Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις:...
TRANSCRIPT
![Page 1: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/1.jpg)
ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις
![Page 2: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/2.jpg)
Ταλαντώσεις
Ταλαντώσεις
![Page 3: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/3.jpg)
ΎληΎλη πάνωπάνω στιςστις ταλαντώσειςταλαντώσεις ::• Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ – SHO)• F και E της απλής αρμονικής κίνησης• Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο)• Απλό εκκρεμές• Φυσικό εκκρεμές (στροφικό εκκρεμές)• Υπερθέσεις – Συζευγμένες και μη αρμονικός• Ταλαντώσεις με απόσβεση• Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις – συντονισμός• FastFourierTransform(FFT)( εκτός εξεταστέας ύλης)
![Page 4: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/4.jpg)
Απλή αρμονική κίνηση(ΑΑΤ – SHO)
![Page 5: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/5.jpg)
ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις
•• ΠεριοδικήΠεριοδική κίνησηκίνηση ((επανάληψηεπανάληψη σεσε ίσαίσα χρονιχρονι--κάκά διαστήματαδιαστήματα μεμε coscosήή sinsin αρμονικήαρμονικήκίνησηκίνηση (x=f(t)=f(t+T)(x=f(t)=f(t+T)
•• ΠεριοδικήΠεριοδική σεσε ίδιαίδια τροχιάτροχιά ταλάντωσηταλάντωση•• ΤριβέςΤριβές ((κατανάλωσηκατανάλωση ενέργειαςενέργειας)) φθίνουσαφθίνουσα•• ΌχιΌχι μόνομόνο μηχανικάμηχανικά συστήματασυστήματα αλλάαλλά καικαι τοτοφωςφως,,ραδιοκύματαραδιοκύματα ταλάντωσηταλάντωση ηλεκτρικούηλεκτρικούκαικαι μαγνητικούμαγνητικού πεδίουπεδίου
•• ΚοινήΚοινή ηη μαθηματικήμαθηματική τουςτουςπεριγραφήπεριγραφή
![Page 6: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/6.jpg)
Βασικές έννοιες απλής αρμονικής κίνησης
•• x=Acos(x=Acos(ωωtt++φφ))•• φάσηφάση ((ωωtt))καικαι αρχικήαρχική φάσηφάση ((t=0t=0 φφ))•• περίοδοςπερίοδος –– συχνότητασυχνότητα•• μετατόπισημετατόπιση,,πλάτοςπλάτος ((ΑΑ)()(μέγιστομέγιστο ελάχιστοελάχιστο),),θέσηθέση ισορροπίαςισορροπίας
•• αίτιοαίτιο κίνησηςκίνησης:: δύναμηδύναμη επαναφοράςεπαναφοράς καικαιδυναμικήδυναμική ενέργειαενέργεια
•• ενέργειαενέργεια αρμονικούαρμονικού ταλαντωτήταλαντωτή•• ταχύτηταταχύτητα κίνησηςκίνησης καικαι επιτάχυνσηεπιτάχυνση
![Page 7: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/7.jpg)
XX =0=0 ( ) += tAx cos
ΈστωΈστω
A
![Page 8: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/8.jpg)
x(t)x(t)
v(t)v(t)
a(t)a(t)
ΠειραματικέςΠειραματικές μετρήσειςμετρήσεις ( ) += tAx cos
minmin
0 0
maxmax
![Page 9: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/9.jpg)
( )
22
cos
==
+=
T
tAx
02
2
2
=+ xdt
xd
( )
( ) xtAdt
xd
dt
dua
tAdt
dxu
22
2
2
cos
sin
-=+-===
+-==
ΣτηνΣτην AAK:AAK:επιτάχυνσηεπιτάχυνση--μετατόπισημετατόπιση
![Page 10: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/10.jpg)
180180οο9090οο
--9090οο
κλειστήκλειστήF=ma=F=ma=--kx kx
![Page 11: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/12.jpg)
ΚβαντομηχανικήΚβαντομηχανικήΑρμονικόςΑρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτήςΕξίσωσηΕξίσωση SchrodingerSchrodinger
![Page 13: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/14.jpg)
Αρμονική Δύναμη F και Ενέργεια Eτης απλής αρμονικής κίνησης
( )
kzjyixkFjFiFF
ύήrrF
zyxˆˆˆˆˆˆ
) (
++-=++=
-=
![Page 15: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/15.jpg)
mkmk
kxxmFamF
==
-=-==
2
2
ΕνέργειαΕνέργεια :: κινητικήκινητική,, δυναμικήδυναμική,, ολικήολική
m
k
kmT
Tά
2
1
22
=
==
ελατήριοελατήριοk k μάζαμάζα
![Page 16: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/16.jpg)
222
002
1
2
1xmkxEkxdE
kxdx
dE
dx
dEF
P
xE
P
pp
P
===
-=--=
( )
( )( ) ( )AxA
xAmtAm
tAmmuEkin
+-
-=+-=
=+==
222222
2222
21cos1
21
sin2
12
1
),(2
1
2
1 222 AkfkAAmEEE Pkinή ===+=
![Page 17: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/17.jpg)
ΗΗ δυναμικήδυναμική τηςτης ΑΑΚΑΑΚ((αντίστροφοαντίστροφο))
ΑνΑν έχωέχω μιαμια ελκτικήελκτική δύναμηδύναμη F F ανάλογηανάλογηπροςπρος τητη μετατόπισημετατόπιση xx
έχωέχω απλήαπλή αρμονικήαρμονική κίνησηκίνηση
xmaF =
![Page 18: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/18.jpg)
( )
+=
=+=
=+-=
tAx
xdt
xd
mk
kxdt
xdmkx
dt
xdm
cos
0
0
2
2
22
2
2
2
2
( )
+=-=
-==
=+-==
2
2
02
0
0
0
00
& tan
sin & cos
0sin
uxA
x
u
AuAx
ttAdt
dxu
![Page 19: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/19.jpg)
ΑπλόΑπλό
εκκρεμές
εκκρεμές
![Page 20: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/20.jpg)
ddθθ
-=
-=
sin
sin
2
2
mgdt
dml
mgFT
( )
g
lTT
tl
g
22&
cos & 0
2
==
+==
ll
ddxx
θθ
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
l
g
dt
d
l
g
dt
d
mgmg
Rs =
RRθθ
ss
![Page 21: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/21.jpg)
sinsinθθ σεσε μοίρεςμοίρες
θθ σεσε rads rads
% % διαφοράδιαφορά4,7%4,7%
3030οο
+
+
+
+= 242
16
112...
2sin
64
9
2sin
4
112
g
l
g
lT
( )
+
+
+
+= .....
2sin
6
5
4
3
2
1
2sin
4
3
2
1
2sin
2
112 6
2
2
2
2
2
24
2
2
2
22
2
2
g
lT
![Page 22: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/22.jpg)
ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές-- στροφικόστροφικό εκκρεμέςεκκρεμές
![Page 23: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/24.jpg)
C C
OO
θθ
ΖΖ
ΖΖ’’
bb
W=mgW=mg
ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές
![Page 25: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/25.jpg)
WDDSWDDS
![Page 26: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/27.jpg)
-==
-=
sin
sin
2
2
,
mgbdt
dI
mgb
z
zό
0
22
22
2
2
Kgb
K
gb
dt
d
mKI
=
=+
=
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
I
mgb
dt
d
I
mgb
dt
d
SteinermRII
gb
KTT
C
22
2
2
+=
==
CC
OO
θθ
ΖΖ
ΖΖ’’
bb
W=mgW=mg
![Page 28: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/28.jpg)
ITT
I
όό 22
2
==
=
-==
-=
sin
sin
2
2
ό
ό
dt
dI
0
0sin
2
2
2
2
=+
=+
Idt
d
Idt
dCC
θθ
ΙΙ
![Page 29: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/29.jpg)
cmlRcmlLcmlRcml discrodring 1,333/4 2,372/3 4,122/ 8,24 =======
ΕκκρεμέςΕκκρεμές ΔακτύλιοςΔακτύλιος ΡάβδοςΡάβδος ΔίσκοςΔίσκος
( )
g
l
Tg
l
T
g
l
g
RT
g
lT
discrod
ringpend
34
2 32
2
22
22
2 2
==
===
l ringRrodL
R
?? ,1 lHz
discR
ΆσκησηΆσκησηΥπολογίστεΥπολογίστε
![Page 30: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/30.jpg)
Eολ = Εκ + U(r) Eολ > 0 (αέριο)Eολ ~ 0 (υγρό)Eολ < 0 (στερεό
r0
rΑ
Α΄Τ΄>Τ
<r><r>Εκ(Τ)
Εκ(Τ)
Β
Β΄
Τ΄<Τ
Τ
0
>0
<0
Αέριο
Υγρό
Στερεό
Εολ=U+Εκ
12 6
6 12 0( )U r Ur r
-
= -
http://users.sch.gr/kassetas/applets4.htmhttp://users.sch.gr/kassetas/applets4.htm
![Page 31: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/31.jpg)
Ταλαντώσεις με απόσβεση
kk
![Page 32: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/32.jpg)
F(t)
X(t)
Οι ταλαντώσεις μετά απόκάποιες αιωρήσεις συνεχώςμικραίνουν σε πλάτος και στοτέλος σταματάνε. Η ταλάντω-ση είναι φθίνουσα.
Δυναμικά θα πρέπει πέρα απότην ελαστική δύναμη F=F=--kxkx ναδρα πάνω στο σώμα και μια άλληαντίθετη δύναμη ανάλογη με τηταχύτητά του δηλ. FF’’==--λλuu
ukxma --=
ΤαλάντωσηΤαλάντωσημεμε απόσβεσηαπόσβεση
![Page 33: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/33.jpg)
ΦθίνουσαΦθίνουσα ((μεμε απόσβεσηαπόσβεση) ) ταλάντωσηταλάντωση((μετρήσειςμετρήσεις απόαπό ΑΑ5 5 –– Cavendish)Cavendish)
Y(t)Y(t)
V(t)V(t)
Y=Y(V)Y=Y(V)
σπειροειδήςσπειροειδής μεμεκατάληξηκατάληξη τοτο κέντροκέντρο
dumpeddumped& long& long
![Page 34: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/34.jpg)
ΦθίνουσαΦθίνουσα αρμονικήαρμονική ταλάντωσηταλάντωση ελατηρίουελατηρίου (10 (10 minmin !!) )
xx
u u
a(F) a(F)
xx
tt
xx
u u tt
![Page 35: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/35.jpg)
02
2
=++--== kxdt
dx
dt
xdmukxmaF
( )
( )
( ) ( )
έίΑtAex
όήόm
ήm
kxdt
dx
dt
xd
t
oo
, cos
2 &
. 02 22
2
2
+=
=
==++
-
2
222
4mmk -=-=
Σχόλιο: χρόνος απόσβεσης πλάτους κατά 10%και συχνότητα ταλάντωσης από τον αέρα : F=-6πηRvγ~6,4*10-4s-1 (A.F. 27 min & 9,8 ./. 4*10-7 αμελητέο
![Page 36: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/36.jpg)
OverdampedOverdamped
ΕργαστήριοΕργαστήριοΦΦ33
![Page 37: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/38.jpg)
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις- συντονισμός
![Page 39: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/39.jpg)
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις
tFukxma o .cos+--=
tm
Fx
dt
dx
dt
xd oo .
2
2
2
cos2 =++
k ωm
x
e.g. Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942
![Page 40: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/40.jpg)
( ) 22
0
2
0
2 1
4
1
+-
Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942
ΗΗ κρεμαστήκρεμαστή γέφυραγέφυρα ήτανήτανσανσαν μιαμια σανίδασανίδα πουπου όμωςόμωςεγκλώβιζεεγκλώβιζε τοντον άνεμοάνεμο αντίαντίνανα τοτο αφήνειαφήνει νανα περνάειπερνάειαπόαπό μέσαμέσα..ΟΟ άνεμοςάνεμος δημιούργησεδημιούργησε μιαμιαδύναμηδύναμη σεσε συντονισμόσυντονισμό μεμετητη φυσικήφυσική συχνότητασυχνότητα τηςτηςγέφυραςγέφυρας ((μεμε uu μικρήμικρή))ΤοΤο πλάτοςπλάτος τηςτης ταλάντωσηςταλάντωσηςαυξήθηκεαυξήθηκε μέχριμέχρι πουπου ηηγέφυραγέφυρα κατέπεσεκατέπεσε (film)(film)
![Page 41: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/42.jpg)
ΥπέρθεσηΥπέρθεση καικαι σύζευξησύζευξη ταλαντώσεωνταλαντώσεων((μημη εξεταστέαεξεταστέα ύληύλη –– χρήσηχρήση))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας καικαι κατεύθυνσηςκατεύθυνσης ((συμβολήσυμβολή))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων διαφοδιαφο--ρετικήςρετικής συχνότηταςσυχνότητας καικαι ίδιαςίδιας κατεύθυνσηςκατεύθυνσης((διακροτήματαδιακροτήματα//κινητήρεςκινητήρες ελικοφόρωνελικοφόρων αεροπλάνωναεροπλάνων))
•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας μεμε κάθετεςκάθετες κατευθύνσειςκατευθύνσεις ήή//καικαιδιαφορετικέςδιαφορετικές συχνότητεςσυχνότητες ((εικόνεςεικόνες Lissajous)Lissajous)
•• ΣυζευγμένεςΣυζευγμένες ταλαντώσειςταλαντώσεις ((ενέργειαενέργεια σύζευξηςσύζευξης))•• ΑναρμονικόςΑναρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτής ((66--12Lenard12Lenard--JonesJones//ΦΦ22))
![Page 43: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/43.jpg)
διακροτήματαδιακροτήματα
![Page 44: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/44.jpg)
LissajousLissajousff22
ff11
![Page 45: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/45.jpg)
ΘεώρημαΘεώρημα FourierFourierΑνάλυσηΑνάλυση Fourier Fourier
Fast Fourier Transform (FFT) Fast Fourier Transform (FFT)
)()( Ttftf +=
( ) ( )
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn tnbtnaa
tf
![Page 46: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/46.jpg)
( ) ( )
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn tnbtnaa
tf
( )+
=
Tt
t
n dttntfT
a0
0
cos)(2
( )+
=
Tt
t
n dttntfT
b0
0
sin)(2
=
2
+
=
Tt
t
o dttfT
a0
0
)(2
+
-=
Tt
t
tin
n dtetfT
g0
0
)(2 0, 1, 2,...n = ± ±
ff((--tt)=)=ff((tt)) άρτιαάρτια bbnn=0=0 μόνομόνο συνημίτονασυνημίτοναff((--tt)=)=--ff((tt)) περιττήπεριττή aann=0 =0 μόνομόνο ημίτοναημίτονα Φ4
tin
n
negtf
-=
=)(
![Page 47: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/47.jpg)
3 και 9 Hz
3, 9, 15και 21 Hz
Τετραγωνικός παλμός - προσέγγιση
![Page 48: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/48.jpg)
ωω=2=2πνπν=4,54=4,54νν=0,72=0,72
F=F=--kxkx
F(t)
x(t)
v(t)
![Page 49: Ταλαντώσεις · Ύληπάνωστιςταλαντώσεις: •Απλήαρμονικήκίνηση (ΑΑΤ–sho) •fκαιeτηςαπλήςαρμονικήςκίνησης](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012906/5f4ab19accd7f30bf44cfff6/html5/thumbnails/49.jpg)
ΣύνθετηΣύνθετηπεριοδικήπεριοδικήκίνησηκίνηση((πολλέςπολλέςαρμονικέςαρμονικές) )