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Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03

Allgemeine WellenlehreWellenfunktion

Unter einer Welle versteht man eine Störung, die sich mit der Zeit im Raume ausbreitet. Mit dem Transport des Bewegungs-zustandes ist ein Transport von Energie verknüpft. Sei x die Ausbreitungsrichtung, und c die Ausbreitungsgeschwin-digkeit.

x

)( 0xx )( 1xx

x0 x1

± v∙t

Dann befindet sich die Störung ψ(x0), welche sich zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x0 befunden hat, nach Ablauf der Zeit t an der Stelle x1 = x0 ± c∙t. Die Form der Auslenkung bleibt erhalten. )(')( 10 xxxx

)v(),( txftx

(fortschreitende Welle)

)v(),( txftx

(fortschreitende Welle)


Allgemeine WellenlehreEigenschaften der

Wellenfunktionψ(x,t) hängt nicht in unabhängiger Weise von x und t ab, sondern nur in der Kombination utx v

2

22

2

2

v

v

)(

xt

dud

tu

ut

dud

tx

ux

uf

Tt

Tt

Tt

t

43

2

4

0

Jede Welle, unabhängig von ihrer Form, muß diese Gleichung erfüllen


Allgemeines über WellenHarmonische

Wellen Sie lassen sich als harmonische Schwingungen auffassen, die sich mit der Geschwindigkeit ausbreitenTv

Rückschreitende harmonische Welle: )(cos0 xkt

Fortschreitende harmonische Welle:

)(cos0 xkt

t x

Bewegung des Punktes x Momentanaufnahme zur Zeit t

t x

Periode T Wellenlänge λ

T2

Kreisfrequenz: Wellenzahl:

k2

Auslenkung erfolgt in Ausbreitungsgeschwindigkeit

Longitudinalwellen

Transversalwellen

Auslenkung erfolgt senbkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit


Allgemeines über WellenBeispiele für Wellen

1. Harmonische Oszillatorkette

2

22

2

2

xmak

t

Die Wellengleichung lautet:Die Störung ψ breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v aus:

mak 2

v

k = Federkonstante

m = Masse des Oszillators

a = OszillatorabstandIst die Störung harmonisch, lautet die Welle: kxt cos0

(x = Ausbreitungsrichtung)

Phase:

constxkt

Phasengeschwindigkeit:

Tkdtdx

phph vv


Allgemeines über WellenBeispiele für

WellenPeriodische Druckschwankungen breiten sich in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern als Schallwellen aus.

tp cos0 p p + d p

xd x

K o l b e n

tp cos0 p p + d p

xd x

K o l b e n

xp

dtd

dxxp

Adtd

Adx

2

2

2

2

dxxp

pdpxpdxxp

)()(

Der Druck an der Stelle x sei p(x), an der Stelle x+dx p(x+dx):

x

x

Betrachten wir die Bewegung des Volumen-elementes dV =A dx an der Stelle x. Die Druckdifferenz führt einerseits zu einer Verschiebung ξ von dV aus seiner Ruhelage gemäß der Gleichung

andererseits nach dem Hook‘ schen Gesetz zu einer Kompression:

2

2

2

2 111xdt

dxV

Vp

• Longitudinale Wellen: z.B. Schallwellen


Allgemeines über WellenSchallwellen

Wellengleichung : 2

2

2

2 1xt

v

pst c

cP

1

V

P

ccP

v phadiabatische

Zustandsänderung

ist die Kompressibilität bestimmt durch den statischen Druck Pst:

In Gasen: Longitudunalwellen

Isotherme ZustandsänderungstP1

stP

v ph

MetallstabE1

E

v ph

Saite der Spannung T

T

v ph

Beispiel: Luft

][34010013.1][3.14.1 1ph

53 smvPaPmkgcc VP


Allgemeines über WellenBeispiele für Wellen

• Transversale Wellen: z. elektromagnetische Wellen

Ein einfacher Schwingkreis bestehe aus einem Kondensator C, dessen Platten über einen kreisförmigen Leiter miteinander verbunden seinen. Der Leiter besitzt auf diese Weise eine Induktivität L. Die Eigenfre-quenz beträgt auf diese Weise .

Man kann den Draht so verbiegen, dass die Eigenfrequenz erhalten bleibt. Im Grenzfall erhält man einen linearen Oszillator, den soge-nannten Hertz´schen Dipol. Legt man an ihm eine Wechselspannung mit der Frequenz ω0, werden die elektrischen Ladungen zu Schwingungen angeregt. Dabei strahlen sie elektromagnetische Wellen ab.

CL 10

AqntI

dtdv

aAqntI

v

cossin 00

(A = Leiterquerschnitt n = Elektronendichte q = Ladung)

sdEadBdtd

A

sdBadE

dtd

A

00

1mit:

2

2

002

2

2

2

002

2 11zB

tB

undzE

tE

findet man:


Allgemeines über WellenDer Hertz‘ sche Dipol

L

C


Allgemeines über WellenDie Hertz‘sche Dipolstrahlung


Allgemeines über WellenStrahlung eines schwingenden Dipols

tDipolmomenp

tpp

.max

sin

0

0

20

4 pconstEStrahlung

2

2cosr

const

+

-

Phasengeschwindigkeit im Vakuum: 18

00ph 103

1v smc

Phasengeschwindigkeit im Medium:

rrrr

c

111

v00

ph

Berechungsindex n: rr

cn

phv


Allgemeines über WellenBeispiele für WellenMateriewellen

Nach Louis de Broglie läßt sich jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Welle der Wellenlänge λ ( de Broglie Wellenlänge) zuschreiben:

Wellenzahl2

antumWirkungsquePlanck´sch2

kph

hhp

k

Uempmp

vm

Ue 222

22

Sei U das von den Teilchen durchlaufene Beschleunigungspotential. Dann gilt wegen der Energieerhaltung:

V

A

UUem

h0

3,12

2Elektronen:

thermische Neutronen:

K

m

TTkm

h 71008,1

3

mTkvtherm 3


Allgemeines über WellenReflexion und Transmission

Trifft eine Welle auf die Grenzfläche zweier Medien, mit unterschied-licher Ausbreitungsgeschwindigkeit, wird ein Teil der Welle reflektiert (Reflexion), ein Teil der Welle wird durchgelassen (Transmission).

an der Grenzfläche gelten folgende Bedingungen:

1. gleiche Kräfte auf beiden Seiten: 0,0,, refinotrans

2. Energieerhaltung :2

0,2

0,2

0, transrefin Mmm

mMMm

roderMmMm

mMm

todermM

m

in

refinref

in

transintrans

0,

0,0,0,

0,

0,0,0,

22

1. Harmonische Oszillatorkette

ref

x = 0

in trans

11

2

k2

2

2

k

Mm

xktinin 10, sin xktrefref 10, sin xkttranstrans 20, sin

Amplitudentransmis-sionskoeffizient

Amplitudenreflexions-koeffizient


Allgemeines über WellenReflexion und Transmission

Im allgemeinen wird von einer Welle Energie transportiert. Diese ist stets proportional zum Quadrat der Amplitude. Der relative Energie-anteil der reflektierten Welle wird durch den Reflexionsgrad R, der der transmittierten Welle durch den Transmissionsgrad T beschrie-ben:

22

22 4

1MmMm

TTRwegenMmMm

rR

Spezialfälle:

m<M 0 < t < 1 -1 < r < 0

m=M t = 1 r = 0

m>M 1 < t < 2 0 < r < 1


Allgemeines über WellenDer Wellenwiderstand

Analog zum Ladungstransport im Leiter, der durch den Widerstand bestimmt ist, läßt sich die Ausbreitung von Wellen beschreiben durch den Wellenwiderstand Z des Mediums. Dann gilt an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Wellenwiderstand:

21

12

ZZZZ

r

21

22ZZ

Zt

Beispiel: Schallwelle

phvZ

21

2

21

12

vvv2

vvvv

tr

21

1

21

21 2nnn

tnnnn

r

Beispiel: elektromagnetische Welle

nZ

cnHE

Z 0

0

1

3770Z


Allgemeines über WellenInterferenz von Wellen 101 sin kzt

t

kztkzt

sin

sinsin

0

202101 202 sin kzt

Zwei Wellen treffen sich zur Zeit t im Punkte P. Sie sollen bis dahin verschie-dene Wege zurückgelegt haben

1202012

022

010 cos2 zzk Amplitude:

Phase: 202101

202101

coscos

sinsintan

kzkz

kzkz

konstruktive Interferenz:

1

02010

12 ,...3,2,1,0

kz

nnzz

destruktive Interferenz:

1

02010

12 ,...3,2,1,02

12

kz

nn

zz


Allgemeines über WellenWellengruppe

Wir haben bisher nur Wellenzüge unendlicher Länge behandelt. Im allgemeinen hat man es aber nur mit endlichen Wellenzügen zu tun.Beispiel: Ein angeregtes Atom sendet Strahlung aus. Dauer

Länge des Wellenzuges: s810

mssmtph 310103v 818

Man kann einen endlichen Wellenzug sich vorstellen als Überlagerung zweier oder mehrerer unendlicher Wellenzüge benachbarter Frequen-zen.

tkt 2202 cos tkt 1101 cos

xktxkt coscos2 021

22

22

peWellengrupderAmplitudecos2

2121

2121

0

kkk

kkk

xkt

x(t) Gruppe

Schwingung


Allgemeines über WellenDispersionx(t) Gruppengeschwindigkeit

vgr

Phasengeschwindigkeit vph

k

v

gr 2121wenn kkund

Gruppengeschwindigkeit

Phasengeschwindigkeit

kph

v

dkd

v

gr

kph

v

Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig, spricht man von Dispersion.

kfc

kfph v

dk

dkv

dkd

v phphgr

v

in dispersiven Medien ist

phgr vv

Im allgemeinen ist 0v

dk

d ph

0vph dk

d Es liegt anormale Dispersion vor.

Es liegt normale Dispersion vor.


Allgemeines über WellenStehende Wellen

Sie entstehen bei der Überlagerung von fortschreitenden und rücklau-fenden Wellen.

• Reflexion am festen Ende (M>>m) kxtir cos,0

tkxiri coscos2 ,0

• Reflexion am losen Ende (m>>M)

kxtir cos,0

tkxiri sinsin2 ,0

Es entsteht eine Entkopplung der zeitlichen u. räumlicher Variablen. Ergebnis: Die einzelnen Massenpunkte schwingen mit konstanter Amplitude, die allerdings vom Ort abhängt. Es findet somit auch kein Transport der Energie statt!Ist der Reflexionskoeffizient r<1 erhält man stattdessen:

kxtiin cos,0

txkrr i sin2cos21 ,02


Allgemeines über WellenStehende Wellen auf einer schwingenden Saite

Bei einer Saite sind die beiden Enden fest eingespannt. Wird eine Schwingung erzeugt, breitet sie sich wellenartig aus. Am Ende wird die Welle reflektiert. Die reflektierte Welle läuft zurück und wird am anderen Ende ihrerseits reflektiert. Es kommt dabei zur Überlage-rung der fortschreitenden und der rücklaufenden Welle. Es entstehen stehende Wellen, wenn die Randbedingungen erfüllt sind:

Knoten: bezeichnet einen Punkt mit der Schwingungsamplitude NullBauch: bezeichnet einen Punkt mit maximaler SchwingungsamplitudeGrundschwingung: n=1 wird festgelegt durch die Länge der Saite 2L=λ

T

Ln

L

n

22

vv phph

nL2

nkLLxx 0)(0)0( n= 1,2,3,4…∞


Allgemeines über WellenStehende Welle in einem RohrEine Druckschwankung breitet sich in einem Rohr, wo das Gas nicht ausweichen kann, anders aus als im freien Raum. Dies führt dazu, daß die Schallwelle an einem offenen Ende frei schwingen kann. Sie wird dort so reflektiert, als sei M = 0. Der Reflexionskoeffizient ist positiv. Man beobachtet dann stehende Wellen, wenn gilt: nkLxLxxx 00 )()0( n= 1,2,3,4…

∞

nL2

0phph

22

vv PLn

L

n

124

nL

0ph

412

4

v12v PL

nL

n ph

212

0)()0( 0

nkLLxxx n=

0,1,2,3,4…∞


Allgemeines über WellenDopplereffekt

Tritt eine relative Bewegung zwischen dem Erreger der Welle und dem Beobachter auf, mißt man eine Frequenzverschiebungt, die mit zunehmender Geschwindigkeit wächst. Man bezeichnet dieses Phäno-men als den Doppler Effekt (siehe Christian Doppler(1803-1853)).

Bisher sind wir stillschweigend davon ausgegangen, daß der Erreger der Störung (Sender) und der Beobachter (Detektor) in Ruhe sind.

• Bewegte Quelle Sei 0 Ausgestrahlte Frequenz, v die Geschwindigkeit. Dann mißt der ruhende Beobachter die Frequenz

phvv

1

0 BeobachterQ

Flächen gleicher Phase

v

• Bewegter Beobachter

Q BeobachterQ

v

Der bewegte Beobachter misst ‘

ph0 v

1v


Allgemeines über WellenDer Mach‘ sche Kegel

• Bewegte Quelle mit v > vph

vxR phv

sin

tvph R

tvx

Mach‘ scher Kegel

2R

v


Leitbilder der PhysikChristian Doppler (1803-1853)

1803 Geboren am 29.11. in Salzburg

Studium der Mathematik und Physik

1835 Physikprofessor in Prag

1848 Professor Polytechnik Wien

1853 Gestorben in Venedig an Lungenerkrankung

Ausbreitung akustischer und optischer Wellen,

Entdeckung des Doppler-Effektes.

25.5.1842: Veröffentlichung des Buches

"Über das farbige Licht der Doppelsterne"

Experimentalphysik II, M. Hein, SS 02

Die lohnendsten Forschungen sind diejenigen, welche, indem sie den Denker erfreu'n, zugleich der Menschheit nützen.

experimentalphysik ii l.. paul, ss 03 allgemeine wellenlehre wellenfunktion unter einer welle...

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