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Expresiones Algebraicas y
Polinomios
Prof. Glorymill Santiago Labrador
Adaptado por:
Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Departamento de Matemáticas
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• Álgebra utiliza letras como “x” y “y” para
representar números.
• Si una letra se utiliza para representar varios
números, se llama una variable.
• Si x representa el numero de minutos que
una persona puede estar expuesto al sol sin
quemarse (si no usa protector solar).
Entonces, x es una variable, por que puede
asumir un valores diferentes.
Variables
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• Si una letra se utiliza para representar un
solo número, se llama una constante.
• Ej. Si d representa el número de días
en la semana, entonces d siempre tiene
el valor 7.
Entonces, d es una constante.
Constantes
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• Una combinación de variables y constantes con las
operaciones de suma, resta, multiplicación o
división, así como potencias o raíces, se llama una
expresión algebraica.
• Una expresión algebraica representa un número
real.
Expresiones Algebraicas
Ejemplos: 3x + 4y
3w + 1 – x – z 3
14 x
5
2 xyz
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Términos
Los términos de una expresión algebraica son las
partes de la expresión que se separan mediante una
operación de suma o resta que NO está contenido
dentro de símbolos de agrupación.
Los siguientes son ejemplos de expresiones que
tienen un solo término:
x23
x
5
y8
3z
xy
23xy
4
57 x
5
yx 2
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Términos (cont.)
A los términos que incluyen variables se
conocen como términos variables.
A los términos que no incluyen
variables, o que sólo incluyen
constantes se les conoce como
términos constantes.
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Cantidad de términos Una expresión se compone de uno o más términos asociados entre
si mediante la suma o la resta.
Ejemplos: Determinar el número de términos
a) 3x + 7y2 – 5
b) -2(x+y)
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Práctica
37
4
zy
x
xy
xy5
3
4
972 x
Indique la cantidad de términos que tienen las siguientes
expresiones:
3
5
x
x
9𝑥3 −2
𝑥− 5
5
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Coeficientes El factor numérico de un término se
conoce como el coeficiente.
Ejemplos:
El coeficiente de -3x2y es
El coeficiente de 5y3 es
El coeficiente de -2s es
El coeficiente de xyz es
El coeficiente de 2𝑥𝑦
3 es
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Evaluación de Expresiones
Algebraicas:
Si tenemos una expresión algebraica digamos :
• Esta expresión representa valores
diferentes dependiendo, de los valores
que se asignan a las variables.
• Determinar el valor de la expresión para
ciertos valores de la variables se conoce como
evaluar la expresión.
2xy + 3x2y – 5xy2
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Evaluación de Expresiones
Algebraicas (cont.)
Evalúe para x = 7 , y = -3 la expresión
2xy + 3x2y – 5xy2
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Evaluación de Expresiones Algebraicas
Evalúe 𝑝 + 3
𝑝 − 1− 5𝑝 + 2,
para p = - 3
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Términos semejantes
Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las
mismas variables elevadas éstas a los mismos
exponentes o potencias.
Ejemplos:
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Práctica Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes. Indicar si las parejas de términos son o no son semejantes.
Semejantes No semejantes
4xy; 2yx
53wz; 74wz 6wzr; wzr
6
3xy; 3x2y
7xy; 7x
y
6pq; −6pq
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Simplificación o reducción de
expresiones algebraicas
Para reducir términos aplicamos propiedades
básicas del álgebra
propiedad conmutativa: a + b = b + a; ab = ba
propiedad asociativa: (a + b)+ c = a + (b + c); a(bc) = (ab)c
propiedad distributiva, ab + ac = (b + c)a = a(b + c)
Ejemplos:
6 + (8 + p) =
− 10(9.2x)=
−3w + 5w =
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Reducir cada expresión algebraica
a) b)
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Simplificar cada expresión
algebraica
c) d)
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Polinomios
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Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica
que cumple con las siguientes condiciones:
Ningún término de la expresión tiene un
denominador que contiene variables
Ningún término de la expresión tiene un radical que
contiene variables
Todos los exponentes de las variables son enteros
no-negativos.
Los polinomios se pueden nombrar con una letra
mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene
la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)
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Polinomios
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐
Un polinomio tiene la siguiente forma general:
Donde:
𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐, …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales
y las potencias de las variables descienden en valor
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Ejemplos de
Polinomios
P(x) = 3x2 – 5x + 1
Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5
G x =9 − 4x − 2x3
5
R(x,y) = 2xy – 7y + 6x
W(p,q) = p + q – 5pq
143 2 xx
53
4 x
x
42
772
3 xxx
354 22
3
xx
3
2
3
174
x
xx
Ejemplos de No
- Polinomios
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Clasificar Polinomios
Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad
de términos:
• monomio: un solo término
• binomio: dos términos
• trinomio: tres términos
• De ahí en adelante no reciben nombres particulares
y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli
significa plural, o muchos)
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Grado de un polinomio
El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma:
(i) Si el polinomio es en una variable, el grado será la potencia
mayor de la variable.
(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se
determina de la siguiente forma: para cada término se suman
las potencias de la(s) variable(s) y el grado será el total
mayor.
Ejemplo:
Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5
Ejemplo:
P(x) = 3x2y– 5xy + x2 y2
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Coeficiente principal
El coeficiente principal de un polinomio es la parte numérica del término con la potencia mayor de la variable.
Ejemplos:
P(x) = 3x2 – 5x + 1
Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5
G x =9 − 4x − 2x3
5
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Polinomio Grado Coeficiente Principal
P(x) = -5
P(x) = 8 – 7x
Q(z) = 2+ 7z – 4z2
Q(y) = 2y – 51y2 – 12y6 – 7
F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45
F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2
R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4
R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y
Grado de Polinomios – Práctica
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Evaluación de Polinomios:
Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.)
Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2).
Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”
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Evaluación de Polinomios
Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3)
Notas:
• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.
En este caso p=2 y q= -3
• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay
una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el
valor de p por el valor de q
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Operaciones entre polinomios
I. Suma y resta de polinomios:
a) Unir los términos semejantes de los polinomios . Luego,
ordena los términos según el grado de los términos.
b) La resta de dos polinomios requiere aplicar la
propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el
signo de TODOS los términos en éste polinomio.
Luego, se trata como una suma.
c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el
polinomio nuevo se compone de los términos de cada
polinomio, en orden de grado de los términos
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Suma y resta de polinomios - ejemplos
13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22
10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22
Simplifique los siguientes ejemplos:
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Suma y resta de polinomios - ejemplos
4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22