第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 1

單元 4 分數 (Fractions)及它的教與學

4.1 分數

除了整數外，分數是另一類我們自小便經常接觸得到的數了。例如，把橙

切成兩半，一半就是二分之一而這二分之一就是用來數一半的東西的數

了。跟零的產生一樣，分數的產生也可以看成為是為了解決整數運算中的

不足。須知任何兩個整數的乘積雖然都在整數的範圍內，但是兩個整數相

除，它的商就不一定在整數範圍內找得到了 (例如 7 ÷ 3)。解決不足的方

法，就是擴張數的範圍，這就產生了分數了。

分數出現的歷史十分久遠，在公元前後成書的《九章算術》已有系統地記

載了有關分數的知識。至於不完整及較不系統地記錄的分數知識，更見於

公元前古埃及的史料之中。

定義 4.1.1

如果 m、n∈ Z且 n 0，≠nm

就叫作「分數」 (fraction)，讀作「n 分之 m」，

其中 n 和 m 分別是分數nm

的分母 (denominator)和分子 (numerator)。

思考題 4.1.1

根據以上的定義，23和

2π是不是分數？為什麼？

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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思考題 4.1.2

有些人把分數定義為：

如果 m、n 是實數 (real numbers)且 n ≠ 0，nm

就叫作「分數」，讀作

「n 分之 m」，其中 n 和 m 分別是分數nm

的分母和分子。

而當 m、n 恰好都是整數時 (n ≠ 0)，則把nm

叫作「有理分數」。

你對這個定義方式，有些甚麼意見？

思考題 4.1.3

小時候，我們都學過「真分數 (proper fractions)」、「假分數 (improper

fractions)」和「帶分數 (mixed fractions)」這三個概念。但當處理這些概念

的定義時，很多人都漠視了分數不一定是正數這一事實。以下是幾個常見

的定義，請大家給些意見︰

a) 若ba是分數，且 a < b，則稱

ba為真分數。

b) 如果一個分數小於 1，則這個分數必是真分數。

c) 若ba是分數，且 b < a，則稱

ba為假分數。

d) 如果一個分數大於 1，則這個分數必是假分數。

e) 若把一個假分數化成一個整數與一個真分數之和，合者便稱為帶分

數。

f) 一個整數與一個真分數之和叫作假分數。

g) 若假分數qp > 1 寫成 n +

sr的形式，則

srn (例如

211 )稱為帶分數。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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4.2 分數的基本性質

定義 4.2.1

對兩個分數1

1

nm

和2

2

nm

，其中 m1，m2∈ Z，n1，n2∈ N，

如果

a) m1 n2 > m2n1，則稱1

1

nm

大於2

2

nm

，記作1

1

nm

> 2

2

nm

；

b) m1 n2 = m2n1，則稱1

1

nm

等於2

2

nm

，記作1

1

nm

= 2

2

nm

；

c) m1 n2 < m2n1，則稱1

1

nm

小於2

2

nm

，記作1

1

nm

< 2

2

nm

。

思考題 4.2.1

從上述定義，我們可以推出以下的結果嗎？

對同分母的分數nm1 和

nm2 ，其中 m1、m2、n∈ Z，如果 m1 > m2，

則nm1 >

nm2 。

定理 4.2.1

分數的分母和分子同乘以 (或除以)一個非零整數，所得的分數與原分數相

同。

習作 4.2.1

試利用定義 4.2.1 證明上述定理 4.2.1。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 4

定義 4.2.2

如果一個分數的分母和分子有 1 及 –1 以外的公因數，把分母和分子同時

除以這公因數，以得出一個與原分數相等的分數的運算，叫作「約分」。

定義 4.2.3

當分母和分子互質時，這個分數叫作「最簡分數」 (fractions in their simplest

form)。

例 4.2.1

把208

約分成最簡分數

208

= 5442

××

= 52 (2、5 互質)

思考題 4.2.2

如果一個分數的分母和分子不是互質，我們以分母和分子的最大公因數約

分後，所得出的分數是否必然是與原分數相等的最簡分數？為甚麼？

定義 4.2.4

把分母和分子同時乘以一個非零整數，以得出一個與原分數相等的分數的

運算，叫作「擴分」。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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思考題 4.2.3

有些人把擴分界定為︰

把一個分數化成與之相同，但分母和分子較大的分數，稱作「擴分」。

你認同這個界定方式嗎？

(試考慮84

−− =

21 )

定義 4.2.5

把 n 個分母不同的分數變成 n 個分母相同，但又分別與原分數相等的分數

的運算，稱作「通分」。

例 4.2.2

43 =

2418 =

4836 = …

82−

= 24

6− = 4812− = …

121 =

242 =

484 = …

把43、

82−

、121分別通分成

2418

、24

6−、

242

或4836

、4812−

、484 …都

是通分的結果。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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4.3 分數的四則運算

定義 4.3.1

分數1

1

nm

及2

2

nm

的和 (記作1

1

nm

+ 2

2

nm

)是21

1221

nnnmnm +

。

思考題 4.3.1

兩個分數的和是否必然大於每個原先的分數？為甚麼？

定理 4.3.1

a) 分數1

1

nm

+ 2

2

nm

= 2

2

nm

+ 1

1

nm

；

b) 分數 (1

1

nm

+ 2

2

nm

) + 3

3

nm

= 1

1

nm

+ (2

2

nm

+ 3

3

nm

)；

c) 分數 n

m1 + n

m2 + … + n

mp = n

mmm p+++ ...21。

思考題 4.3.2

試證明上述定理 4.3.1。

定義 4.3.2

如果分數2

2

nm

+ nm =

1

1

nm

，則nm

叫作「1

1

nm

減2

2

nm

的差」，

記作1

1

nm

– 2

2

nm

= nm (其中

2

2

nm

叫作「減數」，1

1

nm

叫作「被減數」)。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 7

思考題 4.3.3

兩個分數的差是否必然小於被減數？為甚麼？

定理 4.3.2

如果1

1

nm

和2

2

nm

為分數，則1

1

nm

– 2

2

nm

= 21

1221

nnnmnm −

。

思考題 4.3.4

試證明上述定理 4.3.2。

定義 4.3.3

分數21

21

nnmm

××

叫作分數「1

1

nm

和2

2

nm

的乘積」 (或簡稱「積」)，

記作1

1

nm

×2

2

nm

= 21

21

nnmm

××

。

定理 4.3.3

a) 分數1

1

nm

×2

2

nm

= 2

2

nm

× 1

1

nm

；

b) 分數 (1

1

nm

×2

2

nm

) × 3

3

nm

= 1

1

nm

× (2

2

nm

× 3

3

nm

)。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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習作 4.3.1

證明︰

a) 分數(1

1

nm

– 2

2

nm

) × 3

3

nm

= 1

1

nm

× 3

3

nm

– 2

2

nm

× 3

3

nm

。

b) 如果nm

是分數，且分數1

1

nm

= 2

2

nm

，則1

1

nm

× nm =

2

2

nm

×nm

。

定義 4.3.4

如果分數nm

與2

2

nm

的乘積為1

1

nm

，其中 m2、n2 為非零整數，分數nm

就叫作

「分數1

1

nm

除以2

2

nm

的商」 (或「分數2

2

nm

除1

1

nm

的商」)，記作

1

1

nm

÷2

2

nm

= nm

。

定理 4.3.4

如果 m2、n2 為非零整數，分數1

1

nm

÷ 2

2

nm

= 21

21

mnnm

××

。

定義 4.3.5

一個分數的分母和分子如果是非零整數，且它們剛好分別是另一個分數的

分母和分子，則這兩個分數叫作互為倒數的分數，前者叫作後者的倒數，

後者也叫作前者的倒數。

例 4.3.1

43和

34是互為倒數。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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定理 4.3.5

如果分數1

1

nm

÷2

2

nm

= 3

3

nm

，則1

1

nm

÷ 3

3

nm

= 2

2

nm

。

思考題 4.3.5

試證明上述定理 4.4.4 及 4.4.5。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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4.4 分數的教與學

在上面的課節，我們對分數的概念和運算作了一個比較嚴謹的分析。很明

顯，在小學數學教學方面，如果以這種方式來進行分數的教學，是不符合

學生的學習基礎和需要的。下面我們會嘗試為大家討論一下有關分數在小

學教與學中所出現的一些問題。

4.4.1 分數教與學的研究

根據 Bezuk and Bieck (1993) 的研究，在中小學數學教學中，分數是最易

產生學習問題的一個環節。事實上，很多人計算分數都是靠死記硬背 (rote

learning)，對有關計算方法之原理都是不大了了。不少研究顯示，學生在

分數計算方面的技巧非常熟練，但卻不能理解分數的真正意義 (吳相儒，

2000)。

舉例說，你知道為什麼dbca

dc

ba

++

≠+ 而dbca

dc

ba

××

=× 嗎？

另外，分數除法中的顛倒分數又應該如何解釋呢？

楊瑞智 (2000)根據 台北師院非數理系修讀普通數學的兩班學生 (師院生)，一

班為大一，一班為大二，共 57 人，發現如下：

i) 師院生大都能解釋真分數的意義，不過能解釋真分數的學生未必能解釋

假分數。且能解釋真分數與假分數的學生也未必能解釋真分數乘以假分

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 11

數。

ii) 整體而言，師院生對於分數的基本概念有相當的局限和不足，甚致有許

多迷思概念。

iii) 師院生有 1/3，57 位中有 20 位無法說明假分數的意義。

iv) 部分師院生對於分數乘法的意義只能賦予程序性的算則，57 位中有 27

位 (將近 1/2)有困難作合理的解釋，缺乏分數乘法的概念性意義支持。

v) 師院生在數學意義的表達與溝通的能力有不足。

(簡進國)

4.4.2 抽象數學概念

抽象數學概念有兩種基本了解方式：運算 (operationally, as processes or

procedural)和對象 (structurally, as objects) (Sfard, 1991)

例 4.4.1

x + 2、 ＝、 …

例 4.4.2

1973 =+x 19 – 7 = 12 and →3

12 = 4

例 4.4.3

在 Vergnaud (1984)的研究︰

Daniel went to visit his grandmother, who gave him $1.50. Then he

bought a book costing $3.20. If he has $2.30 left, how much money

did he have before visiting his grandmother？

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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學生 (sixth graders)喜歡把解答寫成 2.30 + 3.20 = 5.50 - 1.50 = 4.00。

例 4.4.4

雞兔同籠問題 (10 個頭，48 隻腳)的「運算」式解答…

分數比自然數抽象︰分數是「關係」數 (“relational” number)，表示數學上

某些關係。與自然數可獨立了解，有很大的分別。再者，從「關係」數「演

化」成非關係數 (如︰21 0.5 或數線上某點所表示的數)，過程並不簡

單。

→

分數一般有 4 個解釋 (interpretations)︰

a) 作為整體或集合的部份 (fractions as parts of wholes or parts of sets)

b) 作為兩數相除的商 (fractions as the result of dividing two numbers)

c) 作為兩數量的比 (fractions as the ratio of two quantities)

d) 作為一算子 (fractions as operators)

(Kieren, 1988; Lamon, 1999)

你能舉例說明之嗎？

你知道研究結果顯示，哪一種解釋最有利小童初學分數概念嗎？

(Chapin & Johnson, 2000, p.75)

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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4.4.3 分數作為整體或集合的部份

例 4.4.5

判斷下列哪幅圖中的斜線部份佔全圖的四分一：

例 4.4.6

連續 (continuous)與離散 (discrete)

Q1︰小明的媽媽買了一個大披薩，她把披薩平分成八小塊。小明吃

了三塊、媽媽吃了四塊。以分數來說，小明吃了幾「個」披薩？媽

媽吃了幾「個」披薩？

Q2︰小英在慶生會的時候，帶來一桶裝有 86 顆軟糖的乖乖桶，她

分給自己和每個同學各兩顆軟糖，桶內還剩下 14 顆軟糖。以分數

來說，班上每位同學各分得幾「桶」乖乖桶？小英還剩下幾「桶」

乖乖桶？

吳相儒 (2000) 利用上述問題對 123 位台灣國小四年級學生施測，結果第

一題答錯的學生數為 9 人，答錯率為 7.3%，第二題答錯的學生數則高達

21 人，答錯率為 17.1%，相同學生在兩題上的表現顯然不同，對於連續量

的分數理解優於離散量。

原因是…？

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 14

吳相儒 (2000)︰「推論其原因跟教材及教師教學時常常舉連續量的例子，

使得學生對於此類問題較為熟悉有關。此外，Kerslake (1986)也指出兒童

將分數視為一個整體形狀的部分，這個整體通常是一個圓或方形，使得兒

童難以發展出將三個圓分成四個相等部分的概念。」你同意嗎？

例 4.4.7

忽略單位量

問：一袋橙有 5 個，其中的 1 個是幾袋？

答：一個或是五分之一個

例 4.4.8

只考慮分子 (或分母)

要求：學生從 12 個大小一樣的小球中，取出其中的四分三。

反應：只取 3 個 (或 4 個)。

4.4.4 分數大小的比較

例 4.4.9

哪一個分數較大：

51

31

(Smith, 2002, p.8)

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 15

例 4.4.10

單以分母 (或分子)的大小來做比較

51

21< (沒有任何情景之下)

52

53< →

42

21<

例 4.4.11

分別以分母與分子的大小來做比較

92

41< ( 94,21

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

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例 4.4.14

比較87和

109︰考慮 7 × 10 和 8 × 9 (能把它形象化或圖像化後才

表達出來嗎？)

4.4.5 擴分和約分

Lamon (2002)︰整體化 (unitizing) / 分割 (chunk)

53 =

2515 =

212

211

可以利用離散量的分數來解釋嗎？

4.4.6 分數的加減

常見的一種同分母分數加法的闡釋：

31 +

31 =

32

=+

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 17

但學生的理解可變成為：

+ =

31 +

31 =

62

cf 吳相儒(2000)︰

異分母的加減：

52

31+ 可以怎樣利用連續量的分數和離散量的分數來理解？

4.4.7 分數的乘法

Taber (2002)︰不少人 (包括部份成人)認為乘數為分數時，有關運算應是

除法或減法，而非真正的乘法 (因為結果的數值比原先的數值小)。

與乘法的問題起碼可分四類：合併、比較、改變、分割

數量 × 乘數 (multiplier)； N︰自然數；f︰分數。

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 18

題目類型 N × N f × N N f × f f ×

合併 一盒有 6 件蛋糕，問 4

盒共有多少件蛋糕。

一盒有 1/2 件蛋糕，問

4 盒共有多少件蛋糕。

？？ ？？

比較 已知弟弟有 6 件蛋

糕，而哥哥有的蛋糕是

弟弟的 4 倍，問哥哥有

的蛋糕總數。

已知弟弟有 1/2 件蛋

糕，而哥哥有的蛋糕是

弟弟的 4 倍，問哥哥有

的蛋糕總數。

？？ ？？

改變 ？？ 已知他一星期前有蛋

糕 6 件而現在有的蛋

糕數是一星期前的

2/3，問哥哥現在有的

蛋糕總數。

？？ ？？

分割 ？？ 已知哥哥有蛋糕 6

件，他把 2/3 送給弟

弟，問弟弟從哥哥處獲

得的蛋糕總數。

？？ ？？

乘法運算原理：

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 19

4.4.8 除法分類

除法起碼可分三類：

a) 等分：平均分物。

例 4.4.15

有 20 粒糖，平均分給 5 人，每人可分得糖幾粒？

b) 包含：某數 A 包含有多少個數 B。

例 4.4.16

糖每粒 5 元，20 元可買糖幾粒？

若每人可得糖 5 粒，20 粒糖可分給多少人？

c) 乘法的逆運算

例 4.4.17

買糖 5 粒，共付 20 元，每粒糖值多少元？

我們如何把整數除法的概念推廣至小數的除法？

4.4.9 分數教授

在西方國家，利用 彩色木條（Cuisenaire Rods / Integers Bar）教授分數，

十分普遍：

Emile Georges Cuisenaire, who was born in 1891, came up with the idea of

using integer bars, also called Cuisenaire Rods. He was a elementary school

teacher in the city of Thuin in the country Belgium in Europe. In 1952 he

published the book named "Numbers in Color" which describes the integer

bars.

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 20

Caleb Gattegno, who was born in Egypt, was a professor at the University of

London. He met Cuisenaire in 1953 and realized how good the bars were to

teach mathematics. He helped a lot by talking with many teachers in many

countries about these bars and made them very famous.

進一步閱讀︰

Bezuk, N.S., & Bieck, M. (1993). Current research in rational numbers and

common fractions: Summary and implications for teachers. In D.T. Owens

(Ed.), Research ideas for the classroom: Middle grades mathematics (pp.

118-136), Reston, VA: NCTM.

Chapin, S.H., & Johnson, A. (2000). Math matters: Understanding the math

you teach, grades K-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.

Kieren, T. (1988). Personal knowledge of rational numbers: Its intuitive and

formal development. In J. Hiebert and M. Behr (Eds.), Number concepts

and operations in the middle grades (pp.162-181), Reseton, VA: NCTM.

Lamon, S.J. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding:

Essential content knowledge and instructional strategies for teachers.

Mahwah, NJ: Lawrence Erlabaum.

Lamon, S.J. (2002). Part-whole comparisons with unitizing. In B. Litwiller,

& G. Bright (Eds.), Making of sense of fractions, ratios, and proportions (2002

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 21

Yearbook) (pp.79-86), Reston, Virgina: NCTM.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions:

Reflections on processes and objects as different sides of the same coin.

Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.

Smith, J.P. (2002). The development of students’ knowledge of fractions and

ratios. In B. Litwiller, & G. Bright (Eds.), Making of sense of fractions, ratios,

and proportions (2002 Yearbook) (pp.3-17), Reston, Virgina: NCTM.

Taber, S.B. (2002). Go ask Alice about multiplication of fractions. In B.

Litwiller, & G. Bright (Eds.), Making of sense of fractions, ratios, and

proportions (2002 Yearbook) (pp.61-71), Reston, Virgina: NCTM.

Vergnaud, G. (1984). Understanding mathematics at the secondary-school level.

In A. Bell, B. Low, & J. Kilpatrick (Eds.), Theroy, research & practice in

mathematical education (pp.27-35). Nottingham: Shell Centre for

Mathematical Education.

網上或電腦資源

香港教育學院 ITEN – 數學教學庫

http://itied.ied.edu.hk/reslib/showtopic.php？subjectID=PMAT&schLevelID=PRI

台灣國小數學教材分析 – 分數的數概念與運算

http://itied.ied.edu.hk/reslib/showtopic.php?subjectID=PMAT&schLevelID=PRI

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 22

http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book3/index.htm

金門縣金湖國小 – 數學科學習加油站

http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/main.htm

分數教學 1.0

［這是一個在數學上有關分數概念的教學軟體，其中還包含有小測驗及小遊

戲，是以 FLASH 方式來呈現，所以在畫質上相當不錯，是個適合大人小孩學

習分數概念的學習兼遊戲的軟體，更適合大朋友教導小朋友數學分數概念的學

習軟體。］

http://reg.softking.com.tw/freeware/index.asp？fid1=17&fid2=183&fid3=13157

台灣數學教育天地 – 分數概念教材的處理方式

http://192.192.6.114/~bamboo/chapter7.htm

數學教師知識庫 – 例：分數表示除的結果

http://www.mtedu.tmtc.edu.tw/showprint.asp？topic_id=345&forum_id=54

小學數學教育論壇 – 例：分數乘分數的教學與反思

http://chat.pep.com.cn/lb5000/topic.cgi？forum=8&topic=2470

靈活資訊科技教育計劃 (HKU) – 例：分數

http://ufia.hku.hk/publications/green/sunday.htm

國小學童學習分數概念時常見的迷思 (吳相儒，2000)

http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book3/index.htmhttp://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/main.htmhttp://reg.softking.com.tw/freeware/index.asp?fid1=17&fid2=183&fid3=13157http://192.192.6.114/~bamboo/chapter7.htmhttp://www.mtedu.tmtc.edu.tw/showprint.asp?topic_id=345&forum_id=54http://chat.pep.com.cn/lb5000/topic.cgi?forum=8&topic=2470http://ufia.hku.hk/publications/green/sunday.htm

第四課 – 分數及它的教與學 數的認識 (Understanding Number)

頁 23 之 23

http://www.worldone.com.tw/magazine/24/24_08.htm

有關分數的迷失概念（簡進國）

http://ibm.rges.tpc.edu.tw/~cck/resource/research/misconcept.htm

彩色木條（Cuisenaire Rods / Integers Bar）

http://arcytech.org/java/integers/practice.html

http://pegasus.cc.ucf.edu/~mathed/egg.html

http://pegasus.cc.ucf.edu/~mathed/crods.html

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