1Captulo2ExpresionesAlgebraicasM.Sc. AlcidesAstorgaM.,Lic. JulioRodrguezS.InstitutoTecnol ogicodeCostaRicaEscueladeMatematica RevistadigitalMatematica,educacioneinternet(www.cidse.itcr.ac.cr)2CreditosPrimeraedicionimpresa: RosarioAlvarez,1984.EdicionLaTeX: MariethVillalobos,AlejandraAraya,JessicaChacon,MaraElenaAbarca,LissethAngulo.yWalterMora.Colaboradores: CristhianPaez,AlexBorbon,JuanJoseFallas,JereyChavarraEdici onycomposicionnal: WalterMora.Gr acos: WalterMora,MariethVillalobos.Comentariosycorrecciones: escribirawmora2@yahoo.com.mxContenido2.1 Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Suma de monomios semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Multiplicacion de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Simplicacion de fracciones con monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Division de polinomios en una variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Division Sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Factorizacion de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.1 Tecnicas de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Factorizacion de polinomios en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.1 Factorizacion de polinomios de grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.2 Factorizacion de polinomios de grado mayor que 2, con coecientes enteros . . . . . . . . 542.6 Fracciones Racionales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6.1 Fracciones Racionales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6.2 Simplicacion de fracciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6.3 Operaciones con fracciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7 Racionalizacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.7.1 Racionalizacion del denominador de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.1 ExpresionesAlgebraicasDenicion1Dentro del proceso de solucion de un ejercicio, problema o exposicion de una teora, un smbolo (generalmenteuna letra) que se usa para representar un n umero real arbitrario se llama variable real.Denicion2Dentro del proceso de solucion de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un n umeroreal jo se llama constante real.Denicion3Se llama expresion algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinacion de constantes y potenciasde variables que esten ligadas por alguno de los smbolos +, , y en un n umero nito.Notacion: Sia es una constante o una variable yb una variable entoncesab indica el producto dea yb o sea:ab = a b34 ExpresionesAlgebraicasEjemplo1Ejemplo de expresiones algebraicasa.)3x2y4z2xd.) mb.)a + ba ce.)325c.) x3y2+35xye.) a3+a2b3+z2Denicion4Sellamavalorn umericodeunaexpresionalgebraicaal n umeroqueseobtieneal sustituircadaunadesusvariables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar las operaciones indicadas.Ejemplo2a.)Determine el valor numerico de x2+3x 4 , six = 2.b.)Determine el valor numerico de 6ax3y2sia = 5, x = 1, y = 2Soluciona.)Sustituyendo lax por el valor asignado en x2+3x 4 , se obtiene que:(2)2+ 3(2) 4 = 4 + 6 4= 2Por lo que six = 2, el valor numerico de x2+3x 4 , es 2.b.)Sustituyendo las variablesa, x, y por los valores asignados, en 6ax3y2se obtiene que:6(5)(1)3(2)2= 6(5)(1)(4)= 120Por lo que: si a = 5, x = 1, y = 2 , el valor numerico de 6ax3y2es -120.Ejercicios1J.RodrguezS.A.AstorgaM. 5Determine el valor numerico correspondiente, en cada una de las siguientes expresiones:1.) 2x2+ax b, si x = 3, a = 2, b = 72.)3x3+axc+3, si x = 1, a = 49, c = 73.)35x3y2z, si x = 12, y = 34, z =534.)3xy2z, si x = 8, y = 2, z =14Denicion5Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresion algebraica, en la cual las potencias de las variablesson de exponentes enteros positivos y estan relacionados unicamente por la multiplicacion y ademas no contieneletras en el denominador.Ejemplo3Ejemplos de monomiosa.) 6 x7y2z b.)x3 + 1c.)7 +23a b c d.) 5Ejemplo4Ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomiosa.) 6+x b.)x + 4y3c.) 9 x3y2d.) 3z12En un monomio se puede distinguir el factor numerico (coeciente) y el factor literal.Ejemplo5a.) En 4x2y3z, 4 es el factor numerico yx2y3z es el factor literal.b.) En 3x2z54,34es el factor numerico yx2z5es el factor literal.c.) En15 x2(2) z44 z2, 85es el factor numerico yx2z6es el factor literal.6 ExpresionesAlgebraicasNotacion: Six es una variable o una constante entonces:1 x =x y 1 x = xTomando en cuenta esta notacion tenemos que:Si el coeciente de un monomio o de una expresion algebraica es 1 o 1, no escribimos el 1.Ejemplo6a.)Enx2y el coeciente es 1b.)En a3b5c2el coeciente es 1.Denicion6Si dos o mas monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre s.Ejemplo7a.)Los monomios 6 x5y2,13 x5y2,2x5y29, son semejantes entre s.b.)Los monomios 7 a2x3, 4 a5x3,23a5x3, no son semejantes entre s.2.2 OperacionesconexpresionesalgebraicasRealizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste basicamente en aplicar las propiedades de las opera-cionesdenidasenelconjuntodelosn umerosreales(asociatividad,conmutatividad,distributividad,etc)ascomo las propiedades de las potencias y de los radicales.Conel ndelograrunamejorcomprensiondel tema, porpartedel estudiante, primeronosabocaremosarealizaroperacionesconmonomios, paraposteriormenteefectuaroperacionesconexpresionesalgebraicasengeneral.2.2.1 SumademonomiossemejantesLasumademonomiossemejantesentres, esigualaunmonomiocuyocoecienteesigualalasumadeloscoecientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados.Ejemplo8J.RodrguezS.A.AstorgaM. 7Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:a.)2x2+4x23x2Solucion2x2+4x23x2= (2+4 3)x2= 3x22x2+4x23x2= 3x2b.) 2ax+35ax+axSolucion2ax+35ax+ax = (2+35+1)ax=10 + 3 + 55ax2ax+35ax+ax =25axEjercicios2Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:1.) 4a3a32+a32.) 4xy35xy3+ 2xy33.)54ab 23ab+15ab4.) 11x2y2+x2y2+34x2y213x2y2Nota: En general la suma de monomios no semejantes entre s no es igual a un monomio.Ejemplo9Realice las siguientes operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:a.) 12a2y2+10ax+3a2y25axSolucion8 ExpresionesAlgebraicas12a2y2+10ax+3a2y25ax = (12a2y2+3a2y2)+(10ax 5ax)= (12+3) a2y2+(10 5) ax= 15a2y2+5ax12a2y2+10ax+3a2y25ax = 15a2y2+5axb.) 4x2y 5ay+2ya yx2Solucion4x2y 5ay+2ya yx2= 4x2y x2y 5ay+2ay= (4 1)x2y+(5+2)ay= 3x2y3ay4x2y 5ay+2ya yx2= 3x2y3ayEjercicios3Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:1.) 3xy2+x2y 12 xy2+23 x2y2.) a3a2+a 1+a2a+13.) 2b2+4bc 3c+12 b214 bc4.)3 ab2+2a2b 13 ab2Ejemplo10Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:J.RodrguezS.A.AstorgaM. 9a.)(x 2)4+5(x + 3)2xSolucion(x 2)4+ 5(x + 3)2x =(x 2) + 2[5(x + 3)] 4x4==x + 2 + 2[5x + 15] 4x4==x + 2 + 10x + 30 4x4==(x + 10x 4x) + (2 + 30)4(x 2)4+ 5(x + 3)2x =5x + 324b.) 14x (3x 2) [5x+2 (x 1)]Solucion14x (3x 2) [5x+ 2 (x 1)] = 14x 3x+2 [5x+ 2 x+1]= 14x 3x+2 [4x+3]= 14x 3x+2 4x 3= (14x 3x 4x)+(2 3)= 7x 114x (3x 2) [5x+ 2 (x 1)] = 7x 1c.) (4x3y+19xy3y3+6a2b2) (y240xy3+2a2b215x3y)Solucion10 ExpresionesAlgebraicas(4x3y+19xy3y3+6a2b2) (y240xy3+2a2b215x3y)= (4x3y+19xy3y3+6a2b2)+y2+40xy32a2b2+15x3y= (4x3y+15x3y)+(19xy3+40xy3) y3+(6a2b22a2b2)+y2= 11x3y+59xy3y3+4a2b2+y2(4x3y+19xy3y3+6a2b2) (y240xy3+2a2b215x3y) = 11x3y+59xy3y3+4a2b2+y2Ejercicios4Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:1.) 2t 3 { t+2 [ t (t+5) ]+1 }2.) 3+2 (a+b) [ a b 5 (a+3b)]3.) a 2{ (b c)+2 [ a+3(b+c)]}4.) 3x(2x2xy)+x x(x+5xy)2.2.2 MultiplicaciondeMonomiosEl producto de dos o mas monomios es igual a un monomio cuyo coeciente es el producto de los coecientesde los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados.Ejemplo11Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:a.) _4x2y3_ _23 x3y3z_Solucion_4x2y3_ _23 x3y3z_=_4 23_ _x2y3x3y3z_=83(x5y6z) _4x2y3_ _23 x3y3z_=83(x5y6z)J.RodrguezS.A.AstorgaM. 11b.)_2xy3__3xy2__32ax3y_Solucion_2xy3__3xy2__32ax3y_=_233 32__xyxy2ax3y_=636(x5y4a)= 3x5y4a_2xy3__3xy2__32ax3y_= 3x5y4aEjercicios5Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:1.) (3x2) (x3y) (a2x)2.) (12x2y) (35xy2) (103x3a)3.) (2a)5(a2) (3a3) (4a)4.) (am) (2ab) (3a2bn)2.2.3 SimplicaciondefraccionesconmonomiosUna fraccion con monomio (o cociente de monomios) esta simplicada si se cumplen las tres condiciones sigu-ientes:i.) Las fracciones formadas por los coecientes de los monomios involucrados estan expresadas en su formamas simple.ii.) Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no serepiten.iii.) Las potencias de las variables involucradas tienen exponentes positivos.12 ExpresionesAlgebraicasEjemplo12Simplique cada una de las siguientes expresiones:a.)72x4y348x2y5Solucion72 x4y348 x2y5=233 3x4y3233 2x2y5=3x4y32x2y5=3x4 x22y5 y3=3 x22 y2b.)33x4y5z381x4y7zSolucion33 x4y5z381 x4y7z=33 x4y5z334x4y7z=33 x4y5z333 x4y7z=x4y5z3 x4y7z=x4x4z z13 y7y5=x0z03y2=13y2(*) En la solucion de estos ejemplos haremos uso del hecho de que:i.)xn cd=cxn dii.)xn cd=cxn dJ.RodrguezS.A.AstorgaM. 13Las cuales se pueden demostrar usando el hecho que: xn=1xnEjercicios6Simplique cada una de las siguientes expresiones:1.)12 a2b360 a3b5x62.)3135 ax3340 ax33.)63 a4b10c1221a8c2Acontinuacionnuestroobjetivoesrealizaroperacionesconexpresionesalgebraicasengeneral, paraestosesiguen procedimientos similares a los usados al efectuar operaciones con monomios.Ejemplo13Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:a.)(26 a x12y) (12 x2y13z)Solucion_26 a x12y_ _12 x2y13z_= (26)_12_(a x12y) (x2y13z)= 13 a x32y43z=13 a y43zx32_26 a x12y_ _12 x2y13z_=13 a y43zx32b.)(32x12y23)3(14x1y)Solucion14 ExpresionesAlgebraicas_32 x12y23_3 _14x1y_=_2 x32y2_ _14x1y_= (2)_14__x32y2_(x1y)=12x12y1=x122y_32 x12y23_3 _14x1y_=x122yc.)48 vs227 v2s +2 v s2Solucion8 vs227 v2s +2 v s2=23vs233v2s +2 v s2=222 vs2323 v2s +2 v s2= |2| |s|2v |3| |v|3s+ |s|2v= 2 |s|2v 3 |v|3s+ |s|2v= 3 |s|2v |3| |v|3s8 vs227 v2s +2 v s2= 3 |s|2v 3 |v|3sEn la solucion de estos ejemplos se uso el hecho de que:(i)nan= |a| ; sin es par y(ii)nan=a ; sin es impard.)4_5m23n4q63_2 m12n3q5J.RodrguezS.A.AstorgaM. 15Solucion4_5 m23n4q63_2 m12n3q5=4_5 m23n4q4q23_2 m12n3q3q2= |n| |q|4_5 m23q2 nq3_2 m12q2= |n| |q| nq4_5 m23q23_2 m12q2= |n| |q| nq12_(5 m23q2)312_(2 m12q2)4= |n| |q| nq12_53m2q612_24m2q8= |n| |q| nq12_2000 m0q14= |n| |q| nq12_2000 q12q2= |n| |q| nq |q|12_2000 q2= |n| |q|2nq12_2000 q24_5 m23n4q63_2 m12n3q5= |n| q2nq12_2000 q2Ejemplo14Simplique cada una de las siguientes expresiones:a.)2 x1z1x3y2zSolucion16 ExpresionesAlgebraicas2 x1z1x3y2z=21x 1zx31y2z=2xzx3z1y2=2 y2xz x3z=2 y2x4z22 x1z1x3y2z=2 y2x4z2b.)_2 a2b14 a4b2_1Solucion_2 a2b14 a4b2_1=_2 a44 a2b2b_1=_a22 b3_1=a221b3=2b3a2_2 a2b14 a4b2_1=2b3a2c.)_ 9 a4x425 a2x4SolucionJ.RodrguezS.A.AstorgaM. 17_ 9 a4x425 a2x4=_ 9 a4a225 x4x49 a4a225 x4x4=32a2a2a252x2x2x2x2=|3| |a| |a| |a||5| |x| |x| |x| |x|=3 |a|35 |x|4_ 9 a4x425 a2x4=3 |a|35 x4Ejercicios71.)Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:a.)(75 xy32)_x12y1253_c.) 8 a2b25 a b22 c2 +102ae.)_2332 m5n3_ _3416 mn2_b.)(4xa3x2) (2a2x3)d.)_ab24c2+_9ab4c2af.)38 a6b3c2+_100a4b2c43_122.)Simplique cada una de las siguientes expresiones:a.)2 a2b5c75 a3b4c6d.)xy12z34 x34y2z23b.)_3 xy2z3x1y2z3_1e.)3_16 a6b2c1d125 a3b1cc.) 25 x2y3100 x4y2f.)4_243 a4c8d2256 c4d22.3 PolinomiosDenicion718 ExpresionesAlgebraicasSe llama polinomio a toda expresion algebraica que es monomio o una suma de monomios.Ejemplo15Ejemplos de polinomiosa.) 5b.) 3 x2yc.)5x3y2z+4d.) 0e.) 2xy2+y+x3f.)xyw3xy2ywDenicion8a.) Si un polinomio esta formado por la suma de dos monomios no semejantes entre s recibe el nombre debinomio.b.) Si un polinomio esta formado por la suma de tres monomios no semejantes entre s (dos a dos) recibe elnombre de trinomio.Ejemplo16a.) Son binomios:i.)x + 8 ii.)x23y2iii.)x2y7+ab2c5b.) Son trinomios:i.)a2ab + b ii.)y2+ y + 1 iii.)a2bc 5b2ac2+ 8Denicion9a.) Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre de polinomio constante.b.) Si un polinomio involucran variables recibe el nombre de polinomio enn variablesEjemplo17J.RodrguezS.A.AstorgaM. 19i.) x2y + x + y2es un polinomio en dos variables.ii.) x23x + 1 es un polinomio en una variable.iii.)322 es un polinomio constante.1.) Dado un polinomio en una variablex; este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:A(x), B(x), C(x),... , P(x), Q(x),... , W(x)2.) Dado un polinomio en dos variablesx ey; este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:A(x, y), B(x, y), C(x, y),... , P(x, y), Q(x, y),... , W(x, y)3.) Dado un polinomio en tres variables x, y, z; este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z),... , P(x, y, z), Q(x, y, z),... , W(x, y, z)En forma analoga se denotan los polinomios enn variablesEjemplo18a.) El polinomio x23x + 1 se puede denotar porA(x), y en tal caso escribimosA(x) = x23x + 1.b.) El polinomio 3a2b2a+ab se puede denotar por R(a, b), y en tal caso escribimos R(a, b) = 3a2b2a+ab.c.) El polinomio xyz +x2y2z +yz +xz se puede denotar por A(x, y, z), y en tal caso escribimos A(x, y, z) =xyz + x2y2z + yz + xz.d.) El polinomio xacyb+x2ac+ybc se puede denotar por P(a, b, c, x, y), y en tal caso escribimos P(a, b, c, x, y) =xacyb + x2ac + ybc.2.3.1 DivisiondepolinomiosenunavariablePodemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio.Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultado no necesariamente es un polinomio.No obstante en cuanto a la division de polinomios se tiene el siguiente teorema:Teorema120 ExpresionesAlgebraicas(Algoritmodeladivision). Dados dospolinomiosA(x) yB(x),conB(x) = 0,existen unicos polinomiosQ(x) yR(x) tales que:A(x)=B(x) Q(x)+R(x)con el grado deR(x) menor que el grado deB(x)oR(x)=0A(x) recibe el nombre de dividendo,B(x) el de divisor,Q(x) el de cociente yR(x) el de residuo.Los polinomiosQ(x) yR(x) se obtiene al efectuar la division deA(x) porB(x) mediante el siguiente proced-imiento.ProcedimientoparaefectuarladivisiondeA(x)porB(x)a.) Ordenar los polinomiosA(x) yB(x), en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable.b.) Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente) por el primer sumando del divisor (elde mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente.c.) Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se restadel dividendo, obteniendo un residuo parcial.d.) Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ah termino el proced-imiento, en caso contrario se repiten los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomando como dividendo el residuoobtenido en el paso anterior.Ejemplo19SeaA(x) = x35x2+x 1 yB(x) = x 1Efect ue la division deA(x) porB(x), e indique el cociente y el residuoSolucionJ.RodrguezS.A.AstorgaM. 21x3- 5x2+ x - 1 x 1- (x3- x2)x24x 3- 4x2+ x - 1- (- 4x2+ 4x)- 3x - 1- (- 3x + 3)- 4Aqu el cociente esx24x 3 y el residuo es 4.Ejemplo20Efectuar la division deA(x) porB(x) dondeA(x) = 2 x5; B(x) = x2+xSolucion x5+ 0x4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 2 x2+ x (x5 x4)x3+ x2x + 1x4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 2 (x4+ x3) x3+ 0x2+ 0x + 2 (x3 x2)x2+ 0x + 2- (x2+ x) x + 2Aqu el cociente es x3+x2x+1 y el residuo es x+2Ademas:x5+2=(x2+x) (x3+x2x+1)+(x+2)Teorema2SeanA(x), B(x), Q(x) y R(x) polinomios tales queB(x) = 0SiA(x) = B(x) Q(x)+R(x) entoncesA(x)B(x)=Q(x)+R(x)B(x)Demostracion22 ExpresionesAlgebraicasA(x) = B(x) Q(x)+R(x) =A(x)B(x)=B(x) Q(x)+R(x)B(x)=A(x)B(x)=B(x) Q(x)B(x)+R(x)B(x)=A(x)B(x)= Q(x)+R(x)B(x)Por lo que:A(x)B(x)= Q(x)+R(x)B(x)Ejemplo21a.) Comox35x2+x 1=(x 1)(x24x 3) 4entonces por el teorema anterior se cumple que:x35x2+ x 1x 1= x24x 3 4x 1b.) Como x5+ 2 = (x2+ x)(x3+ x2x + 1) + (x + 2)entonces por el teorema anterior se cumple que:x5+ 2x2+ x= x3+ x2x + 1 + x + 1x2+ xEjercicios8Para cada par de polinomiosA(x) yB(x) que se denen a continuacion, realice la division deA(x) porB(x) eindique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta division.1.) A(x) = 6x55x47x2+ 3 ; B(x) = 3x34x2x + 12.) A(x) = 2x75x5+ 8x3+ 3x ; B(x) = 2x3x3.) A(x) = x35x28x 4 ; B(x) = x 24.) A(x) = 3x 5x2+ 9 + x3; B(x) = 3 x5.) A(x) = 2x43x26x3+ 1 3x; B(x) = 3x + x2+ 1J.RodrguezS.A.AstorgaM. 23Denicion10SeanA(x)yB(x)dospolinomiosconB(x) =0. Si al dividirA(x)porB(x)seobtienecomoresiduoceroentoncesdecimosqueA(x)esdivisiblepor B(x)ysecumpleque: A(x)=B(x) Q(x); dondeQ(x)eselcociente que se obtiene al dividirA(x) porB(x).Ejemplo22SeanA(x) yB(x) polinomios tales que:A(x) = x34x2+ 2x + 1; B(x) = x23x 1Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividirA(x) porB(x).EsA(x) divisible porB(x)?Solucionx3 4x2+ 2x + 1 x23x 1- x3+ 3x2+ xx 1 x2+ 3x + 1x2 3x 10Por lo que el cociente es x 1 yelresiduo es 0.Como en este caso el residuo es 0, A(x)es divisible porB(x).Ejercicios9Para cada par de polinomiosA(x) yB(x) que se denen a continuacion, determine el cociente y el residuo quese obtiene al dividirA(x) porB(x).EsA(x) divisible porB(x)?. Justique su respuesta.1.) A(x) = 3x3+ 2x23x + 1 ; B(x) = 1 + x22.) A(x) = 5x4+ 10x3+ 4x2+ 7x 2 ; B(x) = x + 23.) A(x) = 2x 4x2+ 3x31 ; B(x) = 1 + 2x + x24.) A(x) = 2x4+ 3x3x 5 ; B(x) = 5 + 2x3+ 2x x2Observacion: SiA(x) es un polinomio de gradon, conn > 1 y siB(x) es un polinomio de grado 1, entoncesal dividirA(x) porB(x) se obtiene:24 ExpresionesAlgebraicasa.)Como cociente un polinomioQ(x) de gradon 1 yb.)Como residuo una constanteEjemplo23SiA(x) = 2x3+ x + 1 y B(x) = 2x + 1Al dividirA(x) porB(x) se tiene:2x3+ 0x2+ x + 1 2x + 1 2x3 x2x2 12x + 34 x2+ x + 1x2+12x32x + 132x 3414Enestecasosetieneque A(x)es un polinomio de grado 3 yel cociente es unpolinomio degrado 2.Ademas el residuoes unacon-stante.Teorema3SiP(x) es un polinomio de gradon, n > 1 y IR entoncesP() es igual al residuo que se obtiene al dividirP(x) porx .Demostracion:ComoP(x) yx son polinomios, por el algoritmo de la division, existen polinomiosQ(x) yR(x) tales que:P(x) = (x ) Q(x)+R(x)Pero por la observacion anterior,R(x) es una constanteCo sea(*)P(x) = (x ) Q(x)+C; donde C es el residuo que se obtiene al dividirP(x) porx Tenemos que demostrar queP() = CSuatituyendo lax por en (*) se tiene:P() = ( ) Q()+CJ.RodrguezS.A.AstorgaM. 25P() = 0 Q()+CP() = C; que es lo que quera demostrar.Ejemplo24SiP(x) = 3x2+ x + 1 yB(x) = x 4, al dividirP(x) porB(x) se tiene que:3x2+ x + 1 x 4- 3x2+ 12x3x + 1313x + 1 13x + 5253Enestecasotenemosqueelresiduoqueseobtieneal dividir 3x2+ x + 1 porx 4 es 53.Luego:P(4) = 3(4)2+4+1 = 3(16)+4+1 = 48+4+1 = 53,o seaP(4) = 53Denicion11SeaP(x) un polinomio y sea un n umero real, es un cero deP(x) si y solo sP() = 0Ejemplo25a.) SeaP(x) = x2x 6; se tiene que 3 y 2 son ceros deP(x) porque:P(3) = 323 6 = 9 3 6 = 0, as P(3) = 0P(2) = (2)2(2) 6 = 4 + 2 6 = 0, as P(2) = 0b.) SeaA(x) = x3+ 8; se tiene que -2 es un cero deA(x) porque:A(2) = (2)3+ 8 = 8 + 8 = 0, asP(2) = 02.3.2 DivisionSinteticaLa division sintetica es un procedimiento abreviado para determinar el cociente y el residuo que se obtiene aldividir un polinomioP(x) de gradon, n 1, por un polinomio de la formax , con IR, a partir de loscoeciente deP(x) y el cero dex .El procedimientoqueusaremospararealizarladivisionsinteticadeunpolinomioP(x), porunpolinomiode la formax , lo ilustraremos a traves de ejemplos.Ejemplo26SeanP(x) yQ(x) polinomios tales que:26 ExpresionesAlgebraicasP(x) = 4x3+ 3x25x + 2; Q(x) = x 3Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividirP(x) porQ(x):a.)Usando el metodo estudiado anteriormente (Division larga)b.)Usando division sinteticaSoluciona.)4x3+ 3x2 5x + 2 x 3 4x3+ 12x24x2+ 15x + 4015x2 5x + 2 15x2+ 45x40x + 2 40x + 120122Por lo que al dividir P(x) porQ(x)seobtiene4x2+ 15x +40 como cociente y 122 comoresiduo.b.)Usando division sintetica,P(x) se divide porQ(x) de la siguiente manera:Coeciente deP(x) = 4 3 5 2 3 = Cero dex 312 45 120Coecientes del cociente = 4 15 40 122 ResiduoDonde los n umeros 4, 15 y 40 son los coecientes del cociente y 122 el residuo de la division.Observe que, seg un la parte (a) de este ejercicio, los n umeros obtenidos en la tercera la son los coecientes delcociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.Los n umeros representados en la primera la son los coecientes de P(x) (dividendo) y el cero de x3 (divisor).Los n umeros representados en la segunda la se obtienen de la siguiente forma:12 es el producto de 4 y 345 es el producto de 15 y 3120 es el producto de 40 y 3J.RodrguezS.A.AstorgaM. 27Los n umeros representados en la tercera la se obtienen de la siguiente forma:4 es el coeciente dex3enP(x)15 es la suma de 3 y 1240 es la suma de 5 y 45122 es la suma de 2 y 120Ejemplo27SeanP(x) yQ(x) polinomios tales que: P(x) = 8x3+ x416 + 2x; Q(x) = x 8.Usando division sintetica, determine el cociente C(x) y el residuo R(x) que se obtiene al dividir P(x) por Q(x).SolucionOrdenandoP(x) en forma descendente de acuerdo a su grado, se obtiene:P(x) = x48x3+ 0x2+ 2x 16, y realizando la division se tiene:1 -8 0 2 -16 88 0 0 161 0 0 2 0 ResiduoLos n umeros 1, 0, 0 y 2 son coecientes del cociente. Y el n umero 0 es el residuo.Por lo queC(x) = x3+ 0x2+ 0x + 2 o seaC(x) = x3+ 2 yR(x) = 0Nota: Observequealrealizarladivisionsintetica,tantoloscoecientesdeldividendoquesondiferentesdecero, como los que son iguales a cero, deben escribirse.Ejemplo28SeanP(x) yQ(x) polinomios tales que: P(x) = x3+ x yQ(x) = x + 4Usando division sintetica determine el cocienteC(x) yQ(x).SolucionComoP(x) = x3+ 0x2+ x + 0 y el cero dex + 4 es 4, tenemos que:1 0 1 0 44 16 681 4 17 68Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividirP(x) porQ(x) esx24x + 17 y el residuo es -68.Ejercicios10ParacadapardepolinomiosA(x)yB(x)quesedenenacontinuacion, determinepordivisionsinteticaelcociente y el residuo que se obtiene al dividirA(x) porB(x).28 ExpresionesAlgebraicas1. A(x) = x532; B(x) = x 22. A(x) = 7x2+ 8x + 5x3+ 1; B(x) = x 33. A(x) = x3+ 27; B(x) = x + 34. A(x) = x3+ 2 3x; B(x) = x + 55. A(x) = x4x; B(x) = x + 16. A(x) = 6 5x + 4x2; B(x) = x + 2Ejemplo29SeaP(x) un polinomio tal que: P(x) = x53x4+ 8x22; usando division sintetica determineP(2) yP(1)SolucionRecuerde queP() es igual al residuo que se obtiene al dividirP(x) porx .Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:1 -3 0 8 0 -2 -2-2 10 -20 24 -481 -5 10 -12 24 -501 -3 0 8 0 -2 11 -2 -2 6 61 -2 -2 6 6 4Por lo tantoP(2) = 50 yP(1) = 4Ejercicios11SeaP(x) un polinomio tal queP(x) = x32x29x + 18Usando division sintetica determineP(1), P(2), P(3),y P(4).2.4 Factorizaci ondePolinomiosDenicion12SeaP(x) un polinomio no constante con coecientes reales.J.RodrguezS.A.AstorgaM. 29Si existenpolinomios A(x)yB(x)noconstantes, concoecientesrealestalesqueP(x)=A(x) B(x)en-tonces decimos queP(x) es factorizable en el conjunto de los n umeros reales.Denicion13SeanA(x), B(x)yP(x)polinomiosnoconstantesconcoecientesreales. Si P(x)=A(x) B(x)entoncesdecimos queA(x) yB(x) son factores deP(x).Denicion14SeanA(x), B(x)yP(x)polinomiosnoconstantesconcoecientesreales. Si P(x)=A(x) B(x)entoncesdecimos que el producto indicado deA(x) yB(x) es una factorizacion deP(x).Ejemplo30a.) Comox2+ 2x = x(x + 2), entonces decimos quex(x + 2) es una factorizacion dex2+ 2x.b.) Comox41 = (x21)(x2+ 1), entonces decimos que (x21)(x2+ 1) es una factorizacion dex41Nota: SeaP(x)unpolinomionoconstanteconcoecientesreales; sinoexistenpolinomiosA(x)yB(x)noconstantes con coecientes reales y tales que P(x) = A(x) B(x), entonces decimos que P(x) no es factorizableen el conjunto de los n umeros reales.Denicion15SeaP(x)unpolinomionoconstanteconcoecientesrealestal queP(x)=A(x)1 A(x)2 A(x)3 A(x)ndondeA(x)1 A(x)2 A(x)3 A(x)nsonpolinomiosnoconstantesconcoecientesreales. DecimosqueelproductoindicadoA1 A2 A3 AnesunafactorizacioncompletadeP(x)sicadaunodelospolinomiosA(x)1 A(x)2 A(x)3 A(x)nno es factorizable en el conjunto de los n umeros reales.2.4.1 TecnicasdefactorizacionA continuacion enfocaremos nuestra atencion hacia el estudio de algunas tecnicas que se utilizan en la factor-izacion de polinomios.Factorizacionporfactorcom unLa factorizacion de polinomios por factor com un consiste basicamente en la aplicacion de la propiedad distribu-tiva de la multiplicacion con respecto a la adicion, para esto recordemos que esta propiedad expresa:Sia IR, b IR, c IR, entoncesa (b+c) = a b+a cEn forma mas general,Sia IR, b1 IR, b2 IR, b3 IR, ,bn IR entonces:a(b1 + b2 + b3 + bn)=ab1 + ab2 + ab3 + abny en tal caso decimos que30 ExpresionesAlgebraicasa(b1 +b2 +b3 + bn) es una factorizacion de la expresion ab1 +ab2 +ab3 + abn, y que a es un factor com unde los sumandosab1, ab2, , abnEjemplo31Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:a.) x2+xy b.)6xa 12xy c.) a2+aSoluciona.) x2+xy= x x+xy= x(x+y)Por lo que la factorizacion dex2+xy esx(x+y)es decir:x2+xy=x(x+y)b.)6xa 12xy= 6x a 6 x2y= 6x(a 2y)Por lo que la factorizacion de6xa 12xy es 6x(a 2y);es decir:6xa 12xy = 6x(a 2y)c.) a2+a= a2+a= a(a+1)Por lo que la factorizacion dea2+a esa(a+1)es decir:a2+a = a(a+1)Ejemplo32Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:a.) x2y3z +x3y2z2b.) (3a+15) b(a+5)c.) a(x y)+(y x)d.) 14x228x3+56x2ySoluciona.) x2y3z +x3y2z2x2y3z +x3y2z2= x2y2yz+x2xy2zz= x2y2z(y+xz)Por lo que:x2y3z +x3y2z2= x2y2z(y+xz)J.RodrguezS.A.AstorgaM. 31b.) (3a+15) b(a+5)(3a+15) b(a+5) = (3a+3 5) b(a+5)= 3(a+5) b(a+5)= (a+5)(3 b)Por lo que:(3a+15) b(a+5) = (a+5)(3 b)c.) a(x y)+(y x)a(x y)+(y x) = a(x y)+(1)(x y)()= (x y)(a 1)Por lo que:a(x y)+(y x) = (x y)(a 1)d.) 14x228x3+56x2y14x228x3+56x2y = 14x21 14x2 2x+14x24y= 14x2(1 2x+4y)Por lo que:14x228x3+56x2y = 14x2(1 2x+4y)* Usando la propiedad distributiva se puede demostrar que: a b=(1) (b a)Ejercicios1232 ExpresionesAlgebraicasFactorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) abc+abc22.)9a2x218ax33.)6a212a(x+2)4.)(2m 4n)+m(m 2n)5.) x(x 7) (7 x)6.)(3x+9y)+d(x 3y)FactorizarporagrupacionDado un polinomio en el cual no existe un factor com un no constante a todos los sumandos que lo componen, enalgunos casos es posible obtener la factorizacion de dicho polinomio, realizando una agrupacion convenientede aquellos sumandos que poseen un factor com un.Ejemplo33Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:a.) 5by 5y+2ba 2ab.) 2x23xy 3y+2xc.) 4a2x+3bm 4ab 3maxd.) 2am 2an+2a m+n 1Soluciona.) 5by 5y+2ba 2a5by 5y+2ba 2a = (5by 5y)+(2ba 2a)= 5y(b 1)+2a(b 1)= (b 1)(5y+2a)Por lo que:5by 5y+2ba 2a = (b 1)(5y+2a)J.RodrguezS.A.AstorgaM. 33b.) 2x23xy 3y+2x2x23xy 3y+2x = 2x23xy+(3y)+2x= (2x23xy)+(3y+2x)= x(2x 3y)+(3y+2x)= x(2x 3y)+1(2x 3y)= (2x 3y) (x+1)Por lo que:2x23xy 3y+2x = (2x 3y) (x+1)c.) 4a2x+3bm 4ab 3max4a2x+3bm 4ab 3max = (4a2x 4ab)+(3bm 3max)= 4a(ax b)+3m(b ax)= 4a(ax b)+3m(1)(ax b)= 4a(ax b)+(3m)(ax b)= (ax b)(4a 3m)Por lo que:4a2x+3bm 4ab 3max = (ax b)(4a 3m)d.) 2am 2an+2a m+n 134 ExpresionesAlgebraicas2am 2an+2a m+n 1 = 2am 2an+2a m+n 1= (2am 2an+2a)+(m+n 1)= 2a(m n+1)+(m+n 1)= 2a(m n+1)+(1)(m n+1)= (m n+1)(2a 1)Por lo que:2am 2an+2a m+n 1 = (m n+1)(2a 1)Ejercicios13Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) ab+a+b+12.)6a24ac 15ab+10bc3.) a3a2c ba2+abc4.)2c2+4cd 3c 6d5.) ax bx+by+a ay b6.) cax+cby cbx cayFactorizacionporformulasnotablesEn esta seccion enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremosformulas notables, y que seran utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas.Teorema4Sia IR, b IR entonces se cumple que:(a+b)2=a2+2ab+b2Demostracion:J.RodrguezS.A.AstorgaM. 35(a+b)2= (a+b)(a+b)= a(a+b)+b(a+b)= a a+a b+b a+b b= a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2Por lo tanto (a+b)2= a2+2ab+b2y decimos que (a+b)2es factorizacion de la expresiona2+2ab+b2Ejemplo34Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:a.) x2+10x+25b.) 4x2+20x+25c.) 9a2+6a+1Soluciona.) x2+10x+25x2+ 10x + 25 = (x)2+ 2(x)(5) + 52= (x + 5)2Por lo que la factorizacion dex2+ 10x + 25 es (x + 5)2x2+ 10x + 25 = (x + 5)2b.) 4x2+20x+254x2+ 20x + 25 = (2x)2+ 2(2x)(5) + 52= (2x + 5)2Por lo que la factorizacion de 4x2+ 20x + 25 es (2x + 5)24x2+ 20x + 25 = (2x + 5)236 ExpresionesAlgebraicasc.) 9a2+6a+19a2+ 6a + 1 = (3a)2+ 2(3a)(1) + 12= (3a + 1)2Por lo que la factorizacion de 9a2+ 6a + 1 es (3a + 1)29a2+ 6a + 1 = (3a + 1)2Ejercicios14Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) 25x2+ 30x + 92.) 4r6+ 12r3s2+ 9s43.) a2+ 8ab + 16b24.) 2x2+ 22x + 15.)c29+ 2cd+9d26.)9h216+ 4hk3+ 64k281Teorema5Sia IR, b IR entonces se cumple que: (a b)2= a22ab + b2Demostracion(a b)2= (a b)(a b)= [a + (b)][a + (b)]= a[a + (b)] + (b)[a + (b)]= a a +a(b) + (ba) + (b)(b)= a2ab ab + b2= a22ab + b2Por lotanto(a b)2=a2 2ab +b2ydecimosque (a b)2es la factorizacion de la expresiona22ab + b2.Ejemplo35Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:J.RodrguezS.A.AstorgaM. 37a.)x243x + 3b.) 9x2y212xy + 4c.) 3a226ab + 2b2Soluciona.)x243x + 3x243x + 3 =_x2_22_x2_(3) + (3)2=_x2 3_2Por lo que la factorizacion dex243x + 3 es_x2 3_2x243x + 3 = (x2 3)2b.) 9x2y212xy + 49x2y212xy + 4 = (3xy)22(3xy)(2) + (2)2= (3xy 2)2Por lo que la factorizacion de 9x2y212xy + 4 es (3xy 2)29x2y212xy + 4 = (3xy 2)2c.) 3a226ab + 2b23a226ab + 2b2= (3a)22(3a)(2b) + (2b)2= (3a 2b)2Por lo que la factorizacion de 3a226ab + 2b2es (3a 2b)23a226ab + 2b2= (3a 2b)238 ExpresionesAlgebraicasEjercicios15Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) 20x225xy +y242.) x2y2z2z +14x2y23.)1x2+ 4y2 4yx4.)x29 10x3+ 255.)4n2920nm + 25m26.) x222xy + 2y2Teorema6Sia IR, b IR entonces se cumple que (a + b)(a b) = a2b2Demostracion:(a + b)(a b) = a(a b) + b(a b)= a[a + (b)] + b[a + (b)]= a a+a(b)+b a+b(b)= a2ab + ab b2= a2b2Por lo tanto: (a + b)(a b) = a2b2y decimos que (a + b)(a b) es la factorizacion de la expresiona2b2.Ejemplo36Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:a.) 4x2y2b.) 3x2c225c.) (3 + 2b)2(c 4)2d.) 9x212x 4 y2SolucionJ.RodrguezS.A.AstorgaM. 39a.) 4x2y24x2y2= (2x)2y2= (2x + y)(2x y)Por lo que la factorizacion de (4x2y2) es (2x + y)(2x y)(4x2y2) = (2x + y)(2x y)b.) 3x2c2253x2c225= (3x)2(c5)2= (3x +c5)(3 c5)Por lo que la factorizacion de 3x2c225es(3x +c5)(3 c5)3x2c225= (3x +c5)(3 c5)c.) (3 + 2b)2(c 4)2(3 + 2b)2(c 4)2= [(3 + 2b) + (c 4)][(3 + 2b) (c 4)]= (3 + 2b + c 4)(3 + 2b c + 4)= (2b + c 1)(2b c + 7)Por lo que la factorizacion de (3 + 2b)2(c 4)2es (2b + c 1)(2b c + 7)(3 + 2b)2(c 4)2= (2b + c 1)(2b c + 7)d.) 9x212x + 4 y29x212x + 4 y2= (9x212x + 4) y2= [(3x)22(3x)(2) + (2)2] y2= (3x 2)2y2= [(3x 2) + y][(3x 2) y]40 ExpresionesAlgebraicasPor lo que la factorizacion de 9x212x + 4 y2es [(3x 2) + y][(3x 2) y]9x212x + 4 y2= [(3x 2) + y][(3x 2) y]Ejercicios16Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) 5x282.) 9c24a24ab b23.)49r2 2516s24.) (6a + 5b)2(4c + 7d)25.) (a + b)24c26.)23y2 54Teorema7Sia IR, b IR entonces se cumple que:(a + b)(a2ab + b2) = a3+ b3Demostracion:(a + b)(a2ab + b2) = a(a2ab + b2) + b(a2ab + b2)= a3a2b + ab2+ a2b ab2+ b3= a3+ (a2b) + a2b + ab2ab2+ b3= a3+ (a2b + a2b) + (ab2ab2) + b3= a3+ b3Porlotanto: (a + b)(a2 ab + b2)=a3+ b3ydecimosque(a + b)(a2 ab + b)()eslafactorizaciondelaexpresiona3+ b3.(*)a2ab + b2no es factorizable en el conjunto de los n umeros reales, lo cual sera estudiado posteriormente.Ejemplo37Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:a.) 27+p3b.) 8p3+125q3J.RodrguezS.A.AstorgaM. 41c.) x3+2d.) 5a3+2b3Soluciona.) 27+p327+p3= (3)3+p3= (3+p)(323p+p2)= (3+p)(9 3p+p2)Por lo que la factorizacion de 27+p3es (3+p)(9 3p+p2)27+p3= (3+p)(9 3p+p2)b.) 8p3+125q38p3+125q3= (2p)3+(5q)3= (2p + 5q)[(2p)2(2p)(5q) + (5q)2]= (2p + 5q)(4p210pq + 25q2Por lo que la factorizacion de 8p3+125q3es (2p + 5q)(4p210pq + 25q28p3+125q3= (2p + 5q)(4p210pq + 25q2)c.) x3+2x3+ 2 = x3+ (32)3= (x +32)[x2x32 + (32)2]= (x +32)(x2x32 +34)Por lo que la factorizacon dex3+ 2 es (x +32)(x2x32 +34)x3+ 2 = (x +32)(x2x32 +34)42 ExpresionesAlgebraicasd.) 5a3+2b35a3+ 2b3= (35a)3+ (32b)3= [35a +32b][(35a)235a32b + (32b)2]= (35a +32b)(325a2310ab +34b2)Por lo que la factorizacion de 5a3+ 2b3es (35a +32b)(325a2310ab +34b2)5a3+ 2b3= (35a +32b)(325a2310ab +34b2)Ejercicios17Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:1.) x3+ 27y32.) a + a43.) x3+ 54.) 81a7+ 24a35.) 7a3b3+ 116.) (2a b)3+ 8Teorema8Sia R, b R entonces se cumple que: a3b3= (a b)(a2+ ab + b2)Demostracion:(a b)(a2+ ab + b2) = [a + (b)][a2+ ab + b2]= a(a2+ ab + b2) + (b)(a2+ ab + b2)= a3+ a2b + ab2a2b ab2b3= a3+ (a2b a2b) + (ab2ab2) b3= a3b3Por lo tanto: (ab)(a2+ab +b2) = a3b3y decimos que (ab)(a2+ab +b2) es la factorizacion de la expresiona3b3.(*)a2+ ab + b2no es factorizable en el conjunto de los n umeros reales.Ejemplo38Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:J.RodrguezS.A.AstorgaM. 43a.) x38b.) a37c.) 54x32y3d.) 3a3b312544 ExpresionesAlgebraicasSoluciona.) x38x38= x323= (x 2)(x2+ 2x + 22)= (x 2)(x2+ 2x + 4)Por lo que la factorizacion dex38es (x 2)(x2+ 2x + 4)x38 = (x 2)(x2+ 2x + 4)b.) a37a37= a3(37)3= (a 37)[a2+ a37 + (37)2]= (a 37)(a2+ a37 +349)Por lo que la factorizacion dea37 es(a 37)(a2+ a37 +349)a37 = (a 37)(a2+ a37 +349)c.) 54x32y354x32y3= 2(27x3y3)= 2[(3x)3y3]= 2[3x y][(3x)2+ 3xy + y2]= 2(3x y)(9x2+ 3xy + y2)Por lo que la factorizacion de 54x32y3es2(3x y)(9x2+ 3xy + y2)54x32y3= 2(3x y)(9x2+ 3xy + y2)d.) 3a3b31253a3b3125= (33ab)353= [33ab 5][(33ab)2+33ab 5 + 52]= (33ab 5)(39a2b2+ 533ab + 25)Por lo que la factorizacion de 3a3b3125 es(33ab 5)(39a2b2+ 533ab + 25)3a3b3125 = (33ab 5)(39a2b2+ 533ab + 25)Ejercicios18Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones:1.) a364 + b32.) 4a532a2b33.) a3114.) a3(b 1)35.) 8a2b376.) 16x52x2J.RodrguezS.A.AstorgaM. 452.5 Factorizaci ondepolinomiosenunavariable2.5.1 Factorizaci ondepolinomiosdegrado2Enunciaremos en esta seccion dos metodos los cuales usaremos para factorizar polinomios de una variable, degrado 2 (del tipo ax2+ bx + c). Uno de estos metodos se conoce con el nombre de factorizacion por completacionde cuadrados, y el otro metodo se conoce con el nombre de factorizacion por formula general.CompletaciondecuadradosEste procedimiento nos permitira obtener a partir de una expresion de la formax2+ bx + c, una expresion dela forma_x+b2_2+ kTeorema9Sib yc son constantes reales yx es una variable real, entonces se cumple la siguiente igualdad:x2+ bx + c =_x+b2_2b24+cDemostracion:_x+b2_2b24+c =_x2+2(x)_b2_+_b2_2 _b24+c=_x2+bx+b24_b24+c= x2+bx+b24b24+c= x2+bx+cpor lo que:x2+ bx + c =_x+b2_2b24+cas por ejemplo, usando el teorema anterior se tiene que:a)x2+ 6x + 5 =_x+62_2624+5b)x23x + 2 =x2+ (3)x + 2 =_x+32_2(3)24+2c)x28x 7 =x2+ (8x) 7 =_x+82_2(8)24+7d)x2+ x 1 =x2+ x + (1) =_x+12_2124+146 ExpresionesAlgebraicasFactorizacionporcompletaciondecuadradosEjemplo39Usando la completacion de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones:a)x2+ 5x + 4 b)x2+ 4x + 2 c) 4x2+ 8x 5 d) 3x27x + 2Soluciona.) x2+ 5x + 4 =_x + 52_2524+4=_x + 52_2254+164=_x + 52_294=__x + 52_32_ __x + 52_+32_=_x + 5232__x + 52+32_=_x+22_ _x+82_= (x + 1) (x + 4)Por lo que la factorizacion dex2+ 5x + 4 es (x + 1) (x + 4)x2+ 5x + 4 = (x + 1) (x + 4)J.RodrguezS.A.AstorgaM. 47b.) x2+ 4x + 2 =_x + 42_2424+2= (x + 2)2 164+ 2= (x + 2)24 + 2= (x + 2)22= (x + 2)2_2_2=_(x + 2) 2_ _(x + 2) +2_=_x + 22__x + 2 +2_Por lo que la factorizacion dex2+ 4x + 2 es_x + 22__x + 2 +2_x2+ 4x + 2 =_x + 22__x + 2 +2_c.)4x2+ 8x 5 = 4_x2+ 2x 54_= 4__x + 22_222454_= 4_(x + 1)24454_= 4_(x + 1)294_= 4_(x + 1)2_32_2_= 4_(x + 1) 32_ _(x + 1) +32_= 4_x + 132__x + 1 +32_= 4_x12__x+52_Por lo que la factorizacion de 4x2+ 8x 5 es 4_x12__x+52_4x2+ 8x 5 =4_x12__x+52_48 ExpresionesAlgebraicasd) 3x27x + 2 = 3_x273x+23_= 3_____x 732___2_73_24+23__= 3___x 76_24994+23__= 3__x 76_24936+23_= 3__x 76_24936+2436_= 3__x 76_22536_= 3__x 76_2_56_2 _= 3_x 76 56__x 76 + 56_= 3_x 126__x 26_= 3 (x 2)_x 13_x27x + 2 =3 (x 2)_x 13_Ejercicios19Usando la completacion de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones:1.) x2+ x 6 3) 2x25x + 2 5) 2x212x 152.) x24x + 1 4)2x2+ x + 1 6) 2x23x 3FormulaGeneral:La formula general es un procedimiento que se usa para factorizar polinomios de la forma ax2+ bx + c, cona,b yc constantes reales ya = 0.J.RodrguezS.A.AstorgaM. 49Teorema10(Teoremadelfactor) SeaP(x) un polinomio de gradon,n 1 y sea IR:a.)Si es un cero deP(x), ( P() = 0 ), entoncesx es un factor deP(x).b.)Six es un factor deP(x), entonces es un cero deP(x).Demostracion:a.) Supongamos que es un cero deP(x), debemos demostrar quex es un factor deP(x).Por el algoritmo de la division existen unicos polinomiosQ(x) yR(x),R(x) constante real tales que :P(x) = (x )Q(x) +R(x) ; sustituyendox por se tieneP() = ( )Q() +R(x)P() = 0 Q() +R(x)P() = R(x), pero comoP() = 0 entoncesR(x) = 0 y se cumple que:P() = (x )Q(x), de donde se tiene quex es un factor deP(x)b.) Supongamos quex es un factor deP(x), debemos demostrar que es uncero deP(x), o seaP() = 0Six es un factor deP(x), entonces existe un polinomioQ(x) tal queP(x) = (x )Q(x), de donde se tiene queP() = ( )Q()P() = 0 Q()P() = 0 ; que es lo que se quera demostrarEjemplo40SeaP(x) tal queP(x) = x32x + 1, observe queP(1) = 132(1) + 1, o seaP(1) = 0, por lo quex 1 debeser un factor deP(x). En efecto, realizando la division deP(x) porx 1 se tiene que:1 0 -2 1 11 1 -11 1 -1 0 0Por lo tanto:x3 2x + 1 = (x 1)(x2+ x 1) y se cumple quex 1 es unfactor deP(x)ConsecuenciasdelteoremaanteriorSea P(x) tal que P(x) = ax2+bx +c con a = 0. Si P(x) no tiene ceros reales, entonces P(x) no es factorizableenIR.Denicion1650 ExpresionesAlgebraicasSeaP(x) un polinomio tal queP(x) = ax2+bx +c, cona,b yc constantes reales ya = 0, el n umerob24ac,recibe el nombre de discriminante deP(x).NotacionEl discriminante deax2+ bx + c, cona = 0 se denota por el smbolo: ; o sea: = b24acEjemplo41Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:a.)4x2+ 5x + 8 b.) x2x 2 c.)4x24x + 1d.)4x22x e.)3x2+ 5 f.) 2x2+ 7x 3Soluciona.) 4x2+ 5x + 8En este caso: = 524(4)(8) = 25 128 = 103c.) 4x24x + 1En este caso: = (4)24(4)(1) = 16 16 = 0b.) x2x 2En este caso: = (1)24(1)(2) = 1 + 8 = 9d.) 4x22xEn este caso: = (2)24(4)(0) = 4 0 = 4e.) 3x2+ 5En este caso: = (0)24(3)(5) = 0 60 = 60f.) 2x2+ 7x 3En este caso: = 724(2)(3) = 49 24 = 25J.RodrguezS.A.AstorgaM. 51Ejercicios20Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:1.) 3x2+ 3x 323.) x2+ 4 5.)12x2+ x + 342.)9x230x + 25 4.)12x x26.)5x 2x2+ 4Teorema11SeaP(x) un polinomio tal queP(x) = ax2+ bx + c, cona = 0 y = b24aci.) Si < 0 entoncesP(x) no es factorizable en el conjunto de los n umeros realesii.) Si = 0 entoncesP(x) es factorizable en el conjunto de los n umeros reales y su factorizacion viene dadapor:ax2+ bx + c = a_x +b2a_2iii.) Si > 0 entoncesP(x) es factorizable en el conjunto de los n umeros reales y su factorizacion viene dadapor:ax2+ bx + c = a(x )(x ); = b 2ay = b +2aDemostracion:P(x) =ax2+ bx + c=a_x2+bax +ca_=a_x2+bax +b24a2 b24a2+ca_=a_x2+bax +_b2a_2_b24a2 ca__=a__x +b2a_2_b24ac4a2__=a__x +b2a_2_4a2__()a partir de aqu consideramos los tres casos siguientes:52 ExpresionesAlgebraicasi.) Si < 0 entonces 4a2> 0, por lo queP(x) = 0,x IRDebe aqu se deduce queP(x) no tiene ceros reales y por lo tantoP(x) no es factorizable (ver la conse-cuencia del teorema del factor anotado en la pagina anterior).ii.) Si = 0 entonces por ()P(x) =a__x +b2a_204a2_=a__x +b2a_20_=a_x +b2a_2o sea:Si = 0 entoncesax2+ bx + c = =a_x +b2a_2iii.) Si > 0 entonces volviendo a () tenemos que:P(x) =a__x +b2a_24a2_=a___x +b2a_2__4a2_2__=a__x +b2a_+_4a2___x +b2a__4a2_=a_x +b +2a__x +b 2a_=a_x _b 2a___x _b +2a__= a(x )(x ) donde=b 2a, =b +2ao sea:Si > 0 entonces: ax2+ bx + c =a(x )(x ) donde=b 2a, =b +2aEjemplo42Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:a.) 2x2+ 3x 4 b.) x2+ 4 c.) 4x2+ 20x 25J.RodrguezS.A.AstorgaM. 53d.) 2x26x e.)2x2+ 5x 3 f.) x2x 3Soluciona.) 2x2+ 3x 4En este caso: = 324(2)(4) = 9 32 = 23Como 0 entonces2x26x = 2(x )(x ) con: = (6) 362(2); = (6) +362(2) =6 64; =6 + 64 = 0; = 32x26x = 2(x 0)(x + 3)2x26x = 2x(x + 3)Nota: La expresion 2x26x se puede factorizarenunmenor n umerodepasos usandolafacto-rizacion por factor com un.54 ExpresionesAlgebraicase.) 2x2+ 5x 3En este caso: = (5)24(2)(3) = 25 + 24 = 49Como > 0 entonces2x2+ 5x 3 = 2(x )(x ) con: = 5 492(2); = 5 +492(2) = 5 74; = 5 + 74 = 3; =122x2+ 5x 3 = 2(x + 3)(x 12)f.) x2x 3En este caso: = (1)24(1)(3) = 1 + 12 = 13Como > 0 entoncesx2x 3 = 1 (x )(x ) con: = (1) 132(1); = (1) +132(1) =1 132; =1 +132x2x 3 =_x 1132__x 1+132_Ejercicios21Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:1.)6x213x + 6 3.) x2+ x + 1 5.) 2x25x 32.)2x23x + 1 4.) 3x2+ 7x + 20 6.)14x2+ x + 12.5.2 Factorizaci ondepolinomiosdegradomayorque2,concoecientesenterosA continuacion nuestro objetivo es factorizar polinomios de grado mayor que dos, para lo cual haremos uso de:ladivisionsintetica,delprocedimientoparafactorizarpolinomiosdegrado2,delteoremadelfactorydelassiguientes proposiciones:Propocision1SiP(x) es un polinomio de gradon, entoncesP(x) tiene a lo sumon ceros reales.Ejemplo43a.) El polinomiox3+ 1, es de grado 3 por lo que tiene a lo sumo 3 ceros reales.J.RodrguezS.A.AstorgaM. 55b.) El polinomio 2x44x24, es de grado 4 por lo que tiene a lo sumo 4 ceros reales.Propiedad1SeaP(x) un polinomio tal que: P(x) = anxn+ an1xn1+ ... + a1x + a0dondean, an1, ..., a1, a0Son n umeros enteros. Y seanc yd n umeros enteros tales quecdes una fraccion canonica.Sicdes un cero deP(x) entonces,a0es divisible porc yanes divisible pord.Nota: de la proposicion anterior se deduce que todos los ceros racionales deP(x) estan contenidos en el con-juntoD, donde:D =_cd Q/c es un divisor dea0y d es un divisor de an_(pero no necesariamente todo elemento deD es un cero deP(x)).Para aplicar las proposiciones anteriores en la factorizacion de un polinomioP(x), con:P(x) = anxn+ an1xn1+ ... + a1x + a0conan, an1, ..., a1, a0, n umeros enteros,an = 0,n IN,n > 2 se sigue el siguiente procedimiento:1.) Se determina el conjuntoDa0, donde:Da0 = {c Z/c es un divisor dea0}2.) Se determina el conjuntoDan, donde:Dan = {d IN/d es un divisor dean}3.) Se forma el conjuntoD, donde:D =_cd/c Da0yd Dan_4.) Entre los elementos deD se busca un tal queP() = 0.5.) Se efect ua la division deP(x) porx , y se expresa la identidadP(x) = (x )C(x)dondeC(x) es el cociente que se obtiene al dividirP(x) porx 6.) SiC(x) de grado mayor que 2, se repiten los pasos 4 y 5 paraC(x).56 ExpresionesAlgebraicas7.) SiC(x) es de grado 2, se utiliza alguno de los metodos de factorizacion de polinomios de este tipo.Ejemplo44FactoriceP(x) (si se posible), donde:P(x) = x34x2+ x + 6SolucionEn este caso:D6= {1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6} (divisores enteros de 6)D1= {1} (divisores naturales de 1)D= {1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6} cada elemento de D es el cociente de un elemento de D6 y un elemento de D1.El paso siguiente es determinar alg un, D tal queP() = 0CalculemosP(1), (por division sintetica):1 -4 1 6-1-1 5 -61 -5 6 0De aqu se tiene queP(1) = 0 y ademasx34x2+ x + 6 = (x + 1)(x25x + 6)Comox2 5x + 6esdegrado2, podemosutilizaralgunodelosmetodosdefactorizacionestudiadosparapolinomios de este tipo.Por formula general se tiene que enx25x + 6: = (5)24(1)(6) =5 12 =5 +12 = 25 24 =42 =62 = 1 = 2 = 3por lo que:x25x + 6 = (x 2)(x 3) y como x34x + 6 = (x + 1)(x25x + 6)entonces x34x + 6 = (x + 1)(x 2)(x 3)J.RodrguezS.A.AstorgaM. 57Ejemplo45FactoriceP(x) (si se posible), donde:P(x) = 2x44x26x 4SolucionEn este caso:D4= {1, 1, 2, 2, 4, 4} Divisores enteros de 4D2= {1, 2} Divisores naturales de 2D =_1, 1, 2, 2, 4, 4, 12, 12_El paso siguiente es determinar alg un, D, tal queP() = 0CalculemosP(1) por division sintetica:2 0 -4 -6 -412 2 -2 -82 2 -2 -8 -12 -12ComoP(1) = 12,x 1 no es un factor deP(x)CalculemosP(1) por division sintetica:2 0 -4 -6 -4 -1-2 2 2 42 -2 -2 -4 00De aqu se tiene queP(1) = 0 y ademas2x44x26x 4 = (x + 1)(2x32x22x 4) ()SeaC(x)=2x3 2x2 2x 4queesunpolinomiodegrado3, debemosencontrarun, Dtal queC() = 0CalculemosC(2) por division sintetica:2 -2 -2 -4 24 4 42 2 2 0058 ExpresionesAlgebraicasDe aqu se tiene queC(2) = 0 y ademas2x32x22x 4 = (x 2)(2x2+ 2x + 2) ()Como2x2+ 2x + 2esdegrado2, podemosutilizaralgunodelosmetodosdefactorizacionestudiadosparapolinomios de este tipo.Por formula general se tiene que en 2x2+ 2x + 2 = (2)24(2)(2) = 4 16 = 12Como < 0 entonces 2x2+ 2x + 2 no es factorizable en el conjunto de los n umeros reales.As, por () y () se tiene que:2x44x26x 4 = (x + 1)(2x32x22x 4). . 2x44x26x 4 = (x + 1)(x 2)(2x2+ 2x + 2)Ejemplo46FactoriceP(x) (si se posible), donde:P(x) = x42x34x2+ 8xSolucionFactorizandoP(x) por factor com un se tiene que:P(x) = x(x32x24x + 8) (*)SeaP1(x) = x32x24x + 8, paraP1(x) se tiene:D8 = {1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8}D1 = {1}D = {1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8}CalculandoP1(1) yP1(1) se tiene queP1(1) = 3 yP1(1) = 9J.RodrguezS.A.AstorgaM. 59CalculemosP1(2) (por division sintetica):1 -2 -4 8 22 0 -81 0 -4 0 0De aqu se tiene queP1(2) = 0 y ademasx32x24x + 8 = (x 2)_x24_y comox24 = (x 2)(x + 2) entoncesx32x24x + 8 = (x 2)(x 2)(x + 2) ()As por () y () se tiene que:x42x34x2+ 8x = x(x 2)(x 2)(x + 2)Ejemplo47FactoriceP(x) (si se posible), donde:P(x) = x3+ 4x2+ 4x + 3SolucionEn este caso:D3 = {1, 1, 3, 3}D1 = {1}D = {1, 1, 3, 3}CalculandoP(1),P(1),P(3) yP(3) se tiene que:P(1) = 12, P(1) = 2, P(3) = 78, P(3) = 0DividiendoP(x) por (x + 3), (usando division sintetica), obtenemos:1 4 4 3 -3-3 -3 -31 1 1 0 0y por lo tanto:60 ExpresionesAlgebraicasx3+ 4x2+ 4x + 3 = (x + 3)_x2+ x + 1_factorice, si es posible,x2+ x + 1, para esto se tiene que: = (1)24(1)(1) = 1 4 = 3Como