基底と次元 - wakhokasami/linalge/pdf/09_10.pdf基底を構成する元の数...
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基底と次元基底と次元
第第99、、1010回回部分空間の基底と次元部分空間の基底と次元
基底とは基底とは??
線形空間を格子状に“番地付けするものであ線形空間を格子状に“番地付けするものであるる
( )nRR ⊂2
O
1br2b
r
格子を生成する元の組
1br
2br
< >
1br
// 2br
1br
と 2br
は1次独立
•格子の取り方は無数にある•基底を構成する元の数は常に2こ
基底を構成する元の数
1.Oから格子点へのベクトルx
は整数mlbmblx ,,21
rrr+=
2.Oから任意の点へのベクトルx
は実数212211 ,, xxbxbxxrrr
+=
形式的に
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
2
1212211 x
xbbbxbxxrrrrr
2R 2個
線形独立なベクトルの最大数
に関する座標というを基底 212
1 bbxx rr⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
基底と座標の関係基底と座標の関係
通常のxy座標
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
2
1212211 x
xeeexexx rrrrr
基底座標
※ 基底を決めれば座標はそれに応じて一意に決まる※ 同じ点でも基底の取り方を変えれば、それに応じて
座標も変わる
xxyy 座標系で(1,2)という点座標系で(1,2)という点
21 ee rr基底:
y
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
5.05.0 21 に対する座標は基底 ee rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛21
21 に対する座標は基底 ee rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛21
10
01
10
201
121
21 5.05.0 ee rr基底:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
5.00
05.0
5.00
405.0
221
xxyy 座標系で(1,2)という点座標系で(1,2)という点
221 eee rrr+基底: y
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
11
221 に対する座標は基底 eee rrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛11
10
11
10
111
121
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
111
基底:⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
111
21
21 cc
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
−==
⇔=−=+
⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
2
23
1
21
2121 2
11
111
21
cc
cccc
cc
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
23
11
11
に対する座標は基底:
xxyy 座標系で座標系でPP(1,2)という点(1,2)という点の座標を求めよに対する基底:問 P 1 12 ee rr
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−1
212 に対する座標は基底 ee rr
⎩⎨⎧
−==
⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
201
10
21
2
1
1
221 x
xxx
xx
の座標を求めよに対する点基底:問 P11
11
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
==
⇔=+=−
⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
2
23
1
21
2121 2
111
11
21
cc
cccc
cc
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
23
11
11
に対する座標は基底:
y
x
P
基底基底nn個のベクトルの組が次の性質を持つとき、個のベクトルの組が次の性質を持つとき、ベクトル空間の基底(ベクトル空間の基底(base)base)であるという。であるという。
riir bbbb 121 }{,,, =≡
rrL
rr
( )( )
( )
を張っているというは空間このことを
つまり、
の一次結合で表せるのベクトルが
次独立であるが互いに
Vb
riRcbcbbbbV
bVb
ba
rii
i
r
iiir
rii
rii
rii
1
1211
1
1
}{
1,,,,}{
}{
1}{
=
==
=
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤∈=≡= ∑
r
rrL
rrr
r
r
Vの任意のベクトルがこのr個のベクトルの1次結合で一意に表されれば、r個のベクトルは基底となる つまり格子を生成する上で必要なものが全て揃っている
基底について基底について
明らかに明らかに11次独立なベクトルの組がみな基底次独立なベクトルの組がみな基底
になれるわけではありませんになれるわけではありません
例えば,例えば,33次元ベクトル空間での次元ベクトル空間での2つの2つのベクトルの組ベクトルの組 {{ii, , jj} } を考えてみましょを考えてみましょうう
{{ii, , jj} } はは11次独立ですがどんな実数次独立ですがどんな実数 a,ba,bを用を用いてもいても kk==aaii+b+bjj は不可能です.は不可能です.
ij
k
基底かどうかの判定基底かどうかの判定
の基底ではないは 3
010
001
R⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
( )ない軸方向を番地付けできが不成立 z (b)Q
x
y
zこの点を表すことができない
の基底には3つの1次独立なベクトルが必要3R
基底かどうかの判定基底かどうかの判定
一次独立か一次独立か??VVのすべての点をのすべての点を11次結合で表せるか次結合で表せるか??
基底か基底でないか基底か基底でないか
( ) 次独立は1100
010
001
1. 321 eee rrr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
次独立は. 1101
110
011
2⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
次従属は1101
110
011
.3⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
の基底である3R
の基底である3R
の基底ではない3R
基底か基底でないか基底か基底でないか
( ){ }3,2,1.1 3322113 =∈++= iRxexexexR i
rrr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= RxxxxxxR 321321
3 ,,101
110
011
.2
33.について.について
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
101
110
011
.3
になるのある部分空間の基底つのベクトルを選ぶとどれか
つのベクトルのうち、の基底ではないが、は3
3
23
RR
が不成立
とできるので
)(
0101
110
011
a
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛Q
も成り立たない実際には、 )(b
( )内の平面
任意定数
330
:,11
1,,
101
110
011
RRzyxzyx
V
kkzyx
RzyxzyxV
⊂⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
問題問題
次のベクトルの組は基底となるか調べよ次のベクトルの組は基底となるか調べよ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
210
111
1.⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100
210
111
2.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
101
111
100
210
3.⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
111
100
4.
試験日程試験日程
77月月2222日日((金)金)33限(13:00~限(13:00~14:14:3300))
基底の個数基底の個数
の基底は一意ではない3R
個の場合は、
ても等しい数はどのセットについ基底を構成する元の個
33R
大個数を表している次独立なベクトルの最その空間での1
原点と基底で作られる図形は原点と基底で作られる図形は??
:1R
:2R
:3R
線分
三角形
四面体
(基底の個数+1)=頂点の個数
次元次元
VVの基底を構成するベクトルの個数がの基底を構成するベクトルの個数がrrであるである
rrは基底の取り方によらず、定まる。は基底の取り方によらず、定まる。
このこのrrのことをのことをVVの次元というの次元という
dimVdimV = r= rで表すで表す
zerozeroベクトルの次元はベクトルの次元は0 0 { } 00dim =r
次元についての基本事項次元についての基本事項
nRRRR
n =
===
dim,3dim,2dim,1dim 321 L
W3の部分空間R
{ }0W0imWr
=⇒=d原点を通る直線W1imW ⇒=d原点を通る平面W2imW ⇒=d
33imW RWd =⇒=
和と積空間の次元定理和と積空間の次元定理
( ) ( )WUWUWU Idimdimdimdim −+=+
( )のとき直和特に、 WUWU ⊕=+
( ) WUWU dimdimdim +=+
例例
UWUWWUWUd
==+==
I,2dim
1imWU
( ) 2dimdim ==+ WWU
( )( ) 213dimdimdim
1dimdim21dimdim
=−=−+⇒⎭⎬⎫
==+=+
WUWUUWU
WU
I
I
直行する直線の次元定理直行する直線の次元定理
dimUdimU=1,dimW=1=1,dimW=1U+W=U + WU+W=U + Wdim(U+Wdim(U+W)=2, )=2, dim(U+Wdim(U+W)=)=dimU+dimWdimU+dimW
交わる平面の次元定理交わる平面の次元定理
( ) ( ) 1dim,3dim2dim2im
==+==
WUWUWUd
I
( )( ) 314dimdimdim
1dim422dimdim
=−=−+⇒⎭⎬⎫
==+=+
WUWUWU
WU
I
I
教科書P31問題2:U=xy平面、W=yz平面、U+W=xyz空間、U∩W=y軸dimU=2,dimW=2 dim(U+W)=3, dim U∩W=1
例例
WbWbzyxzyx
W ∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
01
1,
101
,0 21
rr
( ) ( ) 21
01
1
101
00
bybyxyyx
yy
yx
yx
yxyx
zyx
rr−+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
11次独立か次独立か
⎩⎨⎧
==
∴
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
00
000
01
1
101
2
1
1
2
21
21
cc
cc
cccc
02211
rrr=+ bcbc とおく
よって一次独立
基底であり、次元基底であり、次元dimdimWWはは
WWの任意のベクトルはの任意のベクトルはWWのの22個のベクトル個のベクトルのの11次結合で表され、次結合で表され、
はは11次独立であるから基底次独立であるから基底
基底の個数は基底の個数は22であるからであるから dimWdimW=2=2
21, bbrr
21, bbrr
GramGram--SchmidtSchmidtの直交化法の直交化法
11次独立なベクトル次独立なベクトル
正規直交系を作り出すこと正規直交系を作り出すこと
正規直交系とは正規直交系とは
ベクトルのノルムが1ベクトルのノルムが1
どのどの22つのベクトルも直交しているつのベクトルも直交している
直交系なら線形独立直交系なら線形独立
( ) が、互いに直交すれば、
それらは線形独立
kxxx rL
rr ,,, 21 0≠
正規直交基底正規直交基底
グラムグラム==シュミットの直交化法シュミットの直交化法
幾何学的意味幾何学的意味
幾何学的意味幾何学的意味
つまり
線形空間線形空間
命題の証明命題の証明
練習問題練習問題
の正規直交基底を作れから 3
101
110
011
R⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
011
21,
.011
,110
,011
1
111
321
aaua
aaa
r
rrr
rrr
を正規化して
とする
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
′′
=′
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−=′
′
211
61
211
21
011
21
110
011
21
011
21110
110
|
2
222
11222
221
aaua
uuaaaaau
r
rrr
rrrrr
rrr
を正規化して、
)、正規化する。から作り(に直交するベクトルを
練習問題解答続き練習問題解答続き
( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
′′
=′
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−−=′
′
11
1
31
11
1
32
44
4
61
211
61
63
3
61
211
61
011
21
101
211
61
211
61101
011
21
011
21101
101
||,
3
333
22311333
3321
aaua
uuauuaaaaauu
r
rrr
rrrrrrrr
rrrr
を正規化して、
)、正規化する。から作り(に直交するベクトルを
練習問題解答続き練習問題解答続き
問題問題
の正規直交基底を作れから 2
21
11
R⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
の正規直交基底を作れから 3
111
010
001
R⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
問題問題