extension latérale du déferlement y. pomeau (1), t. jamin (2), m. le bars (2), p. le gal (2) &...
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Extension latérale du déferlement
Y. Pomeau(1), T. Jamin(2), M. Le Bars(2), P. Le Gal(2) & B. Audoly(3)
(1)LPS-ENS, (2)IRPHE, (3)LMM
Equation de Burgers 1D (sans viscosité) :
Formation d’un choc en un temps fini:
Analyse de la solution au voisinage de la singularité
ou
Poisson (1808)
Singularité : dx/du=0
1ère singularité : dt/du=0 =>
Soit en inversant f =u0-1
t
x
U(x,t)
Première singularité
Tangente verticale
Redéfinition de l’origine des temps et invariance par transformation Galiléenne
Développement de Taylor de la fonction f
Lois d’échelle au voisinage de la singularité
Courbe noireCourbe bleue
Équations de Burgers 2D
Formation d’un choc : singularité en temps fini
Calcul de Y. Pomeau: Équations de Burgers 2D
où J(t) est la matrice Jacobiennedxdy = J(t)
dudv( ) ( )
det(J) =
On peut appliquer tout opérateur linéaire M qui modifie le repère mais pas l’ordre du développement de Taylor de F et Gx
y=u
v( ) ( )M M- t ( )FGM
Redéfinition de l’origine des temps & invariance par transformation Galiléenne => singularité à t = x = y = u = v = 0.
Développement de Taylor : det(J)=a t + b u + c v + d u2 + e uv + f v2 +…
1ère singularité : dt/du= dt/dv =0 b = c = 0
Il faut donc chercher les développements de F et G à l’ordre 3 pour que det(J) soit à l’ordre 2
= 0
Singularité quand solution multivaluée det(J) = 0
et
Valeur propre 0 de J(t=0) associée avec la direction x
= 0 0
0
(vague se propageant suivant x)
Dans le repère qui diagonalise J, une des valeurs propres s’annule
Pour u =v =t =0
à l’ordre le plus bas
et en remplaçant dans la solution :
Après mise à l’échelle, équation générique du déferlement 2D :
Lois d’échelles : u ~ y ~ t1/2 et x ~ t3/2
Vérification expérimentale : le déferlement s’étend en t1/2 selon y
change le support de la courbe (v~y)
-vt est négligeable par rapport à c’
disparaît par transformation Galiléenne u u+ey
Vagues en eau peu profonde
avec h = h0 + h, h<<h0, h0<<~ ~
Effets de dispersion (KdV) négligeables pour
[longueur] = h0 [vitesse] = (gh0)1/2
Taille caractéristique suivant x
h0
Effets capillaires négligeables pour grand
Donc les 2 équations se ramènent à
O(0), donc induit une correction dh ~ t, négligeable
lois d’échelles :
h ~ u ~ v ~ y ~ t1/2 x ~ t3/2
~
~
Changement de variable w = u + 1 (on se place dans le référence de la crête)
Termes de l’équation de Burgers
Solution vague simpleu ~ h ~ w~
Equivalence avec l’équation de Burgers aux premiers ordres
On retrouve les ’équations de Burgers 2D,avec ses lois d’échelles:
Lois d’échelles : u ~v~ y ~ t1/2 & x ~ t3/2
Extension latérale de la zone déferlée en t1/2
Vérification expérimentale
Induit une correction dv ~ cte et ~ tsur la solution, négligeable
Étude expérimentale en eau peu profonde
Dispositif expérimental: table à eau
• Fond horizontal ou légèrement incliné.
• Soliton rectiligne (suivant y) de hauteur 6.3mm à 10.6mm et d’extension ~5cm (suivant x), sur une profondeur d’eau de 15.5mm à 22.5mm.
• Visualisation par ombroscopie & enregistrement par caméra rapide (2800fps sur un carré de 32.5cm de côté).
Vue de dessus
Vue de côté
Approximations théoriques OK :
grand rapport d’aspect, faible amplitude et dispersion
négligeable…
Observation du déferlement
Durée du film 41s temps réel 0.37s
Profondeur d’eau 17.4mmHauteur de vague 8.0mm
Vague = ligne blanche (crête) et ligne noire (front) focalisation & défocalisation de la lumière par l’interface
Diagramme espace-temps
Progression de la vague : vitesse constante de 0.41m/sen accord avec la valeur théorique (gh0)1/2.
dans la direction de propagation
• Superposition d’images séparées par quelques ms
• Amélioration du contraste en prenant le gradient horizontal
y
x tDiverses sources de déferlement qui se rejoignent rapidement, puis progression vers l’extérieur
Progression du déferlement
(1) Initiation
(2) Extension latérale
Analyse systématique de 50 expériences (fond horizontal, bathymétrie >0 et <0)
Progression latérale en racine du temps est un comportement générique.
Etudes des lois d’échelles
Perspectives• Exploitation plus complète de l’expérience existante :
profil vertical de la vague, mesures de vitesses, …
• Nouvelles expériences de déferlement de vagues : variations de la hauteur de vague et de la profondeur d’eau sur de grandes gammes.
• Autres systèmes : ressaut hydraulique, choc sonore (3D)
Et pourquoi pas à très très grande échelle?