¿existe algún número q multiplicado por 2 sea igual a 1? el conjunto de los números racionales...
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¿Existe algún número q multiplicado por 2 sea igual a 1?
El conjunto de los números racionales se representa por “Q”. Todo número racional puede expresarse en forma de razón a/b entre dos números enteros a y b¸ con b ≠ 0. a se llama numerador y b se llama denominador.
Se define la relación mayor que (>) del siguiente modo:
d
c
b
a 0
d
c
b
a
Ej:
021
1
21
)1415(
)37(
)27()35(
3
2
7
5
porque
010
1
10
)65(
)52(
)32()51(
5
3
2
1
porque
63
71
63
)3536(
)97(
)57()94(
9
5
7
4
24
31
24
)1516(
)83(
)53()82(
8
5
3
2
Casos particulares: Fracciones con igual denominador: conservamos el
denominador común y sumamos o restamos los numeradores.
Más de dos fracciones: la adición o sustracción de más de dos fracciones se resuelve preferentemente reduciendo las fracciones a denominador común (M. C. M.)
Aquel cuya representación decimal es infinita no periódica, por lo que, no pueden escribirse en la forma de fracción de números enteros a y b con b ≠ 0.
Ej: Raíces de números primos
π, e…
b
a
...3,2
Representados por la unión del conjunto de los números racionales con los irracionales.
El conjunto de los números reales es denso en la recta numérica. Esto es, entre dos números cualesquiera existe otro número real y por ende infinitos.
)'(QIQ
Razón: Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por división. Se lee “a es a b” a : b
Ej.: si Juan tiene 10 años y Pedro tiene 20 años, entonces la razón entre la edad de Juan y la edad de Pedro es:
La razón ½ indica que la edad de Juan es la mitad de Pedro.
2
1
20
10
20
10
años
años
P
J
Proporción: al simplificar la fracción 10/20 para obtener ½ nos encontramos con dos razones que tienen el mismo valor, es decir, estamos frente a una proporción.
Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones.
Teorema fundamental de la proporción: en la proporción a : b = c : d, a y b se conocen como términos extremos y c y d son los términos medios.
cbda
Componer con respecto al antecedente:
Componer con respecto al consecuente:
6
106
3
53
10
6
5
3
10
106
5
53
10
6
5
3
Descomponer con respecto al antecedente:
Descomponer con respecto al consecuente:
Componer y descomponer a la vez:
10
106
5
53
10
6
5
3
6
106
3
53
10
6
5
3
106
106
53
53
10
6
5
3
Ej.: las edades de dos personas suman 80 años y están en la razón 7 : 9 ¿Cuáles son las edades?
Sean A y B las edades buscadas. Entonces A/B = (7/9) y A + B = 80. El dato de la suma nos sugiere componer la proporción dada. Luego:
y , donde
Por lo tanto: A = 80 – B = 80 – 45 = 35. Es decir, las edades buscadas son 45 y 35 años.
9
97
B
BA9
168080
BBA
4516
980
B
Un automóvil con velocidad constante recorre 60 km en una hora. La siguiente tabla muestra la variación de la distancia recorrida (Y, en km) para distintos tiempos (X, en horas).
Si escogemos dos valores de X y los valores correspondientes de Y se puede señalar que están en una proporción directa, es decir, las distancias recorridas son directamente proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas.
Y 60 120 180 240 300X 1 2 3 4 5
Un automóvil que tiene que recorrer una distancia de 360 km. Hagamos una tabla que muestre el tiempo X que se demora (en horas) de acuerdo con la rapidez Y que lleva (en km/hr).
Si tomamos dos valores cualquiera de la tabla de X: 4 y 8 y los respectivos valores de Y: 90 y 45 y formamos el producto de los valores correspondientes tendremos:
^
Y 120 90 72 60 45 40X 1 2 3 4 5 9
360904 360458
Entonces, dadas dos magnitudes X e Y, diremos que X es inversamente proporcional a Y o que X varía inversamente con Y, si y sólo si el producto entre un valor cualquiera de X y el correspondiente valor de y es constante.
kXYYX
Los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2 : 3 : 4. Determine la medida de cada ángulo.Sean α, β y γ los ángulos interiores del triángulo ABC, entonces:
α : β : γ = 2 : 3 : 4, de donde:
α = 2k; β = 3k y γ = 4k, pero como α + β + γ = 180º
2k + 3k + 4k = 180º9k = 180ºK = 20º
Entonces, los ángulos buscados son:
α =β =γ =
º40º202 º60º203 º80º204
Si 18 obreros realizan un trabajo en 30 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos días tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros trabajando 9 horas diarias?
En primer lugar supondremos constante el número de horas H (jornada de 8 horas) y calcularemos cuántos días tardarían 15 obreros en realizar el trabajo.
N D H18 30 815 X 9
N D H18 30 815 X 8
Como N y D son inversamente proporcionales:
Luego usamos este valor para, suponiendo constante el valor de N (15), determinar cuántos días se tardarían este número de obreros en realizar el trabajo si trabajan en jornadas de 9 horas diarias.
3615
3018
3015
18
X
X
N D H15 36 815 X 9
Como D y H son inversamente proporcionales:
Es decir, tardan 32 días en realizar el mismo trabajo.
329
836
8
936
X
X
Un porcentaje es una fracción con denominador constante igual a 100.
El a% de b es:
100100
bab
a
Ej.: ¿cuánto es el 5% de 30?
5,1100
150
100
30530
100
5
El álgebra es la parte de la matemática que trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales.
Productos notables: Cuadrado del binomio:
Suma por su diferencia:
222222 2)(2)( babababababa
22))(( bababa
Producto de binomios con un término repetido:
Cubo del binomio:
Cuadrado de un trinomio:
Productos que desembocan en suma de cubos perfectos:
abxbaxbxax )())(( 2
3223332233 33)(33)( babbaabababbaaba
acbcabcbacba 222)( 2222
33223322 ))(())(( babababababababa
La tarifa del agua potable depende del número de metros cúbicos consumidos en un período de 30 días, en esta situación aparece una “relación de dependencia” a la cual llamamos función.
Una función F es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. el primer conjunto A se conoce como el DOMINIO (Dom) de la función y B es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA.
El RANGO o RECORRIDO (Rec) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ej.: considerando el conjunto A = {1, 2, 3}, el conjunto B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y la relación de dependencia entre A y B que “asigna a cada elemento su cuádruple”. Decida si esta relación es una función de A en B y determine su dominio y recorrido.
Los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A, les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B.
Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, la relación de dependencia es una función de A en B.
Dominio = {1, 2, 3} = A, y Recorrido = {4, 8, 12}
En general, el recorrido es un subconjunto del codominio (o conjunto de llegada).