис. 1 сплошными линиями, неустой-чивые - пунктирными. Естественно, что характер устойчивости ветвей можно отме-чать любым другим удобным способом. Например, устойчивые ветви часто обозна-чают последовательностью знаков "+ расставленных вдоль соответствующей ветви,а неустойчивые ветви, соответсвенно, последовательностью знаков "−".

Замечание. Может оказаться, что знаки функции f в соседних областях сов-падают (например, f = (x − α)2), или ее производные, в том числе порядка вышепервого, обнуляются (например, f = (x − α)3). Анализ устойчивости ветвей в этихслучаях для одномерной системы обычно не сложен, но здесь рассматриваться небудет, поскольку такие случаи менее распространены и их можно отнести к особым,а простейший случай - к ситуации общего положения.

Рассматривая кривую равновесия, можно выделить особые точки – точки пере-сечения ветвей кривой равновесий и точки ветвления, соответствующие появлениюновых положений равновесия. Именно эти значения параметра α будут являтьсябифуркационными.

Так, при переходе параметра α через значение α = α1 ветви кривой равновесийпересекаются и устойчивая ветвь теряет устойчивость, а неустойчивая – обретает.Соответствующая бифуркация называется сменой устойчивости. При α = α2,3 по-является новое положение равновесия, а варьирование параметра вблизи α = α2,3

2

приводит к разветвлению положения равновесия на два новых положения равнове-сия, одно из которых устойчиво, а второе - неустойчиво. Соответствующая бифур-кация называется складкой.

В системах в которых в f входят четные функции фазовой переменной x встре-чается третий тип бифуркаций – вилка. Пусть, например, f = x(α − x2). Соответ-ствующая кривая равновесий, очевидно, будет иметь вид, представленный на рис. 2.При переходе через бифуркационное значение параметра α = 0 дополнительно по-

Рис. 2: Бифуркация типа вилка.

являются две устойчивые ветви кривой равновесия x = ±√α, при этом ветвь x = 0

остается, но теряет устойчивость.Замечание. Графическое изображение кривой равновесий при наличии на ней

бифуркаций также называют бифуркационной диаграммой.Для исследования поведения кривой равновесия вблизи точки бифуркации мож-

но использовать разложение выражение кривой равновесия в ряд Тейлора по откло-нениям параметра и фазовой переменной от точки бифуркации, ограничиваясь суще-ственными членами разложения. Поскольку в общем случае ветвление кривой можетбыть достаточно сложным, то для каждой конкретной задачи бывает эффективен"индивидуальный" подход, тогда как построение общей теории на основе анализакоэффициентов разложения достаточно трудно, особенно при обнулении младшихкоэффициентов разложения и необходимости учитывать большое количество членовразложения высоких степеней.

Бифуркации в механических системах с одной степенью свободы. Кри-вые равновесия и бифуркационные диаграммы могут быть построены и для механи-ческих систем с одной степенью свободы, описываемых дифференциальным уравне-нием второго порядка. По теореме о разрешимости уравнений Лагранжа относитель-но старших производных уравнение, описывающее движение данного класса систем,

3

всегда приводится к видуq = f(q, q, α), (2)

где α – некоторый параметр задачи. Поскольку между положениями равнове-сия и точками вида (q, q) = (q∗, 0) в фазовом пространстве имеется взаимно-однозначное соответствие, для нахождения положений равновесия получаем урав-нение f(q, 0, α) = 0, которое также задает кривую равновесий на плоскости пара-метров (q, α). Как и в случае уравнения первого порядка, кривая равновесий можетиметь несколько ветвей и возможны различные типы бифуркаций, в том числе – всеописанные выше.

При исследовании устойчивости ветвей кривой равновесий системы (2) нуж-но иметь в виду, что система описывается дифференциальным уравнением второгопорядка и использовать адекватные методы анализа устойчивости положений рав-новесий таких систем (например, теоремы об устойчивости консервативных систем,если изучаемая система консервативна и т.п.) – см. [6], [7]. Характерный пример ис-следования одномерной механической системы и метод исследования устойчивостив общем случае разобраны далее.

Пример. Гладкая окружность радиуса r вращается относительно вертикаль-ного диаметра с постоянной угловой скоростью ω. По окружности может двигатьсяколечко массы m. Найти положения относительного равновесия колечка, пренебре-гая его размерами, исследовать их на устойчивость и построить бифуркационнуюдиаграмму, соответствующую изменению параметра ω. В системе отсчета, связан-

Рис. 3: Механическая система.

ной с окружностью, кинетическая и потенциальная энергии системы равны

T =1

2mr2ϕ2, Π = mgr(1− cosϕ)− 1

2mω2r2 sin2 ϕ

и уравнения движения, очевидно, приводятся к виду (2). При исследовании устойчи-вости положительный постоянный множитель mr в выражении потенциальной энер-гии можно опустить и сделать замену Π→ Π = g(1− cosϕ) + 1

2ω2r sin2 ϕ. Положения

4

равновесия находятся из уравнения

Πϕ = 0,

имеющего решения ϕ1 = 0, ϕ2 = π, ϕ3,4 = ± arccos gω2r

. Последние два решения ϕ3,4

существуют, если ω ≥√

gr, причем ϕ3,4 → ϕ1 = 0 при ω →

√gr. Таким образом, в

рассматриваемой динамической системе имеется бифуркация типа вилка.Для исследования устойчивости ветвей кривой равновесий воспользуемся из-

вестными теоремами об устойчивости и неустойчивости консервативных систем. Вто-рая производная потенциальной энергии по ϕ равна

Πϕϕ = g cosϕ− ω2r cos 2ϕ

Подставляя значения ϕ1,2 или cosϕ3,4 в последнее выражение, получим:

Πϕϕ(0) = g − ω2r, Πϕϕ(π) = −g − ω2r, Πϕϕ(ϕ3,4) = ω2r

(1− g2

ω4r2

).

Следовательно:Πϕϕ(0) > 0 при ω <

√grи положение равновесия ϕ1 = 0 устойчиво по теореме

Лагранжа-Дирихле;Πϕϕ(0) < 0 при ω >

√grи положение равновесия ϕ1 = 0 неустойчиво по первой

теореме Ляпунова;Πϕϕ(π) < 0 при ∀ ω и положение равновесия ϕ2 = π всегда неустойчиво по первой

теореме Ляпунова;Πϕϕ(ϕ3,4) > 0 при ω >

√grи положения равновесия ϕ3,4 = 0 устойчивы по

теореме Лагранжа-Дирихле, поскольку они существуют лишь при ω >√

gr.

При ω =√

grположения равновесия ϕ3,4 сливаются с положением равновесия

ϕ1 = 0 и при этом Πϕϕ(0) = 0. Исследование устойчивости при вырождении квад-ратичной части разложения потенциальной энергии требует разложения до членовболее высокого порядка. Нетрудно убедиться, что при ω =

√grпервым существенным

членом разложения окажется

Π(ϕ) ≈ 1

8gϕ4,

откуда следует, что положение равновесия ϕ1 = 0 будет устойчивым по теоремеЛагранжа-Дирихле.

Проведенное исследование приводит к бифуркационной диаграмме, представ-ленной на рисунке 4. Очевидно, что положение равновесия ϕ2 = π совпадает с поло-жением равновесия −ϕ2 = −π, однако для симметрии бифуркационной диаграммыцелесообразно формально изобразить две ветви кривой ϕ2 = π и −ϕ2 = −π.

Замечание. По описанному алгоритму исследуется класс уравнений вида

q = f(q, α),

поскольку любое такое уравнение трактуется как движение материальной точки еди-ничной массы в потенциале Π(q, α) = −

∫f(q, α)dq. В соответствии с теоремами

Лагранжа-Дирихле и Ляпунова устойчивость любой точки q∗ на кривой равновесийопределяется из условий Πqq = −fq > 0 (устойчивость) Πqq = −fq < 0 (неустойчи-вость), а при Πqq = −fq = 0 устойчивость исследуется по младшим членам разло-жения потенциальной энергии порядка выше второго (соответственно, разложенияf порядка выше первого). Все указанные производные вычисляются в точке q∗.

5

Рис. 4: Бифуркационная диаграмма.

Положения равновесия системы общего вида

q = f(q, q, α)

исследуются на устойчивость следующим образом. Замена переменной q = u сводитуравнение движения второго порядка к системе уравнений первого порядка

q = u (3)u = f(q, u, α).

Пусть (q, u)T = (q∗, 0)T – некоторое положение равновесия. Линеаризация (3) вокрестности положения равновесия приводит к системе(

δqδu

)=

(0 1fq fu

)·(δqδu

)(4)

в которой δq, δu – отклонения от положения равновесия, а производные fq, fu вы-числяются в точке (q∗, 0)T . Характеристическое уравнение линеаризованной системыимеет вид

λ2 − fuλ− fq = 0.

Обозначим его корни через λ1,2.Из вида характеристического уравнения следует, что:Для асимптотической устойчивости линеаризованной системы необходимо и до-

статочно чтобы выполнялись неравенства fq < 0, fu < 0 (их легко получить из кри-терия Рауса-Гурвица). В этом случае Reλ1,2 < 0 и положение равновесия асимпто-тически устойчиво как в линеаризованной, так и в исходной нелинейной системе всоответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.

Если fq, fu имеют любые другие знаки (но не равны нулю!), то положение рав-новесия неустойчиво как в линеаризованной, так и в исходной системе по той жетеореме Ляпунова. Это нетрудно показать, выписывая явные выражения для корней

λ1,2 =1

2(fu ±

√f 2u + 4fq)

из которого также следует, что критическая ситуация чисто мнимых корней реали-зуется при fu = 0, fq ≤ 0 (при fu = 0, fq > 0 положение равновесия неустойчиво,

6

т.к. Reλ1 > 0). В этом случае об устойчивости по линейному приближению судитьнельзя, что приводит к необходимости использовать другие подходы.

Если правая часть допускает представление f(q, q, α) = g(q, α) + Q(q, q, α), тодля части g(q, α) можно ввести потенциал Π(q, α) = −

∫g(q, α)dq и если положение

равновесия q = q∗ в системеq = g(q, α)

оказывается устойчивым по теореме Лагранжа-Дирихле и совпадает с положениемравновесия исходной системы, а функция N = Q(q, q, α)q – положительно определе-на, то выражение Q(q, q, α) допускает трактовку диссипативной силы с полной дис-сипацией и по обобщению теоремы Лагранжа-Дирихле положение равновесия q = q∗

будет асимптотически устойчивым.Пример. Рассмотрим уравнение

q + λq2q + µq3 + νq3 = 0

в котором параметры λ, µ, ν положительны. Уравнение имеет положение равновесияq∗ = 0 и очевидным образом разбивается на консервативную систему

q + νq3 = 0,

обладающую тем же положением равновесия q∗ = 0, и диссипативную силу

Q = −(λq2 + µq2)q

с полной диссипацией.В менее очевидных ситуациях для исследования устойчивости можно применять

теоремы второго метода Ляпунова.Уравнение движения одномерной механической системы является частным слу-

чаем динамических систем второго порядка общего вида, описываемых уравнениямивида (1) с двумерным фазовым вектором:

x = X(x, α), x = (x1, x2)T .

В динамических системах с размерностью фазового вектора больше единицы встре-чается еще один тип бифуркаций - рождение предельного цикла.

Понятие о предельном цикле и аттракторе. Предельным циклом называ-ется замкнутая (периодическая) траектория системы дифференциальных уравненийна фазовой плоскости, в окрестности которой нет других периодических траекторий.Соответственно, все траектории в окрестности предельного цикла либо стремятся кциклу, либо покидают его окрестность. Если траектории стремятся к циклу с внут-ренней и наружной сторон, то цикл является асимптотически устойчивым. Асимп-тотически устойчивый цикл представлен на рисунке 5.

Замечания.1. Предельные циклы встречаются на фазовых портретах исключительно нели-

нейных систем. Замкнутые траектории в окрестности положения равновесия типа"центр встречающиеся и в линейных системах, нельзя отнести к предельным цик-лам, т.к. они не изолированы.

7

Рис. 5: Асимптотически устойчивый предельный цикл.

2. Компактные подмножества в фазовом пространстве, к которым стремятся всетраектории динамической систем, начинающиеся в некоторой окрестности этих под-множеств называются аттракторами. Аттракторами на плоскости являются асимп-тотически устойчивые положения равновесия и асимптотически устойчивые предель-ные циклы. В силу теоремы Коши о существовании и единственности решений задачиКоши фазовые кривые не могут пересекаться. В двумерном случае это существенноупрощает топологию фазовой плоскости: фазовые кривые стремятся к положениямравновесия, либо к предельным циклам, либо замкнуты (например, для консерва-тивных механических систем), либо уходят на бесконечность.

Поэтому нахождение положений равновесия, предельных циклов или других пе-риодических решений практически полностью определяет фазовый портрет системы.Соответственно, изменение "расстановки" этих объектов на фазовой плоскости прибифуркации будет означать качественную перестройку фазового портрета системы.

При размерности фазового вектора dimx ≥ 3 картина движения сильно услож-няется, т.к. теорема Коши при увеличении размерности фазового пространства на-кладывает меньше ограничений, чем в одномерном и плоском случаях. Оказывает-ся, что даже в достаточно простых нелинейных системах аттракторы могут иметьвесьма сложный вид, в том числе иметь фрактальную структуру, не позволяющуюотнести аттрактор к классу кривых или поверхностей. Одним из простейших фрак-талов является треугольник Серпинского, принцип построения которого нетруднопонять из рисунка 6. Для любых фракталов, в том числе, более сложных, характер-

Рис. 6: Треугольник Серпинского.

но самоподобие отдельных элементов и устремление количества шагов самоподобияк бесконечности. Интересно заметить, что форму, напоминающую фрактальные мно-жества, имеют некоторые объекты природы, например, листья некоторых растений,деревья, системы сосудов, некоторые кристаллы и прочие ветвящиеся структуры. Вкачестве примера на рисунке 7 представлен один их сортов капусты.

Для множеств, имеющих фрактальную структуру, вводится понятие размерно-

8

Рис. 7: Капуста сорта Романеску.

сти Хаусдорфа, совпадающей с "привычной" размерностью для таких простых объ-ектов, как кривая, поверхность или область в пространстве. Хаусдорфова размер-ность фракталов не является целым числом, но подробное изложение этого вопросавыходит за рамки пособия и для самостоятельного изучения можно обратиться кдополнительной литературе [8].

Аттракторы, имеющие фрактальную структуру, называются странными ат-тракторами. В литературе по динамическим системам в качестве иллюстрации ча-сто приводится система Лоренца, полученная американским математиком и метео-рологом Э. Лоренцом как приближенная модель конвективных процессов в плоскомслое морской воды:

x1 = a(x2 − x1) (5)x2 = x1(b− x3)− x2

x3 = x1x2 − cx3,

где a, b, c – некоторые постоянные параметры. При определенных значениях пара-метров в системе 5 обнаруживается странный аттрактор [2]. При наличии странногоаттрактора возникает явление динамического хаоса – сверхчувствительности реше-ния задачи Коши по отношению к начальным условиям, обусловленной постоян-ным "разбеганием" изначально близки траекторий, образно называемой "эффектомбабочки" благодаря аналогии с одной из ключевых философских идей рассказа Р.Брэдбери «И грянул гром». Модель Лоренца позволяет понять механизм, препятству-ющий долгосрочным прогнозам в сложных системах, повсеместно встречающихся вокружающем мире, например долгосрочным метеорологическим прогнозам – дажеупрощенная модель конвективных процессов демонстрирует хаотическое поведение.От более полной модели или, тем более, реальной системы едва ли стоит ожидатьболее простой динамики.

Из теоремы Коши следует вывод о детерминированности движения системы,описываемой дифференциальными уравнениями, удовлетворяющими условиям тео-ремы Коши – любая траектория полностью определяется начальными условия-ми. Однако в системах с хаотическим поведением на качественном и практиче-ском уровне наблюдается некоторая "непредсказуемость" поведения: траектории присколь угодно малом возмущении начальных условий быстро расходятся и полностьюотличаются друг от друга по форме.

9

Бифуркация рождения предельного цикла. Предельные циклы могут по-являться в результате бифуркации рождения предельного цикла, описываемой далее.Как и прежде, параметр α считается скалярным. При бифуркации рождения пре-дельного цикла изменение параметра α в окрестности бифуркационного значенияприводит к потере устойчивости асимптотически устойчивым положением равнове-сия и рождению в его окрестности предельного цикла. Характерный размер циклаувеличивается при дальнейшем изменении параметра α. Соответствующая бифур-кационная картина представлена на рисунке 8.

Рис. 8: Бифуркация рождение цикла.

По-видимому, одной из простейших систем, имеющих бифуркацию типа рожде-ние предельного цикла, и легко исследуемой аналитически, является система

x1 = αx1 − x2 − x1(x21 + x2

2) (6)x2 = x1 + αx2 − x2(x2

1 + x22).

При любом значении α в ней имеется положение равновесия x = 0. Исследуем егоустойчивость по линейному приближению. Матрица линеаризованной системы А икорни характеристического уравнения det(λE − A) = 0 следующие:

A =

(α −11 α

), λ1,2 = α± i.

Таким образом, по теореме Ляпунова об устойчивости по линейному приближениюполучаем, что при α < 0 положение равновесия асимптотически устойчиво, а приα > 0 – неустойчиво. Для исследования системы при потере устойчивости перейдемк полярным координатам

x1 = r cosφ

x2 = r sinφ.

10

Делая формальную замену переменных (или умножая первое уравнение (6) на x1,второе – на x2 и складывая для получения уравнения для переменной r), нетруднополучить систему в полярных координатах r, φ:

r = r(α− r2)

φ = 1.

Очевидно, что уравнение для r отделяется и при α > 0 имеет два положения равно-весия – r = 0, r =

√α. Нулевое положение равновесия неустойчиво по линейному

приближению. Напротив, второе положение равновесия оказывается асимптотическиустойчивым, поскольку линеаризация в его окрестности дает отрицательный коэф-фициент при линейном члене разложения правой части: d

drr(α − r2)|r=√α = −2α.

Это означает, что в окрестности положения равновесия появляется асимптотическиустойчивый цикл в форме окружности радиуса r =

√α, к которому притягиваются

все фазовые кривые.Исследования динамических систем, относящиеся к началу XX в., показали, что

рождение цикла с характерным размером, пропорциональным√α, где α – откло-

нение параметра от бифуркационного значения, представляет собой явление доста-точно общего характера, происходящее при переходе пары комплексно-сопряженныхкорней характеристического уравнения линеаризованной системы их левой полу-плоскости в правую (как это и было в рассмотренном примере). Бифуркацию рож-дения цикла также называют бифуркацией Пуанкаре - Андронова - Хопфа.

Следует заметить, что для большинства нелинейных систем циклы имеют бо-лее сложную форму, чем окружность, что значительно усложняет возможные путианалитического исследования. Покажем это на примере уравнения Ван дер Поля –одной из классических динамических систем, имеющих предельный цикл на фазовойплоскости.

x− α(1− x2)x+ x = 0.

Численное интегрирование уравнения позволяет построить фазовые портреты,изображенные на рисунке 9, и демонстрирующие наличие цикла достаточно слож-ной формы. Уравнение Ван дер Поля подробно исследуется в большинстве книг по

Рис. 9: Предельные циклы в уравнении Ван дер Поля при α = 1 и α 1.

теории колебаний и приближенно описывает автоколебания в ламповом генерато-ре на триоде. Автоколебания – периодические решения в диссипативных системах с

11

непериодическим источником энергии. В качестве механических примеров автоколе-бательных систем можно привести стенные маятниковые часы, в которых автоколе-бания поддерживаются постоянной силой тяжести гири, либо систему, изображеннуюна рисунке 10, в которой автоколебательный режим поддерживается за счет кулонов-ской силы сухого трения и движения ленты транспортера с постоянной скоростью.Автоколебательный режим в этой системе, исследован, например, в монографии [9],а уравнение Ван дер Поля подробно изучается в [1].

Замечание. Путем замены масштаба фазовой переменной x = y/√α можно

устранить параметр перед нелинейностью и привести уравнение Ван дер Поля квиду

y − (α− y2)y + y = 0,

и показать, что в этих переменных при малых значениях параметра уравнение имеетцикл характерного размера

√α, близкий к окружности.

Рис. 10: Груз на пружине и транспортере с сухим трением.

Потеря устойчивости, происходящая при рождении цикла, называется мягкой.Однако из-за увеличения характерного размера цикла при отклонении параметра отбифуркационного значения мягкая потеря устойчивости на практике может приво-дить к катастрофическим последствиям в технических устройствах или сооружени-ях. Классический пример именно такой ситуации дает явление флаттера [5]. Еслипри движении самолета скорость набегающего потока превышает некоторое крити-ческое (бифуркационное) значение, то возбуждаются колебания крыльев или хво-стового оперения самолета, амплитуда которых растет при увеличении скорости. Воснове этого явления лежит рождение предельного цикла. Примерно с 30-х годовXX в. скорости самолетов достигли величин, достаточных для возникновения флат-тера, что стало приводить к разрушениям самолетов в воздухе и заставило искатьспособы борьбы с флаттером. Основополагающий вклад в математическую модельфлаттера, позволившую объяснить это явление и выработать методы борьбы с ним,внесли М.В. Келдыш и М.А. Лавреньев.

Жесткой потерей устойчивости, называемой в практических задачах дивер-генцией, соответствует бифуркация типа складки. При жесткой потере устойчивостиположение равновесия исчезает вовсе. Рассмотрим соответствующий механическийпример. Допустим, что к математическому маятнику, подвешенному не невесомыйстержень длины l приложена постоянная сила F , ортогональная подвесу. Тогда ма-ятник имеет 2 положения равновесия ϕ1 = arcsin F

mg, ϕ2 = π−ϕ1, где ϕ – угол между

подвесом и вертикалью.Линеаризация уравнений движения в окрестности положения равновесия ϕ∗ (ϕ∗

12

Рис. 11: Математический маятник под воздействием постоянной ортогональной силы.

может принимать значения ϕ1 или ϕ2) приводит к результату

δϕ+g

lcosϕ∗δϕ = 0, (7)

из которого следует, что при F < mg положение равновесия ϕ1 устойчиво по теоремеЛагранжа-Дирихле, а ϕ2 неустойчиво по первой теореме Ляпунова. При F = mgуравнение (7) переходит в уравнение

δϕ = 0,

имеющее кратный корень λ1 = λ2 = 0 характеристического уравнения, два положе-ния равновесия сливаются в положение ϕ∗ = π/2, исчезающее при F > mg. В отли-чии от мягкой потери устойчивости, при дивергенции решение покидает окрестностьположения равновесия, потерявшего устойчивость, что объясняет применение терми-нов "жесткая потеря устойчивости" и "дивергенция" ("дивергенция" в буквальномпереводе означает "расхождение"). Жесткая потеря устойчивости происходит припрохождении корней характеристического уравнения линеаризованной системы че-рез ноль, как это и было в рассмотренном примере.

Об определении бифуркационных значений параметров в общем слу-чае. Многообразие и сложность явлений, происходящих в нелинейных динамическихсистемах, выходит далеко за рамки настоящего пособия. Тем не менее нахождениебифуркационных значений параметров легко алгоритмизируемо и в общем случае. Всоответствии с теоремой о неявной функции решение x(α) уравнения f(x, α) = 0 су-ществует, единственно и непрерывно зависит от параметра α, если det(∂fi/∂xj) 6= 0.При бифуркациях единственность решения в окрестности точки бифуркации нару-шается. Таким образом, бифуркации соответствуют точкам x0, α0, для которых

det∂fi∂xj

= 0.

13

Данное соотношение определяет точки бифуркаций при произвольной размер-ности фазового вектора системы (1).

Дополнение о предельных циклах. Траектории и, в частности, предельныециклы нелинейных динамических систем в подавляющем большинстве случаев до-статочно сложны, что затрудняет их прямые аналитические исследования. Однакотеорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши и ограни-ченность фазового потока двумерной плоскостью позволяют использовать нагляд-ные геометрические соображения для построения косвенных методов исследования,не требующих интегрирования уравнений и дополняющих обширные возможностичисленных методов исследования. В разделе рассмотрено несколько теорем, позво-ляющих установить наличие или отсутствие предельного цикла в некоторой областифазового пространства двумерной динамической системы. Все функции считаютсягладкими и дифференцируемыми необходимое количество раз.

Для дальнейших рассуждений зависимость правой части динамической системы(1) от параметров подчеркивать не принципиально и поэтому для сокращения записивместо x = X(x, α) далее везде пишется x = X(x).

Теорема 1. Если существует скалярная функция V (x) такая, что в системе

x = X(x) = ∇V (x) (8)

то в системе не существует предельных циклов.Доказательство. Пусть замкнутый конур γ – предельный цикл системы (8).

Выберем положительное направление обхода контура совпадающим с направлениемтраектории движения динамической системы по циклу. Тогда для вектора диффе-ренциала дуги dx вдоль γ будет выполнено неравенство X · dx > 0 (здесь и далееобозначение "·" используется для скалярного произведения) и, следовательно,∮

γ

X · dx > 0.

С другой стороны ∮γ

X · dx =

∮γ

∇V · dx =

∮γ

dV = 0.

Полученное противоречие доказывает теорему.Теорема 2. Если в системе (8) существует глобальное асимптотически устой-

чивое положение равновесия x∗, к которому стремятся все траектории системы, топредельные циклы в (8) отсутствуют.

Доказательство. Допустим, что кривая γ – замкнутая периодическая тра-ектория системы (8). Тогда положение равновесия x∗ лежит либо внутри области,ограниченной кривой γ, либо вне нее. В любом случае траектории, начинающиесявне множества, которому принадлежит x∗, не могут стремиться к x∗, поскольку дляэтого требуется пересечь кривую γ, что противоречит теореме Коши.

Теорема 3. Критерий Дюлака. Если в связанной области (т.е. области без"дырок") G ⊂ R2 фазового пространства системы (8) существует непрерывно диф-ференцируемая скалярная функция B(x) для которой

∇ · (BX) = div(BX)

знакопостоянна в G, то в G отсутствуют замкнутые траектории системы (8).

14

Доказательство. Пусть γ ⊂ G – периодическая замкнутая траектория (8).Докажем вспомогательное утверждение о том, что γ также будет являться траекто-рией системы

x = B(x)X(x). (9)

Пусть уравнение кривой γ в параметрическом виде имеет вид g(x) = 0. Посколькукривая γ переходит в себя при преобразовании, задаваемом фазовым потоком систе-мы (8), производная g(x), вычисленная для любой точки на кривой γ в силу системы(8), равна нулю, т.е.:

gX = ∇g ·X = 0

Дифференцирование g(x) в силу (9) для любой точки на кривой γ с учетом послед-него соотношения приводят к формуле

gBX = B∇g ·X = 0,

доказывающей инвариантность кривой γ по отношению к фазовому потоку (9), изчего следует, что γ – траектория (9).

Для доказательства теоремы вычислим поток векторного поля BX через кри-вую γ, выбрав положительное направление обхода контура против часовой стрелки.Поскольку векторное поле BX всюду касается кривой γ (см. рис. 12), данный поток

Рис. 12: Относительное расположение объектов, фигурирующих в доказательстве.

равен нулю и выражается по формуле

Φ =

∮γ

BX · dn =

∮γ

BX · ndx = 0,

где dn = ndx, n – единичный вектор внешней нормали к кривой γ, dx =√dx2

1 + dx21

– элемент дуги кривой γ. Глядя на рисунок 12, нетрудно понять, что если диффе-ренциал радиус-вектора вдоль кривой γ имеет компоненты

dx =

(dx1

dx2

),

15

то вектор нормали n равен

n =1√

x21 + x2

2

(dx2

−dx1

).

Подставляя выражения для dx и n в формулу для потока, получим:

Φ =

∮γ

−BX2dx1 +BX1dx2 = 0

Последнее выражение допускает преобразование по формуле Грина:∮γ

Pdx+Qdy =

∫∫Ω

(Qx − Py) dxdy,

где Ω – область, охватываемая контуром γ. Применяя формулу Грина к выражениюдля потока, получим:

Φ =

∫∫Ω

((BX1)x1 + (BX2)x2) dx1dx2 =

∫∫Ω

∇ · (BX)dx1dx2,

но по условию теоремы ∇ · (BX) – знакопостоянна в области G, а значит и в обла-сти Ω ⊂ G, ограниченной кривой γ, что противоречит равенству нулю потока Φ идоказывает теорему.

Следствие. Полагая B = 1 получаем следующее утверждение.Теорема 4. Критерий Бендиксона. Если в связанной области (без "дырок")

G ⊂ R2 фазового пространства системы (8) ∇ ·X знакопостоянна, то в области G несуществует замкнутых траекторий системы (8).

Для доказательства существования циклов можно пытаться локализовать цикл,строя некоторое кольцо, не содержащее положений равновесия системы (8) в кото-рое траектории системы входят как с внутренней, так и с наружной сторон, как этоизображено на рисунке 13. В этом случае в кольце будет находиться цикл, изобра-женный пунктиром. Чтобы показать, что траектории устроены именно так можно

Рис. 13: Локализация цикла.

использовать соображения, используемые в прямом методе Ляпунова. Если V (x) = c

16

– уравнение внутренней или внешней границы кольца, то при VX = ∇V ·X > 0 тра-ектории проходят изнутри кольца наружу, а при противоположном (строгом!) знакенеравенства – снаружи внутрь.

Точные условия существования цикла дает теорема Пуанкаре-Бендиксона, фор-мулировка и доказательство которой, как и многие другие аспекты теории динамиче-ских систем, не вошедшие в пособие, оставляются заинтересованному читателю длясамостоятельного освоения.

17

Список литературы[1] Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелиненые колебания, динамические системы и би-

фуркации векторных полей. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. 561 с.

[2] Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. URSS, 2001. 320 c.

[3] Арнольд В.И. Теория катастроф. URSS, 2016, 134 c.

[4] Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория би-фуркаций. М.: ВИНИТИ АН СССР. Т.5. "Современые проблемы математики. Фун-даментальные направления". 1985. 218 с.

[5] Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. 1985. 256 с.

[6] Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит. 2008. 304 с.

[7] Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо. 1999. 572 с.

[8] Мальдерброт Б.Б. Фракталы и хаос. Множество Мальдерброта и другие чудеса.Ижевск. Регулярная и хаотическая динамика. 2009. 392 с.

[9] Журавлев В.Ф. Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука.1988. 328 с.

18