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Resistência dos Materiais Exercícios de Forças Axiais

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Exemplo 1- A barra composta de aço A-36 (E=29000 ksi) mostrada na figura abaixo

está composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas da seção transversal AAB=1

pol2 e ABD=2 pol

2. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o

deslocamento de B em relação a C.

Solução:

Dados:

Eaço = 29000 ksi = 29106 psi = 2910

6 lbf/pol

2

Aab = 1 pol2

Abd = 2 pol2

LAB = 2,0 pés = 24 pol

LBC = 1,5 pés = 18 pol

LCD = 1,0 pés = 12 pol

PAB = 15 kip = 15000 lbf

PBC = 7 kip = 7000 lbf

PCD = –9 kip = –9000 lbf

pol002172,021029

187000

AE

LP

AE

LN

pol01272,021029

129000

21029

187000

11029

2415000

AE

LP

AE

LP

AE

LP

AE

LN

6B

aço

BCBC

B

n

1i ii

ii

666A

bdaço

CDCD

bdaço

BCBC

abaço

ABABA

n

1i ii

ii

Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0127 pol e o deslocamento de B em relação a

C é de 0,00217 pol.



4.4. O eixo de bronze C86100 está submetido às cargas axiais mostradas. Determinar

o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de

cada segmento são dAB = 0,75 pol, dBC = 2 pol e dCD = 0,5 pol.

Solução:

Utilizando módulo de elasticidade do bronze = 15×106 psi e as unidades libra-força e polegada, temos:

pol128,0

4

5,01015

368000

4

21015

1206000

4

75,01015

482000

AE

LN

AE

LN

AE

LN

AE

LN

26

26

26

A

bdCu

CDCD

bdCu

BCBC

abCu

ABABADCDBCAB

n

1i ii

iiAD

Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação a D é de 0,128 pol.

2 kip

6 kip

8 kip



4.6- O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de

alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a haste está sujeita a uma

carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento

da conexão e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento

é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam

rígidas.

Solução:

Dados:

Eaço = 29000 ksi = 29106 psi = 2910

6 lbf/pol

2

Ealumínio = 10000 ksi = 10106 psi = 1010

6 lbf/pol

2

d = 1 pol

LAB = 4 pés = 48 pol

LBC = 2 pés = 24 pol

NAB = P1 = 12 kip = 12000 lbf

NBC = P1-P2 = 12-18 = -6 kip = -6000 lbf

pol00632,0785398,01029

246000

AE

LN

AE

LN

pol0670,0785398,01029

246000

785398,01010

4812000

AE

LN

AE

LN

AE

LN

pol785398,04

)pol1(

4

dA

6B

aço

BCBC

B

n

1i ii

ii

66A

aço

BCBC

alumínio

ABABA

n

1i ii

ii

222

Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0670 pol e o deslocamento da conexão é de

-0,00632 pol.



4.8- A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras.

Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a

junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.

Solução:

Dados:

a) Esforços normais:

NAB = NBC = NCD = 50 kN

b) Comprimentos:

LAB = 600 mm

LBC = 200 mm

LCD = 800 mm

c) Módulos de Elasticidade:

EAB = EBC = ECD = 200 GPa = 200 kN/mm2

d) Áreas das seções transversais:

AAB = 6 mm × 100 mm = 600 mm2

ABC = 3 × (6 mm × 100 mm) = 1800 mm2

ACD = 2 × (6 mm × 100 mm) = 1200 mm2

Assim:

mm44444,01200200

80050

1800200

20050

600200

60050

AE

LN

AE

LN

AE

LN

AE

LN

AD

CDCD

CDCD

BCBC

BCBC

ABAB

ABABCDBCABAD

n

1i ii

ii

Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é

submetida às cargas axiais indicadas é 0,444 mm.



Exemplo2 – Um elemento é feito de um material com peso específico e módulo de

elasticidade E. Supondo que ele tenha formato de cone e as dimensões mostradas na

figura abaixo, determinar a distância que sua extremidade é deslocada devido à

gravidade quando suspenso na posição vertical.

Solução:

Força Interna. A força axial interna varia ao longo do elemento, visto que depende do peso W(y) de um

segmento do elemento abaixo de qualquer seção. Então, para calcular o deslocamento devemos usar a

equação integral. Na seção localizada a uma distância y da extremidade inferior, o raio x, em função de y, é

determinado por proporção. Isto é:

yL

rx

L

r

y

x 00

O volume de um cone com raio da base x e altura y é:

3

2

2

0

2

02 yL3

rVy

L

ry

3xy

3V

Como W = V, a força interna na seção torna-se:

3

2

2

0 yL3

r)y(P

Deslocamento. A área da seção transversal também é função de y. Logo,

2

2

2

02 yL

rx)y(A

Aplicando a equação integral para cálculo do alongamento entre os limites y=0 e y=L, temos:

E6

Ldyy

E3y

L

rE

dyyL3

r

)y(AE

dy)y(P 2L

0

L

0 2

2

2

0

3

2

2

0L

0

Resposta: A extremidade do cone se deslocará de L2/(6E) devido à gravidade quando suspenso na

posição vertical



4.28. A haste é ligeiramente cônica e tem comprimento L. Está suspensa do teto e

suporta uma carga P em sua extremidade. Mostrar que o deslocamento de sua

extremidade devido a essa carga é = PL/(Er1r2). Desprezar o peso do material. O

módulo de elasticidade é E.

Solução:

Variação do raio r(x): da extremidade livre da haste (x=0) até o apoio (x=L)

112 rx

L

rr)x(r

Área da seção transversal distante x da extremidade:

2

1122

2

1122 Lrxrr

L)x(Arx

L

rr)x(r)x(A

Deslocamento da extremidade livre ou alongamento da haste:

21

21

12

12

2

21

21

12

2

1212

2

L

012112

2L

02

1122

L

0

rrE

LP

Lrr

rr

rrE

LP

Lrr

rr

rrE

LP

Lr

1

Lr

1

rrE

LP

rr

1

Lrxrr

1

E

LP

LrxrrL

E

dxP

)x(AE

dxP

Resposta: O deslocamento da extremidade da haste devido a carga P é = PL/(Er1r2), c.q.d.

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