f ii– 14 magnetické dipóly
DESCRIPTION
F II– 14 Magnetické dipóly. Hlavní body. Magnetic ké dipóly Pole která produkují Chování ve vnějších magnetických polích Výpočet některých magnetických polí Solenoid Toroid Vodič konečného průřezu. Magnetický dipól I. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/1.jpg)
27. 7. 2003 1
FII–14 Magnetické dipóly
![Page 2: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/2.jpg)
27. 7. 2003 2
Hlavní body
• Magnetické dipóly• Pole která produkují
• Chování ve vnějších magnetických polích
• Výpočet některých magnetických polí• Solenoid
• Toroid
• Vodič konečného průřezu
![Page 3: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/3.jpg)
27. 7. 2003 3
Magnetický dipól I
• V elektrostatice jsme definovali elektrický dipól: Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnou absolutní hodnotu ale opačnou polaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné
poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů.
• Vnější elekrické pole se obecně snaží dipól natáčet a posunovat.
![Page 4: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/4.jpg)
27. 7. 2003 4
Magnetický dipól II
• Magnetickým dipólem jsou buď tenké ploché permanentní magnety nebo proudové smyčky.• Jsou opět zdroji polí speciální symetrie, která také
klesají rychleji než pole přímých vodičů a
• ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo posunovány podobně jako elektrické dipóly.
• Pomocí magnetických dipólů vysvětlujeme magnetické vlastnosti látek.
![Page 5: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/5.jpg)
27. 7. 2003 5
Magnetický dipól III
• Mějme kruhovou vodivou smyčku o poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b.
• Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad a sečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.
![Page 6: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/6.jpg)
27. 7. 2003 6
Magnetický dipól IV
• Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný jako směr osy smyčky, kterou nazveme osou z. V tomto případě znamená integrace pouze součet projekcí magnetické indukce do osy z
dBz = dB sin . A z geometrie:
sin = a/r 1/r2 = sin2 /a2
r2 = a2 + b2
• Proveďme integraci.
B
![Page 7: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/7.jpg)
27. 7. 2003 7
Magnetický dipól V
• Protože magnetické dipóly jsou zdroji magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány.
• V homogenním magnetickém poli bude na magnetický dipól působit moment síly, který bude jejich osu natáčet do směru magnetických siločar.
• Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.
![Page 8: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/8.jpg)
27. 7. 2003 8
Otázka :
• Jaká je celková síla a moment síly na obdélníkovou smyčku, protékanou proudem, leží-li v rovině kolmé k siločárám homogenního magnetického pole?
• Jaký by byl rozdíl, kdyby byla smyčka kruhová?
![Page 9: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/9.jpg)
27. 7. 2003 9
Odpověď
• Síla, působící na každou stranu, leží v rovině obdélníku a je k ní kolmá. Její orientace závisí na smyslu toku proudu. Každopádně, síly, působící na protilehlé strany se vyruší, protože proud v nich teče v opačném směru.
• U kruhové smyčky se síla, působící na její každý kousek dl, vyruší se silou působící na protilehlý kousek dl’.
![Page 10: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/10.jpg)
27. 7. 2003 10
Magnetický dipól VI
• Z obrázku vidíme, že síly působící na strany a se snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší.
• Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se opět snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojici sil mající otáčivý účinek.
![Page 11: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/11.jpg)
27. 7. 2003 11
Magnetický dipól VII• Moment síly můžeme najít například nalezením
projekce síly kolmo na smyčku:
T/2 = Fbsin a/2 • Protože obě síly působí ve stejném smyslu:
T = BIabsin • Užitím definice magnetického dipólového
momentu:
lze vztah pro moment síly zobecnit :
0mIabm
BmT
bF
![Page 12: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/12.jpg)
27. 7. 2003 12
Princip galvanometru• Použítí proudové smyčky v homogenním
magentikém poli, u níž by byl moment síly kompenzován momentem síly pružiny, je možným principem měření proudu. Stupnice takového přístroje by ale byla nelineární!
• U skutečných přístrojů se používá speciální radiální ale v místě smyčky konstantní magnetické pole (radiální homogenní), kde síla, působící momentem síly, je vždy kolmá ke smyčce.
2sin NIabkT
![Page 13: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/13.jpg)
27. 7. 2003 13
Magnetické pole solenoidu I
• Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity.• V případě konečného solenoidu je nutné
magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity.
• V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbat okrajové efekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.
![Page 14: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/14.jpg)
27. 7. 2003 14
Magnetické pole solenoidu II
• Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu.
• Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu.
• Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.
![Page 15: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/15.jpg)
27. 7. 2003 15
Magnetické pole solenoidu III
• Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu.
• Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom:
Bl = 0NI• A zavedeme-li hustotu závitů, potom:
n = N/l B = 0nI
![Page 16: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/16.jpg)
27. 7. 2003 16
Magnetické pole solenoidu IV
• Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole.
• Pole co nejblížší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR.
• Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkém průměru, rozdělený na půlky.
![Page 17: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/17.jpg)
27. 7. 2003 17
Magnetické pole toroidu I
• Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti.
• Má-li toroid poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.
![Page 18: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/18.jpg)
27. 7. 2003 18
Magnetické pole toroidu II
• Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r :
B 2r = 0NI B(r) = 0NI/2r
• Toto platí pro každé r uvnitř toroidu.
• Je patrné, že pole je:• nehomogenní, protože závisí na r.
• nulové vně toroidu.
![Page 19: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/19.jpg)
27. 7. 2003 19
Magnetické pole vodiče konečného průřezu I
• Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantní proudovou hustotu.
• Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče.
• Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký.
• Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r.
![Page 20: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/20.jpg)
27. 7. 2003 20
Magnetické pole vodiče konečného pruřezu II
• Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče:
B 2r = 0Ienc
• Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka
Ienc = I r2/R2
B = 0Ir/2R2
![Page 21: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/21.jpg)
27. 7. 2003 21
Problémy na rozmyšlení
• V oblasti, kde nejsou proudy musí být magnetické pole, jehož siločáry jsou rovnoběžné, zároveň homogenní.
• Pole, které vytváří pravoúhlý vodič, protékaný proudem.
• Vodivá tyč, ležící na dvou kolejnicích kolmo k homogennímu magnetickému poli, připojí-li se kolejnice ke zdroji.
![Page 22: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/22.jpg)
27. 7. 2003 22
Giancoli
• Kapitola 27 – 5 a 28 – 4, 5
![Page 23: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/23.jpg)
Kruhová proudová smyčka I
23
)(
2
4
4
2
4
2sin
4
sin
sin4
44
22
0
3
20
20
20
20
20
20
ba
IAr
Ia
r
Ia
dr
IadBB
r
IaddB
r
Iad
r
IdldB
zz
z
![Page 24: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/24.jpg)
Kruhová proudová smyčka II
30 2
4)(
b
mbB
S = a2 je plocha smyčky a její normála má směr osy z. Můžeme definovat magnetický dipólový moment a předpokládat, že pole pozorujeme z velké dálkym takže b>>a. Potom:
Magnetický dipól je zdrojem magnetického pole speciální symetrie, které klesá se třetí mocninou vzdálenosti.
^
SIm
![Page 25: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/25.jpg)
The vector or cross product I Let c=a.b
Definition (components)
The magnitude |c|
kjijki bac
sinbac
Is the surface of a parallelepiped made by a,b.
![Page 26: F II– 14 Magnetické dipóly](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081512/568135ca550346895d9d2d84/html5/thumbnails/26.jpg)
The vector or cross product II
zyx
zyx
zyx
bbb
aaa
uuu
c
The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system.
ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)}
^