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Extrapolação de Richardson
Apesar de todos os avisos em relação à
extrapolação , aqui temos uma excepção,
em que, a partir de duas determinações
de um integral se calcula uma terceira,
mais precisa.
2013/05/14 MN 1
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Extrapolação de Richardson
é a expressão geral do valor de um integral
calculado pela regra do trapézio, com um
intervalo de amplitude h.
Para duas aproximações diferentes temos
2013/05/14 MN 2
)()( hEhII
)()()()( 2211 hEhIhEhI
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Extrapolação de Richardson
Como o erro da regra do trapézio composta
é
Se f’’ for constante, independente da
dimensão de h
o que nos “livra” de f’’
2013/05/14 MN 3
''2
12fh
abE
2
2
1
2
1
)(
)(
h
h
hE
hE
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Extrapolação de Richardson
2013/05/14 MN 4
2
21
212
22
2
2
121
2211
2
2
121
)/(1
)()()(
)()()()(
dá )()()()(
com )()(
hh
hIhIhE
hEhIh
hhEhI
hEhIhEhI
h
hhEhE
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Extrapolação de Richardson
2013/05/14 MN 5
)(3
1)(
3
4
2/hh Se ordem. quarta
de uma se-obtem e )O(h de esaproximaçõ duas se-Combinam
).O(h é erro o que se-mostra
)]()([1)/(
1)(
vem
)()()()(
em doSubstituin
12
12
2
4
122
21
2
2211
hIhII
hIhIhh
hII
hEhIhEhI
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Extrapolação de Richardson
Exemplo
Cálculo do integral de
Regra do trapézio
2013/05/14 MN 6
1,640533I analítico Resultado
0,8 xe 0 xentre
400900675200252,0)( 5432
xxxxxxf
Intervalos h Integral Erro
relativo
1 0,8 0,1728 89,5%
2 0,4 1,0688 34,9%
4 0,2 1,4848 9,5%
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Extrapolação de Richardson
Se usarmos um e dois intervalos
Se usarmos dois e quatro
!!!
2013/05/14 MN 7
%6,16
367467,11728,03
10688,1
3
4
Erro
I
%1
623467,10688,13
14848,1
3
4
Erro
I
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Extrapolação de Richardson
Combinámos três valores O(h2) para obter
dois valores O(h4). Podemos combinar
dois O(h4) para obter um O(h6) com a
expressão
2013/05/14 MN 8
lm III15
1
15
16
menor precisão
maior precisão
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Extrapolação de Richardson
Dois O(h6) podem ser combinados para
obter O(h8)
Empregando as duas últimas aproximações
do exemplo
2013/05/14 MN 9
lm III63
1
63
64
EXACTO VALOR %0
640533,1367467,115
1623467,1
15
16
Erro
I
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Integração de Romberg
A expressão geral dos I anteriores pode ser
escrita
em que, como vimos à aproximação
realizada com menor intervalo
corresponde o menor peso.
2013/05/14 MN 10
I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1
4k1 1
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Integração de Romberg
Ij+1,k-1 integral mais preciso
Ij,k-1 integral menos preciso
Ij,k novo valor de integral
k nível de integração
j nível de precisão
2013/05/14 MN 11
I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1
4k1 1
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Integração de Romberg
Algoritmo
2013/05/14 MN 12
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Integração de Romberg
Controle do erro
como não sabemos o valor exacto (o que
acontecia no exemplo) usamos o critério
da progressão, à semelhança de outros
procedimentos.
2013/05/14 MN 13
%100,1
1,2,1
k
kk
I
II
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Integração de Romberg
Este método é muito eficaz, no exemplo
dado necessitamos de 15 cálculos da
função dada. Se usarmos a regra do 1/3
de Simpson necessitamos de 48 cálculos
da mesma função.
2013/05/14 MN 14
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Integração de Romberg
2013/05/14 MN 15
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Integração de Romberg
2013/05/14 MN 16
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Quadratura de Gauss
Nas regras estudadas anteriormente
consideramos sempre pontos igualmente
espaçados.
Como se pode ver na figura seguinte, pode
melhorar-se o resultado de uma regra,
neste caso a do trapézio, se escolhermos
os pontos utilizados em vez de usarmos
sempre as extremidades do intervalo.
2013/05/14 MN 17
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Quadratura de Gauss
2013/05/14 MN 18
Melhor compensação entre
os valores positivos e
negativos
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Quadratura de Gauss
Da figura resulta que o emprego da
expressão
pode conduzir a um erro muito grande. Se
pudermos “andar” com os pontos até
conseguirmos diminuir o erro melhoramos
significativamente o resultado.
2013/05/14 MN 19
2
bfafabI
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Quadratura de Gauss
A expressão usada foi obtida pela
interpolação linear, e cálculo de áreas.
Vamos aplicar a variação de coeficientes
para chegarmos às expressões de Gauss
ou Gauss-Legendre.
2013/05/14 MN 20
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Quadratura de Gauss
Consideremos os dois exemplos seguintes:
2013/05/14 MN 21
1
2
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Quadratura de Gauss
Nos exemplos 1 e 2, considerando que
onde os c são constantes e que as funções
são y=1 e y=x podemos escrever
2013/05/14 MN 22
)()( 10 bfcafcI
2/)(
2/)(00
2/)(
2/)(10
22
1
ab
ab
ab
ab
xdxab
cab
c
dxcc
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Quadratura de Gauss
Calculando
2013/05/14 MN 23
)(2
)(2
I
logo
sistema o Resolvendo
022
10
00
10
bfab
afab
abcc
abc
abc
abcc
Regra do trapézio
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Quadratura de Gauss
Se tivermos um caso
idêntico, mas com uma
curva, diremos que os
pontos x0 e x1 são
incógnitas. A equação
ajusta o integral de uma
constante e de uma recta,
e acrescentamos o ajuste
de y=x2 e de y=x3 para
obter mais duas condições
2013/05/14 MN 24
)()( 10 bfcafcI
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Quadratura de Gauss
...5773,03
1
...5773,03
1
(3) em dosubstituin c c dá)2(
que vezuma
(4)] em (2) de [c dá que o
(4) 0
(3) 3
2
(2) 0
(1) 21
1
0
21
1010
2
1
2
0
1
1
1
33
11
3
00
1
1
22
11
2
00
1
1
1100
1
1
10
x
x
xxxxxx
dxxxcxc
dxxxcxc
xdxxcxc
dxcc
2013/05/14 MN 25
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Quadratura de Gauss
Concluímos que a fórmula de dois pontos
de Gauss-Legendre é
ou seja, basta calcular a função em dois
pontos para se calcular um integral
equivalente à terceira ordem.
2013/05/14 MN 26
3
1
3
1ffI
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Quadratura de Gauss
Nota importante Os limites de integração
adoptados foram -1 e 1, pelo que será, em
geral, necessário fazer uma mudança de
variável.
2013/05/14 MN 27
)1(
1 e superior limite No
)1(
1 e inferior limite No
21
21
21
aab
xbx
aaa
xax
xaax
d
d
d
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Quadratura de Gauss
d
d
dxab
dx
xababx
aba
aba
2
2
2
2
2
1
2013/05/14 MN 28
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Quadratura de Gauss - exemplo
Usar
para calcular o integral de
2013/05/14 MN 29
3
1
3
1ffI
0,8 xe 0 xentre
400900675200252,0)( 5432
xxxxxxf
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Quadratura de Gauss - exemplo
Mudança de variável
2013/05/14 MN 30
ddd
ddd
d
d
dxxx
xxx
dxxxxxx
dxdx
xx
4,0]4,04,04004,04,0900
4,04,06754,04,02004,04,0252,0[
400900675200252,0
doSubstituin
4,0
4,04,0
54
1
1
32
8,0
0
5432
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Quadratura de Gauss - exemplo
O integral obtido é
1,822578 com
e o valor calculado analiticamente 1,640533
Erro de 11,1% comparável a trapézio,
Simpson 1/3 ou 3/8
2013/05/14 MN 31
3
1
3
1ffI
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Quadratura de Gauss
Podemos empregar fórmulas com mais
pontos, sabendo os pesos a aplicar
2013/05/14 MN 32
Points Weighting
Factors Function
Arguments
2 c1 = 1.000000000
c2 = 1.000000000
x1 = -0.577350269
x2 = 0.577350269
3 c1 = 0.555555556
c2 = 0.888888889
c3 = 0.555555556
x1 = -0.774596669
x2 = 0.000000000
x3 = 0.774596669
4 c1 = 0.347854845
c2 = 0.652145155
c3 = 0.652145155
c4 = 0.347854845
x1 = -0.861136312
x2 = -0.339981044
x3 = 0.339981044 x4 = 0.861136312
Mais em
Abramovitz
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Quadratura adaptativa
Trata-se de um procedimento que evita o
emprego de pontos igualmente
espaçados. Por um método que não vou
descrever faz-se variar a largura dos
intervalos de forma a minimizar o cálculo
da função dada.
2013/05/14 MN 33
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Quadratura adaptativa M/O
Temos duas funções
quad Simpson
quadl Lobatto (não detalharei)
que realizam este objectivo.
Sintaxe
q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)
2013/05/14 MN 34
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Quadratura adaptativa M/O
funfunção
a e blimites
tolmajorante do erro
trace0 ou diferente de zero controla a
saída, dando menos ou mais detalhes do
cálculo
p1,p2…parâmetros a passar à função
2013/05/14 MN 35