Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι...
TRANSCRIPT
![Page 1: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/1.jpg)
Συναρτήσεις
![Page 2: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/2.jpg)
Η άλγεβρα των συναρτήσεων
Έστω συναρτήσεις f: A →R , g:B →R και λ πραγματικός αριθμός• Άθροισμα συναρτήσεων,
(f + g)(x) = f(x) + g (x), πεδίο ορισμού το σύνολο Α∩Β• Διαφορά συναρτήσεων
(f - g)(x) = f(x) - g (x), πεδίο ορισμού το σύνολο Α∩Β• Γινόμενο συναρτήσεων
(f g)(x) = f(x) g (x), πεδίο ορισμού το σύνολο Α∩Β• Γινόμενο αριθμού με συνάρτηση
(λf)(x)= λf(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Α
• Πηλίκο συναρτήσεων(f/g) (x) = f(x) / g (x)με πεδίο ορισμού το σύνολο Γ = {x ανήκει στην τομή των Α, B και g(x)≠0}
![Page 3: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/3.jpg)
Γραφική απεικόνιση πρόσθεσης συναρτήσεων
![Page 4: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/4.jpg)
ΕΙΔΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
![Page 5: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/5.jpg)
Είδη συναρτήσεων
• Πολυωνυμικές συναρτήσεις• Ρητές συναρτήσεις• Τριγωνομετρικές • Εκθετικές• Λογαριθμικές
![Page 6: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/6.jpg)
Πολυωνυμικές συναρτήσεις
![Page 7: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/7.jpg)
Πολυωνυμικές συναρτήσειςΠολυωνυμική είναι κάθε συνάρτη της μορφής
με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.Οι πιο συνηθισμένες πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι:Η f(x) = αx + β (ευθεία)Η f(x) = c (σταθερή)Η f(x) = αx2 + βx +γ (παραβολή)Η f(x) = αx3
oxxxxP aaaa nn
nn ++++= -
- 11
1 ...)(
![Page 8: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/8.jpg)
Διαγράμματα πολυωνυμικώνσυναρτήσεων
f(x) = αx + β f(x) = c
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
x2
-x2
f(x) = x2
g(x) = -x2
![Page 9: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/9.jpg)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
x3
-x3
f(x) = x3
g(x) = -x3
![Page 10: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/10.jpg)
Η ευθεία f(x)=αx+βΤι εκφράζουν τα α και β;Το α είναι η κλίση της ευθείας, δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον οριζόντιο άξονα.
𝜀𝜑𝜔 =𝑓 𝑥' − 𝑓(𝑥*)
𝑥' − 𝑥*=(𝑎𝑥' − 𝛽) − (𝛼𝑥* − 𝛽)
𝑥' − 𝑥*=𝑎𝑥' − 𝛽 − 𝛼𝑥* + 𝛽
𝑥' − 𝑥*=𝑎(𝑥' − 𝑥*)𝑥' − 𝑥*
= 𝑎
Το β είναι το σημείο τομής της Ευθείας με τον κατακόρυφο άξονα f(0)=α.0+β=β
![Page 11: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/11.jpg)
Κλίση δρόμου
• Οδικό σήμαΕπικίνδυνη ανωφέρεια με κλίση 10%
Τι εκφράζει το 10%;Απ. Οριζόντια μετατόπιση κατά 100μ αντιστοιχεί σε κατακόρυφη μετατόπιση κατά 10μ.Ποιος τριγωνομετρικός αριθμός γωνίας εκφράζει την κλίση του δρόμου;Απ. Η εφωΠοια είναι η γωνία κλίσης του συγκεκριμένου δρόμου;Απ. Περίπου 5 μοίρες
![Page 12: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/12.jpg)
Ρητές συναρτήσεις
Ρητή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής f(x) = 0(1)2(1)
,όπου P και Q είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις.Πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α={𝑥 ∈ ℝ:𝑄(𝑥) ≠ 0}
Παράδειγμα: 𝑓 𝑥 = 91:;<1:=
, 𝜇𝜀 𝛾 ≠ 0 και αδ-βγ ≠ 0.
Πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α= {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ −=<
}
![Page 13: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/13.jpg)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
x
30/x
Παράδειγμα𝑓 𝑥 = AB
1
![Page 14: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/14.jpg)
Να βρείτε τα α, β, γ στις συναρτήσεις της μορφής α/x, β/x, γ/x του διπλανού σχήματος.
![Page 15: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/15.jpg)
Περιοδικές συναρτήσεις
![Page 16: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/16.jpg)
Παραδείγματα περιοδικών συναρτήσεων
![Page 17: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/17.jpg)
Εκθετικές συναρτήσεις
![Page 18: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/18.jpg)
Εκθετικές συναρτήσεις της μορφής f(x) = αx
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10 x̂ 5 x̂ 3 x̂ 2 x̂ 0.5 x̂
•Έστω οι εκθετικές συναρτήσεις10x,5x, 3x, 2x και (1/2)x
• Να αναγνωρίσετε και ναδικαιολογήσετε τη θέση της κάθεσυνάρτησης.
• Ποια συνάρτηση εκφράζει τηνγρηγορότερη αύξηση;
![Page 19: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/19.jpg)
Γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεωνy = αx
![Page 20: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/20.jpg)
Αποδείξτε ότι αν (x1, y1) και (x2, y2) είναι σημεία της εκθετικής συνάρτησης y = αx
τότε και το σημείο με συντεταγμένες (x1 + x2, y1y2) ανήκει επίσης στην συνάρτηση y = αx
![Page 21: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/21.jpg)
Λογαριθμικές συναρτήσεις
![Page 22: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/22.jpg)
Ορίζοντας την έννοια του λογαρίθμου
![Page 23: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/24.jpg)
Παραδείγματα (1/2)
![Page 25: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/25.jpg)
Παραδείγματα (2/2)
Δικαιολογείστε τις παρακάτω σχέσεις
![Page 26: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/26.jpg)
Δεκαδικοί λογάριθμοι ή λογάριθμοι με βάση το 10 (λογθ)
![Page 27: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/27.jpg)
Ιδιότητες των λογαρίθμων
![Page 28: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/28.jpg)
Η σημασία του λογάριθμου στην επιστήμη• Η ανάπτυξη των λογαρίθμων τον 17ο αιώνα, έφεραν την επανάσταση στην αστρονομία, αφού
επέτρεψε υπολογισμούς που ήταν αδύνατοι μέχρι τότε. • Παρόλο που σήμερα οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έχουν αναλάβει πλέον αυτόν το
υπολογιστικό ρόλο, οι λογάριθμοι έχουν μεγάλο ρόλο στα Μαθηματικές και τις Φυσικές Επιστήμες.
• Που χρησιμεύουν; • Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση, στη σύγκριση,
αλλά και στις πράξεις μεταξύ πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων αριθμών. • Το γεγονός αυτό έχει πολλές εφαρμογές στις επιστήμες.
• Για παράδειγμα, είναι πολύ ευκολότερο, αντί της περιεκτικότητας ενός διαλύματος σε κατιόνταυδρογόνου, να διαχειριζόμαστε το pH, που είναι λογάριθμος αυτής της περιεκτικότητας.
• Άλλες εφαρμογές είναι η κλίμακα Richter στη σεισμολογία, η κλίμακα Decibel στην μέτρηση της έντασης του ήχου, η αστρική φωτεινότητα στην αστρονομία κ.α.
• Με ποιο τρόπο γίνεται αυτή η διαχείριση;• Αυτό λοιπόν που συμβαίνει είναι ότι αντί να χειριζόμαστε απευθείας τους πολύ μεγάλους ή
πολύ μικρούς αριθμούς, αρχικά τους «μετασχηματίζουμε» σε πολύ μικρότερους (δηλαδή τους λογάριθμούς τους) και στη συνέχεια με τον αντίστροφο μετασχηματισμό επιστρέφουμε στις αρχικές μετρήσεις.
• Η παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιείται και σε λογισμικά, όταν ηλεκτρονικοί υπολογιστές καλούνται να δώσουν αποτελέσματα συγκρίνοντας αριθμούς που έχουν πολύ μεγάλο εύρος τιμών.
![Page 29: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/29.jpg)
Διαχείριση πολύ μεγάλων αριθμών…
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 2019020190
ΛΥΣΗΈστω 2019020190 =αlog(α) (δηλαδή δεκαδικός λογάριθμος του α) = log (2019020190)=20190 . log20190 (ιδιότητα των λογαρίθμων) ≈ 20190 . 4,3 = 86817Άρα log(α) ≈ 86817Άρα α≈ 1086817 (μετατροπή της λογαριθμικής σχέσης σε εκθετική)
![Page 30: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/30.jpg)
Η λογαριθμική συνάρτηση
![Page 31: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/31.jpg)
Σχεδιάστε στο ίδιο γράφημα την y=10^x και την λογx ή logx. Tι παρατηρείτε;
![Page 32: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/33.jpg)
Συγκρίνοντας τα γραφήματα της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης. Τι παρατηρούμε;
![Page 34: Συναρτήσεις · 2020. 11. 1. · •Οι λογάριθμοι και οι λογαριθμικές συναρτήσεις χρησιμεύουν στην διαχείριση,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081410/609e5182a56b5f77be00903e/html5/thumbnails/34.jpg)
Μελέτη από σχολικά κείμενα • Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
• 3.1 – Η έννοια της συνάρτησης • 3.2 – Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης • 3.3 – Η συνάρτηση y = αx• 3.4 – H συνάρτηση y = αx + β • 3.5 – Η συνάρτηση y = α/x – H υπερβολή
• Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ 7ο Κεφάλαιο- Μελέτη βασικών συναρτήσεων
• Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο (3.1 -3.4) Τριγωνομετρία & τριγωνομετρικές συναρτήσεις
• Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ 5ο Κεφάλαιο• 5.1. Εκθετικές συναρτήσεις • 5.2 Λογαριθμικές συναρτήσεις