يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

مقدمه

‌:‌در‌مقاله‌ي‌ساينس‌آمده‌است‌كه‌در‌مغز‌مشاهده‌ش))ده‌اس))ت‌ك)ه‌چگ))الي1تذكر‌‌اگ))ر‌‌gametheoryاس))ت.‌از‌ط))رفي‌‌در‌م))ورد‌πك))ورتكس‌بين))ايي‌متناس))ب‌ب))ا‌ع))دد‌

‌‌چه‌تفاوت‌عملك))ردي‌دارد؟‌در‌پي))اده‌س))ازي‌‌eباشد‌و‌يا‌πاستراتژي‌بر‌مبناي‌عدد‌‌‌باش))د‌به))تر‌پاس))خeانجام‌شده‌در‌درس‌سايبرنتيك‌مشاهده‌شده‌كه‌اگر‌بر‌مبن))اي‌

‌مي‌دهد‌و‌سودآوري‌مناسب‌تر‌خواهد‌بود.‌بنابراين‌رياضيات‌را‌بايد‌تكاملي‌در‌نظ))ر‌گرفت.‌البته‌اين‌تكامل‌و‌مفهوم‌آن‌با‌الگوريتم‌هاي‌تكاملي‌)كه‌بر‌اساس‌احتماالت‌است(‌يكس))ان‌نمي‌باش))د‌زي))را‌در‌اين‌الگوريتم‌ه))ا‌تكام))ل‌و‌تع))امالت‌لح))اظ‌نش))ده‌است.‌از‌طرفي‌در‌اين‌درس‌نيز‌ديديم‌كه‌در‌نگاشت‌الجستيك‌اعداد‌ث))ابتي‌وج))ود

دارد‌كه‌به‌صورت‌جهانشمولي‌در‌طبيعت‌جاري‌و‌ساري‌است.

‌:‌مقاله‌اي‌كه‌در‌آن‌براي‌نورون‌چگونگي‌بدست‌آوردن‌سيكل‌ح))دي‌را‌بي))ان2تذكر‌كرده.‌البته‌در‌ابتدا‌بيان‌شده‌كه‌اين‌مسئله‌به‌طور‌كلي‌غير‌قاب))ل‌ح))ل‌اس))ت‌ام))ا‌براي‌نورون‌به‌ط))ريقي‌ب))ا‌تقس))يم‌فض))اي‌ف))از‌ح))االتي‌ك))ه‌منج))ر‌ب))ه‌س))يكل‌ح))دي

مي‌شود‌را‌بدست‌آورده‌است.

‌:‌موض)وع‌س)مينارها‌و‌دقت‌ب)ه‌مس)ئله‌ي‌گسس)ته‌در‌نظ)ر‌گ)رفتن‌مع)ادالت3تذكر‌ديفرانسيل‌زيرا‌همانطور‌كه‌تا‌كنون‌مشاهده‌كرده‌ايم‌رياضيات‌گسس))ته)‌ب))ه‌علت

ظرفيت‌هاي‌بسيار‌باالتري‌دارد.‌‌‌‌به‌سمت‌صفر(‌Δtرها‌شدن‌از‌قيد‌

‌(‌‌شديم.‌نمي‌گوييم‌آشوب‌زي))راcomplexدر‌جلسه‌قبل‌وارد‌فضاي‌رياضيات‌پيچيده)‌آشوب‌بخشي‌از‌رياشيات‌پيچيده‌اس))ت.‌در‌آن‌جلس))ه‌اين‌رياض))يات‌پيچي))ده‌را‌ب))ر‌اساس‌مع)ادالت‌ل)ورنتس‌)ك)ه‌در‌ظ)اهر‌س)اده‌ن)يز‌ب)ه‌نظ)ر‌مي‌رس)د(‌‌و‌دي)اگرام

‌.‌…‌‌رفتارr=7بايفوركاسيون‌بررسي‌كرديم.‌يكي‌ازسؤاالت‌مطرح‌در‌آنجا‌به‌ازاي‌‌پري))ود‌اوربيت‌ه))اي‌ناپاي))دار‌ب))ود‌ك))ه‌ب))دون‌رخ))داد‌بايفوركاس))يون‌)ك))ه‌ب))ه‌ص))ورت

دايره‌هاي‌تو‌خالي‌در‌دياگرام‌نشان‌داده‌شده‌است(‌اتفاق‌مي‌افتد.

1

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌strangeنكته‌ي‌ديگر:‌بستر‌جذب‌عجيب) attractor(‌‌چگون))ه‌از‌دل‌مع))ادالت‌س))اده‌ي‌لورنتس‌كه‌درجه‌غير‌خطي‌بودن‌آن‌نيز‌زياد‌نيست‌بوجود‌مي‌آيد.

‌‌بودن‌سيستم‌ثابت‌مي‌شود‌ك))ه‌حجم‌بس))تر‌ج))ذبdissipativeنكته‌ي‌ديگر:‌براساس‌‌عجيب‌صفر‌مي‌شود.‌اين‌به‌چه‌معني‌مي‌تواند‌باشد؟‌غايت‌مع))ادله‌ي‌ديفرانس))يل‌در‌اين‌حالت‌چگونه‌است؟‌ما‌براي‌بستر‌جذب‌رفتارهاي‌حجمي‌مشاهده‌مي‌ك))نيم

)ضمن‌اينكه‌ما‌قطع‌پوانكاره‌را‌بر‌روي‌همين‌حجم‌مي‌زنيم؟(

‌و‌بعد‌مي‌خواهيم‌معيار‌و‌شاخصي‌تعريف‌كنيم‌كه‌به‌كمك‌آن‌ها‌تش))خيص‌دهيم‌اين‌بستر‌جذبهاي‌عجيب‌آشوبگونه‌اند‌و‌به‌چه‌ميزان؟‌آي))ا‌مق))ادير‌وي))ژه‌در‌اين‌ج))ا‌مي‌تواند‌كمكي‌كند؟‌در‌مورد‌بستر‌جذب‌پروانه‌اي‌معادالت‌لورنتس‌اص))ال‌نق))اط‌ث))ابت‌نقشي‌در‌ايج))اد‌اين‌ش))كل‌ها‌ندارن))د‌و‌نمي‌ت))وانيم‌از‌مق))ادير‌وي))ژه‌اس))تفاده‌ك))نيم.‌اينجاست‌كه‌شاخص‌هايي‌نظير‌نماي‌لياپانوف‌و‌بعد‌فركتال‌مطرح‌مي‌ش))ود.‌يع)ني‌در‌اينجا‌ديگر‌بعد‌ص))حيح‌نب))وده‌و‌ب))ه‌ص))ورت‌فركت))الي‌اس))ت.‌مثال‌ب))راي‌مع))ادالت

‌‌و‌براس)اس‌ي))ك‌ع)دد‌اعش))اري‌محاس))به‌مي‌ش))ود.‌ب)ه‌اين‌3و‌2ل)ورنتس‌بع)د‌بين‌‌ترتيب‌اينكه‌در‌ابتدا‌بيان‌شده‌كه‌سه‌متغير‌مستقل‌سيستم‌را‌بي))ان‌مي‌كنن))د‌ج))اي‌تأمل‌دارند.‌پس‌س))ؤال‌مط))رح‌اين‌اس))ت‌:‌محاس))به‌درج))ه‌آزادي‌در‌ي))ك‌سيس))تم

كياتيك‌زماني‌كه‌از‌ابتدا‌آن‌را‌مثال‌با‌سه‌متغير‌مستقل‌در‌نظر‌گرفته‌ايم؟

سيستم‌زير‌را‌در‌نظر‌مي‌گيريم:-

{x1=f 1(x1 , x2 , x3)x2=f 2(x1 , x2 , x3)x3=f 3(x1 , x2 , x3)

بسياري‌از‌سيستم‌هاي‌معروف‌در‌اين‌شكل‌كلي‌مي‌گنجند.‌

‌‌خواهيم‌داش))ت.(λبراي‌هر‌كدام‌از‌نقاط‌ثابت‌اين‌سيستم‌سه‌مقدار‌ويژه‌)‌‌مقادير‌ويژه‌مي‌توانيم‌در‌مورد‌نوع‌نقاط‌ثابت‌تصميم‌بگيريمعالمتاز‌روي‌‌(.‌توجه‌به‌اين‌نكت))ه‌ض))روري‌اس))ت‌ك))ه‌تص))ميم‌گيري‌رفت))ار‌و‌ن))وع1)جدول‌

2

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌نقاط‌ثابت‌براس))اس‌كيفيت‌)عالمت‌مق))ادير‌وي))ژه(‌اس))ت‌و‌ب))ه‌كميت‌يع))ني‌مقدار‌كمي‌مقادير‌ويژه‌كاري‌نداريم.‌در‌اينجا‌رفتار‌را‌كيفيت‌تع)يين‌مي‌كن))د‌و‌به‌كميت‌كاري‌نداريم.‌معادالت‌پيوسته‌معموال‌كيفيت‌را‌برنمي‌تابند.‌ح))تي‌در‌بسط‌فوريه‌نيز‌فاز‌كه‌ساده‌ترين‌نوع‌كيفيت‌است‌را‌در‌نظر‌نمي‌گ))يريم.

به‌عنوان‌مثال‌جريان‌الكتريكي‌هم‌اندازه‌دارد‌و‌هم‌فاز.

1جدول‌

λعالمت نوع جاذب

)-,‌-‌,-(نقطه‌ي‌ثابت‌)گره(,-,-(0)(Iسيكل‌حدي‌)

,-(0,0)(IIتوروس‌)(III),+(0)-,

‌را‌شرح‌مي‌دهيم.‌1در‌ادامه‌هر‌يك‌از‌رفتارهاي‌مطرح‌شده‌در‌جدول‌

(Iاين‌سيكل‌.)(‌صفر‌يعني‌يكي‌از‌خصوصيات‌)مثال‌انرژي،‌فاصله‌‌و‌...‌ثابت‌است‌‌حدي‌تفاوتش‌با‌درجه‌ي‌دو‌اين‌است‌كه‌مي‌تواند‌منحني‌هاي‌بسته‌از‌انواع‌مختل))ف

‌‌و‌درجات‌باالتر‌باشد‌)‌در‌هر‌صورت‌يك‌منحني‌بس))ته‌اس))ت.(،‌ام))ا‌در3،))‌2پريود‌‌مورد‌درجه‌يك‌فقط‌پريود‌يك‌داريم.‌از‌ط))رفي‌ش))كل‌هايي‌ك))ه‌از‌س))يكل‌ح))دي‌در‌فضاي‌سه‌بعدي‌داريم‌به‌علت‌تا‌شدن‌هايي‌كه‌در‌اين‌فضا‌مي‌توانيم‌داشته‌باشيم‌)بدون‌اينكه‌ترجكتوري‌خودش‌را‌قطع‌كند(‌ب))ا‌فض))اي‌دو‌بع))دي‌تفاوت‌ه))اي‌زي))ادي‌دارد،‌به‌همين‌دليل‌آزادي‌عمل‌بيشتري‌مي‌تواند‌داشته‌باشد.‌به‌طور‌كلي‌منح))ني‌بسته‌در‌فضاي‌سه‌بعدي‌با‌فضاي‌دو‌بعدي‌تفاوت‌هاي‌زيادي‌خواهند‌داشت.‌يع))ني‌سيكل‌حدي‌در‌سيستم‌سه‌بعدي‌با‌آنچه‌كه‌مثال‌در‌وندرپل‌داريم‌متف))اوت‌اس))ت‌و

‌استفاده‌كنيم.‌‌3بسازيم‌بايد‌از‌نوع‌درجه‌ي‌pacemakerاگر‌بخواهيم‌

3

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

( ‌IIتوروس‌در‌حالت‌حدي‌‌)limit cycleيع))ني‌اگ))ر‌س))يكل‌ح))دي‌بي‌نه))ايت‌ب))ار‌دور‌.‌‌خودش‌بزند‌و‌در‌غايت‌به‌خودش‌برسد‌حالت‌توروس‌را‌مي‌سازد.‌اين‌حالت‌عدم‌قطعي))تيش‌بييش))تر‌اس))ت.‌ب))ه‌ط))ور‌كلي‌پريوده))اي‌باالترع))دم‌قطعيتش‌بيش))تر‌از

‌‌س))ال‌يكب))ار4پريودهاي‌كمتر‌است.‌يعني‌مثال‌پيش‌بي))ني‌جمعيت‌حيوان))اتي‌ك))ه‌ه)ر‌تكرار‌مي‌شود‌نسبت‌به‌حالتي‌كه‌هر‌دو‌سال‌يكبار‌تكرار‌مي‌شود‌راحت‌تر‌است.‌

‌‌آپريوديك‌يعني‌پريوديك‌با‌پريود‌بي‌نهايت‌و‌هيچ‌وقت‌به‌نقطه‌ي‌اولش‌برنمي‌گ))رددو‌اين‌مرز‌آشوب‌است.

‌رفتار‌روي‌توروس‌يعني‌پريود‌بي‌نهايت:‌پس‌عدم‌قطعيتش‌بيشتر‌است.‌در‌رفت))ارآپريوديك‌به‌نقطه‌ي‌اولش‌برنمي‌گردد.

‌اگر‌حركت‌روي‌توروس‌نس))بت‌فركانس‌ه))اي‌ط))ولي‌و‌عرض))ي‌كس))ري‌نباش))د‌اينحالت‌پيش‌مي‌آيد‌كه‌در‌جلسات‌قبل‌به‌تفصيل‌بيان‌شد.

‌‌مصداق‌ديگر‌اين‌رفتار‌حالتي‌است‌كه‌به‌عنوان‌مثال‌مداري‌فركانس‌طبيعي‌ي))ك‌‌تغذي))ه‌ك))نيم.‌در‌اين‌ج))ا‌بحث3.1داش))ته‌باش))د‌و‌س))پس‌ب))ا‌ورودي‌ب))ا‌فرك))انس‌

‌رزونانس‌بين‌هارمونيك‌ها‌پيش‌مي‌آيد.‌اگر‌نسبت‌بين‌اين‌دو‌فركانس‌كسري‌باشدسر‌يك‌فركانس‌به‌توافق‌مي‌رسند‌در‌غير‌اين‌صورت‌رفتار‌آشوبگونه‌مي‌شود.

‌سؤال:‌در‌اين‌دو‌حالت‌اخير‌آيا‌با‌قطعيت‌مي‌توان‌گفت‌سيكل‌حدي‌اس))ت‌ي))ا‌اينفقط‌شرط‌الزم‌است؟

‌در‌سه‌حالت‌قبل‌آيا‌قبض‌و‌بس)ط‌اتف)اق‌مي‌افت))د‌ي))ا‌ن)ه؟‌پس‌تف))اوت‌اص)لي‌س))ه‌حالت‌قب))ل‌ب))ا‌ح))الت‌آخ))ر‌اين‌اس))ت‌ك))ه‌در‌ح))الت‌آخ))ري‌عالمت‌مثبت‌و‌منفي‌را

همزمان‌با‌هم‌داريم.‌

(III(‌در‌اين‌حالت‌به‌علت‌عالمت‌مثبت‌و‌منفي‌قبض‌و‌بسط‌ان))رژي‌داريم.‌آي))ا‌در‌‌‌حالت‌قبلي‌نيز‌اين‌رفتار‌قبض‌و‌بس))ط‌داش))تيم؟‌خ))ير.‌در‌ح))االت‌قبلي‌ي))ا‌ث))ابت3

4

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌شدن‌داشتيم‌و‌يا‌جمع‌شدن‌ك))ه‌برآين))د‌كلي‌اش‌منج))ر‌ب))ه‌جم))ع‌ش))دن‌و‌در‌غ))ايتحاالتي‌مثل‌ثابت‌ماندن‌به‌صورت‌سيكل‌حدي‌است.

‌(‌به‌علت‌عالمت‌مثبت‌باي))د‌ج))واب‌ب))ه‌س))مت‌بي‌نه))ايت‌ب))رود،‌درIIIدر‌اين‌حالت‌)‌حالي‌كه‌در‌متون‌آمده‌كه‌پاسخ‌به‌بي‌نه))ايت‌نمي‌رود‌و‌حجم‌اش))غال‌ش))ده‌توس))ط

‌‌بودن‌است،‌زيرا‌س))دل‌قبض‌و1ترجكتوري‌ها‌صفر‌مي‌شود.‌اين‌رفتار‌به‌دليل‌سدل‌بسط‌را‌با‌هم‌دارد.‌بحث‌تعامل‌نقاط‌ثابت‌و‌نيز‌بين‌مق))ادير‌وي))ژه‌ي‌مختل))ف

‌نيز‌از‌همين‌جا‌پيش‌مي‌آيد.‌در‌اثر‌همين‌تعامل‌بستر‌جذب‌عجيب‌بوجود‌مي‌آي))د‌ك))ه‌باعث‌مي‌شود‌به‌بي‌نهايت‌نرويم.‌در‌واقع‌سدل‌ناپاي))دار‌مقي))د‌اس))ت،‌آش))وب‌ن))يز

‌ناپايدار‌مقيد‌شده‌است.‌به‌همين‌دلي))ل‌در‌بس))تر‌ج))ذب‌عجيب‌رفت))ار‌دينامي))ك‌پوي))ا‌‌است‌همراه‌با‌قبض‌و‌بس))ط‌اس))ت.‌همين‌قبض2داريم.‌ديناميك‌پويا:‌محدود‌شده

و‌بسط‌ناشي‌از‌تعامل‌نقاط‌ثابت‌پويايي‌را‌ايجاد‌كرده‌است.

‌مثال:‌قرار‌گرفتن‌سه‌بار‌الك))تريكي‌در‌فض))ا‌و‌رفت))ار‌ي))ك‌ب))ار‌ديگ))ر.‌در‌اين‌ح))الت‌تحت‌تأثير‌هر‌سه‌بار‌قرار‌گرفته‌و‌در‌فضا‌رفتار‌س))رگرداني‌دارد‌)‌اين‌س))رگردان

بودن‌را‌براي‌رفتار‌آشوبگونه‌بكار‌مي‌بريم.(

‌در‌متون‌سدل‌را‌ناپايدار‌در‌نظر‌مي‌گيرند‌اما‌به‌نظر‌مي‌رسد‌در‌اثر‌تعام))ل‌پاي))دارو‌ناپايدار‌در‌سدل‌است‌كه‌رفتارهاي‌همراه‌با‌قبض‌و‌بسط‌بوجود‌مي‌آيد.

3شاخص نماي لياپانوف

‌در‌مورد‌معادالت‌درجه‌يك‌‌مي‌توانيم‌ب))ه‌كم))ك‌بس))ط‌تيل))ور‌ب))ه‌ص))ورت‌زي))رخطيسازي‌را‌انجام‌دهيم:

x= f (x )=f ( x0 )+( x−x0 ) dfdx

+ 12 ( x−x0 )2 d2 f

d x2 +16 ( x−x0 )3 d3 f

d x3 +…‌

1 saddle2 bounded3 Lyapunov exponent

5

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌در‌رياضيات‌متداول‌جمالت‌با‌مرتبه‌هاي‌باالتر‌را‌صرفنظر‌مي‌كنند‌)البته‌تمام‌رفتارغيرخطي‌در‌همين‌جمالت‌است(.

x (t )=x0 eλt

λرا‌نماي‌لياپانوف‌مي‌نامند‌و‌بياني‌از‌رفتار‌حول‌نقطه‌ي‌‌x0.است‌

λ= dfdx|x0

, x (t )=x0 eλt

‌‌و‌يا0‌‌λ،‌نقطه‌ي‌پايدار>‌λرا‌نقطه‌ي‌ثابت‌در‌نظر‌بگيريم‌بسته‌به‌عالمت‌‌x0اگر‌‌‌خواهد‌بود.‌اين‌براي‌حالت‌يك‌بعدي‌بود‌و‌رفتار‌حول‌نقطه‌ي0‌‌λناپايدار‌براي‌<

x0‌(را‌مي‌رساند‌و‌شاخصي‌محلي‌‌)نقطه‌ي‌كار(‌localاست.‌اما‌نماي‌لياپانوف‌)‌‌مي‌تواند‌در‌محدوده‌ي‌فراتر‌از‌نقطه‌ي‌كار‌نيز‌در‌مفهومي‌وسيع‌تر‌در‌نظر‌گرفته

‌شود.‌زيرا‌در‌نقاط‌دورتر‌ساير‌نقاط‌ثابت‌نيز‌اثرگذار‌بوده‌و‌بايد‌معياري‌(‌را‌معرفي‌كرد.‌زيرا‌همواره‌ر‌فتار‌به‌صورت‌جمع‌آثار‌نبوده‌وglobalسرتاسري‌)

بايد‌اثر‌جمالت‌غيرخطي‌را‌نيز‌در‌نظر‌گرفت.‌

‌معيار‌نماي‌لياپانوف‌در‌حالت‌كلي‌مي‌تواند‌قبض‌و‌بسط‌هاي‌موجود‌در‌سيستم‌را‌نشان‌دهد‌يعني‌كمي‌سازي‌غيرخطي‌را‌انجام‌مي‌دهد.‌ساير‌معيارهاي‌ديگر‌بعد‌فركتال،‌بعد‌همبستگي‌و‌آنتروپي‌مي‌باشند.‌در‌مورد‌گره‌و‌سيكل‌حدي‌)منحني

‌بسته(‌آنتروپي‌صفر‌است،‌اما‌در‌توروس‌و‌كياس‌آنتروپي‌زياد‌مي‌شود.‌تمام‌اين‌شاخص‌ها‌الگوريتم‌هايي‌دارند‌و‌براي‌حاالت‌مختلف‌گسسته‌و‌پيوسته‌قابل

محاسبه‌هستند.

d0اگر‌دو‌ترجكتوري‌با‌شروط‌اوليه‌نزديك‌به‌هم‌روي‌جاذب‌آشوبگونه‌با‌فاصله‌ي‌

‌‌از‌يكديگر‌شروع‌شوند‌سپس‌ترجكتوري‌ها‌آنچنان‌از‌هم‌متباعدt=0در‌زمان‌

6

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌‌و‌به(‌D)tبرابر‌tمي‌شوند‌كه‌ميزان‌جدايي‌و‌فاصله‌ي‌آنها‌از‌يكديگر‌در‌زمان‌صورت‌زير‌خواهد‌بود:

D=eλt d0

‌(‌را‌بيان‌مي‌كند.‌دليلnearby divergenceنماي‌لياپانوف‌ميزان‌تباعد‌دو‌ترجكتوري‌)‌اينكه‌دور‌شدن‌دو‌شرط‌اوليه‌نزديك‌به‌هم‌را‌مي‌پذيريم‌پذيرفتن‌اين‌نكته‌است

‌كه‌وجود‌همزمان‌ايجنت‌پايدار‌و‌ناپايدار‌را‌برمي‌تابيم.‌اما‌اين‌باعث‌رفتن‌به‌بي‌نهايت‌نمي‌شود‌و‌همين‌اثر‌پروانه‌اي‌را‌بوجود‌مي‌آورد‌يعني‌همين‌‌دو‌نقطه‌كه‌از‌هم‌دور‌مي‌شوند‌در‌فضاي‌آشوبگونه‌طوري‌خم‌مي‌شوند‌كه‌به‌نقطه‌ي‌اوليه

برمي‌گردند‌و‌باالخره‌به‌يك‌بستر‌جذب‌همگرا‌مي‌شوند.

‌خم‌شدن‌معادل‌با‌قبض‌و‌كش‌آمدن‌معادل‌بسط‌است.‌)مثال‌لوف‌نان‌كه‌اگر‌دانه‌اي‌گندم‌ميان‌آن‌بگذاريم‌در‌اثر‌اين‌كش‌آمدن‌و‌خم‌شدن‌ها‌مسيرش

آشوبگونه‌مي‌شود.(‌

‌‌پاسخ‌دياگرام‌بايفوركيشن‌به‌ازاي‌تمامA=3.7مثال‌در‌مورد‌نگاشت‌الجستيك‌وقتي‌‌شروط‌اوليه‌يكسان‌است‌با‌وجود‌اينكه‌ممكن‌است‌در‌ابتدا‌تمام‌پاسخها‌از‌هم‌فاصله‌بگيرند‌اما‌در‌نهايت‌و‌غايت‌به‌يك‌چيز‌منتهي‌مي‌شوند.‌در‌حالت‌ضريب

correlation(‌صفر‌است‌در‌حالي‌كه‌بعد‌همبستگي‌)correlation coefficientهمبستگي‌)

dimensionشاخصي‌مناسب‌تر‌از‌درجه‌ي‌همبستگي‌متغيرها‌را‌بيان‌مي‌كند.‌زيرا‌)‌‌‌پيداequivalent degree of freedomاين‌متغيرها‌با‌هم‌تعامل‌دارند‌و‌بيان‌مي‌شود‌كه‌

مي‌كنند.

سؤال:‌عالمت‌مقادير‌ويژه‌نمي‌تواند‌به‌صورت‌)+,+,-(‌‌باشد؟!

محاسبه ي نماي لياپانوف

7

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

{ x0

x0+ε

dn=|f (n) ( x0+ε )−f (n) ( x0 )|

dn

ε=eλn

n.را‌بايد‌به‌نحو‌صحيحي‌انتخاب‌كرد.‌زيرا‌براي‌آشوب‌هم‌قبض‌داريم‌و‌هم‌بسط‌‌‌تا‌حدي‌زياد‌شده‌و‌سپس‌در‌اثر‌تا‌شدن‌ترجكتوري‌كم‌مي‌شود.dnيعني‌

λ=1n [ f (n ) ( x0+ε )−f (n ) ( x0 )

ε ]f '=df

dx

λ=1n [ ln f ' ( x0 )+ ln f ' ( x1 )+…+ln f ' ( xn−1 ) ]

‌پس‌به‌نوعي‌ميانگين‌شيب‌ها‌را‌در‌نقاط‌مختلف‌در‌نظر‌مي‌گيريم.‌نماي‌لياپانوف .يا‌به‌صورت‌ميانگين‌است‌و‌يا‌به‌صورت‌ماكزيمم‌در‌نظر‌مي‌گيريم

t n−t 0=τn; x (t0 ) , x ( t1 ) ,…

d0=|x j−x i|

d1=|x j+1−x i+1|

‌خلق‌اطالعات‌در‌قسمت‌بسط‌اتفاق‌مي‌افتد‌پس‌بايد‌آن‌ناحيه‌كه‌اطالعاتبيشتري‌دارند‌را‌درنظر‌بگيريم‌و‌مطالعه‌كنيم.

8

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

dn=d0 eλn

λ=1n

lndn

d0

‌افزايش‌يابد.‌xتا‌حد‌نيم‌)نصف(‌تغييرات‌n : dnيك‌راه‌براي‌انتخاب‌

بررسي مقاالت

مقاله‌ي‌‌

A‌new‌butterfly-shaped‌attractor‌of‌Lorenz-like‌systemLiu‌Chongxin‌a,*,‌Liu‌Ling‌b,‌Liu‌tao‌a,‌Li‌Peng‌aa‌Xi’an‌Jiaotong‌University,‌Xi’an‌710049,‌PR‌Chinab‌Southwest‌Jiaotong‌University,‌Chengdu‌610031,‌PR‌China

‌را‌بررسي‌مي‌كنيم.‌Chaos, Solitons and Fractals 28 )2006) 1196–1203از‌مجله‌ي‌

سيستم‌زير‌را‌در‌نظر‌مي‌گيريم:

:مقادير‌پارامترهاي‌سيستم‌بدين‌شرحند

:براي‌بدست‌آوردن‌نقاط‌ثابت‌داريم

9

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

:اين‌سيستم‌سه‌نقطه‌ي‌ثابت‌دارد

كه‌با‌محاسبه‌بدست‌مي‌آيند:

:براي‌مبدا‌داريم

‌‌گذاشته‌كه5كه‌البته‌در‌مقاله‌ماتريس‌سمت‌راست‌سطر‌دوم‌ستون‌سوم‌را‌‌-‌براي‌مبداء‌اين‌مقدار‌مساوي‌صفر‌است،‌با‌وجود‌اين‌اشتباه‌محاسبه‌ي‌مقادير

ويژه‌به‌درستي‌انجام‌گرفته‌است‌و‌به‌صورت‌زير‌بدست‌مي‌آيند:

‌‌به‌صورت‌زير‌بدست-Pو‌+‌Pبه‌همين‌ترتيب‌مقادير‌ويژه‌براي‌نقطه‌ي‌ثابت‌مي‌آيد:

10

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

‌همانطور‌كه‌مشاهده‌مي‌شود‌اين‌دو‌نقطه‌هر‌دو‌از‌نوع‌سدل‌هستند‌و‌انتظار‌مي‌رود‌كه‌وجود‌نقاط‌سدل‌باعث‌ايجاد‌رفتار‌آشوبگونه‌شود.‌در‌ادامه‌مقاله‌رفتار

:سيستم‌در‌صفحه‌ي‌فاز‌رسم‌شده‌است

:معادالت‌لورنتس‌به‌صورت‌زير‌مي‌باشد

‌مشاهده‌مي‌كنيم‌كه‌با‌توجه‌به‌تفاوتي‌كه‌معادالت‌معرفي‌شده‌در‌اين‌مقاله‌نسبت‌به‌معادالت‌لورنتس‌دارد‌شكل‌پروانه‌اي‌در‌فضاي‌فاز‌نيز‌دچار‌تغييراتي

شده‌است.‌

‌‌،‌تابع‌طيفxدر‌ادامه‌ي‌مقاله‌نمودارهاي‌صفحه‌فاز‌در‌دو‌بعد،‌رفتار‌زماني‌متغير‌و‌نيز‌قطع‌پوانكاره‌براي‌اين‌سيستم‌رسم‌شده‌است.‌

11

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

12

يازدهم جلسه تقرير پيچيده و غيرخطي سيستم‌هاي در بايفوركاسيون و ديناميك

13