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el blog de mate de aida. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I pág. 1

PROBABILIDAD

1º.- EXPERIMENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS

Experimento determinista es aquel en que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las

mismas condiciones. (Ejemplo: medir el tiempo que tarda en caer un objeto desde una misma altura

sobre la superficie de la Tierra).

Experimento aleatorio es aquel del que no se puede predecir el resultado, aunque se realice en las

mismas condiciones. (Ejemplo: lanzar al aire una moneda).

Los posibles resultados de un experimento aleatorio se llaman sucesos aleatorios y se clasifican en

elementales y compuestos.

- Suceso elemental es cada uno de los sucesos que no se puede descomponer en sucesos más simples.

- Suceso compuesto es el que está formado por más de un suceso elemental.

- Espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos elementales.

- Suceso seguro, puesto que ocurre siempre que se realiza el experimento y se representa por la letra

E. (Ejemplo: si se lanza al aire una moneda, el espacio muestral es E={cara,cruz}).

- Suceso imposible es el que no ocurre nunca y se representa por la misma letra que para el conjunto

vacío: .

2º.- COMBINATORIA

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades

diferentes que existen al realizar un experimento.

MÉTODO DEL PRODUCTO

Para obtener el número total de posibilidades, este método consiste en multiplicar el número de

opciones que se dan en cada uno de los componentes.

Ejemplo 1: Irene tiene 4 pantalones, 6 camisetas y 3 pares de zapatos. ¿Cuántas indumentarias puede

elegir?

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Sirve para contabilizar conjuntos ordenados y permite ver cuáles son las distintas posibilidades que se

dan en cada uno de los pasos.

Ejemplo 2: Antonio, Beatriz, Carmen y Darío juegan la fase final de un campeonato de pimpón. Hay una

copa para el campeón y una placa para el subcampeón.

a) ¿De cuántas formas pueden adjudicarse los trofeos?

B) ¿Cuántas posibles calificaciones finales puede haber?


VARIACIONES CON REPETICIÓN

Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas

agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de

que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si

están situados en distinto orden.

No cogemos todos los elementos, se puede repetir.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo 3:

a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,…,9?

( )

5047.8.9!39

!9V39

==−

=

b) Con las letras del alfabeto español (25 letras), ¿cuántas palabras (con o sin sentido) de 6 letras

distintas pueden formarse? ¿Cuántas empiezan por vocal?

V 625 , 5V 524

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas

agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que

disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si

están situados en distinto orden.

Es decir, agrupamos no todos los elementos, y no se pueden repetir.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo 4:

¿De cuántas formas se pueden repartir las tres medallas de los ocho finalistas de una carrera?

V = 8·7·6 = 336

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar

todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de

sus elementos.

El número de estas permutaciones será:

Teniendo en cuenta que: n! = n . (n-1) . (n-2) …… . 3 . 2 . 1

Ejemplo 5:

a) ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?

P5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120

b) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3?


P4 – P3 = 4! -3!= 24-6 = 18

Hemos restado P3 para descontar los números que empiezan por cero, ya que estos no son de

cuatro cifras.

c) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1 uno, 2 doses y 3

treses?

P61,2,3 = 60

2.3.2

6.5.4.3.2

1!2!3!

6!==

COMBINACIONES

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas

agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que

disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el

orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo 6:

a) Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de

administrativo. ¿Cuántos grupos diferentes de personas se pueden seleccionar?

Debemos elegir grupos de 3 de entre los 12, no influye el orden.

C 220===3.2

12.11.10

3)!3!-(12

12!312

b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca

están alineados?

Para que dos triángulos sean distintos se tienen que diferenciar al menos en un vértice y el

orden en que tomamos los vértices no influye.

C 56==−

=3.2

8.7.6

3)!.3!(8

8!38

c) ¿Cuántos conjuntos de tres letras existen elegidas entre a, b, c, d, e, f, g si en cada

conjunto puede haber más de una letra igual?

Tenemos en cuenta que el conjunto ac,b, conjunto el con coincide cb,a, y que los elementos se

pueden repetir, es decir ba,a, es un conjunto de tres letras, luego:

CR 84====+ 3.2

9.8.7

6!3!

9!Cn

1-nmnm

3º.- OPERACIONES CON SUCESOS

- Suceso unión: dados dos sucesos A y B, se llama y se designa por A U B, al suceso que se produce

siempre que se verifica uno de los dos, es decir, si se verifica A ó B.

Ejemplo 7: Tiramos un dado y consideramos los siguientes sucesos: A = “salir par” y B = “salir mayor que

4”. Entonces, A = {2,4,6}, B = {5,6} y A U B = {2,4,5,6}.

- Suceso intersección, Dados dos sucesos A y B, se denomina y se designa por A B al suceso que se

realiza si se verifica A y B.

Ejemplo 8: A: ”salir par” y B: “salir mayor que 4”. Entonces, A = {2,4,6}, B = {5,6} y A B = {6}.


- Suceso contrario de un suceso A ( A ) es el suceso que ocurre siempre que no se verifica A. Es

equivalente a la negación lógica.

Si dos sucesos no se pueden verificar simultáneamente, su intersección es el conjunto vacío. Cualquier

suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se

produce nunca. Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible, se dice que son incompatibles.

La unión de sucesos contrarios es el suceso seguro y su intersección es el suceso imposible.

Sean los sucesos A y B; se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A B, si siempre que se

verifica A, también se verifica B.

4º.- Frecuencia y probabilidad: Ley de los grandes números:

Consideremos una experiencia aleatoria que pueda ser repetida un elevado número de veces en

condiciones uniformes. Empíricamente, se comprueba que la frecuencia relativa fr(A) de un suceso se

estabiliza para valores crecientes de n (porque al ser el denominador cada vez más grande, le afectan

menos las fluctuaciones del numerador).

Por regularidades estadísticas de los fenómenos aleatorios entenderemos, pues, la estabilización de las

frecuencias relativas de los sucesos ligados a ellos, al repetirse dichos fenómenos un elevado número de

veces.

La idea de regularidad sugiere que si repitiésemos la experiencia un número infinito de veces, las

frecuencias relativas alcanzarían un determinado valor teórico. Esto permite asignar a cada suceso

ligado a un experimento un nº entre 0 y 1 tal que la frecuencia relativa de A, en una larga serie de

repeticiones del experimento, se aproxime a dicho número p, que se designa como probabilidad de A.

Esto se llama ley de los grandes números.

Es decir: si realizamos N veces un experimento aleatorio y el suceso A ocurre nA veces, se define:

An : Frecuencia absoluta del suceso A.

N

nA : Frecuencia relativa del suceso A.

Definimos la probabilidad de que A ocurra como el límite de su frecuencia relativa cuando N tiende a

infinito: N

nAP A

N →= lim)(

5º.- PROBABILIDAD DE UN SUCESO: REGLA DE LAPLACE

Supongamos un experimento aleatorio que puede dar lugar a n sucesos elementales, incompatibles entre

sí e “igualmente posibles”, es decir, con las mismas posibilidades de ocurrir.

Sea A un suceso cualquiera, formado por k sucesos elementales, se define la probabilidad de A como el

cociente:

( )posiblesigualmentecasos

favorablescasosAP = .


Ejemplo 9º: Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman sus caras superiores. Halla la probabilidad

de obtener una suma igual a 8.

Solución: 5/36.

6º.- PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

La probabilidad de sucesos verifica las siguientes propiedades:

1.- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Toma el valor 1 cuando se trata

del suceso seguro y vale 0 cuando se trata del suceso imposible: P(E) = 1 y P() = 0.

2.- La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades de los dos sucesos menos

la probabilidad de su intersección:

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Si A y B son sucesos incompatibles AB= P(AUB) = P(A) + P(B).

3.- Si A es un suceso cualquiera y A es su contrario:

)(1)( APAP −=

EJERCICIOS RESUELTOS

10º.- Encuentra el espacio muestral asociado a los siguientes sucesos:

A) Lanzar dos monedas al aire:

“C” = obtener cara; “X” = obtener cruz.

( ) ( ) ( ) ( ) XXCXXCCCE ,,,,,,,=

B) Familias de tres hijos considerando el sexo de éstos.

“H” = hombre; “M” = mujer.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MMMHMMMHMMMHHHMHMHMHHHHHE ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=

11º.- En el experimento aleatorio de estudiar las familias de tres hijos por el sexo de dicho hijos

consideramos los siguientes sucesos:

ónesmayorhijoelA var=

= sexoigualtienenhijostreslosB

óneshijoningúnC var=

Encuentra los elementos de los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: E; A; B; C; BA ;

CA ; B .

Solución: llamamos “H” = varón; “M” = mujer.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MMMHMMMHMMMHHHMHMHMHHHHHE ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=

( ) 18

8== EP

( ) ( ) ( ) ( ) MMHHMHMHHHHHA ,,,,,,,,,,,= ( )2

1

8

4== AP


( ) ( ) MMMHHHB ,,,,,= ( )4

1

8

2== BP

( ) MMMC ,,= ( )8

1= CP

( ) HHHBA ,,= ( )8

1= BAP

=CA ( ) 0= CAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) HMMMHMMMHHHMHMHMHHB ,,,,,,,,,,,,,,,,,= ( )4

3

8

6== BP

7º.- PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se llama probabilidad de A condicionada a B, y se simboliza por P(A/B), al cociente:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

= con P(B)0.

(Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado B).

De aquí obtenemos la siguiente expresión para la probabilidad compuesta (o del producto):

)/()·()( ABPAPBAP =

Ejemplo 12: Realizamos una encuesta a los alumnos sobre el color de los ojos y del pelo. En la tabla de

contingencia podemos ver los resultados obtenidos:

ojos claros ojos oscuros TOTALES

pelo rubio 14 16 30

pelo moreno 8 12 20

TOTALES 22 28 50

La probabilidad de elegir un alumno rubio y de ojos oscuros: ( )25

8

50

16==ORP .

La probabilidad de elegir un alumno rubio con ojos oscuros: ( )15

8

30

16/ ==ROP .

8º.- INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro:

)()·()( BPAPBAP =

Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno modifica la probabilidad del otro:

)()·()/()·()( BPAPABPAPBAP =

Ejemplo 13º: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego

sacamos otra. Sean los sucesos A: “sacar oros” y B: “sacar copas”. ¿Cómo son los sucesos A y B,

dependientes o independientes? ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas?


Solución:

Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las

mismas cartas que en la primera extracción.

0625,040

10

40

10)()·()( === BPAPBAP

Ejemplo 14º: Se extraen tres cartas sucesivamente de una baraja de 40 cartas. Calcula la

probabilidad de que las tres sean del mismo palo.

Solución:

Se consideran los sucesos: A = “la primera carta es de un palo válido”; B = “la segunda carta es del

mismo palo que la primera” y C = “la tercera carta es del mismo palo que las dos primeras”.

Nos piden la probabilidad: P(ABC) = P(A) · P(B/A) · P(C/AC).

Como A = suceso seguro, se tiene P(A) = 1.

Además: P(B/A) = 39

9 y P(C/AC) =

38

8.

Entonces: ( ) %12,10112,038

8·

39

9·

40

10==CBAP

Ejemplo 15º: Se tiene una urna con cuatro bolas rojas y dos azules. Se extraen tres bolas. Calcula la

probabilidad de que las tres sean rojas:

a) Con reemplazamiento.

b) sin reemplazamiento.

Solución:

A) Con reemplazamiento, las tres pruebas son independientes:

( ) ( ) ( ) ( )27

8

3

2

6

4·

6

6·

6

4··3

3

=

=== RPRPRPRP

B) Sin reemplazamiento, las tres pruebas son dependientes:

( ) ( ) ( ) ( )5

1

4

2·

5

3·

6

4ª2ª1/ª3·ª1/ª2·ª13 === RRyRPRRPRPRP

Ejemplo 16º: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su

probabilidad es 8

3)( =AP , pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles

8: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX.

Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido B={hay, como mínimo una cruz}

(que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/B), sería:

)(

)(

8

78

3

7

3)/(

BP

BAPBAP

===


17º.- En una clase donde hay 20 chicos y 10 chicas, se han ofrecido inglés y francés como opciones

para cursar lengua extranjera. Han elegido inglés 25 alumnos y el resto han optando por el francés;

además se sabe que sólo dos de las 10 chicas han preferido francés. Calcula la probabilidad de los

siguientes sucesos:

a) Tomar al azar un nombre de la lista que sea el de un chico.


b) Elegir un chico que estudia francés.

c) Sabiendo que se ha seleccionado un chico, que éste estudie francés.

Solución: Se construye la tabla:

A Chicos A Chicas Total

B Inglés 17 8 25

B Francés 3 2 5

Total 20 10 30

Observando la tabla se consideran los siguientes casos:

A = “el alumno elegido es chico”; A = “el alumno elegido es chica”; B = “el alumno elegido estudia

francés” y B = “el alumno elegido estudia inglés”.

Así tendremos:

a) p(chico) = p(A) = 20/30 = 2/3

b) p(chico que estudia francés) = p(AB) = 3/30 = 1/10

c) 20

3

30

2030

3

)(

)()/( ===

AP

BAPABP

ÁRBOL DE PROBABILIDADES:

Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su

probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que

nos lleva desde el principio hasta el final.

La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la

probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ejemplo 18º: Tenemos una urna A con 2 bolas

rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas

rojas y 4 verdes. Elegimos una urna al azar y de

ella extraemos una bola. Haz el árbol de

probabilidades y calcula la probabilidad de que

la bola extraída sea roja.

48,090

43

9

5

2

1

5

2

2

1)( ==+=rojaP


18º.- En las familias formadas por cuatro hijos la probabilidad de que éstos sean dos varones y dos

hembras es: a) ¼ b) ½ c) 3/8 d) No puede saberse.

Solución:

Construyendo un diagrama en árbol se tiene: P = 3/8.

19º.- De una baraja española se saca una carta y después otra sin devolver la primera. Calcula la

probabilidad de que:


a) La primera seas un as.

b) La segunda sea un as, si no se sabe si la primera lo fue o no.

c) Las dos sean ases.

Solución:

A) 10

1

40

4)( ==asP

B) Construyendo un diagrama de árbol se tiene: 1,010

1

130

13

130

12

130

1

39

4·

40

36

39

3·

40

4===+=+=P

C) 130

1

39

3·

40

4==P

20º.- Se considera una familia con tres hijos en la que la probabilidad de que uno de los hijos sea niño

es la misma que la de que sea niña. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) En la familia hay tres niñas.

b) Hay un sólo niño.

c) Sólo hay un niño ó una niña.

Solución:

A) 8

1)3( =chicasP ; B)

8

3=P ; C)

8

6=P


DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1º.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

Una función que a cada uno de los sucesos del espacio muestral le hace corresponder un número real se

llama variable aleatoria, y el conjunto de todos los posibles valores obtenidos se llama recorrido de la

variable.

En el ejemplo del número de caras obtenidas al tirar una moneda al aire, la variable aleatoria toma

valores de forma que entre cualesquiera dos de ellos, no siempre existen otros valores de la variable.

Por eso se dice que la variable es discreta.

Existen otras variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de los comprendidos en un

determinado intervalo de números reales, como, por ejemplo, el tiempo que tarda el autobús en llegar a

una parada o la talla de una persona elegida al azar. Estas variables se llaman variables aleatorias

continuas y en sus gráficas se representa la probabilidad mediante el área, como veremos más adelante.

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Como las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones estadísticas. La

probabilidad es una idealización de la frecuencia relativa N

fp i

i = , por lo que los parámetros se

expresan en función de ellas.

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA: = ii fp ·

VARIANZA: ( ) 22

i

22 ·p· −=−= iii xxp

DESVIACIÓN TÍPICA: 22· −= ii xp

Ejemplo 1º: Calcula la media y la desviación típica de la variable aleatoria, X, que cuenta el número de

caras al lanzar tres monedas.

Solución:

5,13·125,02·375,01·375,00·125,0 =+++= ; 866,075,0 ==

2º.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS.

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.


2º.- Se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen:

Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuencias 3 6 8 11 14 17 13 10 9 7 2


La media aritmética es:

99,6100

699·===

N

fxx

ii

La desviación típica es:

44,299,6100

5483 2 =−== s

En el intervalo ( ) ( )43,9;55,4, =+− sxsx está

el 65 % de los datos.

En el intervalo ( ) ( )87,11;11,22,2 =+− sxsx

está el 95 % de los datos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA

Una distribución de probabilidad es una modelización de la correspondiente distribución estadística de

frecuencias. Es decir, una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la tabla en

la que aparecen los diferentes valores de la variable aleatoria discreta con sus correspondientes

probabilidades.

La ley que asocia a cada valor de la variable su correspondiente probabilidad se llama función de

probabilidad.

Para que una distribución de probabilidad esté correctamente definida, las probabilidades de los

sucesos elementales del espacio muestral deben ser números no negativos y su suma debe ser 1.

Ejemplo: “Número obtenido” al lanzar un dado:

xi 1 2 3 4 5 6

Pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ejemplo: “Suma de los resultados” al lanzar dos dados:

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pi 1/36 2/36 3/3 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36


Ejemplo: “Número de caras” al lanzar dos monedas:

xi 0 1 2

Pi 1/4 2/4 ¼


3º.- En el ejemplo anterior (se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen):

ESPACIO

MUESTRAL

E

(1,1) (1,2)

(2,1)

(1,3)

(2,2)

(3,1)

(1,4)

(2,3)

(3,2)

(4,1)

(1,5)

(2,4)

(3,3)

(4,2)

(5,1)

(1,6)

(2,5)

(3,4)

(4,3)

(5,2)

(6,1)

(2,6)

(3,5)

(4,4)

(5,3)

(6,2)

(3,6)

(4,5)

(5,4)

(6,3)

(4,6)

(5,5)

(6,4)

(5,6)

(6,5)

(6,6)

Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuencias

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

4º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Dibuja el árbol de probabilidades y representa

gráficamente la distribución de probabilidades.

Solución:

Si la moneda no está trucada, la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es la misma que la de

obtener cruz, y vale ½. Se tiene:


5º.- Lanzamos al aire una moneda tres veces. Supongamos que la moneda está trucada, de modo que la

probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6, mientras que la de obtener cruz es 0,4.

Dibuja el árbol de probabilidades y representa gráficamente la distribución de probabilidades.

Solución: Se tiene:

6º.- En el lanzamiento de dos dados consideramos la variable aleatoria que asocia a cada resultado el

mayor de los números obtenidos. Halla y representa la función de probabilidad asociada a dicha variable

aleatoria.

Solución:

X 1 2 3 4 5 6

Pi 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

7º.- Describe la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria “número de caras” en el

lanzamiento de cuatro monedas.

Solución:

nº de caras 4 3 2 1 0

probabilidad 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

8º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Se considera el experimento: ix = “ nº de caras obtenidas

al lanzar tres veces al aire una moneda”. Supongamos que la moneda está trucada, de modo que la

probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6. Representa la distribución de probabilidad de

esta variable.

Solución:

El recorrido de la variable es 3,2,1,0=R . Considerando el caso en que la moneda esté trucada con p(

C)=0,6, la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria es:


9º.- Halla la función de distribución correspondiente a la variable aleatoria “nº de caras” en el

lanzamiento de tres monedas, y represéntala gráficamente.

Solución:

x F(x)

x < 0 0

0 x < 1 1/8

1 x < 2 4/8

2 x < 3 7/8

3 x 1

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Como las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones estadísticas. La

probabilidad es una idealización de la frecuencia relativa N

fp i

i = , por lo que los parámetros se

expresan en función de ellas.

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La media de una variable aleatoria representa el valor central que tomaría la variable si toda la

distribución correspondiese a un único valor de la misma. Se llama también valor esperado o esperanza

matemática y se representa con la letra griega .

La media de una variable discreta es la suma de todos los productos obtenidos multiplicando cada valor

de la variable por su correspondiente probabilidad:

=

= iiii fp

N

fxx ·

·

El valor de la media es el parámetro utilizado para medir si un juego es equitativo o no: una esperanza

igual a cero indica que no hay ventaja para ningún apostante.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Para medir la dispersión de los valores de la variable respecto de la media, se pueden utilizar las

desviaciones de cada valor respecto de ella y hallar su valor medio, pero como la suma de las

desviaciones positivas coincide con la de las negativas, esto daría siempre cero y, por tanto, no sirve

para medir la dispersión.

Para prescindir de los signos tenemos dos métodos: utilizar valores absolutos o sumar los cuadrados

(que siempre son positivos), hallando posteriormente la raíz cuadrada.

Llamamos varianza al parámetro que se obtiene al hacer la media de los cuadrados de las desviaciones

respecto de la media:

( ) 22

i

22 ·p· −=−= iii xxp

Llamamos desviación típica a la raíz cuadrada de la varianza:

22· −= ii xp


Ejemplo 10º: En una caja hay bombillas, unas lucen, son buenas, y otras no lucen, son defectuosas, con

igual probabilidad ambas. Elegimos dos bombillas. Tomamos como variable aleatoria “número de

bombillas defectuosas”.

A) Encuentra el espacio muestral y estudia si la variable aleatoria es o no discreta.

B) Construye la distribución de probabilidad y comprueba que 1= ip .

Solución: A) E={BB, BD, DB, DD}; la variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2, por lo que es discreta.

B)

X 0 1 2

Pi 1/4 2/4 1/4

14

1

4

2

4

1)2()1()0( =++==+=+== XpXpXppi

Ejemplo 11º: Lanzamos dardos a una diana circular con tres círculos concéntrico y cada uno con un

número del 1 al 6 y obtenemos la siguiente distribución de probabilidad:

X 1 2 3 4 5 6

Pi 0,32 0,28 a 0,12 0,06 0,01

A) Halla el valor de a para que se trate de una distribución de probabilidad.

B) Calcula: )42(,),3(),4( xpyxpxp

Solución: A) 1)6()5()4()3()2()1( ==+=+=+=+=+= xpxpxpxpxpxp

Por tanto: 0,32 + 0,28 + a + 0,12 + 0,06 + 0,01 = 1, es decir: a = 0,21.

B) 19,001,006,012,0)6()5()4()4( =++==+=+== xpxpxpxp

6,028,032,0)2()1()3( =+==+== xpxpxp

21,0)3()42( === xpxp

Ejemplo 12º: Lanzamos tres monedas al aire. Definimos la variable aleatoria “número de caras

obtenidas”.

A) Encuentra el espacio muestral.

B) ¿Qué valores toma esta variable aleatoria?

C) Construye la distribución de probabilidad.

D) Calcula la media y la desviación típica de esta variable aleatoria.

Solución: A) E={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

B) La variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2 y 3, por lo que es discreta.

C)

X 0 1 2 3

Pi 1/8 3/8 3/8 1/8

D) 5,18

12

8

1·3

8

3·2

8

3·1

8

1·0 ==+++=

87,04

35,1

8

1·3

8

3·2

8

3·1

8

1·0 22222 ==−+++=

Ejemplo 13º: En una bolsa hay 20 bolas numeradas: 9 con un “1”, 5 con un “2” y 6 con un “3”. Se extrae

una bola al azar. Construye la distribución de probabilidades y halla sus parámetros y .

Solución:

( ) 45,020

91 ==p ; ( ) 25,0

20

52 ==p ; ( ) 30,0

20

63 ==p


ix ip ii xp · 2· ii xp

1 0,45 0,45 0,45

2 0,25 0,50 1,00

3 0,30 0,90 2,70

1 1,85 4,15

85,1· == ii fp ; 7275,085,115,4·p 222

i

2 =−=−= ix ; 85,07275,0 ==

Ejemplo 14º: Halla y en la distribución que se obtiene al sumar las puntuaciones de dos dados.

Solución:

ix ip ii xp · 2· ii xp

2 1/36 2/36 4/36

3 2/36 6/36 18/36

4 3/36 12/36 48/36

5 4/36 20/36 100/36

6 5/36 30/36 180/36

7 6/36 42/36 294/36

8 5/36 40/36 320/36

9 4/36 36/36 324/36

10 3/36 30/36 300/36

11 2/36 22/36 242/36

12 1/36 12/36 144/36

252/36 1974/36

736

252== ; 415,27

36

1974 2 =−=


15º.- Un amigo propone el siguiente juego: “Lanzamos un dado. Si sale múltiplo de tres, yo te doy 6 €,

y, en caso contrario, tu me das 4 €”. ¿Se debería aceptar el juego? ¿En qué condiciones se debería

aceptar?

Solución:

Variable aleatoria: ix = “premio obtenido en el juego”. Su distribución de probabilidad se puede ver en

la siguiente tabla:

Para averiguar si el juego es equitativo se calcula la esperanza matemática de la variable:


ix ip ii px · 2

ix ii px ·2

-4 2/3 -8/3 16 32/3

6 1/3 6/3 36 36/3

1 -2/3 52 68/3

3

2−= ;

9

200

9

4

3

682 =−= ; 3

210=

67,03

1·6

3

2·4 −=+−= €. No se debería aceptar el juego propuesto, ya que resulta ventajoso para el

amigo que lo propone.

Si cada vez que saliera un múltiplo de tres, él diera 8 €, entonces el juego sería equitativo:

03

1·8

3

2·4 =+−=

16º.- Halla la media o valor esperado de la variable aleatoria x, cuya función de probabilidad es:

X 1 2 3 4 5 6

Pi=P(X=xi) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Solución: 47,4=

17º.- Un jugador lanza tres monedas. Recibe 1000 euros, si salen tres caras; 250 euros, si salen dos

caras; y nada, si sale cualquier otra combinación. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que el

juego fuese equitativo o justo?

Solución:

ix 1000 250 0

ip 1/8 3/8 4/8

€75,2188

1750==

18º.- En un sorteo pueden tocar seis premios de 600, 60 y 6 € con probabilidades de 0,0001; 0,0005 y

0,002, respectivamente.

Considerando la variable ix = “premio conseguido”, halla y . Se debe tener en cuenta que la suma

total de las probabilidades de los valores de la variable debe ser 1.

Solución:

ix ip ii px · 2

ix ii px ·2

600 0,0001 0,0384 360000 13824

60 0,0005 0,1923 3600 692,28

6 0,002 0,7692 36 27,69

14543,97

23,39= ; 03,11423,3997,14543 2 =−=


19º.- En la siguiente distribución de probabilidad, calcula el valor de k, la media de la variable y su

desviación típica:

ix 1 2 3 4 5

ip 0,25 0,2 k 0,15 0,15

Solución: 25,075,01115,015,02,025,0 =−==++++ kk

ix ip ii px · 2

ix ii px ·2

1 0,25 0,25 1 0,24

2 0,2 0,4 4 0,8

3 k = 0,25 0,75 9 2,25

4 0,15 0,6 16 2,4

5 0,15 0,75 25 3,75

9,44

75,275,06,075,04,025,0 =++++= ; 3702,15625,744,9 =−=

20º.- Calcula la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad

es:

ix 1 2 3 4 5 6

ip 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Solución: 47,4= ; 41,199,1 ==

21º.- En el lanzamiento de tres dados consideramos la variable aleatoria consistente en anotar el

número de múltiplos de tres que aparecen.

a) Halla su función de probabilidad y represéntala.

b) Determina su función de distribución y represéntala.

c) Halla la media y la desviación típica.

Solución: a)

ix 0 1 2 3

ip 64/216 96/216 48/216 8/216


B)

x F(x)

x < 0 0

0 x < 1 64/216=0,2963

1 x < 2 160/216=0,7407

2 x < 3 208/216=0,9630

3 x 216/216=1

C)

1216

8·3

216

48·2

216

96·1

216

64·0 =+++=

8165,06667,01216

8·3

216

48·2

216

96·1

216

64·0 22222 ==−+++=

22º.- Determina el valor de k en las siguientes distribuciones de probabilidad:

a)

ix 1 2 3 4

ip 0,3 3k k 0,3

b)

ix 0 2 3 4 5

ip k 3k 2k 3k k

En ambos casos, halla las funciones de distribución y los parámetros y .

Solución: a) 1,013,0133,0 ==+++ kkk

ix x<1 1 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x

F(x) 0 0,3 0,6 0,7 1


4,23,0·41,0·33,0·23,0·1 =+++=

2,14,23,0·41,0·33,0·23,0·1 22222 =−+++=

b) 10/11323 ==++++ kkkkkk

ix 0 2 3 4 5

ip 1/10 3/10 2/10 3/10 1/10

ix x<0 0 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x < 5 5 x

F(x) 0 1/10 4/10 6/10 9/10 1

9,210

29

10

1·5

10

3·4

10

2·3

10

3·2

10

1·0 ==++++= ; 375,189,1 ==

23º.- Lanzamos una moneda cuatro veces. Sea X el número de caras consecutivas. Halla la función de

probabilidad, la media y la desviación típica.

Solución:

ix 0 1 2 3

ip 8/16 5/16 2/16 1/16

75,016

12

16

1·3

16

2·2

16

5·1

16

8·0 ==+++= ; 372,18819,1 ==

24º.- Dos bolas son tomadas de una urna que contiene cinco bolas numeradas con 1, 1, 2, 2 y 3. Sea X la

suma de números e Y el mayor de los números obtenidos. Halla la función de probabilidad, la media y la

desviación típica de:

a) X b) Y; c) X+Y; d) XY

Solución:

A)

ix 2 3 4 5

ip 2/20 8/20 6/20 4/20

6,320

4·5

20

6·4

20

8·3

20

2·2 =+++= ; 42,2=

B)

ix 1 2 3

ip 2/20 10/20 8/20

2,220

8·3

20

10·2

20

2·1 =++= ; 93,0=

C) Z1 = X + Y

1z 3 4 5 6 7 8

ip 4/400 36/400 108/400 132/400 88/400 32/400

9,5= ; 12,1=


D) Z2 = X · Y

2z 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15

ip 4/400 16/400 32/400 8/400 96/400 60/400 64/400 40/400 48/400 32/400

28,8= ; 178,3=

25º.- Un jugador lanza tres monedas. Gana 500 €, si salen tres caras; 250 €, si salen dos caras; y 100

€ si sale una cara. Si el juego es equitativo, ¿cuánto deberá perder cuando no sale ninguna cara?

Solución:

ix 500 250 100 x

ip 1/8 3/8 3/8 1/8

Equitativo: €145008

1·

8

3·100

8

3·250

8

1·5000 −==+++= xx

26º.- Un jugador lanza un dado y cobra tantos euros como indica el número obtenido. ¿Cuánto debe

pagar por jugada para que el juego sea equitativo?

Solución:

ix 1 2 3 4 5 6

ip 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

5,36

1·6

6

1·5

6

1·4

6

1·3

6

1·2

6

1·1 =+++++= . Pagar 3,5 € por jugada

27º.- Un jugador lanza dos dados, y cobra tantos billetes de 5 € como veces aparezca el cinco.

Describe este juego mediante una variable aleatoria. ¿Es rentable participar en este juego, si para ello,

hay que pagar 3 € por tirada?

Solución:

ix 0 1 2

ip 25/36 10/36 1/36

€33,0= ; El valor del juego es 1,67 €. No resulta rentable si paga 3 € por tirada.

28º.- En una urna hay 20 bolas marcadas: diez lo están con el 1, cinco con el 5, cuatro con el 10 y una

con el 125. El juego consiste en extraer una bola al azar, obteniéndose como premio tantos euros como

indica el número que la bola lleva marcado, X.

a) Escribe la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.

b) Calcula la ganancia media .

c) Si para poder participar tienes que pagar 15 euros por jugada, ¿interesa hacerlo?

Solución: A)

ix 1 5 10 125

ip 10/20 5/20 4/20 1/20

B) 10= ; C) No interesa a 15 €/jugada, porque se pierden 5 E/juagada de media.


29º.- Un jugador lanza un dado. Si sale un número primo, gana este número de euros, pero, si sale un

número que no es primo, pierde este número de euros. ¿Es favorable este juego para el jugador?

Solución:

ix -6 -4 -1 2 3 5

ip 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6/1−= ; Juego desfavorable para el jugador.

3º.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La variable aleatoria ix = “nº de veces que ocurre el éxito A cuando se realiza el experimento n veces”

sigue una distribución de probabilidad binomial de parámetros ‘n’ y ‘p’, y se representa por B(n,p),

cuando:

- el experimento se repite un número determinado n de veces idénticas.

- cada vez que se realiza se pueden considerar sólo dos posibles resultados, A = éxito y A =

fracaso.

- La probabilidad de estos dos sucesos es la misma cada vez que se realiza el experimento:

p(A)=p; ( ) qAp = ; con p + q = 1. Es decir, los experimentos son independientes.

Consideremos el lanzamiento tres veces consecutivas

de una moneda trucada. Generalizando a una moneda

en la cual la probabilidad de obtener cara es p( C)=p y

la de obtener cruz es P(X)=q, es evidente que p + q = 1.

La suma de todas las probabilidades de la distribución

es:

( ) ( ) ( ) ( ) =+++=+++ 3223 330123 qpqqpppppp

( ) 1133==+= qp

Tenemos que la probabilidad de que la variable ix = “nº de caras en tres lanzamientos” tome cada uno

de sus valores, viene descrita por cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del binomio

( )3qp + .

Se puede demostrar que, si en lugar de tres lanzamientos, se realizan n, las probabilidades se

comportan de la misma forma. Entonces cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del

binomio ( )nqp + representa la probabilidad de que la variable ix = “nº de caras en ‘n’ lanzamientos”

tome el valor correspondiente al exponente del término p.

NOTA: Recordamos que el desarrollo de la potencia de ( )nqp + viene dado por el binomio de Newton:

( ) nknknnnnq

nqp

k

nqp

n

nqp

n

np

n

nqp

++

++

−+

−+

=+ −−−

0......

21

221


NOTA: El número combinatorio

k

n representa el número de grupos distintos de k elementos que se

pueden formar eligiéndolos de entre n elementos. Se calcula aplicando la expresión: ( )!!·

!

knk

n

k

n

−=

.

(También se pueden calcular los números combinatorios leyéndolos de las filas correspondientes del

triángulo de Tartaglia).

Entonces resulta que la probabilidad de que la variable ix tome el valor k viene dada por la expresión:

( ) ( ) ( ) knkknk

i ppk

nqp

k

nkpkxp

−− −

=

=== 1 , con k = 0, 1, 2, …, n.

Esta es la función de probabilidad de la distribución binomial.

Nº de

éxitos: r

0 1 2 … n-1 n

ip nq

n

0

1·1

−

nqpn

22·2

−

nqpn

qpn

nn ·

1

1−

− np

n

n

Es decir, la posibilidad de obtener k éxitos será: ( ) ( ) knk ppk

nkp

−−

= 1 .


30º.- Lanzamos un dado 20 veces. Observamos, en cada caso, si la puntuación obtenida es múltiplo de

tres. Comprueba si la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres

sigue la distribución binomial. En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.

Solución: En cada tirada: A = obtener múltiplo de 3; son 20 lanzamientos: resultados independientes.

p(A) = 2/6 = 1/3 = constante; Los valores posibles de la variable (0, 1, 2, 3, …, 19, 20)

Parámetros de la distribución: n=20; p = 1/3. Por tanto: B(20, 1/3)

31º.- Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de que salga cara en cada lanzamiento

es p = 0,3. Halla la probabilidad de que:

a) En cinco lanzamientos se obtengan 3 caras.

b) En 10 lanzamientos se obtengan 6 caras.

Solución:

a) p(3 caras en 5 tiradas) = 1323,049,0·027,0·107,0·3,0·3

523 ==

b) p(6 caras en 10 tiradas) = 0368,02401,0·10·29,7·2107,0·3,0·6

10446 ==

−

32º.- Se toman 10 bombillas de un almacén en el que la probabilidad de que una sea defectuosa es

0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos bombillas defectuosas?

Solución: El número de bombillas defectuosas que hay entre las 10 elegidas es una variable aleatoria

que sigue una distribución binomial B(10; 0,03). Por tanto:


0317,097,0·03,0·2

10)2( 82 =

=p

33º.- En cierto país, la tasa de paro de la población activa es del 18 %. Si se toma una muestra de 30

individuos, ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 4 parados?

Solución: El número de parados en dicha muestra es una variable aleatoria que sigue una distribución

binomial B(30; 0,18). Por tanto:

1652,082,0·18,0·4

30)4( 264 =

=p

34º.- Se toman 5 bombillas de una caja de la que se sabe que la probabilidad de que cada bombilla no

luzca es de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas estén en mal estado?

Solución: El número de bombillas estropeadas que hay entre las 5 elegidas es una variable aleatoria que

presenta una distribución binomial B(5; 0,03). Por tanto:

0082,0000821,0·2

597,0·03,0·

2

5)2( 32 =

=

=p

35º.- Se sabe que tres de cada 10 alumnos de un país hablan inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que en

una clase de 40 alumnos haya, al menos, 5 alumnos que sepan inglés?

Solución: El número de alumnos en una clase de 40 que saben inglés es una variable aleatoria que sigue

una distribución binomial B(40; 3/10).

( ) ( ) ( ) ( )40...655 pppxp i +++=

Podemos abreviar este cálculo considerando el suceso contrario:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++−=−= 432101515 pppppxpxp ii

9974,010·96,110·95,410·12,910·09,110·37,61 34557 =++++−= −−−−−

MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Dada una distribución binomial de la forma: B(n,p), tenemos:

pn·= y qpn ··=


36º.- Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50. Calcula la probabilidad de que en una

familia de seis hijos sean:

a) Todos varones.

b) Al menos, dos varones.

c) Tres varones

d) Calcula la media y la desviación típica.

Solución: B(6,1/2); x = nº hijos varones en familias de 6 hijos.

A) todos varones: ( ) 015625,02

1·

6

66

6

=

==xp

B) al menos dos varones:


( ) ( ) ( ) ( ) 890625,0109375,012

1

2

1

1

6

2

1·

0

61101212

56

=−=

−

−==−=−=−= xpxpxpxp

C) tres varones: ( ) 3125,02

1·

2

1·

3

63

33

=

==xp

D) 32

1·6· === pn ; 223,1

2

1·

2

1·6·· === qpn

37º.- Calcula la media y la desviación típica de una variable aleatoria que sigue una distribución

binomial con n = 40 y p = 0,3.

Solución: Es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(40; 0,3).

123,0·40 == ; 90,28983,27,0·3,0·40 ==

MANEJO DE TABLAS EN B (n,p)

Las probabilidades de este tipo de variables aleatorias están tabuladas.

Se analizan tres datos:

n = número de experimentos

p = probabilidad de acierto

r = número de aciertos

Con los parámetros n y r determinamos la fila, con p determinamos la columna.



38º.- Se lanza un mismo dado 12 veces. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Exactamente una vez 5 en los 12 lanzamientos.

b) Exactamente 3 veces 5 en los 12 lanzamientos.

c) Al menos una vez 5 en los 12 lanzamientos.

d) Al menos 3 veces 5 en los 12 lanzamientos.

Solución: 12 veces; x = nº de cincos; B(12,1/6)

A) ( )111

6

5·

6

1·

1

121

==xp

B) ( )93

6

5·

6

1·

3

123

==xp

C) al menos un 5: ( ) ( )120

6

5

6

1·

0

121011

−==−= xpxp

D) al menos tres cincos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−=−=−= 2101313 xpxpxpxpxp

39º.- En el ejercicio anterior, calcula la media y la desviación típica de la variable ix = “nº de cincos

obtenidos en 12 tiradas”.

Solución: 5

1·12· == pn ;

5

6·

5

1·12=

40º.- Según un estudio estadístico realizado entre jóvenes de 15 y 16 años, se observa que el 40 %

practica deporte habitualmente. ¿Cuál es la probabilidad de que lo hagan menos de la cuarta parte de

una clase de 20 alumnos de esa edad? En una muestra de 500 jóvenes, ¿cuál es el valor de la media y la

desviación típica del número de deportistas?

Solución: 40 % deporte; n = 20; p = 40/100 = 0,4; B(20; 0,4)

A) menos de 1/4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+=+=+=+===

43210520·

4

1xpxpxpxpxpxpxp

B) n=500; B(500; 0,4); 2004,0·500 == ; 6,0·4,0·500=

41º.- Una empresa fabrica chips para ordenadores personales. Tras varios controles de calidad,

descubre que el 5 % de los que fabrica son defectuosos. El último año fabricó 80000. ¿Cuántos debe

esperar que resulten defectuosos?

Solución: p (defectuosos) = 0,05; n = 80000; defectuosos: n · p = 80000 · 0,05 = 4000 chips

42º.- Lanzamos un dado cinco veces y observamos el resultado obtenido. Considerando los resultados

que son múltiplos de tres, calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de tres en cada uno de los

cinco lanzamientos.

Solución: B(n = 5; p = 2/6 = 1/3); ( ) 0041,03

1·

5

55

5

=

==xp (tabla)

43º.- Un arquero tiene una probabilidad de 5/6 de hacer blanco. Si realiza cuatro disparos, calcula:

a) La probabilidad de hacer dos blancos.

b) La probabilidad de hacer dos o más blancos.


Solución: B(4, 5/6) A) ( ) 1157,06

1·

6

5·

2

42

22

=

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+

+

==+=+==

4322

6

5·

4

4

6

1·

6

5·

3

4

6

1·

6

5·

2

44322 xpxpxpxp

9838,04823,03858,01157,0 =++=

44º.- En una urna hay 3 bolas blancas y 7 negras. Se extraen, con devolución, 3 bolas y se observa

cuántas son de color blanco. Calcula:

a) La función de probabilidad, la media y la desviación típica.

b) P(X2).

c) P(X1).

Solución: n = nº experimentos; r = nº éxitos; p = 3/10

A) x = nº bolas blancas

ix 0 1 2 3

ip 0,343 0,441 0,189 0,027

9,0= ; 794,0=

B) ( ) ( ) ( ) ( ) 973,0189,0441,0343,02102 =++==+=+== xpxpxpxp

C) ( ) ( ) ( ) ( ) 216,0441,0343,01101111 =−−==−=−=−= xpxpxpxp

45º.- De una baraja de 40 cartas se extraen, con devolución, cuatro cartas y se anota el número de

copas que aparecen. Halla la función de probabilidad y la esperanza matemática.

Solución:

ix 0 1 2 3 4

ip 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039

1= ; 86,0=

46º.- La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es:

X

P a b c

Sabiendo que P(X2)=0,7 y P(X2)=0,75, halla la esperanza matemática y la desviación típica.

Solución:

1,0;45,0;15,0

75,02,075,0)2(

7,01,07,0)2(

13,0

===

=++=

=++=

=+++

cba

cbxp

baxp

cba

ix 0 1 2 3 4

ip 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039

15,2= ; 1948,1=

47º.- Dada la distribución de la variable aleatoria discreta X, P(X=1)=3/10; P(X=2)=4/10 y

P(X=3)=3/10, ¿cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria esté en el intervalo [-,+]?

Solución:

ix 1 2 3

ip 3/10 4/10 3/10


2= ; 77,06,0 ==

( ) ( )10

4)2(77,223,1,77,2;23,177,02;77,02, ====+−=+−=+− xpxpp

48º.- Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:

Xi 1 2 3 4 5 6

Pi 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 x

a) Completa la distribución de probabilidad.

b) Calcula la media y la desviación típica.

Solución: A) 18

51

6

1

18

5

9

1

18

1

9

1==+++++ xx

ix 1 2 3 4 5 6

ip 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 5/18

B) 17,4= ; 5986,1=

49º.- La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es de 51,7 %. Halla la probabilidad de

que una familia de 5 hijos tenga:

a) Por lo menos una niña.

b) Por lo menos un niño.

Solución:

A) P (al menos una niña) = 1 – P (ninguna niña) 9631,0517,0·5

51 2 =

−=

B) ( ) ( ) ( ) 9737,0483,0·0

5101111 5 =

−==−=−= xpxpxp

50º.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es de 0,3. Calcula la

probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso:

a) Los siete finalicen la carrera.

b) Al menos dos acaben la carrera.

Solución: B(7; 0,3)

A) ( ) 000227,03,0·7

77 7 =

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) =

−

−==−=−=−= 67 7,0·3,0·

1

77,0·

0

71101212 xpxpxpxp

6706,02471,00824,01 =−−=

51º.- Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de

sacar cruz. Se lanza seis veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades:

a) Obtener dos veces cruz.

b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz.

Solución: B(4; 4/5); p(cara)=4/5; p(x)=1/5

A) ( ) 2458,05

1·

5

4·

4

44

24

=

==xp


B) ( ) ( ) ( ) =

+

+

==+=+=

2456

5

1

5

4·

4

7

5

1

5

4·

5

6

5

4·

6

6456 xpxpxp

9011,02458,03932,02621,0 =++=

52º.- Una moneda está trucada, de forma que la probabilidad de sacar cruz es 7/11. Se lanza la

moneda 10 veces. Encuentra:

a) La probabilidad de sacar 8 caras.

b) La probabilidad de sacar, al menos, una cruz.

Solución: B(10; 4/11)

A) ( ) 0056,011

7·

11

4·

8

108

28

=

==xp

B) P (al menos una cara) m= 1 – P (ninguna cara) 99996.000004,0111

4·

10

101

10

=−=

−=

53º.- En un juego se gana cuando, al lanzar dos dados, se obtiene suma de 10 puntos, o más. Un jugador

tira en 12 ocasiones los dos dados. Calcula:

a) Probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones.

b) Probabilidad de que pierda las doce veces que juega.

Solución: B(12; 1/6)

A) ( ) 1974,06

5·

6

1·

3

123

93

=

==xp

B) ( ) 1122,06

5·

0

120

12

=

==xp

54º.- Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60 % de los casos.

A) ¿Cuál es la probabilidad de que, de cinco pacientes que siguen el tratamiento, los cinco mejoren?

B) ¿Y de que cuatro no experimenten mejoría?

Solución: P (éxito) = 0,6; 5 pacientes

A) que los 5 mejoren: ( ) 0777,06,0·5

55 5 =

==xp

B) que 4 no mejoren: ( ) 0768,04,0·6,0·1

51 4 =

==xp

55º.- La probabilidad de que un alumno de primero de bachillerato estudie Matemáticas I es de 0,4.

Calcula la probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos elegidos al azar haya exactamente 7 que no

estudien Matemáticas I.

Solución: B(10; 0,4); ( ) 2150,06,0·4,0·3

103 73 =

==xp

56º.- Un arquero tiene una probabilidad de hacer blanco de 4/5. Si tira 3 veces, calcula:

a) La probabilidad de hacer blanco exactamente una vez.

b) La probabilidad de hacer blanco más de una vez.

Solución: B (3; 4/5)

A) ( ) 096,05

1·

5

4·

1

31

2

=

==xp


B) ( ) ( ) ( ) 896,0512,0384,05

4·

3

3

5

1·

5

4·

2

3321

32

=+=

+

==+== xpxpxp

57º.- Una variable aleatoria X sigue la ley binomial de tipo B(5; 0,3). Determina:

a) Su función de probabilidad.

b) La media y la desviación típica.

c) La función de distribución F(x).

Solución: A)

ix 0 1 2 3 4 5

ip 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024

B) 5,13,0·5· === pn ; 025,17,0·3,0·5·· === qpn

x F(x)

x < 0 0

0 x < 1 0,1681

1 x < 2 0,5283

2 x < 3 0,8370

3 x < 4 0,9693

4 x < 5 0,9977

5 x 1

58º.- Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se saca una bola al azar, se apunta el color, y se

devuelve a la urna. Si la experiencia se repite 5 veces, halla:

a) La probabilidad de obtener dos bolas blancas.

b) La probabilidad de obtener, a lo sumo, dos bolas blancas.

Solución: B (5; 0,4)

A) ( ) 3456,06,0·4,0·2

52 32 =

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+

+

==+=+== 3245 6,0·4,0·

2

56,0·4,0·

1

56,0·

0

52102 xpxpxpxp

6825,03456,02592,00777,0 =++=

59º.- Supóngase que la probabilidad de que una persona sea mujer es ½. Se eligen al azar 100 familias

de cinco hijos cada una. ¿En cuántas es de esperar que haya 2 mujeres y tres hombres?


p (2 mujeres y 3 hombres) 3125,02

1·

2

1·

2

532

=

=

En 100 familias: 100 · 0,3125 = 31 familias

60º.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con

las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años es de 3/5.

Determina la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:

a) Los cinco individuos.

b) Al menos tres.

c) Sólo dos.

d) Al menos uno.



A) ( ) 0778,05

3·

5

55

2

=

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+

+

==+=+==

5423

5

3·

5

5

5

2

5

3·

4

5

5

2·

5

3·

3

55433 xpxpxpxp

6826,00778,02592,03456,0 =++=

C) ( ) 2304,05

2·

5

3·

2

52

32

=

==xp

D) ( ) ( ) ( ) 9898,05

2·

0

5101111

5

=


61º.- El 2 % de camiones de un determinado modelo sufre averías durante la primera semana de

rodaje, cambiando el fabricante, en este caso, el camión a su propietario. Si una empresa de transporte

compró 10 vehículos de este modelo, calcula la probabilidad de que durante la primera semana de

rodaje:

a) Sufran avería dos camiones.

b) No se averíe ninguno de los diez.

c) Determina el número medio de camiones que tendrá que cambiar la fábrica este año si se

han vendido 50.000 camiones de este modelo.


A) ( ) 0153,098,0·02,0·2

102 22 =

==xp

B) ( ) 8171,098,0·0

100 10 =

==xp

C) 20000 · 0,02 = 1000 camiones

62º.- Clara juega al golf. La probabilidad de que Clara haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia

es de 0,2. Si lo intenta cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte ninguno? ¿Cuál es la

probabilidad de que acierte alguno? De cada 100 lanzamientos que haga a esa distancia, ¿cuántos

acertará por término medio?


P (no acertar ninguno) 3277,08,0·0

55 =

=

P (acertar alguno) 6723,03277,018,0·0

51 5 =−=

−=

De 100 acierta: 100 · 0,2 = 20 lanzamientos

63º.- La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es de 0,45. Se lanza la moneda siete

veces. Calcula la probabilidad de que:

a) Salgan exactamente tres caras.

b) Salgan, al menos, tres caras.

c) Salgan, a lo sumo, tres caras.


A) ( ) 2918,055,0·45,0·3

73 43 =

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−=−=−= 2101313 xpxpxpxpxp


6836,02140,00872,00152,0155,0·45,0·2

755,0·45,0·

1

755,0·

0

71 5267 =−−−=

−

−

−=

C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6082,02918,06836,01331313 =−−==−−=−= xpxpxpxp

64º.- En una determinada región, el 30 % de sus habitantes tiene sangre de tipo A. Se analiza la

sangre de 10 personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cinco personas con sangre de tipo A, entre las

examinadas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad tenga sangre de dicho tipo?

c) ¿Cuántos cabe esperar que tengan sangre de tipo A?


A) ( ) 1029,07,0·3,0·5

105 55 =

==xp

B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+=+=+=+== 432105 xpxpxpxpxpxp

=

+

+

+

+

= 647382910 7,0·3,0·

4

107,0·3,0·

3

107,0·3,0·

2

107,0·3,0·

1

107,0·

0

10

8497,02001,02668,02335,01211,00282,0 =++++=

C) De media: 10 · 0,3 = 3 habitantes tipo A

65º.- Cuatro de cada cinco candidatos consideran que los parques de su ciudad están mal conservados.

Si se eligen 10 ciudadanos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguno considere que los parques

están bien conservados?

Solución: B (10; 1/5); p = 1/5 (bien conservado)

( ) ( ) ( ) 8926,05

4·

0

10101111

10

=


66º.- En un examen trimestral de cierta asignatura suele aprobar el 70 % de los que se presentan.

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben los 8 alumnos que se han presentado en un día determinado?

¿Cuál es la probabilidad de que apruebe sólo uno?


( ) 0576,07,0·8

88 8 =

==xp ; ( ) 0012,03,0·7,0·

1

81 7 =

==xp

67º.- El 5 % de las bombillas fabricadas por una fábrica son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de

que 6 de 10 bombillas compradas funcionen correctamente? La empresa fabrica 150.000 durante un

año. ¿Cuántas bombillas cabe esperar que sean defectuosas?

Solución: B (10; 0,95); ( ) 001,005,0·95,0·6

106 46 =

==xp

De 150000 se tiene: 150000 · 0,05 = 7500 defectuosas

68º.- En una epidemia de gripe, tres de cada cinco personas de una población están afectadas por

dicha enfermedad. Elegidas 8 personas al azar, calcula:

a) Probabilidad de que tres de ellas padezcan la enfermedad.

b) Probabilidad de que, al menos cuatro, estén sanas.



A) ( ) 1239,05

2·

5

3·

3

83

53

=

==xp

B) p (al menos 4 sanos) = P (menos de 4 enfermos)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+=+=+=+== 43210 xpxpxpxpxp

=

+

+

+

+

=

44536278

5

2·

5

3·

4

8

5

2·

5

3·

3

8

5

2·

5

3·

2

8

5

2·

5

3·

1

8

5

2·

8

8

4061,02322,01239,00413,00079,00007,0 =++++=

69º.- Se ha hecho un estudio sobre las causas que producen la muerte de los conejos durante el

primer año de vida en una cierta zona y se ha observado que el 20 % muere porque se los come un

depredador (zorro, lobo, ave rapaz, ...); el 10 % muere por enfermedad (mixomatosis, ...); y el 15 % tiene

un accidente (son cazados, atropellados, ...).

a) ¿Qué probabilidad tiene un conejo de cumplir su primer año de vida?

b) En una camada de 10 conejos, ¿qué probabilidad hay de que, al menos 3, cumplan su primer

año de vida?

Solución:

A) p (morir 1 conejo) = 20 + 10 + 15 = 45 %

p (vivir) = 100 – 45 = 55 %. Por tanto: p = 0,55

B) B(10; 0,55); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−=−=−= 2101313 xpxpxpxpxp

9726,00274,010229,00042,00003,0145,0·55,0·2

1045,0·55,0·

1

1045,0·

0

101 82910 =−=−−−=

−

−

−=

70º.- En un examen tipo test hay 10 preguntas, con 4 respuestas posibles a elegir por cada una (siendo

sólo una de ellas correcta). Si una persona desconoce completamente la materia y responde al azar:

a) ¿Cuántas respuestas acertará por término medio?

b) ¿Cuánto vale la desviación típica?

c) ¿Qué probabilidad tiene de acertar, al menos, cinco preguntas y, por tanto, aprobar?

Solución: B(10; ¼)

A) 5,24

1·10 == preguntas.

B) 37,14

3·

4

1·10 ==

C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+=+=+=+=+== 10987655 xpxpxpxpxpxpxp

=

+

+

+

+

+

=

10928374655

4

1·

9

10

4

3·

4

1·

9

10

4

3·

4

1·

8

10

4

3·

4

1·

7

10

4

3·

4

1·

6

10

4

3·

4

1·

5

10

076,00600,000003,00004,0003,00162,00563,0 =+++++=


4º.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA

experimentos y sucesos aleatorios filelos métodos de conteo son estrategias utilizadas para...

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