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MATEMÁTICA
MANUEL ALBERTO M. FERREIRA
EDIÇÕES SÍLABO
11
ColecçãoMatemática
COLECÇÃOM
ATEMÁTICA
11 COLECÇÃO MATEMÁTICA
11Outros livros Sílabo na área dos Métodos Quantitativos:
Estatística – Exercícios Vol. 1 – Probabilidade, Variáveis aleatóriasEstatística – Exercícios Vol. 2 – Distribuições, Inferência estatísticaEstatística Aplicada – Vol. 1Estatística Aplicada – Vol. 2Exercícios
Estatística Matemática – Vol. 1Estatística Matemática – Vol. 2Exercícios de Estatística – Vol. 1Exercícios de Estatística – Vol. 2Análise Estatística com utilização do SPSSEstatística Multivariada AplicadaEstatística DescritivaAnálise Multivariada de Dados Qualitativos – Utilização da HOMALSAnálise de Dados para Ciências SociaisMétodos Quantitativos para as Ciências SociaisExercícios de Métodos Quantitativos para as Ciências SociaisExercícios de Estatística Descritiva para as Ciências SociaisEstatística para Economia e GestãoMatemática para Economia e Gestão em 11 LiçõesInvestigação Operacional – Vol. 1Investigação Operacional – Vol. 2SondagensTabelas EstatísticasConvite à MatemáticaFormulário de EstatísticaFormulário de FísicaInvestigação por QuestionárioSPSS – Guia Prático de UtilizaçãoDescobrindo a Regressão – Com a Complementaridade do SPSS
Estatística Aplicada – Vol. 1
Exercícios Estatística Aplicada – Vol. 2
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Vol. 1EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
ÁLGEBRALINEAR
Vol. 1MATRIZESE DETERMINANTES
MA
TR
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DE
TE
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ES
ISB
N 9
78-9
72-6
18-8
50-6
978
9726
1885
06
153
5ª Edição
PANTONE 320 C
COLEÇÃO MATEMÁTICA
1 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
n
3 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS
4 – FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA
5 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 – Matrizes e Determinantes
6 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica
7 – PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
8 – CÁLCULO INTEGRAL EM IR – PRIMITIVAS
9 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – EXERCÍCIOS
10 – SUCESSÕES E SÉRIES
11 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes
12 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
13 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
n – EXERCÍCIOS
14 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica
15 – SUCESSÕES E SÉRIES – EXERCÍCIOS
16 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES
17 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – EXERCÍCIOS
18 – INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
19 – FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA
20 – MÉTODOS NUMÉRICOS – Introdução, Aplicação e Programação
21 – CÁLCULO INTEGRAL – Teoria e Aplicações
22 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Exercícios Resolvidos
23 – TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR
n
24 – EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS
25 – ÁLGEBRA LINEAR – Teoria e Prática
26 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Com Aplicações às Ciências Empresariais
MANUEL ALBERTO M. FERREIRA
ÁLGEBRA LINEAR
Volume 1
MATRIZES E DETERMINANTES
EXERCÍCIOS
EDIÇÕES SÍLABO
É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, nomeadamente fotocópia, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.
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Editor: Manuel Robalo
FICHA TÉCNICA:
Título: Álgebra Linear – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes Autor: Manuel Alberto M. Ferreira Capa: Pedro Mota © Edições Sílabo, Lda. 1ª Edição – Lisboa, 1992 5ª Edição – Lisboa, Novembro de 2016
Impressão e acabamentos: Cafilesa – Soluções Gráficas, Lda. Depósito Legal: 413346/16 ISBN: 978-972-618-850-6
EDIÇÕES SÍLABO, LDA.
R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 LISBOA Telf.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: [email protected] www.silabo.pt
1
Considere as seguintes matrizes:
A = ⎡⎢⎣
1−1
34
⎤⎥⎦ B = ⎡⎢
⎣10 3
1 2
7⎤⎥⎦
C =
⎡
⎢
⎣
⎢⎢⎢⎢
1497
2310
1−121
⎤
⎥
⎦
⎥⎥⎥⎥
D = [1 2 3 4]
E = ⎡⎢⎣
⎢⎢ 125 ⎤⎥⎦
⎥⎥ F =
⎡⎢⎣
⎢⎢
120
231
017
⎤⎥⎦
⎥⎥
a) Classifique-as quanto ao tipo.
b) Identifique os seguintes elementos
a11 , a12 , b23 , b21 , b13 , c42 , c32 ,
c41 , c22 , d12 , d14 , e11 , e31 , f22 ,
f33 , f13 .
c) Se algumas delas tiverem designações especiais indique-as.
2
Dadas as matrizes
A = ⎡⎢⎣
⎢⎢
100
220
13
−1
⎤⎥⎦
⎥⎥ B =
⎡⎢⎣
⎢⎢
1−10
012
001
⎤⎥⎦
⎥⎥
MATRIZES – ENUNCIADOS
11
C = ⎡⎢⎣
⎢⎢
100
020
00
−1
⎤⎥⎦
⎥⎥ D =
⎡⎢⎣
⎢⎢
200
020
002
⎤⎥⎦
⎥⎥
E =
⎡
⎢
⎣
⎢
⎢
1000
0100
0010
0001
⎤
⎥
⎦
⎥
⎥ F =
⎡⎢⎣
⎢⎢
112
1−10
202
⎤⎥⎦
⎥⎥
a) Que designação especial tem cada uma delas?
b) Para cada uma delas determine a matriz transposta e a simétrica.
3
Dadas as matrizes
A = ⎡⎢⎣11 2
1 52
⎤⎥⎦ B = ⎡⎢
⎣
−12 0
5 27⎤⎥⎦
C = ⎡⎢⎣
01 −1
3 25
⎤⎥⎦
Calcule:
a) A + B + C
b) A + B - C
c) A + 2B - 3C
d) −5A + 3B − 1 2
C
e) AT − BT + CT
ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS
12
4
Sendo A =
⎡
⎢
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
1
4
1
3
5
1 2
⎤
⎥
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
calcule √⎯⎯⎯ 2 . A .
5
Sendo A = ⎡⎢⎣12 1
1 13⎤⎥⎦ B = ⎡⎢
⎣50 1
2 04⎤⎥⎦
C = ⎡⎢⎣01 0
3 04⎤⎥⎦
Determine o resultado das seguintes operações:
a) 2A − B + C
b) 2 (A − B + C)
c) 3A + B − C
d) 3 ⎛⎜⎝A −
1 2
B⎞⎟⎠ + C
MATRIZES – ENUNCIADOS
13
6
Dadas as matrizes:
A =
⎡
⎢
⎣
⎢
⎢
1 2
2
1 3
− 1 5
4
1
⎤
⎥
⎦
⎥
⎥ B =
⎡
⎢
⎣
⎢
⎢
−1
1 2
3
2 3
4 5
−1
⎤
⎥
⎦
⎥
⎥
C =
⎡
⎢
⎣
⎢
⎢
1
0
1
0
1 2
−1
⎤
⎥
⎦
⎥
⎥
a) Calcular A + B
2 − 3C
b) Calcular X do tipo 2 × 3 tal que
2X − A
2 −
B + C 2
= 0
7
Dadas as matrizes
A = ⎡⎢⎣
⎢⎢
135
024
⎤⎥⎦
⎥⎥ B =
⎡⎢⎣
21
−13
04
⎤⎥⎦
a) Calcule AB e BA
b) Calcule 2A − 3BT
c) Calcule (A + BT ) (AT − B )
ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS
14
8
Dadas as matrizes
A =
⎡
⎢
⎣
⎢⎢⎢⎢
−1102
23
−11
0535
⎤
⎥
⎦
⎥⎥⎥⎥
BT =
⎡
⎢
⎣
⎢⎢⎢⎢
1250
−1012
1379
⎤
⎥
⎦
⎥⎥⎥⎥
C = ⎡⎢⎣
⎢⎢
−112
035
257
⎤⎥⎦
⎥⎥
Determine:
a) A . B
b) A . C
c) C . B
d) A . CT
e) C2
f) B . A + CT
g) [BA − 4I + 2C ]T
h) ⎡⎣(A . B )2 − 4I⎤⎦T
9
Dadas as matrizes
A = ⎡⎢⎣
⎢⎢
105
−21
−3
320
⎤⎥⎦
⎥⎥ B =
⎡⎢⎣
⎢⎢
100
03
−1
−252
⎤⎥⎦
⎥⎥
MATRIZES – ENUNCIADOS
15
C = ⎡⎢⎣
⎢⎢
020
136
−1−5−2
⎤⎥⎦
⎥⎥
Mostre que:
a) (A + B ) . C = A . C + B . C
b) (A . B )T = BT . AT
10
Dadas as matrizes
A = [1 0 − 1 2] B =
⎡
⎢
⎣
⎢
⎢
20
−13
⎤
⎥
⎦
⎥
⎥
Determine:
a) A . B
b) B . A
c) Das alíneas anteriores que pode concluir quanto a certa propriedade noproduto de matrizes?
11
Mostre que se A = ⎡⎢⎣21 3
4⎤⎥⎦
A2 − 6A + 5I = 0
ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS
16
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Estatística Aplicada – Vol. 1
Exercícios Estatística Aplicada – Vol. 2
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ALIN
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Vol. 1MATRIZESE DETERMINANTES
MA
TR
IZE
SE
DE
TE
RM
INA
NT
ES
ISB
N 9
78-9
72-6
18-8
50-6
978
9726
1885
06
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5ª Edição
PANTONE 320 C